6-3-3多項式函數的積分-定積分的應用

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(1)選修數學(I)3-3 多項式函數的積分-定積分的應用【方法】 1. 曲線與 x 軸在某範圍內所圍面積： b. 若 f ( x) 為定義在閉區間 [a, b] 上的連續函數，且 f ( x)  0 ，則定積分 a f ( x)dx 表示由 y  f ( x) 的函數圖形與鉛直線 x  a, x  b 及 x 軸( y  0 )所圍成區域的面積，如圖：. 設在 [a, b] 中 f ( x)  c 恆成立，函數 f ( x) 的圖形與鉛直線 x  a, x  b 及水平線所圍成區域 R ，如圖，我們可以求得區域 R 的面積。. 要計算圖中區域 R 的面積，我們可以把區域 R 作向下或向上平移使得直線 y  c 與 x 軸重合如圖的區域 R1 。. 由於 R1 是由 R 平移所得，因此它們是全等圖形， b. b. 於是 A( R)  A( R1 )  a ( f ( x)  c)dx ，即 A( R)  a ( f ( x)  c)dx 。. 24.

(2) 2.. 曲線在某範圍內所圍面積：若 f ( x), g ( x) 都是閉區間 [a, b] 上的連續函數， f ( x)  g ( x) 在 [a, b] 上恆成立，則由 f ( x), g ( x) 兩函數圖形與鉛直線 x  a, x  b 圍成區域的面積為. . b a. ( f ( x)  g ( x))dx 。. 證明：由於 g (x) 在 [a, b] 上連續，故 g (x) 在 [a, b] 上有最小值，於是存在 c 使得 g ( x)  c, a  x  b ，區域 R 等於 f (x) 的函數圖形與鉛直線 x  a, x  b 及水平線 y  c 所圍的區域 R f ，扣除 g (x) 的函數圖形與鉛直線 x  a, x  b 及水平線 y  c 所圍的區域 Rg ，於是 b. b. A(R)  A( R f )  A( Rg )   ( f ( x)  c)dx   ( g ( x)  c)dx a. a. b. b.   (( f ( x)  c)  ( g ( x)  c))dx   ( f ( x)  g ( x))dx ， a. a. b. 即 A(R)   ( f ( x)  g ( x))dx 。 a. 3.. 曲線所圍面積：在 [a, b] 區間上的兩條連續曲線 y  f ( x), y  g ( x) 與鉛直線 x  a, x  b 所圍成 b. 區域的面積為  | f ( x)  g ( x) | dx 。 a. 證明： b. c. a. a.  | f ( x)  g ( x) | dx  . b. ( f ( x)  g ( x))dx   ( g ( x)  f ( x))dx 。 c. 25.

(3) 【定理】 1. 卡瓦里利原理(Cavalieri`s principle)(或祖氏原理)：設 T1 , T2 為夾在兩平行平面間的立體；若 T1 , T2 被平行這兩個平面的任意平面截出的面積都相等(如圖所示)，詴證： T1 與 T2 的體積相等。. 設此二立體各在兩平行平面 x  a , x  b ( a  b )之間，用 x  x 0 , a  x 0 b 的平面截 T1 , T2 的截面積各為 R 1( x 0) , R 2( x 0) ，已知 R1( x)  R 2( x) , a  x  b ， b.  R ( x)dx ， T 的體積 V (T )   R ( x)dx ，故得 V (T )   R ( x)dx   R ( x)dx  V (T ) 。 T1 的體積 V (T1 )  2. 2. a. b. 1. a. a b. 1. 2. b. 1. a. 2. 2. 26.

