2016IMAS國小高年級組第二輪檢測中文試題詳解

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2016/2017 小學高年級組第二輪檢測試題詳解

───────────────────────────────────────────────── 1. 請問算式44 49 25× × 的值為多少？ （A）43900 （B）52900 （C）53200 （D）53825 （E）53900 【參考解法】 44 49 25 11 49 25 4× × = × × × =539 100× =53900。 答案：（E） 2. 某旅館服務生把四間客房的鑰匙隨意分給住在這四間客房的旅客，其中恰好 有2 人能打開自己的房門。請問這四名旅客拿到的鑰匙共有多少種不同可能 的情況？ （A）3 （B）4 （C）6 （D）8 （E）10 【參考解法】 從四名旅客中選出兩個能打開自己房門的旅客，有4 3 6 2 × = 種情況。根據題意， 另兩名旅客只能是互相拿了對方的鑰匙，僅 1 種情況。所以這四名旅客拿到的 鑰匙共有 6 1 6× = 種不同情況。 答案：（C） 3. 請問 4 6 10 3 × ×5 7 有多少個因數與 15 互質？ （A）10 （B）11 （C）20 （D）21 （E）44 【參考解法】 4 6 10 3 × ×5 7 與 15 互質的因數只能是質因數分解式之形式為7i的數，其中 i = 0、1、 2、…、10，故共有 11 個數。 答案：（B） 4. 共有教師與學生 20 人前往博物館參觀，已知每張門票票價原為 200 元，教 師可獲減價 10%的優惠、而學生可獲減價 50%的優惠。若全部支付的門票總 費用為 2640 元，請問其中有多少位教師？ （A）6 （B）8 （C）10 （D）14 （E）16 【參考解法 1】 可知每張教師門票為 200 90% 180× = 元、每張學生門票為 200 50% 100× = 元。 設教師有 x 位，則學生有 20−x位，故得180x+100(20− =x) 2640，解得x=8。 【參考解法 2】 可知每張教師門票為 200 90% 180× = 元、每張學生門票為 200 50% 100× = 元，即 每張學生門票比每張老師門票便宜180 100 80− = 元。若全部都是學生，則總費用 應為 20 100 2000× = 元，比實際支付的費用少 2640 2000 640− = 元，故可得知其 中總共有 640 80 8÷ = 位老師。 答案：（B）

5. 在下列各選項中，都是在一個長 10 cm、寬 6 cm 的長方形內部嵌入若干個塗 上陰影的三角形，而這些塗上陰影三角形的頂點都為所在線段的等分點或端 點上。請問哪一項中塗上陰影的三角形之面積和最大？ （A） （B） （C） （D） （E） 【參考解法 1】 由三角形的面積公式可知： 選項(A)中的塗上陰影三角形的面積之和為2 1 (10 2) 6 30 2 × × ÷ × = cm2； 選項(B)中的塗上陰影三角形的面積之和為 1 1 2 (10 2) (6 2) [10 (6 2) 2 (10 2) (6 2)] 30 2 2 × × ÷ × ÷ + × ÷ − × × ÷ × ÷ = cm2； 選項(C)中的塗上陰影三角形的面積之和為10 1 (10 5) (6 2) 30 2 × × ÷ × ÷ = cm2； 選項(E)中的塗上陰影三角形的面積之和為10 1 (6 2) (10 5) 30 2 × × ÷ × ÷ = cm2。 故知選項(A)、選項(B)、選項(C)與選項(E)中的塗上陰影三角形的面積之和都恰 為長方形面積的一半。 選項(D)中的所有塗上陰影三角形恰被長方形的一條對角線分成全等的兩部分， 其面積總和相等。現只關注對角線下方的五個塗上陰影三角形，可知這五個三 角形的底邊都相等，都等於 2 cm。而其高之比由左至右分別為 1：2：3：4：5， 其長度分別等於 1.2 cm、2.4 cm、3.6 cm、4.8 cm、6 cm。因此知五個塗上陰影 三角形的面積之和為1 (1.2 2.4 3.6 4.8 6) 2 18 2× + + + + × = cm 2_{，即長方形內所有塗} 上陰影三角形面積之和為 36 cm2 。 故知選項(D)的塗上陰影三角形的面積之和最大。 【參考解法 2】 用一些線段將在選項(A)、(B)、(C)、(E)中長方形內的三角形分割為小三角形， 易知塗上陰影部份的三角形一一對應於沒有塗上陰影部份的三角形，故塗上陰 影三角形的面積之和都恰為長方形面積的一半。 (D) (A) (B) (C)

