高中數學
空 間 向 量
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一、空間概念：如何區分平面與空間？ (一)直線與直線的關係：在空間中通過相異兩點也恰好為一直線。 (二)決定平面的的條件： (1)不共線的相異三點 (2)一直線與線外 (3)相交的兩直線 (4)平行的二直線 (三)空間中兩相異直線的關係： (1)相交於一點 (2)相互平行 (3)歪斜 (四)直線與平面的關係： (1)平行 (2)相交於一點 (3)直線在平面上 (五)平面與平面的關係： (1)平行 (2)相交於一線 (3)重合
第五章 空間向量
5-1 空間向量的坐標表示法
觀念： 例1：右圖是一個長方體, 下列哪些選項是正確的？ (1)直線 AE 與直線 AB 交於一點. (2)直線 AE 與直線 DH 平行. (3)直線 AE 與直線 CG 歪斜. (4)直線 AE 與直線 FG 歪斜. (5)直線 AE 與直線 FH 歪斜. 【練習題】右圖是一個立體圖形, ABCD 為正方形, 其餘四個三角形均為正三角 形下列哪些選項是正確的？ (1) 直線 AD 與直線 AB 交於一點 (2)直線 AD 與直線 BC 平行 (3)直線 AD 與直線 CE 歪斜 (4)直線 AE 與直線 BC 歪斜 (5)直線 AE 與直線 DC 歪斜
對底面BCD 做垂直線 AQ 交底面於 Q 點，我們稱線段AQ為四面體的高。 求高AQ=？ 例3：右下圖是一個邊長為 2 的正四面體，此四面體任兩面的夾角為 ，求 cos 。 【練習題】右下圖是一個每邊長均為2 的立體圖形，其中 ABCD 為正方形，其餘 四個三角形均為正三角形。設底面ABCD 與側面 ABE 所夾的二面角為 ，求 cos 。 三垂線定理 設直線PQ 與平面 E 垂直於 Q 點，若在 E 上，直線 QR 與直線 L 垂直於 R 點，則直線PR 也與 L 垂直於 R 點
例4：如右下圖所示，小明在 8 公尺高的塔頂上，俯望成直線狀的河流，已知 塔底中心到河流的最近點R 是 15 公尺，那塔頂到河流的最短距離為何？ 【練習題】已知ABCD 為一邊長 12 公尺的正方形，點 Q 為正方形的中心，且在 Q 點有一棵樹垂直於平面 ABCD，如右下圖，若現在由正方形的 4 個邊線分別 與樹上離地面8 公尺處的 P 點各拉 1 條等長的繩子來支撐樹，則這 4 條繩子應 如何拉設，才能使繩子的長度最短？
觀念： 二、空間座標系：瞭解平面與空間座標系的差異？ (一)空間中點的坐標： x 軸、y 軸與 z 軸，通稱為坐標軸，如下圖所示： 空間坐標系中的任兩坐標軸都可以決定一個平面，稱為坐標平面。 三個坐標平面將整個空間分成____個部分，每一個部分稱為一個卦限。 三軸的正向所構成的卦限，稱為第一卦限。其餘並未特別編號。 (二)空間中兩點的距離公式： 若P x y z( , , )1 1 1 、Q x y z( , , )2 2 2 為坐標空間中的兩點，則 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) PQ x x y y z z 例5：右下圖是坐標空間中的一個長方體，求 D、E、F、G 各點的坐標。 【練習題】右下圖是坐標空間中的一個長方體，求A、B、C、F、G 各點的坐標。 x 軸與 y 軸所決定的平面稱為_________平面。 x 軸與 z 軸所決定的平面稱為_________平面。 y 軸與 z 軸所決定的平面稱為_________平面。
例6：已知P(1,2,3)、Q(5, 3, 17) 為坐標空間中兩點，求PQ=？ 【練習題】已知P( 2,2, 3) 、Q(1, 2,9) 為坐標空間中兩點，求PQ=？ 例7：已知 A(2,3,6)、B(1,5,0)、C(4, 3,3) 為坐標空間中三點，證明△ ABC為 等腰直角三角形。 【練習題】已知A(1,1,6)、B(2,3,2)、C(3, 4,0) 為坐標空間中三點，求△ ABC 的 最大邊長。
觀念： 三、空間向量座標表示法：方式與平面向量大多小異，唯有多加一z 軸。 (一)空間向量的坐標表示法： 1 1 1 ( , , ) P x y z 、Q x y z( , , )2 2 2 為坐標空間中的兩點，則PQ
的坐標表示與其長度分別為 2 1 2 1 2 1 ( , , ) PQ
x x y y z z , 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) PQ
