國中數學2 3 3正比與反比

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3−3 正比與反比

一、正比:兩個變數 x、y,當 x 值改變時,y 值也隨著改變,且保持 y 值為 x 值的某個固定倍數 (以 k 倍表示,k≠0),可以寫成關係式 y=kx,則稱「x 與 y 成正比」。 【說明】觀察日常生活中數量的變化情形,會發現它們存在某些關係。 假設某汽車行駛速率固定為每小時 60 公里,行駛 1 小時,就走了 60 公里;行駛 2 小時, 就走了 120 公里;…;如果行駛時間為 x 小時,行駛距離為 y 公里,則 x、y 的變化滿足 關係式 y=60x,這個式子中的 60 是固定的數,我們稱為常數;而 x、y 所代表的數可依 情況變動,就稱為變數。根據關係式可以列表如下: 行駛時間(小時) 1 2 3 4 … 行駛距離(公里) 60 120 180 240 … 2 倍 2 倍 3 倍 3 倍 4 倍 4 倍 由上表可知當行駛時間變成 2 倍、3 倍、…時,行駛距離也隨著變成 2 倍、3 倍、…。 關係式 y=60x 表示當 x 值改變時,y 值也隨著改變,且 y 值始終保持為 x 值的 60 倍, 此時稱 x 與 y 成正比。 練習1:小俐家與小萍家的浴缸形狀分別如下圖,她們兩人分別記錄注水時間(x 分鐘)與浴缸內水的 深度( y 公分),如下表。根據表中的數據,判斷兩人家中的浴缸水深與注水時間是否成正比。 45cm 3 分鐘 小俐: 45cm 3 分鐘 小萍: x(分鐘) 3 6 9 12 15 y(cm) 9 18 27 36 45 表(一) x(分鐘) 3 6 9 12 15 y(cm) 9 17 24 30 35 表(二) 練習2:(1)小祐記錄燃燒線香的時間與線香已燃燒的長度如下表。設燃燒的時間為 x 分鐘,線香已 燃燒的長度為 y 公分,則 x、y 是否成正比? 燃燒時間 x(分鐘) 1 2 3 4 5 6 7 線香已燃燒的長度 y(公分) 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5

(2)設有兩個變數 x、y 滿足關係式 3x=2y,則 x、y 是否成正比?為什麼? (3)設有兩個變數 x、y 滿足關係式 3x=2y+1,則 x、y 是否成正比?

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練習3:小妍家中有一扇寬 90 公分的長方形窗戶,她將窗戶打開 x 公分,若打開部分的面積為 y 平方 公分,如下圖,則 90 cm x cm (1)寫出 x 與 y 的關係式,並判斷 x 與 y 是否成正比。 (2)如果小妍將窗戶打開到最大長度 80 公分,則此時打開部分的面積為多少平方公分? 練習4:以 x 表示圓的半徑、y 表示圓周長,則 (1)寫出 x 與 y 的關係式,並判斷 x 與 y 是否成正比。 (2)若有一輛登山車輪胎的半徑為 34.5 公分,則當輪胎轉動一圈,登山車會前進多少公分? 練習5:(1)設 x 與 y 成正比,已知當 x=3 時,y=5,則當 x=10 時,y 是多少? (2)設 a 與 b 成正比,已知當 b=2 時,a=-6,則當 b=-3 時,a 是多少? 練習6:設 x 與 y 成正比,已知當 x=3 時,y=7,則當 x=10 時,y 是多少? 練習7:判斷下面的敘述是否正確。 (1)若 y= 12 x,則 x 的值愈大時,y 的值也隨著增加。 (2)若 y=- 12 x,則 x 的值愈大時,y 的值也隨著增加。

