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公因數與公倍數解題模組
陳昭龍
雲林縣立褒忠國民中學壹、 前言
在 國 中 數 學 一 年 級 課 程 中 公 因 數 與 公 倍 數 的 應用 問 題 乃 為 師 生 最 頭 疼 的單 元 之 一 。 老 師用 心 講 解 公 因 數 與 公 倍 數的 基 本 概 念 ， 然後 解 釋 「 約 分 」、「 擴 分 」的 數 學 原 理 ， 接 著 進 入 分 數 的 加 減 與 四 則 運 算 ， 到 此 ，師 生 的 互 動 還 算 順 利 ， 學生 的 學 習 也 有 一定 的 成 效 。 然 而 ， 當 公 因數 與 公 倍 數 應用 到 解 決 一 些「 數 論 問 題 」或「 應 用 問 題 」 時， 學 生 便 開 始 出 現 「 有 聽沒 有 懂 」 的 現 象， 上 焉 者 主 動 向 老 師 、 同學 或 其 他 管 道 請益 ， 探 求 問 題 解 決 之 道 ，下 焉 者 開 始 排 斥數 學 ， 更 甚 者 拒 絕 學 習 ，也 因 為 如 此 ， 師生 之 間 對 學 習 的 認 知 與 學習 的 態 度 便 開始 產 生 落 差 。 吾 人 從 事 數 學 基 礎 教 育 十 幾 年 來 亦 被 此 問 題 困擾 多 時 ， 今 特 將 吾 人 所 發展 之 「 公 因 數 與公 倍 數 解 題 模 組 」 供 與 大家 參 考 ， 一 來 讓教 學 者 更 能 掌 握 問 題 講 解精 要 之 處 ， 二 來也 使 學 習 者 更 容 易 解 題 ，讓 師 生 之 間 的 互動 從 抽 象 思 維 到 具 體 表 徵都 能 準 確 無 誤地 溝 通 。貳、 模組 解說
推 論 一 ： χ、a、b、c 為四個相異的正整數，其 中χ為變數，a、b、c 為定數 若 a÷χ＝Q1，則χ為 a 的因數---1 若 b÷χ＝Q2，則χ為 b 的因數---2 若 c÷χ＝Q3，則χ為 c 的因數---3 ∴χ為 a、b、c 之公因數 推 論 二 ： χ、a、b、c 為四個相異的正整數，其 中χ為變數，a、b、c 為定數 若χ÷a＝Q1，則χ為 a 的倍數---1 若χ÷b＝Q2，則χ為 b 的倍數---2 若χ÷c＝Q3，則χ為 c 的倍數---3 ∴χ為 a、b、c 之公倍數 問 題 一 ： 648 用 某 正 整 數 去 除餘 18，747 用此 整 數 去 除 餘 12，求 此 正 整 數 為 何？ 【 教 法】： 設 此 正 整數 為 □ 則 648÷□ ＝ ？……18 ---1 （ 其 中 ？表 示 「 商 數 」） 747÷□ ＝ ？……12 ---2 （ 其 中 ？表 示 「 商 數 」） ∴(648－18)÷□＝〤（其中〤表示「商數」） (747－12)÷□＝〤（其中〤表示「商數」）科學教育月刊 第 288 期 中華民國九十五年五月 - 48 - 【 概 念 ：「 除 法 」 之 本 意 為 「 分 東 西 」， 想 辦 法 將 其 分 完 】 ∴630÷□＝ 〤 （ 630 能 被 □ 整 除 ） 735÷□ ＝〤 （ 735 能 被 □ 整 除 ） ∴ □ 為 630 的 因 數 ， □ 為 735 的 因 數 ∴ □ 為 630 與 735 的 公 因 數 630＝1×630＝2×315＝3×210＝5×126 ＝6×105＝7×90＝9×70＝10×63 ＝14×45＝15×42＝18×35＝21×30 ∴630 的 因 數 有 1、2、3、5、6、7、9、10、 14、15、18、21、30、35、 42、45、63、70、90、105、 126、210、315、630 735＝1×735＝3×245＝5×147＝7×105 ＝15×49＝21×35 ∴735 的 因 數 有 1、3、5、7、15、21、35、 49、105、147、245、735 【 註：可補充利用標準分解式檢核正因數個數 630＝2×32×5×7 Ö ∴ 正 因 數個 數 ＝(1＋1)( 2＋1)( 1＋1)( 1＋1) ＝24 735＝3×5×72 Ö ∴ 正 因 數個 數 ＝(1＋1)( 1＋1)( 2＋1) ＝12】 ∴630 與 735 的 公 因 數 有 1、3、5、7、15、 21、35、105 ∴ □ ＝1、3、5、7、15、 21、35、105 代 回 1、 2二 式 ， 因 □ 為 除 數 ， 不 可 比 餘 數 小， 所 以 □ ＝21、 35、105 ∴ 滿 足 此題 條 件 之 正 整 數 為 21、35、105 動 動 腦 ： 一 般 所 謂公 因 數 乃 為 共 同 的 因 數 ，除 上 述 作 法 外（ 分 別 求 其 因 數 ， 再 找 共同 的 因 數）， 還 有 別 的 作 法嗎 ？ ANS： 630 與 735 的 公 因 數 為 1、3、5、7、 15、21、35、105，而 105 為最 大 之 數，是 為 最 大 公因 數，且 1、3、5、15、21、35、 105 為 最 大公 因 數 之 因 數 ， 所 以 可 以簡 化 找 公 因 數的 方 法 ， 亦 即 先 找 出 630 與 735 的 最 大 公 因數 ， 再 將 其 因 數 分 解 即 可， 分 解 出 來 的數 便 是 公 因 數 。 算 式 如 下： （630，735） ＝105 105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15 ∴ 公 因 數 有 1、3、5、7、15、21、35、105 問 題 二 ： 已 知 一 年一 班 學 生 人 數 在 30~50 人之 間 。9 月 4 日 恰 好 有 三 同 學 同 時 生日 ， 他 們 分 別 帶來 了 76 顆 牛奶 糖，152 顆 巧 克 力 糖 和 114 顆水 果 軟 糖 與 班 上 同 學 同樂 。 結 果 每 種 糖 果都 能 恰 好 平 均 分 給 每 位 同學 而 沒 有 剩 下 ， 試 問 一 年 一 班 班 上 有 幾 位 同 學 ？ 每 人共 可 拿 到 多 少 個 糖 果 ？ 【 教 法】： 設 一 年 一班 有 同 學 □ 人 則 76÷□ ＝ ？ （76 能 被 □ 整 除） 152÷□ ＝ ？ （152 能被 □ 整 除 ） 114÷□ ＝ ？ （114 能 被 □ 整 除 ） 此 部 分 為老 師 必 須 強 調 的 概 念 此 部 分 為解 題 時 最 重 要 的 概 念
公因數與公倍數解題模組 - 49 - ∴ □ 為 76 的 因 數 ， □ 為 152 的因 數 ， □ 為 114 的因 數 ∴ □ 為 76、152 與 114 的 公 因 數 （76，152，114） ＝38 38＝1×38＝2×19 ∴ □ ＝1，2，19，38 因 班 上 人 數 30~50 人之 間，所 以 滿 足 題 意 條 件之 人 數 為 38 人 ∴ 每 人 共分 得 76÷38＋152÷38＋114÷38 ＝9（ 個 ） 問 題 三 ： 褒 忠 國 中社 區 服 務 隊 進 行 編 組 ， 每 6 人 一 組 ，8 人 一 組 ， 都 可 把 人 數 編 完而 且 沒 有 剩 下 。若 此 服 務 隊 總 人 數 介 於 40 到 60 之 間 ， 則 該 服務 隊 原 有 人 數 多少 ？ 【 教 法】： 設 此 服 務隊 總 人 數 為 □ 人 則□÷6＝？（其中？表示「商數」）---1 □÷8＝？（其中？表示「商數」）---2 ∴ □ 能 被 6 整 除 ， □ 能 被 8 整 除 ∴ □ 為 6 的 倍 數 ， □ 為 8 的 倍 數 ∴ □ 為 6、8 的 公 倍 數 ∴[6，8]＝24 ∴ □ ＝24，48，72…… 因 服 務 隊總 人 數 介 於 40 到 60 之 間 ， 所 以 服 務隊 總 人 數 為 48 人 問 題 四 ： 某 正 整 數被 3、5、8 除 都 餘 1， 若 此 正 整 數 介 於 100 到 500 之 間 ， 求 此正 整 數 為 何 ？ 【 教 法】： 設 此 正 整數 為 □ 則□÷3＝？…1（其中？表示「商數」）----1 □÷5＝？…1（其中？表示「商數」）----2 □÷8＝？…1（其中？表示「商數」）----3 ∴(□ －1)÷3＝ 〤（ 其 中 〤 表 示 「商 數 」） (□－1)÷5＝ 〤 （其 中 〤 表 示 「 商數 」） (□－1)÷8＝ 〤 （其 中 〤 表 示 「 商數 」） ∴(□ －1)能 被 3 整 除，(□ －1)能 被 5 整 除 ，(□ －1)能 被 8 整 除 ∴(□ －1)為 3 的 倍 數，(□ －1)為 5 的 倍 數 ，(□ －1)為 8 的 倍 數 ∴(□ －1)為 3、5、8 的 公 倍 數 [在此可引導學生分別求出 3、5、8 的倍 數，再找出公倍數，而後簡化成下述寫法] ∴[3，5，8]＝120 □ －1＝120，240，360，480，600……… ∴ □ ＝121，241，361，481 （ 因 此 正整 數 介 於 100 到 500 之間 ） 以 上 四 數 代 回 1、 2、 3式 ， 皆 滿 足 題 意 ， 所 以此 題 之 解 為 121，241，361， 481 問 題 五 ： （ 1） 兩 個 分 數
39
7
、65
8
分 別 乘 以 一 個 正 整 數 後 都變 成 整 數，求 此 乘 上 之 正整 數 最 小 值為 何 ？ （ 2） 兩 個 分 數39
14
、65
8
分 別 乘 以 一 個 正 分 數 後 都變 成 整 數，求 此 乘 上 之 正分 數 最 小 值為 何 ？科學教育月刊 第 288 期 中華民國九十五年五月 - 50 - 【 教 法】： （1） 設 乘 上 的正 整 數 為 □ 則
