費氏數列下標整數分割乘積加總恆等式

費氏數列下標整數分割乘積加總恆等式

陳建燁

臺 北 市 立 第 一 女 子 高 級 中 學

壹、前言

定 義 費 氏 數 列 Fn ： 0 1 2 1 0, 1 n n n F F F F F     _{ }  ， 由 比 內 (Binet)公 式 ， 知 Fn 的 一 般 項 公 式 為 1 1 5 1 5 2 2 5 n n n F  __  _ _  _ _       。換 個 寫 法，設與 為方程式 x2  x 1 0的 兩 根，且  ， 則 1 ( ) 5 n n n F    n n      1 2 2 1 n n n n               ，等 號 的 最 右 邊，是與 的「二 元 完 全 齊 次 對 稱 多 項 式 」，從 這 個 角 度 來 看，費 氏 數 其 實 是n1n2  n2n1取 值 1 5 2   ， 1 5 2    的 特 殊 情 形 。 換 句 話 說 ， 1 2 2 1 n n n n   _  _{ }   _  _{可 視 為 費 氏 數 的 推 廣。以 此 觀 之，有 可 能 從 研 究 二 元 完 全} 齊 次 對 稱 多 項 式 的 性 質 ， 推 導 出 關 於 費 氏 數 的 結 論 ， 這 就 是 本 篇 文 章 的 主 要 目 的 。 提 到 「 二 元 完 全 齊 次 對 稱 多 項 式 」， 各 位 讀 者 會 想 到 什 麼 性 質 呢 ？ 以 現 行 的 高 中 課 程 而 言，似 乎 沒 提 過 什 麼 令 人 留 下 印 象 的 性 質。文 章「 完 全 齊 次 對 稱 多 項 式 (起 )(承 )(轉 )(合 )」 (參 考 資 料 [1][2][3][4])的 工 作 ， 其 目 的 在 補 上 這 一 塊 拼 圖 ： 首 先 提 出 所 謂 的 「 自 由 分 解 重 組 恆 等 式 」， 接 著 討 論 「 取 變 數 相 同 」 的 情 形 ， 再 來 轉 而 探 討 「 偏 微 分 」 公 式 的 規 律 ， 最 後 合 起 來 得 到 取 變 數 相 同 和 偏 微 分 是 同 一 回 事 。 運 用 完 全 齊 次 對 稱 多 項 式 的 性 質 ， 本 文 得 到 了 一 個 關 於 費 氏 數 列 的 恆 等 式 ： 設

n

為 正 整 數 ， 則 ( 1) 1 ( 1) 1 5 n n i j i j n n F n F F F        



。 例 ： 6 i j i j F F  



5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 F F F F F F F F F F               5 1 3 1 2 2 1 3 1 520， 而(6 1) 6 1 (6 1) 6 1 5 F_ F_    5 ₇ 7 ₅ 5 F  F  20。 恆 等 式 的 左 邊，是 將 正 整 數n 作「 整 數 分割 」(partition!)，作 為 費氏 數 列 的 下標，取 乘 積再

加 總 ， 其 結 果 為 恆 等 式 的 右 邊 ， 可 以 只 用F_n₁與Fn1加 以 表 達 。 各 位 親 愛 的 讀 者 ， 這 是 怎 麼 一 回 事 呢 ？

貳、本文

一、記號與定義

完 全 齊 次 對 稱 多 項 式h a a_k( , , , )_{1 2} a_n ： 定 義 ：h a ak( , , , )_{1 2} an 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , 0 ( n) n n n k a a  a         



   ， 稱 為 「n 元

k

次 完 全 齊 次 對 稱 多 項 式 」。 特 別 地 ，h a a₀( , , ,_{1 2}  a_n) 1 ， 且h a_k( )ak。 例 ：h a a a₂( , , )_{1 2 3} 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 , , 0 (a a a  )         



2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 a a a a a a a a a       。 例 ：h a b c₂( , , )a2b2c2ab bc ca  。 例 ：h a b₃( , ) _a3_b3_{a b ab}2 _ 2_。 例 ：hn( , )  , 0 ( i j) i j n i j      