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二、反比:兩個不為0 的變數 x、y,當 x 值改變時,y 值也隨著改變,且保持 x 值和 y 值的乘積是某個 固定的數(以 k 表示,k≠0),可以寫成關係式 xy=k,則稱「x 與 y 成反比」。 【說明】假設行駛距離固定為240 公里,某汽車以每小時 10 公里行駛,需要花 24 小時;以每小時 20 公里行駛,需要花 12 小時;…;如果行駛速率為每小時 x 公里,行駛時間為 y 小時,則 x、y 的變化滿足關係式 xy=240,根據關係式可以列表如下: 行駛速率(公里/小時) 10 20 30 40 … 行駛時間(小時) 24 12 8 6 … 2 倍 1 2 倍 3 倍 1 3 倍 4 倍 1 4 倍 由上表可知當行駛速率變成 2 倍、3 倍、…時,行駛時間反而隨著變成 12 倍、 13 倍、…。 關係式 xy=240 表示當 x 值改變時,y 值也隨著改變,且 x 和 y 的乘積是固定值 240, 此時稱 x 與 y 成反比。 練習8:(1)媽媽每天都會到超市買 200 元的蘋果,蘋果每天的單價 x(元/斤)是隨進貨量改變的。 如果 200 元可買 y 斤蘋果,x 與 y 的關係如下表(一),判斷 x 與 y 是否成反比。 (2)承上題,因為媽媽是常客,所以老闆每次都會多送媽媽一斤蘋果,此時 x 與 y 的關係 如下表(二),判斷 x 與 y 是否成反比。 練習9:從下列敘述中,選出 x 與 y 成反比者。 (1)彤彤每個月存 x 元,存了 y 個月,共存了 10000 元。 (2) x、y 為任意兩個不為 0 的數,滿足 3:x=y:(-5)。 (3)一天 24 小時中,晝長為 x 小時,夜長為 y 小時。 練習10:水族館有若干個大小不同的長方體水族箱,老闆要把12000cc的水全部倒入某一個空的水族箱 裡。如果水族箱的底面積為 x 平方公分,倒入水後的高為 y 公分,則 (1)寫出 x 與 y 的關係式,並判斷 x 與 y 是否成反比。 (2)如果這個水族箱的底面積為 500 平方公分,則水高為多少公分? 表(二) x 50 45 40 35 y 5 499 5 477 表(一) x 50 45 40 35 y 4 409 5 407

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練習11:用色紙剪出一個面積為24平方公分的長方形, 如果長方形的長為 x 公分、寬為 y 公分,則 (1)寫出 x 與 y 的關係式,並判斷 x 與 y 是否成反比。 (2)若想剪出一個長為 6 公分的長方形,則此長方形的寬為多少公分? (3)若想剪出一個寬為 12 公分的長方形,則此長方形的長為多少公分? 練習12:設 x 與 y 成反比,已知當 x= 143 時,y=- 67 ,則 (1)當 x=-10 時,y 是多少? (2)當 y= 12 時,x 是多少? 練習13:設 x 與 y 成反比,已知當 x=3 時,y=7,則當 x=10 時,y 是多少? 練習14:判斷下面的敘述是否正確。 (1)若 xy=12,且 x 大於 0,則 x 的值愈大時,y 的值反而隨著減少。 (2)若 xy=-12,且 x 大於 0,則 x 的值愈大時,y 的值反而隨著減少。 (3)當 x 的值愈大時,y 的值隨著減少,則表示 x 與 y 成反比。 【觀念釐清】當 x 與 y 成反比關係時,若 x 值變大,則 y 值可能變大或變小。 ◎整理: (1)因為長方形的面積=長×寬 可知:面積與長成正比關係、面積與寬成正比關係、長與寬成反比關係。 (2)因為行駛距離=速率×時間 可知:行駛距離與時間成正比關係、行駛距離與速率成正比關係、速率與時間成反比關係。 練習15:已知蘋果的總價=當時的單價×購買的數量,根據這個關係式,回答下列問題: (1)如果購買的數量固定,蘋果的總價與當時的單價成正比還是反比關係? (2)如果購買的總價固定,當時的單價與購買的數量成正比還是反比關係?

