國中數學2 3 3正比與反比

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3−3 正比與反比

一、正比：兩個變數 x、y，當 x 值改變時，y 值也隨著改變，且保持 y 值為 x 值的某個固定倍數 (以 k 倍表示，k≠0)，可以寫成關係式 y＝kx，則稱「x 與 y 成正比」。 【說明】觀察日常生活中數量的變化情形，會發現它們存在某些關係。假設某汽車行駛速率固定為每小時 60 公里，行駛 1 小時，就走了 60 公里；行駛 2 小時， 就走了 120 公里；…；如果行駛時間為 x 小時，行駛距離為 y 公里，則 x、y 的變化滿足 關係式 y＝60x，這個式子中的 60 是固定的數，我們稱為常數；而 x、y 所代表的數可依 情況變動，就稱為變數。根據關係式可以列表如下：行駛時間(小時) 1 2 3 4 … 行駛距離(公里) 60 120 180 240 … 2 倍 2 倍 3 倍 3 倍 4 倍 4 倍由上表可知當行駛時間變成 2 倍、3 倍、…時，行駛距離也隨著變成 2 倍、3 倍、…。 關係式 y＝60x 表示當 x 值改變時，y 值也隨著改變，且 y 值始終保持為 x 值的 60 倍， 此時稱 x 與 y 成正比。 練習1：小俐家與小萍家的浴缸形狀分別如下圖，她們兩人分別記錄注水時間(x 分鐘)與浴缸內水的 深度( y 公分)，如下表。根據表中的數據，判斷兩人家中的浴缸水深與注水時間是否成正比。 45cm 3 分鐘小俐： 45cm 3 分鐘小萍： x(分鐘) 3 6 9 12 15 y(cm) 9 18 27 36 45 表(一) x(分鐘) 3 6 9 12 15 y(cm) 9 17 24 30 35 表(二) 練習2：(1)小祐記錄燃燒線香的時間與線香已燃燒的長度如下表。設燃燒的時間為 x 分鐘，線香已 燃燒的長度為 y 公分，則 x、y 是否成正比？ 燃燒時間 x(分鐘) 1 2 3 4 5 6 7 線香已燃燒的長度 y(公分) 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5

(2)設有兩個變數 x、y 滿足關係式 3x＝2y，則 x、y 是否成正比？為什麼？ (3)設有兩個變數 x、y 滿足關係式 3x＝2y＋1，則 x、y 是否成正比？

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練習3：小妍家中有一扇寬 90 公分的長方形窗戶，她將窗戶打開 x 公分，若打開部分的面積為 y 平方 公分，如下圖，則 90 cm x cm (1)寫出 x 與 y 的關係式，並判斷 x 與 y 是否成正比。 (2)如果小妍將窗戶打開到最大長度 80 公分，則此時打開部分的面積為多少平方公分？練習4：以 x 表示圓的半徑、y 表示圓周長，則 (1)寫出 x 與 y 的關係式，並判斷 x 與 y 是否成正比。 (2)若有一輛登山車輪胎的半徑為 34.5 公分，則當輪胎轉動一圈，登山車會前進多少公分？練習5：(1)設 x 與 y 成正比，已知當 x＝3 時，y＝5，則當 x＝10 時，y 是多少？ (2)設 a 與 b 成正比，已知當 b＝2 時，a＝－6，則當 b＝－3 時，a 是多少？ 練習6：設 x 與 y 成正比，已知當 x＝3 時，y＝7，則當 x＝10 時，y 是多少？ 練習7：判斷下面的敘述是否正確。 (1)若 y＝ 1_{2 x，則 x 的值愈大時，y 的值也隨著增加。} (2)若 y＝－ 1_{2 x，則 x 的值愈大時，y 的值也隨著增加。}

