4-1-3圓錐曲線-雙曲線

全文

(1)第四冊 1-3 圓錐曲線-雙曲線【定義】雙曲線：當 0 ≤ β < α 時，則割平面和 Ω 交於上下兩曲線，在上下塞進兩個球(此時它們分居 Ω 的的上下兩部分)與割平面 E 相切於 F 和 F ' 點，而與 Ω 相切於圓 C1 和 C2 。給定兩個定點 F , F ' ，則滿足到兩定點之距離差的絕對值 ( | PF − PF ' |= 2a < FF ' = 2c )為定值的所有動點 P 所組成的軌跡稱為雙曲線。其中定點 F , F ' 稱為雙曲線的焦點。中心：兩焦點連線段的中點。頂點：過兩焦點的直線與雙曲線的交點。焦半徑：雙曲線上任一點與焦點的連線段。弦：雙曲線上兩相異點的連線段。焦弦：過焦點的弦。正焦弦：焦弦中與貫軸長垂直者。漸近線：包含矩形對角線的直線。【討論】 1. 若 | PF − PF ' |= 2a < FF ' = 2c ，則 P 點軌跡為雙曲線。 2.. 若 | PF − PF ' |= 2a = FF ' = 2c ，則 P 點軌跡為兩射線。. 3. 若 | PF − PF ' |= 2a > FF ' = 2c ，則 P 點軌跡無圖形。【性質】 1. 漸近線的意義： (說明一) 設雙曲線上一點 P( x1 , y1 ) 過此點與 x 軸垂直的直線交較靠近的漸近線於 Q ( x1 , y 2 ) 則 y1 − y 2 = b2 (. x1. 2. 2. − 1) −. bx1 a. a b 2 = ( x1 − a 2 − x1 ) a b a2 = a x 2 − a2 + x 1 1 =. ab x1 − a 2 + x1 2. 故 lim ( y1 − y 2 ) x1 → ∞.

(2) = lim. x1 → ∞. ab x1 − a 2 + x1 2. =0. (說明二) 設 P ( x0 , y 0 ) 在雙曲線. x2 y2 − = 1 上，若 L1 : bx − ay = 0, L2 : bx + ay = 0 ， a2 b2. d ( P, L1 ) × d ( P, L2 ) | bx0 − ay 0 | | bx0 + ay 0 | = × a2 + b2 a2 + b2 2 2 | b 2 x0 − a 2 y 0 | = a2 + b2 a 2b 2 = 2 a + b2 此與 P ( x0 , y 0 ) 點無關 2. 試證明從雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等於共軛軸的半長。 d ( F , L1 ) = d ( F ' , L1 ) | bc | = a2 + b2 =b. 【方法】若已知漸近線為 L1 : a1 x + b1 y + c1 = 0, L2 : a 2 x + b2 y + c2 = 0，則雙曲線的方程式可以表成形如 (a1 x + b1 y + c1 )(a 2 x + b2 y + c2 ) = k 。. K. M. b. 2a. F'. a c O. b c. F.

(3) 【圖形】. B. F'. A'. O. A. F. B'. 【定義】設雙曲線的兩焦點為 F (c,0), F ' ( −c,0) ，且 P ( x, y ) 為雙曲線上的任一點依定義可知 PF − PF ' = 2a ⇔. ( x − c) 2 + y 2 − ( x + c ) 2 + y 2 = 2a. ⇔. ( x − c ) 2 + y 2 − ( x + c ) 2 + y 2 = ±2 a. ⇔ ( x − c) 2 + y 2 = ( x + c) 2 + y 2 ± 2a ⇔ ( x − c ) 2 + y 2 = 4a 2 ± 4a ( x + c ) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2. ⇔ ±4a ( x + c) 2 + y 2 = 4a 2 + 4cx ⇔ ± a ( x + c ) 2 + y 2 = a 2 + cx. ⇔ a 2 (( x + c) 2 + y 2 ) = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 ⇔ a 2 x 2 + 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 ⇔ (c 2 − a 2 ) x 2 − a 2 y 2 = a 2 ( c 2 − a 2 ) ⇔ b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2b 2 x2 y2 ⇔ 2 − 2 =1 a b.