_n_{ }n1 _{  }n1_n

二、推導恆等式

(一 )四 個 引 理 設與 為方程式 x2  x 1 0的 兩 根 ， 且  。 引 理 1.F_n1h_n( , )  證 明 ： 由 費 氏 數 列 的 比 內(Binet)公 式 ，得 1 1 1 1 ( ) 5 n n n F      1 1 n n      _    1 1 n n n n            hn( , )  。 註 ： 下 標 相 差 1。 引 理 2. , 0 ( , ) ( , ) i j i j k i j h a b h a b    



h a b a bk( , , , ) 證 明 ： 由 「 自 由 分 解 重 組 恆 等 式 」(參 考資 料[1])， 有 1 2 ( , , , ) k n h a a  a 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , 0 [ ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )] m m m m m m k i k i i i k i i i k k k k k k k h a a a h a a a h a a a            



         在 此 恆 等 式 中 ， 取n4，a₁a，a₂b，a₃a，a₄b，

2 m ，k₁i，k₂ j，i₁2，i₂4， 可 得 ( , , , ) k h a b a b h a a a a_k( , , , )_{1 2 3 4 1 2 3 4} , 0 [ ( , )_{i j}( , )] i j k i j h a a h a a    



 , 0 [ ( , )_{i j}( , )] i j k i j h a b h a b    



 引 理 3.h a b a b_k( , , , ) h_{k 2}( , )a b b a       證 明 ： 由 「 完 全 齊 次 對 稱 多 項 式(合 )」(參考 資 料[4])一文 的 結論 ， 有 1 2 1 1 2 2 1 1 1 ( , , , , , , , , , ) m k m m p p p h a a a a a a           個 個 個 2 1 2 1 1 2 2 1 1 ! ! ! m m p p p p p p m m p p p a a a           hk(p p1  2  pm)( , , ,a a1 2 am) 在 此 等 式 中 ， 取m2， p₁1， p₂1，a₁a，a₂ b， 可 得 ( , , , ) k h a a b b 2 1 1 1!1! a a       hk 1 1( , )a a1 2 _{ } _{b a}hk2( , )a b ， ( , , , ) k h a b a b  h a a b bk( , , , ) _{ } _{b a}hk2( , )a b 引 理 4. h_{k 2}( , )a b b a      3 3 1 1 2 ( ) ( ) ( 1) ( 3) ( ) k k k k a b a b k ab k a b a b a b  _   _            證 明 ： h_{k 2}( , )a b a    3 3 k k a b a a b        _ _  _  _ 2 3 3 2 ( 3) ( ) ( ) ( ) k k k k a a b a b a b          2 3 3 2 ( 3) ( ) k k k k a a b a b a b          2( , ) k h a b b a       2 3 3 2 ( 3) ( ) k k k k a a b b a b a b          _  _  _   _ 2 2 2 3 3 2 4 ( 1) ( 3) ( 3) ( ) 2( )( ) ( ) ( ) k k k k k a k b a b b a a b a b a b                   2 2 3 3 2 2 3 ( 3) ( 3) 2 ( ) ( ) ( ) k k k k k a k b a b a b a b a b               2 2 3 3 3 ( 3)( )( ) 2( ) ( ) k k k k k a b a b a b a b            3 3 2 2 3 ( 1)( ) ( 3)( ) ( ) k k k k k a b k ab a b a b            3 3 1 1 2 ( ) ( ) ( 1) ( 3) ( ) k k k k a b a b k ab k a b a b a b  _   _           

(二 )主 要 定 理 ： ( 1) 1 ( 1) 1 5 n n i j i j n n F n F F F        



， 其 中n 證 明 ： 設與 為方程式 x2  x 1 0的 兩 根 ， 且  1      ，  1，   5 (1) 一 方面 ， 由 引 理 1，得 , 0 ( , ) ( , ) i j i j k i j h   h      



1 1 , 0 i j i j k i j F_ F_    



 _{1 1} ( 1) ( 1) 2 , 0 ( _{i j} ) i j k i j F_ F_       



 令 p i  1 1，q  j 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 2 , 0 ( i j ) i j k i j F F       