x x y y z z PQ (二)空間向量的加減法與係數積： 設
a ( , , )a a a1 2 3 、
b ( , , )b b b1 2 3 為坐標空間中的兩向量，則 (1)加法：
a b (a1b a1, 2 b a2, 3 b3). (2)減法：
a b (a1b a1, 2 b a2, 3b3). (3)係數積：r a
(ra ra ra1, 2, 3)，r 為實數 (三)分點坐標公式 設A x y z( , , )1 1 1 與B x y z( , , )2 2 2 為坐標空間中的兩點。若點P x y z( , , )在線段 AB上，且 : : AP PB m n ，則P點的坐標為 1 2 , 1 2 , 1 2 nx mx ny my nz mz m n m n m n (四)柯西不等式 對於任意實數x x y y z z1, , ,2 1 2, ,1 2，不等式 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 (x y z )(x y z ) ( x x y y z z ) 恆成立 其中等號成立於( , , )x y z1 1 1 t x y z( , , )2 2 2 ，t 為實數，或 ) 0 , 0 , 0 ( ) , , (x2 y2 z2 時，且只在這些情形時等號才成立。例9：已知 P(1,3,5)與 Q(3,7,0)為坐標空間中兩點，求PQ
與 PQ
為何？ 例10：設
a (1,3,5)，
b (4,4,2)，求
a b
、
a
b 與2
a 3
b 。 【練習題】設
a (3,2,5)，
b (2,1,3)，求
a 2
b 與3
a 4
b 。 例11：已知
a (1,2, 2) ，
b 的長度為6，且
a 和
b 同方向，求
b = ？ 例12：已知P(6, 3,1) ，Q(1, 8,11) 為坐標空間中的兩點，R 為線段PQ上一點， 且PR RQ: 3 : 2，求R 點坐標？ 例13：已知
a (1,1,2)與
b (1, 2, 1) 兩向量的夾角為 ，求
a
b 與 為何？【練習題】求
a (2,3,1)與
b (5, 3, 1) 的夾角 為何？例14：右下圖是一個長方體，其中AB3，BC CG 1。設兩對角線BH 與DF 相交於P 點，且FPB 。求cos =？
【練習題】右下圖是一個邊長為1 的正立方體，HBG ，求cos =？
【練習題】已知
a (1, 2, 2)，
b (2,1,1)，求
a 在
b 上的正射影及正射影的長。 例16：已知三實數x y z, , 滿足x24y29z2 3，求x2y3z的最大值，並求當 2 3 x y z為最大值時 ，x, y 與 z 的值為何？ 【練習題】已知三實數x y z, , 滿足x2y2z 3，求x2 y2 z2的最小值，並求當 2 2 2 x y z 為最小值時，x, y 與 z 的值為何？ 例17：由周長 12 之三角形的三邊分別向外作正方形，如右下圖所示，問當三 角形為何種三角形時，三個正方形的面積和會有最小值？又其值是多少？第五章 空間向量
5-2 平面方程式 觀念： 一、平面方程式（點向式）：若非零向量
n =( , , )a b c 為平面E 的一個法向量， 0 0 0 ( , , ) P x y z 為E 上的一個點，則 E 的方程式為 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 a x x b y y c z z , 即ax by cz d , 其中d ax 0by0cz0. 二、法向量：坐標空間中每一個平面方程式都具有ax by cz d 的形式，且此 種一次式恆表一個平面的方程式，其中 a,b,c 不全為 0，且
n ( , , )a b c 為這個平 面的一個法向量。 三、平面方程式（截距式）：若平面E 與三坐標軸交於( ,0,0)a ,(0, ,0)b ,(0,0, )c ， 其中abc0，則平面E 的方程式為 ===> x y z 1 a b c 四、兩平面的夾角：設平面E1的法向量為
n1 , 平面E2的法向量為
n2 . 若兩法 向量
n1 與
n2 的夾角為 , 則平面E1與E2的夾角為 與 , 而且夾角的 餘弦值為 cos 1 2 1 2 n n n n