(4) 【方法】 1. 體積：設 T 為空間中的一個立體，並設 T 包含在 x  a, x  b 兩平面之間，如果垂直 x 軸的平面 x  t 截 T 所得平面區域的面積為 A(x) ，當 A(x) 在 [a, b] 上是連續函 b. 數時， T 的體積 V   A( x)dx 。 a. 證明：. 設空間中介於兩平行平面 x  a, x  b 的立體為 T ，設垂直於 x 軸的平面 x  t 跟此立體 T 所截出的平面區域的面積為 A(t ) ，如果 A(x) 在 [a, b] 上是連續函數，那麼由定積分的定義 n n b ba  lim A ( c )  x  lim A(ck )( )， A ( x ) dx   k k a | |P | | 0 ||P || 0 n k 1 k 1 其中 P 表 [a, b] 的 n 等分正規分割 {x0 , x1 , x2 ,, xn 1 , xn }, ba ck  [ xk 1 , xk ], xk  。 n ba ba 由於 A(ck )( 的直立柱體的體積， ) 可視為底面積為 A(ck ) 而高度為 n n 可當作平面 x  xk 1 與平面 x  xk 所截出 T 的一塊小薄片體積的近似值， n. 於是黎曼和的極限 lim. | |P | | 0. 2..  A(c )( k 1. k. ba ) 就可用來表示立體 T 的體積 V (T ) ， n. 換言之，我們有如下的公式：設 a  x  b ，立體垂直於 x 軸的截面積為 A( x) ，並設 A( x) 在 [a, b] 上連續，則此立體的體積為 ab A( x)dx 。(垂直 x 軸截面的立體體積公式)。角錐體體積： 1 1 底面積為 B ，高為 h 的角錐體的體積等於 Bh ，即  底面積  高。 3 3. 27.

(5) 【應用】 1. 如圖(a)，底面為邊長 r 的正方形﹑高為 h 的正四角錐，詴求其體積。. 解答：設底面正方形的中心 O 為原點，正四角錐的頂點 Q 與 O 的連線為 x 軸，再用垂直 x 軸於 x  x0 的平面截此正四角錐，截出的區域為邊長 s 的正方形( 0  x0  h )。利用相似三角形對應邊成比例(如圖(b)) 1 s h  x0 r 2 得，即 s  (h  x0 ) ；  1 h h r 2 r2 於是 A( x0 )  s 2  2 (h  x0 ) 2 ， h r2 亦即 A( x)  2 (h  x) 2 , 0  x  h 。 h. 故此正四角錐之體積 r2 r2 h (h  x) 2 dx  2  (h  x) 2 dx 2 0 0 h h 0 2 2 r h r x3 h  2  (h 2  2hx  x 2 )dx  2 (h 2 x  hx 2  )| h 0 h 3 0 r2 h3 r 2 h3 1  2 (h3  h3  )  2   r 2 h ， h 3 h 3 3 亦即其體積為底面積( r 2 )乘以高( h )的三分之一.﹒ h. V   A( x)dx  . h. 28.

(6) 【方法】 1. 旋轉體體積：設 y  f ( x)(a  x  b) 為連續實函數，則 f (x) 的函數圖形與鉛直線 x  a, x  b 及 x 軸所圍成的區域 R 繞 x 軸旋轉一圈之旋轉體 T 的體積V 為 b.   ( f ( x)) dx 。 2. a. 註：球體與直圓錐體都是旋轉體。證明： y  f ( x) 在 [a, b] 上連續，將其函數圖形與鉛直線 x  a, x  b 及 x 軸所圍成的區域 R 繞 x 軸旋轉一圈，可得到一個旋轉體 T ，如圖(b)。用垂直 x 軸的平面截此旋轉體 T ，所得的截面為旋轉半徑等於 | f ( x) | 的圓，故截面積 A( x)   ( f ( x))2 ，. b. 因此旋轉體的體積為 V    ( f ( x))2 dx 。 a. 2.. 球體體積：. 4 半徑 r 的球體體積為  r 3 。 3 註：這就是阿基米得(Archimedes)在公元前三世紀就以推得的球體體積公式。證明：半徑 r 的球體可以看成 f ( x)  r 2  x2 的函數圖形 (r  x  r ) 與 x 軸所圍成的半圓盤繞 x 軸旋轉一圈所得的旋轉體，故其體積 r. r. r. r. r. V    ( f ( x))2 dx    ( r 2  x 2 )2 dx    (r 2  x 2 )dx r. r.   (r 2 x . x3 4 r3 r3 )   ((r 3  )  (r 3  ))   r 3 。 3 r 3 3 3. 29.