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二、反比：兩個不為0 的變數 x、y，當 x 值改變時，y 值也隨著改變，且保持 x 值和 y 值的乘積是某個 固定的數(以 k 表示，k≠0)，可以寫成關係式 xy＝k，則稱「x 與 y 成反比」。 【說明】假設行駛距離固定為240 公里，某汽車以每小時 10 公里行駛，需要花 24 小時；以每小時 20 公里行駛，需要花 12 小時；…；如果行駛速率為每小時 x 公里，行駛時間為 y 小時，則 x、y 的變化滿足關係式 xy＝240，根據關係式可以列表如下： 行駛速率(公里／小時) _{10 20 30 40 …} 行駛時間(小時) 24 12 8 6 … 2 倍 1 2 倍 3 倍 1 3 倍 4 倍 1 4 倍由上表可知當行駛速率變成 2 倍、3 倍、…時，行駛時間反而隨著變成 1_{2 倍、}1_{3 倍、…。} 關係式 xy＝240 表示當 x 值改變時，y 值也隨著改變，且 x 和 y 的乘積是固定值 240， 此時稱 x 與 y 成反比。 練習8：(1)媽媽每天都會到超市買 200 元的蘋果，蘋果每天的單價 x(元／斤)是隨進貨量改變的。 如果 200 元可買 y 斤蘋果，x 與 y 的關係如下表(一)，判斷 x 與 y 是否成反比。 (2)承上題，因為媽媽是常客，所以老闆每次都會多送媽媽一斤蘋果，此時 x 與 y 的關係 如下表(二)，判斷 x 與 y 是否成反比。 練習9：從下列敘述中，選出 x 與 y 成反比者。 (1)彤彤每個月存 x 元，存了 y 個月，共存了 10000 元。 (2) x、y 為任意兩個不為 0 的數，滿足 3：x＝y：(－5)。 (3)一天 24 小時中，晝長為 x 小時，夜長為 y 小時。 練習10：水族館有若干個大小不同的長方體水族箱，老闆要把12000cc的水全部倒入某一個空的水族箱 裡。如果水族箱的底面積為 x 平方公分，倒入水後的高為 y 公分，則 (1)寫出 x 與 y 的關係式，並判斷 x 與 y 是否成反比。 (2)如果這個水族箱的底面積為 500 平方公分，則水高為多少公分？表(二) x 50 45 40 35 y 5 49₉ 5 47₇ 表(一) x 50 45 40 35 y 4 40₉ 5 40₇

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練習11：用色紙剪出一個面積為24平方公分的長方形， 如果長方形的長為 x 公分、寬為 y 公分，則 (1)寫出 x 與 y 的關係式，並判斷 x 與 y 是否成反比。 (2)若想剪出一個長為 6 公分的長方形，則此長方形的寬為多少公分？ (3)若想剪出一個寬為 12 公分的長方形，則此長方形的長為多少公分？練習12：設 x 與 y 成反比，已知當 x＝ 14_{3 時，y＝－}6_{7 ，則} (1)當 x＝－10 時，y 是多少？ (2)當 y＝ 1_{2 時，x 是多少？} 練習13：設 x 與 y 成反比，已知當 x＝3 時，y＝7，則當 x＝10 時，y 是多少？練習14：判斷下面的敘述是否正確。 (1)若 xy＝12，且 x 大於 0，則 x 的值愈大時，y 的值反而隨著減少。 (2)若 xy＝－12，且 x 大於 0，則 x 的值愈大時，y 的值反而隨著減少。 (3)當 x 的值愈大時，y 的值隨著減少，則表示 x 與 y 成反比。 【觀念釐清】當 x 與 y 成反比關係時，若 x 值變大，則 y 值可能變大或變小。 ◎整理： (1)因為長方形的面積＝長×寬 可知：面積與長成正比關係、面積與寬成正比關係、長與寬成反比關係。 (2)因為行駛距離＝速率×時間 可知：行駛距離與時間成正比關係、行駛距離與速率成正比關係、速率與時間成反比關係。 練習15：已知蘋果的總價＝當時的單價×購買的數量，根據這個關係式，回答下列問題： (1)如果購買的數量固定，蘋果的總價與當時的單價成正比還是反比關係？ (2)如果購買的總價固定，當時的單價與購買的數量成正比還是反比關係？