. 五、點到平面的距離公式：點P x y z( , , )0 0 0 到平面E：ax by cz d 的距離為 0 0 0 2 2 2 |ax by cz d| a b c 六、兩平行平面的距離公式：兩平行平面E ax by cz d1: 1和E ax by cz d2: 2 的距離為==> 1 2 2 2 2 |d d | a b c 例1：求通過點 P (1,2,3)，且以
n (3, 2,1) 為法向量的平面方程式。【練習題】求通過點P (1,0,2)，且以
n ( 1,3,2)為法向量的平面方程式。 【練習題】平面E 的方程式為3x4y5z6. 下列哪些選項是正確的？ (1)點(1, 3,3) 在平面E 上. (2)點(3, 2,1) 在平面E 上. (3)向量(3,4,5)為平面E 上的一個法向量. (4)向量(6,8,10)為平面E 上的一個法向量. (5)向量( 3, 4, 5) 為平面E 上的一個法向量 例2：求通過P(3, 2,1)和平面x2y3z 4平行的平面方程式。 【練習題】求通過P( 2,5,1) 和平面x y 4z2平行的平面方程式。 例3：求通過P(1, 1, 2) 、Q(2,0, 4)、R(3, 2,5)三點的平面方程式。【練習題】求通過(1,1,3)、Q(2,1,1)、R(1,3,1)三點的平面方程式 例4：求通過 P(1,0,0)、Q(0, 2,0)、RR(0,0,3)三點的平面方程式 【練習題】求通過P(3,0,0)、Q(0, 4,0)、R(0,0, 5) 三點的平面方程式。 例5：求兩平面E：1 x2y z 3和E：2 x y 2z3的夾角。 【練習題】求兩平面E1：x y 2z5和E2：x3y2z4的夾角。 例6：求點(1,2,3)到平面2x3y6z11的距離。 【練習題】求點(3,2,1)到平面x2y2z7的距離。 例7：求兩平行平面E1: 6x2y3z1和E2 : 6x2y3z15的距離。
【練習題】已知兩平行平面E1: 2x2y z 1和E2: 2x2y z k 的距離為2，求 k 的
第五章 空間向量
5-3 空間直線方程式 觀念： 一、直線參數式：
通過點P( , , )x y z0 0 0 ，且與非零向量
v =( , , )a b c 平行的直線 L之參數式為 0 0 0 , : , , x x at L y y bt z z ct （t 為實數） 二、直線對稱比例式：通過點P( , , )x y z0 0 0 ，且與非零向量
v =( , , )a b c 平行的直線 L之對稱比例式為 0 0 0 :x x y y z z L a b c ，其中abc0 三、點到直線的距離： (1) 設點 P 對於直線 L 的正射影點為Q a lt b mt c nt( , , ) (2) 利用PQL的方向量
v ( , , )l m n ，即 PQ v 0，求出t 值，將t 值代入 Q 中得到 Q 坐標。 (3) PQ長即為點P 到直線 L 的距離. 四、直線與直線的關係：空間中兩直線L1與L2之方向向量分別為v1 及v2 。 (1) 若v1//v2 ，則L1與L2 可能平行或重合. (2) 若v1 //v2 ，則L1與L2可能相交於一點或歪斜 兩平行直線的距離﹕兩平行直線L1與L2 中，若已知P 為L1上的一點，則 2 1 2 ( , ) ( , ) d P L d L L 五、直線與平面的關係：空間中直線L 與平面 E 的關係有三種可能 (1)平行 (2)相交於一點 (3)直線 L 在平面 E 上 例1：已知直線 L 通過點A(1,1, 3) 、B(4, 2,1)，求L 的參數式。【練習題】已知直線L 通過點 A(3,4,1)，且
v (1,2,3) 為 L 的一個方向向量， 求L 的參數式。 例2：已知直線 L 通過點P(2,1,3)、Q(3, 2,1) ，求L 的對稱比例式。 【練習題】已知直線L 通過點P(4, 2, 3) 、Q(1,0,1)，求L 的對稱比例式。 例3：求兩平面3x2y z 4和x2y3z 4的交線L 之參數式。 【練習題】求兩平面x y 2z4和3x2y z 4的交線L 之參數式。 例4：求點 P(3,2,6) 到直線 L： 1 2 2 2 3 x y z 的距離。 【練習題】設直線L： 5 6 3 2 3 2 x y z ，點P(1,1,2)。求 (1)P 點到直線 L 的垂足。 (2)P 點到直線 L 的距離。例5：求兩平行線 1 1 1 3 : 3 2 2 x y z L 和 2 2 2 1 : 3 2 2 x y z L 的距離。 【練習題】求兩平行線 1 1 1 2 : 2 3 2 x y z L 和 2 5 6 3 : 2 3 2 x y z L 的距離。 例6：求兩直線 1 7 3 : 4 1 2 x y z L 和 2 3 8 8 : 2 3 1 x y z L 的交點坐標。 【練習題】證明直線 1 1 2 : 2 2 1 x y z L 和 2 3 1 1 : 1 4 1 x y z L 是兩條歪斜線。 例7：已知直線 1 1 2 : 2 2 1 x y z L 和 2 3 1 1 : 1 4 1 x y z L 是兩條歪斜線，求其公 垂線段長。 【練習題】已知直線 1 3 3 7 : 2 3 2 x y z L 和 2 1 2 1 : 4 1 1 x y z L 是兩條歪斜線， 求其公垂線段長。
