一個有關外離兩圓的有趣發現
蘇柏奇* 游淑媛
苗 栗 縣 立 興 華 高 級 中 學 國 中 階 段 的 幾 何 教 材 論 及 點 、 線 、 圓 、 角 的 位 置 關 係 ， 大 多 數 國 三 學 生 都 知 道 外 離 兩 圓 有 四 條 公 切 線（ 如 圖 1），也 會 計 算 外 、 內 公 切 線 的 長 度 。 本 文 將 利 用 所 學 的 相 似 形 、 對 稱 圖 形 及 圓 內 接 四 邊 形 等 幾 何 性 質 ， 針 對 外 離 兩 圓 ， 探 索 其 中 所 蘊 藏 之 同 心 圓 、 等 差 數 列 等 有 趣 的 結 果 。 圖 1壹、相關知識
一、 切線
直 線 與 圓 可 能 相 交 兩 點 、 相 交 一 點 或 沒 有 相 交 ， 當 直 線 與 圓 相 交 一 點 時 ， 交 點 稱 為 切 點 ， 直 線 稱 為 切 線 ； 而 一 直 線 同 時 是 圓 A、 圓 B 的 切 線 時 ， 則 稱 為 公 切 線 ， 公 切 線 可 分 成 外 公 切 線 (如 圖 2)與 內 公 切 線 (如 圖 3)。本 文 將 討 論 外 公 切 線 的 4 個 切 *為 本 文 通 訊 作 者 點 、 內 公 切 線 的 4 個 切 點 及 內 、 外 公 切 線 之 4 個 交 點 的 共 圓 現 象 。 圖 2 圖 3二、 圓內接四邊形
四 個 頂 點 都 在 同 一 圓 周 上 的 四 邊 形 稱 為 該 圓 的 內 接 四 邊 形 ， 而 此 圓 稱 為 這 個 四 邊 形 的 外 接 圓（ 如 圖 4）。圓 內 接 四 邊 形 的 四 個 角 皆 為 圓 周 角 ， 其 角 度 為 所 對 弧 的 一 半 ， 觀 察 ∠ A 所 對 的 弧 與 ∠ C 所 對 的 弧 ， 兩 弧 恰 組 合 成 圓 周 ， 故 相 加 為 360°，即 得 ∠ A＋ ∠ C＝ 180°； 同 理 ∠ B＋ ∠ D＝ 180°。此 即：「 圓 內 接 四 邊 形 的 對 角 互 補 」。 圖 4 圖 5 在本文中，我們須判斷四個點是否在同 一個圓周上，亦即以此四點為頂點的四邊形 是 否 有 外 接 圓 。 前 段 所 提 及 的 對 角 互 補 性 質，為判斷此四邊形是否有外接圓的條件： 「若四邊形的一組對角互補，則此四邊形有 外接圓」。不難得知特殊四邊形中，長方形、 正 方 形 及 等 腰 梯 形 的 對 角 互 補 ， 皆 有 外 接 圓。那麼，圓心在哪裡？就如同三角形的外 接圓圓心為三邊之中垂線的交點，圓內接四 邊 形 的 外 接 圓 圓 心 為 四 邊 之 中 垂 線 的 交 點 (如圖 5)。因此，我們也可以利用四邊中垂 線 是 否 相 交 同 一 點 來 判 斷 此 四 邊 形 是 否 有 外接圓。當四邊中垂線相交於一點時，此四 邊形即有外接圓，此交點即為外接圓圓心。 順此一提，任意三角形皆有外接圓，但並非 任意四邊形皆有外接圓。
三、 平行線截比例線段性質
△ABC 中（如圖 6），如果DE/ /BC ， 則 ∠ B＝ ∠ D 且 ∠ C＝ ∠ E， 利 用 AA 相 似 性 質 ， 可 知△ABC 和△ADE 相似，故兩個 三 角 形 的 三 組 對 應 邊 邊 長 成 比 例 ， 即 : : : AD ABAE ACDE BC，經 過 運 算 可 得 : : AD DBAE EC。在 後 面 的 討 論 中，我 們 常 由DE/ /BC 且 AD BC: 1:1（ 即 B 為 AB 的 中 點 ），得 到AE:CE1:1（ 即 E 為 AC 的 中 點 ）。另 外，若 三 條 平 行 線 被 兩 線 所 截（ 如 圖 7）， 則 AB BC: DE EF: 。 在 後 面 的 討 論 中，我 們 常 由AD // BE // CF 且 B 為 CA 的 中 點 ， 得 E 為DF的 中 點 。 圖 6貳、面積成等差數列的同心圓
一、 同心圓