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自我評量 1. 下列各敘述中，哪些 x 與 y 成正比？哪些 x 與 y 成反比？ (A)一年甲班共有學生 36 人，其中男生有 x 人，女生有 y 人。 (B)一本書的定價為 200 元，打 x 折時售價為 y 元。 (C)每次加 1500 元的汽油，每公升油價 x 元，可加 y 公升的汽油。 (D)周長為 30 公分的長方形，長為 x 公分，寬為 y 公分。 (E)面積為 30 平方公分的平行四邊形，底為 x 公分，高為 y 公分。 以上 x 與 y 成正比的為；x 與 y 成反比的為。 2. 小文做珠算練習，每算一題要花 40 秒鐘，若他算 x 題，共花了 y 分鐘，則 (1) x 與 y 的關係式為何？x 與 y 的關係是正比或反比？ (2) 當 x＝60 時，y 是多少？ 3. 小正有一塊正方體黏土，體積為 1000 立方公分。他將黏土捏成不同形狀的長方體，若長方體的 底面積是 x 平方公分，長方體的高是 y 公分，則 (1) x 與 y 的關係式為何？ x 與 y 的關係是正比或反比？ (2) 當 x＝50 時，y 是多少？ 4. (1)設 x 與 y 成正比，已知當 x＝ _{14時，y＝－}3 6_{7 ，則當 x＝－10 時，y 是多少？} (2) 設 x 與 y 成反比，已知當 x＝－5 時，y＝－ _{25，則當 y＝}6 1_{2 時，x 是多少？} 5. 爸爸以每小時 40 公里的平均速率，從家裡出發開車到奶奶家需 24 分鐘。如果哥哥以固定速率行駛同一路程需40 分鐘，則哥哥開車的平均速率為每小時多少公里？

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習作 1. 已知下表中各三角形的底均為 a cm，回答下列問題： (1)完成下表：高(cm) 1 2 3 3.5 面積(cm2₎ _{4.5 9 18 54} (2)a＝？ (3)設面積為 y、高為 x，寫出 x、y 的關係式。 (4)當三角形的底長固定時，面積和高是否成正比？ 2. 設 x 與 y 成正比，如果 x＝3 時，y＝21，則 (1)當 x＝－9 時，y 是多少？ (2)當 y＝6 時，x 是多少？ 3. 已知下表中各三角形的面積均為 A cm2，回答下列問題： (1)完成下表：底(cm) 2 8 20 高(cm) 36 12 15 (2)A＝？ (3)設底為 x、高為 y，寫出 x

、

y 的關係式。 (4)當三角形的面積固定時，底和高是否成反比？ 4. 設 x 與 y 成反比，如果 x＝－5 時，y＝6，則 (1)當 x＝10 時，y 是多少？ (2)當 y＝－12 時，x 是多少？ 5. 在下列各題中，x

、

y 成正比者打◯，成反比者畫△，兩者都不是的打☓。 (1)漫畫書一本 45 元，以 x 元買了 y 本。 (2)以時速 x 公里，花了 y 小時，走完 40 公里。 (3)高 5 公分，面積為 40 平方公分的梯形，它的上底長為 x 公分，下底長為 y 公分。 (4)高 x 公分，面積為 y 平方公分的梯形，它的上底與下底的和為高的 2 倍。 (5)x、y 是不為 0 的數，滿足 x：2＝y：5。

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6. 一群廚師為了挑戰世界紀錄，一起製作一個超級法國拐杖麵包，假設每位廚師每小時的工作量是固定的，如果 10 位廚師合作 10 小時可以完工，那麼 4 位廚師合作，需要幾小時才能完工？