(7) 【應用】 1. 直圓錐體體積：. 1 底面半徑 r，高為 h 的直圓錐體的體積為  r 2 h，即底面積乘高的三分之一。 3 證明： r 底半徑為 r ，高為 h 的直圓錐體可以看成 f ( x)  x, 0  x  h 的圖形與鉛直 h 線 x  0, x  h 及 x 軸所圍成的三角形區域，如圖(a)，繞 x 軸旋轉一圈所得的旋轉體，如圖(b)，. 由旋轉體體積公式得 h.  r 2 x3 r  r2 h  r 2 h3 1 2   r h， V    ( x)2 dx  2  x 2 dx  2 ( )  2  0 h 3 0 h h 0 h 3 3 h. 即得其體積等於底面積(  r 2 )乘以高( h )的三分之一。 2.. 詴求由右半橢圓區域. x2 y 2   1, x  0 ，繞 y 軸旋轉一圈所得旋轉體的體積。 a 2 b2. 解答：. 旋轉半徑為. a 2 b  y 2 ， b  y  b ， b. 故得旋轉體的體積 . . b b. (. 2a 2  2 b . a 2 a 2 b  y 2 )2 dy  2 b b. . b b. (b 2  y 2 )dy b. . 2a 2 y3 (b  y )dy  2 (b 2 y  ) 0 3 0 b. b. 2. 2. 2a 2 2b3 4 a 2b   。 3 3 b2. 30.

(8) 3.. 詴求 y  25  x 2 , y  3 ，兩曲線所圍成的區域繞 x 軸旋轉一圈所得的旋轉體體積。(這個旋轉體的形狀像穿洞的球環。) 解答：. 旋轉體的體積為. . 4. 4.  ( 25  x2 )2 dx     32 dx. 4. . . 4 4. (25  x 2 )dx  . 4 4. . 4. 9dx  . . 4 4. (25  x 2  9)dx. 4. x3 64  2 (16  x )dx  2 (16 x  )  2 (64  ) 0 3 0 3 4. . . 2. 256 。 3. 4. 設 0  a  b ，詴求圓盤 x 2  ( y  b) 2  a 2 繞 x 軸旋轉一圈所得之旋轉體的體積。(這個旋轉體的形狀像甜甜圈)。解答：. 這個圓盤可以看成 y  f ( x)  b  a 2  x 2 的圖形，. y  g ( x)  b  a2  x2 的圖形與直線 x   a , x  a 所圍成的區域，如圖所示。因此，該圓盤繞 x 軸一圈所得旋轉體的體積為 a. a. V    (b  a 2  x2 )2 dx    (b  a 2  x 2 )2 dx a. a. a.    [(b  a  x )  (b  a 2  x 2 )2 ]dx 2. 2 2. a a.    4b a 2  x 2 dx a.  4b . a. a. a 2  x 2 dx.  4b  (半徑為 a 的半圓面積) a 2  (4b )( )  2 2a 2b 。 2. 31.

(9) 【方法】 1. 作功：當一質點在 x 軸上運動，若在位置 x 時，沿 x 軸方向所受的力為 F (x) ，且設 F (x) 為 [a, b] 上的連續函數，則此質點由 x  a 處移動到 x  b 處所作的功為. . b a. F ( x)dx 。. 證明：功=力  沿施力方向的位移，用常力 F 作用於一質點使其依該力的方向移動距離 s ，所作的功為 W  F  s 。假設一質點受力而在 x 軸上運動，當這質點位置的坐標是 x 時，沿 x 軸方向所受的力 F (x) ；當 F (x) 為連續函數時，這個質點由 x  a 處移動到 x  b 處， b. 這些力所作的功就是定積分  F ( x)dx 。 a. 【應用】 1. 根據物理學中的虎克定律，將彈簧由自然長度拉長，所需要的力 F ( x) 與拉長 1 3. 的長度成正比，即 F ( x)  kx 。已知將某彈簧拉出超過自然長度公寸時，所 1 3. 作用的力為 0.6 牛頓；那麼若將此彈簧從較自然長度長公寸拉長到比自然 2 3. 長度長公寸，共作多少焦耳的功？( 1 焦耳  1 牛頓–公尺) 解答： 1 1 )  k   0.6 ，故 k  18 (牛頓／公尺)， 30 30 亦即 F ( x)  18 x 。. 由假設 F (. 根據上面的結果， 1 3. 將此彈簧由較自然長度長公寸， 2 3. 拉長到比自然長度長公寸， 2. 2. 30. 30. 所作的功為  130 18 xdx  (9 x 2 )| 301  9  (. 4 1  )  0.03 (焦耳)。 900 900. 32.