將在選項(D)中長方形內塗上陰影的三角形移動合併在一起，可得如下右圖的情 況，易知塗上陰影三角形的面積之和大於長方形面積的一半。 答案：（D） 6. 用 2、0、1、7 這四個數碼各一個排成被 11 除餘 4 的四位數，請問這樣的四 位數共有多少個？ 【參考解法 1】 要求被 11 除餘 4，可以這樣考慮：這樣的數減去 4 後，就能被 11 整除。所以得 到一個「被 11 除餘 4」的判定法則：將偶數位數碼相加得到一個和數、將奇數 位數碼相加後再減去 4 而得另一個和數，如果這兩個和數的大數減去小數之差 能被 11 整除，則這個數是被 11 除餘 4 的數，若否就不是。把 2、0、1、7 排成 一個被 11 除餘 4 的四位數，可以把這 4 個數碼分成兩組，每組 2 個數碼，其中 一組作為千位數碼與十位數碼，並將它們的和記作 A；另外一組作為百位數碼 與個位數碼，並將它們之和減去 4 記作 B。可知分組情況有： 千位數碼與十位 數碼 A 百位數碼與個位 數碼 B 大數減去小數 (1) 7、2 7+2 1、0 1 0+ −4 1 (2) 7、1 7 1+ 2、0 2+ −0 4 1 (3) 7、0 7+0 2、1 _{2 1 4}+ − 8 (4) 2、1 _{2 1}+ 7、0 7+ −0 4 0 或 11 (5) 2、0 2+0 7、1 7 1 4+ − 2 (6) 1、0 1 0+ 7、2 7+ −2 4 4 可發現僅有第（4）種滿足要求。所以，這樣的四位數是1027、1720、2017、2710， 共有4 個。 【參考解法2】 用2、0、1、7這四個數碼各一個排成的四位數共有以下的 18個。 1027、1072、1207、1270、1702、1720、2017、2071、2107、2170、2701、2710、 7012、7021、7102、7120、7201、7210。 被11 除餘4，即奇數位數碼之和比偶數位數碼之和大 4或小 7。而只有 1027、 1720、2017、2710這 4個四位數符合。 答案：4 個 7. 已知一個三角形的兩條邊的長度分別是6 cm與13 cm，第三條邊的長度也是 整數cm，請問這個三角形的周長最小可能是多少cm？ e d c b a e d c b a

【參考解法】 由三角形的兩邊差必小於第三邊之長度知第三邊的長度大於13 6− =7cm，故其 長度至少為8 cm，因此周長最小為13 6 8+ + =27cm。 答案：27 cm 8. 用 16 塊黑色正方形瓷磚與 9 塊白色正方形瓷磚可黑白相間擺成對角線各為 7 塊正方形瓷磚的圖形，且其外圍都是黑色正方形瓷磚，如下圖所示。 如果要擺成一個類似的圖形，使對角線有11 塊正方形瓷磚，請問共需要多 少塊黑色正方形瓷磚？ 【參考解法1】 觀察圖形，擺成對角線為11 塊正方形瓷磚共需 2 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 6+ + + + + + + + + + = =36塊黑 色正方形瓷磚。 【參考解法2】 可知對角線有11 塊正方形瓷磚時，每行各有6 塊是黑色瓷磚，共有6行，故共有6 6× =36塊黑 色正方形瓷磚。 【參考解法3】 可畫出一個大正方形恰把所排出的圖形圍住，如 圖所示。此時大正方形內除了對角線外每一斜行上的黑色區域與白色區域的面 積都相等，而把大正方形四個角落上的區域合併，則對角線上的黑色區域與白 色區域的面積也相等，故大正方形內的黑色區域與白色區域的面積相等。若令 小正方形瓷磚的邊長為1，則可判斷出這個大正方形的對角線長為12，故大正 方形的面積為1 12 12 72 2× × = ，即知黑色正方形瓷磚共有 1 72 36 2× = 塊。 答案：36 塊 9. 將數 1、2、3、4 分別填入4 4× 方格表的小方格中，使得每 一行、每一列上的四個數都不相同。若已填入部分小方格的 數，如右圖所示，請問圖中 A、B 位置上的數之和是多少？ A 4 B 1 1 2 3 4 3 4 2 1