7. 已知(2y＋9)與(5x－2)成正比，且當 x＝－4 時，y＝1，則 x、y 的關係式為何？

8. 已知 x 與 y 成正比，y 與 z 成反比，且當 z＝3 時，y＝－6，x＝－12，則當 x＝8 時，y＝？ z＝？

類題補充

1. 已知(3a＋7b)與(3a＋13b)成正比，當 a＝5 時，b＝3；則 b＝15 時，a＝。

2. 已知(y＋2)與(x－3)成反比，當 x＝5 時，y＝2；則 x＝4 時，y＝。

3. 有一工程每天每人工作 7 小時，36 天可完工；現在想要 28 天完工，則每人每天需增加工作多少小時？

4. 若寶石的價值與重量的平方成正比，大雄有一顆寶石重量 10 公克，價值 200 萬元，不慎碎裂成三塊，而三塊的重量比為5：3：2，則大雄損失了多少元？

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5. 已知 y 與 2 x 成反比，則當 x 變成原來的 2 倍時，y 會變成原來的多少倍？ 6. 已知 y2_與_{3x 成正比，y＝15 時，x＝15；則 y＝5 時，x＝。} 7. 已知男生 4 人的工作量等於女生 5 人的工作量。有一工程女生 30 人做 60 天可完成，今欲將工程於 20 天內完工，則除女生 30 人外，應增加男生人。 8. 在彈性限度內，若秤 y 公斤物體時，彈簧會拉長 x 公分，且 y 與 x 成正比，此關係稱為虎克定律。 今有一彈簧秤符合虎克定律，原長 10 公分，在彈性限度內最多可秤重 18 公斤。若秤 10 公斤物體時，彈簧全長 15 公分；則當彈簧全長 18 公分時，所秤物體為幾公斤？ 9. 有一工程甲獨做需 3 天完工，乙獨做需 4 天完工，丙獨做需 5 天完工，則甲、乙、丙每天工作量的比為多少？ 10. 甲、乙兩人以固定的速度跑 400 公尺，當甲到達終點時，乙離終點還有 25 公尺。若甲跑完全程共費時 1 分鐘，則乙跑完全程所費的時間比甲多秒。

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加強練習

1. 下列哪一個關係式表示 y 與 x 成正比？

(A) 3x－4y＝5 (B) －3x＋y＝0 (C) y＝3x2 (D) y＝ 5_x。 2. 下列哪一個關係式表示 x 與 y 成反比？

(A) y＝21x (B) y＝x－11 (C) 2：x＝y：9 (D) (－3)：x＝6：y。 3. 已知 y 和 x 成正比，則下列敘述何者正確？ (A) y 和 1_x 成反比 (B) 1_y 和 1_x 成正比 (C) y2和 x2成正比 (D)以上皆正確。 4. 關於下列甲、乙兩敘述，何者是正確的？ (甲)當 x 的值增加時，若 y 的值反而隨之減少，則 y 與 x 成反比 (乙)若 y 與 x 成正比，則當 x 的值減少時，y 的值也會隨之減少 (A)甲正確，乙錯誤 (B)甲錯誤，乙正確 (C)甲、乙皆正確 (D)甲、乙皆錯誤。 5. 若兩個變數 x、y 的關係為 x＋y＝k (k 為定數且 k≠0)，則下列敘述何者正確？ (A) y 與 x 成正比 (B) y 與 x 成反比 (C) x 與－y 成正比 (D) x 與 y 不成正比也不成反比。 6. 有關距離、速率與時間的敘述，下列何者錯誤？ (A)當距離一定時，時間與速率成反比 (B)當時間一定時，速率與距離成反比 (C)當速率一定時，時間與距離成正比 (D)當時間一定時，速率與距離成正比 7. 彈性限度內，彈簧的伸長量和所掛物重成正比， 若有一個彈簧的長度 y (公分)和物重 x (公克)的 關係如右表，則表格中的 A 為。 8. 已知 T＝Y－Z，且 Y 和 x 成正比，Z 和 x 成反比，x≠0。當 Y＝1_{2 時，x＝6；當 Z＝}3_{4 時，x＝－4。} 則(1) Z 與 x 的關係式為何？ (2) T 與 x 的關係式為何？(以 T＝ax＋b x 的形式表示) 9. 下列何者的 y 與 x 成反比？ (A) x 9 7 4 y 1 3 6 (B) x 3 6 9 y 1 2 3 (C) x 2 3 18 y 9 6 1 (D) x 1 7 13 y 1 3 5 10. 下列關於 x、y、z 的敘述何者正確？ (A)當 x 值變大時，y 值也隨著變大，此時 x 與 y 成正比 (B)當 x 值變小時，y 值也隨著變小，此時 x 與 y 成反比 (C)若 x 與 y 成正比，且 y 與 z 成反比，則 x 與 z 成反比 (D)若 x 與 y 成反比，且 y 與 z 成反比，則 x 與 z 成反比 11. 在下列各空格中填入「正」或「反」： (1)已知 y 與 x 成正比，則 1_y 與 x 成比。 (2)已知 y 與 x 成正比，則(y＋4x)與(y－2x)成比。 12. 設 y 和 x 成反比，當 x 減少 40%時，則 y 變為原來的倍。 物重 x (公克) 0 35 A 長度 y (公分) 8 22 24

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Ans：1.(B)；2.(C)；3.(D)；4.(D)；5.(D)；6.(B)；7. 40；8.(1) xZ＝－3，(2) T＝_{12 x＋}1 3

x；9.(C)； 10.(C)；11.反，正；12.5

3。心得筆記