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自我評量 1. 下列各敘述中,哪些 x 與 y 成正比?哪些 x 與 y 成反比? (A)一年甲班共有學生 36 人,其中男生有 x 人,女生有 y 人。 (B)一本書的定價為 200 元,打 x 折時售價為 y 元。 (C)每次加 1500 元的汽油,每公升油價 x 元,可加 y 公升的汽油。 (D)周長為 30 公分的長方形,長為 x 公分,寬為 y 公分。 (E)面積為 30 平方公分的平行四邊形,底為 x 公分,高為 y 公分。 以上 x 與 y 成正比的為 ;x 與 y 成反比的為 。 2. 小文做珠算練習,每算一題要花 40 秒鐘,若他算 x 題,共花了 y 分鐘,則 (1) x 與 y 的關係式為何?x 與 y 的關係是正比或反比? (2) 當 x=60 時,y 是多少? 3. 小正有一塊正方體黏土,體積為 1000 立方公分。他將黏土捏成不同形狀的長方體,若長方體的 底面積是 x 平方公分,長方體的高是 y 公分,則 (1) x 與 y 的關係式為何? x 與 y 的關係是正比或反比? (2) 當 x=50 時,y 是多少? 4. (1)設 x 與 y 成正比,已知當 x= 14時,y=- 3 67 ,則當 x=-10 時,y 是多少? (2) 設 x 與 y 成反比,已知當 x=-5 時,y=- 25,則當 y= 6 12 時,x 是多少? 5. 爸爸以每小時 40 公里的平均速率,從家裡出發開車到奶奶家需 24 分鐘。如果哥哥以固定速率行駛 同一路程需40 分鐘,則哥哥開車的平均速率為每小時多少公里?

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習作 1. 已知下表中各三角形的底均為 a cm,回答下列問題: (1)完成下表: 高(cm) 1 2 3 3.5 面積(cm2) 4.5 9 18 54 (2)a=? (3)設面積為 y、高為 x,寫出 x、y 的關係式。 (4)當三角形的底長固定時,面積和高是否成正比? 2. 設 x 與 y 成正比,如果 x=3 時,y=21,則 (1)當 x=-9 時,y 是多少? (2)當 y=6 時,x 是多少? 3. 已知下表中各三角形的面積均為 A cm2,回答下列問題: (1)完成下表: 底(cm) 2 8 20 高(cm) 36 12 15 (2)A=? (3)設底為 x、高為 y,寫出 x

y 的關係式。 (4)當三角形的面積固定時,底和高是否成反比? 4. 設 x 與 y 成反比,如果 x=-5 時,y=6,則 (1)當 x=10 時,y 是多少? (2)當 y=-12 時,x 是多少? 5. 在下列各題中,x

y 成正比者打◯,成反比者畫△,兩者都不是的打☓。 (1)漫畫書一本 45 元,以 x 元買了 y 本。 (2)以時速 x 公里,花了 y 小時,走完 40 公里。 (3)高 5 公分,面積為 40 平方公分的梯形,它的上底長為 x 公分,下底長為 y 公分。 (4)高 x 公分,面積為 y 平方公分的梯形,它的上底與下底的和為高的 2 倍。 (5)x、y 是不為 0 的數,滿足 x:2=y:5。

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6. 一群廚師為了挑戰世界紀錄,一起製作一個超級法國拐杖麵包,假設每位廚師每小時的工作量是 固定的,如果 10 位廚師合作 10 小時可以完工,那麼 4 位廚師合作,需要幾小時才能完工?

7. 已知(2y+9)與(5x-2)成正比,且當 x=-4 時,y=1,則 x、y 的關係式為何?

8. 已知 x 與 y 成正比,y 與 z 成反比,且當 z=3 時,y=-6,x=-12,則當 x=8 時,y=? z=?

類題補充

1. 已知(3a+7b)與(3a+13b)成正比,當 a=5 時,b=3;則 b=15 時,a= 。

2. 已知(y+2)與(x-3)成反比,當 x=5 時,y=2;則 x=4 時,y= 。

3. 有一工程每天每人工作 7 小時,36 天可完工;現在想要 28 天完工,則每人每天需增加工作多少 小時?

4. 若寶石的價值與重量的平方成正比,大雄有一顆寶石重量 10 公克,價值 200 萬元,不慎碎裂成三塊, 而三塊的重量比為5:3:2,則大雄損失了多少元?