 2 , 1 ( p q) p q k p q F F     



 2 , 0 ( p q) p q k p q F F     



 2 , 0 ( i j) i j k i j F F     



 , 0 ( , ) ( , ) i j i j k i j h   h      



 2 , 0 ( _{i j}) i j k i j F F     



 (2) 另 一方 面 ， , 0 ( , ) ( , ) i j i j k i j h   h      



, 0 ( , ) ( , ) i j i j k i j a b h a b h a b        



 ( , , , )a k b h a b a b      (由引 理 2) ( , , , )a k b h a a b b      2( , ) k a b h a b b a    _       (由引 理 3) 3 3 1 1 2 ( ) ( ) ( 1) ( 3) ( ) k k k k a b a b a b k ab k a b a b a b                     (由引 理 4) 3 3 1 1 2 ( ) ( ) ( 1) ( 3) ( ) k k k k k    k          _   _            3 1 ( 1) ( 3) 5 k k k F_  k F_  (3) 綜 合(1)(2)， 得 2 , 0 ( _{i j}) i j k i j F F     



, 0 ( , ) ( , ) i j i j k i j h   h      



 ( 1) 3 ( 3) 1 5 k k k F_  k F_  令k 2 n , 0 ( _{i j}) i j n i j F F    



 ( 1) 1 ( 1) 1 5 n n n F_  n F_  ， 得 證 。

參、結語

回 顧 整 個 過 程 ， 也 可 以 「 壓 縮 」 成 「 一 頁 證 明 」： 2 , 0 ( _{i j}) i j k i j F F     



1 , 0 ( , ) ( , ) i j i j k i j h   h      



 引理 , 0 ( , ) ( , ) i j i j k i j a b h a b h a b        



 2 k( , , , )a b h a b a b      引理 ( , , , )a k b h a a b b      3 _{k 2}( , ) a b h a b b a    _       引理 3 3 1 1 4 2 ( ) ( ) ( 1) ( 3) ( ) k k k k a b a b a b k ab k a b a b a b                     引理 3 3 1 1 2 ( ) ( ) ( 1) ( 3) ( ) k k k k k  _{ }  k  _{ }    _   _            3 1 ( 1) ( 3) 5 k k k F_  k F_  。 對 於 已 經 掌 握「 完 全 齊 次 對 稱 多 項 式 」性 質 的 讀 者，上 途 的 推 導 過 程 是 一 氣 呵 成 的。 當 然 ， 條 條 大 路 通 羅 馬 ， 不 免 有 讀 者 質 疑 ， 費 氏 數 的 性 質 ， 居 然 動 用 到 「 偏 微 分 」， 是 否 真 有 此 必 要 ？ 筆 者 的 回 答 是 這 樣 的：基 本 上，正 是 憑 藉 著 完 全 齊 次 對 稱 多 項 式 的 性 質， 以 及 偏 微 分 的 計 算 ， 而 自 然 地 得 到 此 一 「 費 氏 數 列 下 標 整 數 分 割 乘 積 加 總 恆 等 式 」， 有 興 趣 的 讀 者 ， 不 妨 試 試 用 數 學 歸 納 法 或 其 他 證 法 ， 筆 者 樂 觀 其 成 。 其 實 應 該 這 麼 說，一 個 又 一 個 的 恆 等 式，對 於 我 們 的 數 學 人 生，到 底 價 值 何 在 ？ 許 許 多 多 的 等 式 令 人 目 不 暇 給，但 是 在 我 們 的 心 中 到 底 留 下 什 麼 ？ 筆 者 以 為，我 們 看 到 的 等 式 是 表 象，是 樹 上 的 花、葉 子、果 實，研 究 者 的 工 作，是 探 求 其 根，找 出 背 後 的 理 論 與 本 質， 從 而 推 演 出 新 的 結 論。在 這 篇 文 章 中，想 呈 現 出 費 氏 數 列 的 一 種 較 為 少 見 的 面 向 --完 全 齊 次 對 稱 多 項 式，可 以 想 見，這 棵 樹 能 結 出 的 果 子，應 該 還 有 不 少。筆 者 最 感 神 奇 的 是，一 個 歸 類 於 組 合 數 學 的 題 目，居 然 可 以 透 過 偏 微 分 來 處 理，在 離 散 與 連 續 的 交 界 處，仍 有 不 為 人 知 的 奧 秘 ， 有 待 我 們 去 探 索 。

參考文獻

陳建燁，完全齊次對稱多項式(起)：自由分解重組恆等式，高中數學學科中心電子報第 113 期。 陳建燁，完全齊次對稱多項式(承)：取相同變數之公式，高中數學學科中心電子報第 113 期。 陳建燁，完全齊次對稱多項式(轉):偏微分公式，高中數學學科中心電子報第 113 期。 陳建燁，完全齊次對稱多項式(合)：取相同變數與偏微分，高中數學學科中心電子報第 113 期。