【參考解法】 A 下方的空格不能填 1、2、4，故只能填 3，因此 A 格只能填 1； B 上方的空格不能填 1、3、4，故只能填 2，因此 B 格只能填 4。 故所求和為1 4+ =5，完整的填法如右圖所示。 答案：5 10. 小虎與小亮都郵寄了一件重量超過10 kg 的包裹，郵局的收費標準為：10 kg 以下每kg的運費為 6元，超出 10 kg的部分每 kg平均運費比原價低2 元。 已知小虎郵寄的包裹比小亮郵寄的包裹重 20%且郵寄費多 12 元。請問小虎 郵寄的包裹之重量為多少kg？ 【參考解法】 由題意知，小虎與小亮兩人的包裹都超過10 kg，小虎郵寄的包裹比小亮郵寄的 包裹郵寄費多12元，又知超出 10 kg的部分每 kg平均運費為6− =2 4元。故小 虎郵寄的包裹比小亮郵寄的包裹重12 4÷ =3kg，已知小虎郵寄的包裹比小亮郵 寄的包裹重20%，故小亮的包裹重量為3 20% 15÷ = kg，即可得知小虎郵寄的包 裹之重量為15+3=18 kg。 答案：18 kg 11. 如圖是一個圓柱狀的捲筒衛生紙，中間有一個硬紙板做成的空心圓筒，衛生 紙等分成若干小段繞在圓筒上。其包裝上標注：「138 mm 100 mm× (長 寬× )/ 段，3層」，表示每小段的長為 138 mm、寬為100 mm，並含有三層。已知 每層衛生紙的厚度為0.13 mm、中間圓筒的外部直徑是5 cm、整卷衛生紙的 直徑是 12 cm，請問一個捲筒衛生紙共有多少段？(圓周率π 取3.14，所得結 果四捨五入保持整數) 【參考解法】 因圓柱的體積為底圓面積與高之乘積，且高100 mm = 10 cm，故衛生紙的體積 為 12 2 5 2 3.14 ( ) 10 3.14 ( ) 10 934.15 2 2 × × − × × = cm3。而接著再由 138 mm = 13.8 cm、 0.13 mm = 0.013 cm 知每一段衛生紙的體積為10 13.8 0.013 3× × × =5.382cm3，故 一個捲筒衛生紙共有934.15 173.57 174 5.382 ≈ ≈ 段。 答案：174 段 2 1 4 3 4 3 1 2 1 2 3 4 3 4 2 1 5 cm 138 mm 100 mm 12 cm 三層 一段 空心 硬紙筒

12. 下圖是由一些等腰直角三角形拼成的圖形，若一隻螞蟻欲沿著三角形的邊從 A 點爬到 C 點，規定在爬行的過程中只能向右方、上方或者斜右上方爬行。 請問這隻螞蟻總共有多少條不同的爬行路徑？ 【參考解法】 如圖所示，圖中各點的數即為螞蟻從起點到該點的 不同路徑數： 故從 A 點爬到 C 點共有 42 條不同的爬行路徑。 答案：42 條 13. 從 1 到 174 的所有正整數中選出 12 個互不相同且總和恰為 2017 的正整數。 請問總共有多少種不同的選取方式？ 【參考解法】 從 1 到 174 的所有正整數中選出 12 個互不相同的正整數，其和最大為 174 173 172 171 170 169 168 167 166 165 164 163+ + + + + + + + + + + =2022。 所以只需從163、164、165、166、167、168、169、170、171、172、173、174 這些數中總共減掉5。下面分情況討論： (1) 僅有一個數減去5。為了避免重複，這個數不能大於或等於 168，共有以下 5種方式： 174 173 172 171 170 169 168 167 166 165 164 158 2017 174 173 172 171 170 169 168 167 166 165 163 159 2017 174 173 172 171 170 169 168 167 166 164 163 160 2017 174 173 172 171 170 169 168 167 165 164 163 + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + +161 2017 174 173 172 171 170 169 168 166 165 164 163 162 2017 = + + + + + + + + + + + = (2) 有一個數減去4、另一個數減去1。可知只能從小於 166的數減去4 且將163 減1，但不可以有重複的數，故得到二條和為 2017的等式： A C B A C 2 1 1 1 1 4 2 4 12 6 6 30 12 42