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5. 已知 y 與 2 x 成反比,則當 x 變成原來的 2 倍時,y 會變成原來的多少倍? 6. 已知 y23x 成正比,y=15 時,x=15;則 y=5 時,x= 。 7. 已知男生 4 人的工作量等於女生 5 人的工作量。有一工程女生 30 人做 60 天可完成,今欲將工程 於 20 天內完工,則除女生 30 人外,應增加男生 人。 8. 在彈性限度內,若秤 y 公斤物體時,彈簧會拉長 x 公分,且 y 與 x 成正比,此關係稱為虎克定律。 今有一彈簧秤符合虎克定律,原長 10 公分,在彈性限度內最多可秤重 18 公斤。 若秤 10 公斤物體時,彈簧全長 15 公分;則當彈簧全長 18 公分時,所秤物體為幾公斤? 9. 有一工程甲獨做需 3 天完工,乙獨做需 4 天完工,丙獨做需 5 天完工,則甲、乙、丙每天工作量的 比為多少? 10. 甲、乙兩人以固定的速度跑 400 公尺,當甲到達終點時,乙離終點還有 25 公尺。若甲跑完全程共 費時 1 分鐘,則乙跑完全程所費的時間比甲多 秒。

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加強練習

1. 下列哪一個關係式表示 y 與 x 成正比?

(A) 3x-4y=5 (B) -3x+y=0 (C) y=3x2 (D) y= 5x2. 下列哪一個關係式表示 x 與 y 成反比?

(A) y=21x (B) y=x-11 (C) 2:x=y:9 (D) (-3):x=6:y。 3. 已知 y 和 x 成正比,則下列敘述何者正確? (A) y 和 1x 成反比 (B) 1y 和 1x 成正比 (C) y2和 x2成正比 (D)以上皆正確。 4. 關於下列甲、乙兩敘述,何者是正確的? (甲)當 x 的值增加時,若 y 的值反而隨之減少,則 y 與 x 成反比 (乙)若 y 與 x 成正比,則當 x 的值減少時,y 的值也會隨之減少 (A)甲正確,乙錯誤 (B)甲錯誤,乙正確 (C)甲、乙皆正確 (D)甲、乙皆錯誤。 5. 若兩個變數 x、y 的關係為 x+y=k (k 為定數且 k≠0),則下列敘述何者正確? (A) y 與 x 成正比 (B) y 與 x 成反比 (C) x 與-y 成正比 (D) x 與 y 不成正比也不成反比。 6. 有關距離、速率與時間的敘述,下列何者錯誤? (A)當距離一定時,時間與速率成反比 (B)當時間一定時,速率與距離成反比 (C)當速率一定時,時間與距離成正比 (D)當時間一定時,速率與距離成正比 7. 彈性限度內,彈簧的伸長量和所掛物重成正比, 若有一個彈簧的長度 y (公分)和物重 x (公克)的 關係如右表,則表格中的 A 為 。 8. 已知 T=Y-Z,且 Y 和 x 成正比,Z 和 x 成反比,x≠0。當 Y=12 時,x=6;當 Z=34 時,x=-4。 則(1) Z 與 x 的關係式為何? (2) T 與 x 的關係式為何?(以 T=ax+b x 的形式表示) 9. 下列何者的 y 與 x 成反比? (A) x 9 7 4 y 1 3 6 (B) x 3 6 9 y 1 2 3 (C) x 2 3 18 y 9 6 1 (D) x 1 7 13 y 1 3 5 10. 下列關於 x、y、z 的敘述何者正確? (A)當 x 值變大時,y 值也隨著變大,此時 x 與 y 成正比 (B)當 x 值變小時,y 值也隨著變小,此時 x 與 y 成反比 (C)若 x 與 y 成正比,且 y 與 z 成反比,則 x 與 z 成反比 (D)若 x 與 y 成反比,且 y 與 z 成反比,則 x 與 z 成反比 11. 在下列各空格中填入「正」或「反」: (1)已知 y 與 x 成正比,則 1y 與 x 成 比。 (2)已知 y 與 x 成正比,則(y+4x)與(y-2x)成 比。 12. 設 y 和 x 成反比,當 x 減少 40%時,則 y 變為原來的 倍。 物重 x (公克) 0 35 A 長度 y (公分) 8 22 24

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Ans:1.(B);2.(C);3.(D);4.(D);5.(D);6.(B);7. 40;8.(1) xZ=-3,(2) T=12 x+1 3

x;9.(C); 10.(C);11.反,正;12.5

3。 心得筆記

數據

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參考文獻

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