1 1 2 3 : 3 3 1 x y z L 、 : 1 2 3 3 3 1 x y z L 2 . 【練習題】已知平面E 的方程式為2x y 3z3，討論直線 : 3 1 3 3 1 x y z L 與平 面E 的相交情形。 例9：求包含點 P( 1,1,5) 和直線 : 1 2 1 1 5 x y z L 的平面E 之方程式。 【練習題】求包含點P(1,2,3)和直線 : 3 1 2 1 1 x y z L 的平面E 之方程式。 例8：已知平面 E 的方程式為2x y 3z3，討論下列二直線與平面E 的相交情形：
第五章 空間向量
5-4 一次方程組 觀念：一、二元、三元一次方程組：
(1) 二元一次方程組﹕ 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c (2) 三元一次方程組﹕ 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d 聯立方程組的解法有下列四種方法﹕ (1) 代入消去法 (2)加減消去法 (3)高斯消去法 (4)克拉瑪公式 二、克拉瑪公式與二階行列式
克拉瑪公式 設 1 1 2 2 a b a b 、 x 1 1 2 2 c b c b 、 y 1 1 2 2 a c a c 當 0時，二元一次方程組 1 1 1 2 2 2 , , a x b y c a x b y c 恰有一組解x,y 為 x x 、y y 三、二階行列式的性質及應用
在a b c d 中，直的稱為行、橫的稱為列四、平行四邊形的面積公式
以非零向量
u ( , )a b 和
v ( , )c d 為鄰邊的平行四邊形面積為 a b c d 的絕對值。例1：驢與騾身上各背著幾百公斤的重物，牠們互相埋怨，驢對騾說：「只要把 你所背的重量給我一百公斤，我所背的就是你的兩倍。」騾回答說：「不錯， 可是如果你背的給我一百公斤，我背的就是你的三倍。」問：驢與騾各背 了多少公斤的重物？ 【練習題】大和尚與小和尚共有100 人。一天早上他們總共吃了 100 個饅頭，只 知大和尚1 人吃 3 個饅頭，小和尚 3 人吃 1 個饅頭，問大和尚與小和 尚各有多少人？ 例2：饅頭店特賣炭烤小饅頭，每天中午 12 點時出爐，限量 100 個，每位顧 客最多只能買3 個；購買 1 個、2 個或 3 個小饅頭的價錢分別為 6、11、15 元。 已知今天12 點 20 分饅頭就已銷售一空，買饅頭的顧客共有 50 位， 總共賣得531 元，問購買 1 個、2 個或 3 個小饅頭的顧客各多少人？ 【練習題】已知某一個三位數，各位數字的和為10，個位數字和百位數字對調 後所得的新數比原數多297，百位數字和十位數字對調後所得的新 數比原數少180，求此三位數。 例3：利用克拉瑪公式解方程組32xx y2y 38
【練習題】利用克拉瑪公式解方程組 2 5 1 3 2 11 x y x y 例4：求行列式 33 4445 61 的值。 【練習題】求行列式1234 12361237 1239的值。 例5：已知
u (2, 5) ，
v (3,2)，求以向量
u 和
v 為鄰邊的平行四邊形面積。 例6：已知△ ABC三頂點坐標為A( 2,1) 、B(2,2)與C( 1, 2) ，求△ ABC的面積。 【練習題】已知△ ABC三頂點坐標為A(3,1)，B(2,4)與C(5, 2) ，求△ ABC的面積。高斯消去法
例7：利用高斯消去法解方程組 2 2 5 2 1 3 4 1 x y z x y z x y z 【練習題】利用高斯消去法解方程組 3 8 5 3 2 1 2 3 x y z x y z x y z 例8：解方程組 2 3 2 4 3 5 y z x y z x y z 例9：解方程組 4 2 3 5 2 3 4 9 x y z x y z x y z