(a) 165 減去 4 且將 163 減 1 174 173 172 171 170 169 168 167 166 164 162 161+ + + + + + + + + + + =2017 (b) 164 減去4且將 163減 1 174 173 172 171 170 169 168 167 166 165 162 160+ + + + + + + + + + + =2017 (3) 減去不大於3 的數。可知只能從小於166 的數減去3 且從小於165的數減去 2或減 1，但都不可能沒有不重複的數，故此情況沒有符合的等式。 綜上所述，共有7 種不同的選擇方式。 答案：7 種 14. 已知一個袋子中裝有分別標上號碼1~2017的 2017個小球，現從中取出若干 個小球。使得取出的小球中保證存在有三個小球，其中兩個小球上的號碼之 和恰等於另一個小球上的號碼，請問至少要取出多少個小球？ 【參考解法】 因2017 1008 1009 1009 1010= + < + ，故可知若只取出1009個小球時，當取出號 碼為1009~2017 這1009個的小球時，任何兩個小球的號碼之和都大於 2017，不 能保證存在有這樣的三個小球。(10分) 現證明1010 個符合要求。設取出的1010個小球中號碼最大的是 M，則 M 與取 出的其它小球的號碼之差有1009個不同的值，且均小於2017。(5分) 由於未被 取出的小球只有1007個，至少有一個差M −x是取出的小球的號碼y，其中 x 是取出的小球的號碼。於是x、y、x+ =y M 都是取出的小球的號碼，符合要求。 (5分) 答案：1010個 15. 從 1、2、3、4、5、6、7、8 這八個數中取出互不相同的數至少二個，使得 所取出的數中，任何兩個數之差都不等於 2也不等於6 (例如，如果取出1， 就不能同時取出3 或7)。請問共有多少種不同的取法？ 【參考解法1】 由題意，可以把這八個數分成兩組寫在二個圓周上，如下圖所示。可以判斷出 每組中相鄰的兩個數不能同時取出，而其中一組的數的取法不影響另一組的數 的取法。因此，每組最多能取出兩個數，也就一次總共最多能取出4 個數。 下面按取出的數個數分情況討論： (1) 共取出2 個數： 若每組取1 個，則有4 4 16× = 種；若其中一組取 2個、另一組不取，則有 2 2× =4種。故共有16+ =4 20種取法；(5分) 1 3 5 7 2 4 6 8

(2) 共取出 3 個數： 只能是其中一組取 2 個、另一組取 1 個，共2 2 4 16× × = 種。(5 分) (3) 共取出4 個數： 只能是兩組各取2 個，共2 2× =4種。(5分) 綜上所述，總共有20 16 4+ + =40種取法。(5 分) 【參考解法2】 由題意，可以把這8 個數分成如下圖所示的兩組，可以判斷出每組中相鄰的兩 個數不能同時取出，故在同一組中有不取、取1 個、取2 個這三種情況，而每 一種情況的取法數依序為1、4、2 種，故同一組的取法總數為1 4+ + =2 7種。 (5分) 因其中一組的數的取法不影響另一組的數的取法，故知兩組一起共有7 7× =49 種取法。(5 分) 但這包括其中一組不取另一組取1 個與兩組都不取出數的情況，此不符合要求。 (5分) 所以總共有49 4 4 1− − − =40種取法。(5 分) 答案：40 種 1 3 5 7 2 4 6 8