(10) 【方法】 1. 自由落體的速度：由重力加速度函數 a(t )   g ，可推得速度函數 v(t )   gt  v0 ，進一步又可推 1 得自由落體位置函數 y(t )   gt 2  v0t  y0 。 2 註：在運動學上﹐若 y (t ) 表示質點的位置函數，則 y(t )  v(t ) 表示質點的速度函數，而 y (t ) v(t ) a(t ) 表示質點的加速度函數；換句話說，位置函數的導函數為速度函數，而速度函數的導函數為加速度函數。證明： y (t ) 為 v(t ) 的一個反導函數， v(t ) 為 a (t ) 的一個反導函數。一物體從高度 y0 ，以初速度 v0 向上拋，若不計空氣阻力只計地心引力，則 a(t )   g ，其中 g 為重力加速度，其值約為 9.8 公尺／秒2 或 32 呎／秒2 ，可知  a(t )dt    gdt ，即 v(t )   gt  c (c 是常數)，令 t  0, v(0)  v0  c ，即得 v(t )   gt  v0 ，再由 v(t )   gt  v0 可進一步得到  v(t )dt   ( gt  v0 )dt ， 1 2. 即 y (t )   gt 2  v0t  c1 ( c1 是常數)， 1 2. 再令 t  0, y(0)  y0  c1 ，即得 y (t )   gt 2  v0t  y0 。 2.. 自由落體行經的距離：. 1 由自由落體運動方程式 y(t )   gt 2  v0t  y0 ，可得運動質點在落地時刻前 2 一段時間 [a, b] 內，自由落體運動所行經的距離為 b. b. a. a.  | y(t ) | dt   |  gt  v. 0. | dt 。. 註： (1) 位置函數的導函數為速度函數，而速度函數的導函數為加速度函數。 (2) 上式就是義大利的天文學家伽利略早在十七世紀就發現的自由落體運動方程式。證明：自由落體運動時，在落地前的一段時間 [a, b] ，自由落體所行經的距離，依照速率函數 | v(t ) |  |  gt  v0 | ， b. b. 在 [a, b] 這段時間所行經的距離就等於定積分 a | v(t ) | dt  a |  gt  v0 | dt 。. 33.

(11) 【應用】 1. 在時間 t  0 時，一個跳水選手自離水面高度 32 呎，以初速 16 呎／秒往上跳，詴求此選手從起跳到接觸水面時所行經的距離。解答：由自由落體運動方程式，此選手的位置函數為 y(t )  16t 2  16t  32 。先求此選手入水時刻：令 y(t )  0 ， 16t 2  16t  32  0   16(t  1)(t  2)  0  t  1 或 t  2 。因為 t  0 ，故知入水時刻為 t  2 (秒)，於是此選手接觸水面時所行經的距離為. . 2. 0. 2. | y (t ) | dt   | 32t  16 | dt 0. 1 2 0.   | 32t  16 | dt  1 | 32t  16 | dt 2. 2. 1 2 0.   (32t  16)dt  1 (32t  16)dt 2. 2. 1 2 0. 2.  (16t 2  16t )|  (16t 2  16t )| 1 2. 1 1 1 1  (16   16  )  ((16  4  16  2)  (16   16  )) 4 2 4 2  4  36  40 (呎)。. 2.. 一物體自地面向上發射，初速 98 公尺／秒，詴求此物體自發射到著地所行經的距離。解答：由已知條件知此物之位置函數 y (t )   4.9t 2  98t ，先求從向上發射到著地所需時間：令 y (t )  4.9t 2  98t  0 ，得 4.9t (t  20)  0 ， t  0 ， t  20 ，故知從發射到著地時間為 20 秒。於是此物自發射到著地所行經的距離為.  . 20 0. . | y(t ) | dt  10 0. . 20 0. | 9.8t  98 | dt . (9.8t  98)dt .  (4.9t 2  98t ). 10 0. . 20 10. . 10 0. | 9.8t  98 | dt . . 20 10. | 9.8t  98 | dt. (9.8t  98)dt.  (4.9t 2  98t ). 20 10.  (490  980)  [(1960  1960)  (490  980)]  980 (公尺)。. 34.

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