(4) 【類型】中心在原點： x2 y2 − =1 a2 b2 (水平型). x2 y2 − = −1 b2 a2 (鉛直型). | x |≥ a, y ∈ R ( ± a ,0) (0,±b) ( ± c ,0 ). x ∈ R, | y |≥ a (0,± a ) ( ± b,0 ) (0,± c ). 方程式圖形範圍貫軸頂點共軛軸頂點焦點. x=±. 準線. 即. x y x y − = 0或 + = 0 a b a b x = 0, y = 0. 貫軸長共軛軸長中心. 焦半徑焦距參數式. PF c = >1 d ( P, L ) a c x±a a 2c ⎧ x = a sec θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = b tan θ. e=. a2 c. x2 y2 − = 0 (兩條) b2 a2. 即. x y x y − = 0或 + = 0 b a b a x = 0, y = 0. 2b 2 a 2a 2b (0,0). 正焦弦長. 離心率. y=±. x2 y2 − = 0 (兩條) a2 b2. 漸近線對稱軸. a2 c. 2b 2 a 2a 2b (0,0). PF c = >1 d ( P, L ) a c y±a a 2c ⎧ x = b tan θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = a sec θ. e=.

(5) 中心不在原點：方程式圖形範圍貫軸頂點共軛軸頂點焦點. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − =1 a2 b2 (水平型). ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − = −1 b2 a2 (鉛直型). | x − h |≥ a, y ∈ R ( h ± a, k ) ( h, k ± b ) ( h ± c, k ). x ∈ R, | y − k |≥ a ( h, k ± a ) ( h ± b, k ) ( h, k ± c ). x−h =±. 準線. a2 c. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − = 0 (兩條) a2 b2. 漸近線. 對稱軸. x−h y−k − =0 a b x−h y−k 或 + =0 a b x − h = 0, y − k = 0. 即. 焦距參數式. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − = 0 (兩條) b2 a2. x−h y−k − = 0或 b a x−h y−k + =0 b a x − h = 0, y − k = 0. 即. 2b 2 a 2a 2b ( h, k ). PF c = >1 d ( P, L ) a c ( x − h) ± a a 2c ⎧ x = h + a sec θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = k + b tan θ. PF c = >1 d ( P, L ) a c ( y − k) ± a a 2c ⎧ x = h + b tan θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = k + a sec θ. 貫軸長共軛軸長中心. 焦半徑. a2 c. 2b 2 a 2a 2b ( h, k ). 正焦弦長. 離心率. y−k = ±. e=. e=. 【問題】 1. 試問型如 ax 2 + cy 2 + dx + ey + f = 0 的方程式，何種條件下其圖形為一雙曲線？ 2. 試問幾個獨立條件可以決定雙曲線方程式？ 1. 試問參數式當中的角度 θ ，在圖形上的幾何意義是否表示點與中心的連線與 x 軸正向的夾角？【定義】等軸雙曲線：雙曲線中若貫軸長等於共軛軸長時，稱等軸雙曲線，此時二漸近線互相垂直。共軛雙曲線：有共同的漸近線的兩雙曲線，稱為共軛雙曲線。有相同的漸近線且 Γ1 的貫軸、共.

(6) 軛軸分別為 Γ2 的共軛軸與貫軸。例如 Γ1 :. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − = 1 的共軛雙曲線為 a2 b2. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − = −1 。 a2 b2 【證明】 1. 焦半徑： PF = ( x − c) 2 + y 2 Γ2 :. = ( x − c) 2 + b 2 ( =. (a 2 + b 2 ) 2 x − 2cx + (c 2 − b 2 ) a2. c2 2 x − 2cx + a 2 a2 c = ( x − a) 2 a c = x−a a 同理 c PF ′ = x + a a 正焦弦長：設過焦點 F (c,0) 與 x 軸垂直的弦交雙曲線於 (c, y ) 則 c2 y2 − =1 a2 b2 c2 ⇒ y 2 = b 2 ( 2 − 1) a c2 − a2 ⇒ y 2 = b2 × a2 b2 2 2 ⇒ y =b × 2 a 2 b ⇒ y=± a 故正焦弦長為 b2 b2 2b 2 ⇒ ( ) − (− ) = a a a =. 2.. x2 − 1) a2.

(7) 【畫圖】 1. 我們應該如何畫出雙曲線？可用如下方法：以點 F2 為圓心， 2a 為半徑畫圓 C 取 F1 在圓 C 內設 Q 在圓 C 上取 F1Q 的中點 R 過點 R 作 F1Q 的中垂線過 Q 作直線 F2 Q 兩線的交點 P 滿足到兩定點 F1 , F2 之距離差的絕對值 ( | PF1 − PF2 |= 2a < F1 F2 = 2c )為定值所有動點 P 所組成的軌跡即為雙曲線其中定點 F1 , F2 稱為雙曲線的焦點。 Q. R. F1. F2. P. Q R F1. F2. P. Q R F1. F2 P.

(8)