將 公 切 線 上 的 12 個 點 分 成 三 類 ： 外 公 切 線 的 切 點 、 內 公 切 線 的 切 點 、 內 公 切 線 與 外 公 切 線 的 交 點 。 因 圖 形 為 以 連 心 線 為 對 稱 軸 的 對 稱 圖 形 ， 可 知 恰 為 三 個 等 腰 梯 形 的 頂 點 ， 分 布 在 三 個 圓 上 （ 如 圖 8～ 10）。 若 將 三 個 圓 畫 在 同 一 個 圖 上 （ 如 圖 11）， 觀 察 這 三 個 圓 ， 你 有 什 麼 發 現 ？ 圖 8 圖 9 圖 10 圖 11從 圖 中 看 來 ， 其 中 一 個 圓 似 乎 通 過 圓 A、B 的 圓 心，而 因 為AB是 對 稱 軸，故 若 A、B 在 其 中 一 個 圓 上，那 麼 AB即 為 此 圓 的 直 徑，AB的 中 點 為 此 圓 的 圓 心。再 者 ， 這 三 個 圓 看 來 似 乎 是 同 心 圓 ， 故 大 膽 猜 測：「 這 三 個 圓 是 同 心 圓，AB的 中 點 為 此 三 圓 的 圓 心 」。 為 了 驗 證 這 個 觀 察 ， 我 們 將 此 三 個 圓 由 大 而 小 分 別 稱 為 大 圓 、 中 圓 及 小 圓 ， 以 下 將 逐 一 驗 證 AB的 中 點 為 此 三 圓 的 圓 心 。
(一 )
大 圓 的 圓 心 ： 如 圖 12， 大 圓 的 圓 心 為DE之 中 垂 線 與 AB之 交 點 ， 設 此 點 為 P。 在 梯 形 ABED 中 ， ∵ AD PF// //BE(ADFPFEBEF90) 且DF EF: 1:1(PF為DE之 中 垂 線 ) ∴ AP BP: 1:1 故 P 為 AB的 中 點 圖 12 (二 ) 小 圓 的 圓 心 ： 如 圖 13， 過 B 點 做 一 條 與DE平 行 的 直 線，此 直 線 與 AD的 延 長 線 相 交 於 F 點 ； 再 做DE之 中 垂 線 ， 此 中 垂 線 與 AB、
BF
相 交 於 Q、G，則 Q 為 小 圓 的 圓 心 。 在△ABF 中， ∵GQ//AF（AFBQGB90） 且BG:GF EH:HD1:1 （QG為DE之 中 垂 線 ） ∴AQ BQ: 1:1， 故 Q 為 AB的 中 點 。 圖 13 (三 ) 中 圓 的 圓 心 ： 如 圖 14, 若 A、B、D、E 共 圓，則 因 為AB是 對 稱 軸，可 得 D、E 的 對 稱 點 L、M 亦 在 此 圓 上，即 可 得 A、B、D、 E、 L、 M 六 點 共 圓 。 而 由 AB是 此 圓 的 對 稱 軸 ， 即 得 AB的 中 點 為 中 圓 的 圓 心 。 以 下 將 藉 由DAB BED180 來 說 明 A、 B、 D、 E 共 圓 。 如 圖 15, 假 設 F A D G A D 、a HBE IBE b 、GAB c 在△AGK 和△BJK 中，∵ 1 2, 3 4 90 ， ∴JBK GAK c 因 圖 形 對 稱 ， 故HBK JBK c （ 如 圖 16） 圖 14 圖 15 圖 16 如 圖 17， ∵AF//BI ， ∴FAB IBA180， 即(2ac)(2bc)180， 化 簡 得abc90 在 四 邊 形 ABED 中 ， DAB BED (ac)(b90) a b c 90 180 故 得 知 A、 B、 D、 E 同 在 一 個 圓 上 。 圖 17 由 上 述 討 論 知 此 三 圓 的 圓 心 皆 為 AB 的 中 點 ， 故 此 三 圓 為 同 心 圓 。
二、面積成等差數列
設 圓 A、圓 B 的 半 徑 分 別 為 R、r（ R> r）， AB a ，取AB的 中 點 Ｃ，將 三 個 同 心 圓 之 半 徑 由 大 而 小 設 為 r 、3 r 、2 r1 （r3 r2 r1）， 以 下 將 求 三 圓 的 面 積 。 1. 如 圖 18, 在△CDF 中， 2 ) ( 2 2 R r a DF （ 外 公 切 線 長 的 一 半 ）， 2 r R CF （ 梯 形 中 線 ）， 則Rr a CF DF r 4 2 2 2 2 3 , 再 得 面 積 為 2 ( ) 4 a Rr . 圖 18 2. AB為 第 二 個 圓 的 直 徑 ， 得 2 2 a r , 再 得 面 積 為 4 2 a . 3. 如 圖 19， 在△CDH 中， 2 ) ( 2 2 r R a DH （ 內 公 切 線 長 的 一 半 ），CHCGGH AFGH 2 1 2 2 r R r r R ， 則 2 2 2 3 r DG CG 2 4 a Rr , 再 得 面 積 為 2 ( R ) 4 a r . 圖 19 此 三 圓 面 積 分 別 為 2 ( R ) 4 a r 、 4 2 a 、 2 ( ) 4 a Rr ， 即 得 三 個 圓 的 面 積 成 等 差 數 列 ， 公 差 為 Rr。
