3B05 對數函數

「聲音強度」和「分貝」呈對數關係，且分貝數 隨著聲音強度的增加而緩慢上升；透過其函數圖形可 以看出兩者的變化關係，如圖 1 所示。繪製對數函數 圖形，並透過圖形了解對數函數的特性是本單元學習 的重點。

甲 對數函數及其圖形

前一單元我們學過對數的定義，給定任意實數

x

0

，對數

log x

₂ 的值都隨 之唯一確定，也就是說，x 與

log x

₂ 之間的對應關係 2

log

x



x

形成函數

y f x



 



log

₂

x

，稱為「以 2 為底數的對數函數」。 利用描點法來看 y＝log2x 的圖形。首先列出一些滿足 y＝log2x 的點

 

x y

,

。 x

1

16

1

8

1

4

1

2

1 2 4 8 16 2

log

y



x

_{4 3 2 1} 0 1 2 3 4 接著，將表列所對應的點逐一畫在坐標平面上（如圖 2 中的黑點）。此外，可再 描出更多的點，如

3 3

, , 3, 6,10,12,14

8 4

x

所對應的點（此時可利用計算機來求值， 例如當

x

3

時，

log 3

₂

log3

1.58

log2

y





等）。最後，如果描點數夠多，並用平滑 曲線把這些點連接起來，就可得到函數

y



log

₂

x

的圖形（如圖 2 中的紅色曲線）。 ▲ 圖 1

▲圖 2 觀察

y



log

₂

x

的圖形發現：其圖形通過點

 

1, 0

，恆在 y 軸右方，且往右邊 逐漸上升，往左邊逐漸貼近 y 軸。 同理，函數

y



log

x

稱為「以 10 為底數的對數函數」，又簡稱為「常用對數 函數」。 【隨堂練習】 描繪

y



log

x

的圖形。 Ans： 【詳解】 首先對某些 x 值求出其對應的函數值

y



log

x

， 列表如下。

x

1

10

1

2

1 3 5 7 10

log

y



x

1 約0.3010 0 約 0.4771 約 0.6990 約 0.8451 1 接著將表列所對應的點逐一畫在坐標平面上， 最後再用平滑曲線把這些點連接起來而得出下圖， 即為

_y



_log

_x

的圖形。 因為由換底公式可得 2

log

1

log

log

3.3log

log2 log2

x

y



x







x



x

，

所以對每一個

x y

,



log

₂

x

的值總是

y



log

x

的約略 3.3 倍。因此，

y



log

x

同樣 具有類似

y



log

₂

x

的特徵：其圖形通過點

 

1, 0

，恆在 y 軸右方，且往右邊逐漸 上升，往左邊逐漸貼近 y 軸。 一般而言，當

a

 

0,

a

1

時，稱

y



log

_a

x

為「以 a 為底數的對數函數」。仿 照上述的作法，利用換底公式可得

log

1

log

log

log

log

a

x

y

x

x

a

a







。 也就是說，一般底數的對數函數

y



log

a

x

皆可（藉由換底公式）換成常用對數函 數

y



log

x

的常數倍（即

1

loga

倍）。例如： (1) 3

1

log

log

2log

log3

(2) ₁ 10

1

log

log

log

1

log

10

y



x





x



x

。 基於以上理由，我們底下將只探討常用對數函數

y



log

x

與其相關的圖形。 利用

y



log

x

的圖形可以來描繪

y



log

x

的圖形，來看以下例題。 【例题 1】 利用

y



log

x

的圖形，畫出

y



log

x

的圖形。 Ans： 【詳解】 因為對每一個

x y

,



log

x

的值總是

y



log

x

的相反數， 所以

y



log

x

的圖形與

y



log

x

對稱於 x 軸， 如下圖所示。 【隨堂練習 1】 已知

A

 

10,1

在

y



log

x

的圖形上，且設 B 點為 A 點 對 x 軸的對稱點。 (1) 求 B 點的坐標。 (2) 問：B 點是否在

y



log

x

的圖形上？ Ans： 【詳解】 (1) B 點的坐標為

B



10, 1





。

(2) 因為 log10＝1， 所以B 點在 y＝logx 的圖形上。 觀察

y



log

x

的圖形發現：其圖形通過點

 

1, 0

，恆在 y 軸右方，且往右邊 逐漸下降，往左邊逐漸貼近 y 軸。 另外，特別值得注意的是，y＝logx 和 y＝logx 的圖形對稱於 x 軸。 將 y＝logx 和 y＝logx 的圖形整理如下。

log

y



x

y



log

x

常用對數函數

y



log

x

與

y



log

x

的圖形有以下的特徵： (1) 因為

log1 0



，所以圖形會過點

 

1, 0

。 (2) 圖形都在 y 軸右方。 (3) ①因為

y



log

x

的圖形由左往右逐漸上升，所以

y



log

x

為嚴格遞增函數，即

x 愈大，y 愈大（也就是說，若

 



，則

log





log



）。

②因為

y



log

x

的圖形由左往右逐漸下降，所以

y



log

x

為嚴格遞減函數， 即 x 愈大，y 愈小（也就是說，若

 



，則



log





log



）。

(4) 函數

y



log

x

和

y



log

x

的圖形對稱於 x 軸。

(5) ①函數

y



log

x

圖形上任相異兩點所連成的線段都在函數圖形的下方（即函數 圖形的凹口向下），如圖 3(a)所示。

②函數

y



log

x

圖形上任相異兩點所連成的線段都在函數圖形的上方（即函 數圖形的凹口向上），如圖 3(b)所示。

(a) (b) ▲圖 3 借助

y



log

x

的圖形，可以畫出一些與

y



log

x

相關的函數之圖形，來看一 道例題。 【例题 2】 利用

y



log

x

的圖形，畫出

y



2log

x

的圖形。 Ans： 【詳解】 因為對每一個

x y

,



2log

x

的值總是

y



log

x

的 2 倍， 所以

y



2log

x

的圖形如下圖所示。 觀察

y



2log

x

的圖形發現，它們的圖形同樣具有類似

y



log

x

的特徵：其 圖形通過點

 

1, 0

，恆在 y 軸右方，且往右邊逐漸上升，往左邊逐漸貼近 y 軸。

【隨堂練習 2】 利用

y



log

x

的圖形，畫出

y



3log

x

的圖形。 Ans： 【詳解】 因為對每一個

_{x y}

_,



_3log

_x

的值總是

_y



_log

_x

的 3 倍， 所以

_y



_3log

_x

的圖形如下圖所示。 事實上，

y



3log

x

的圖形同樣具有類似

y



log

x

的特徵。一般而言，當

0

t 

時，常用對數函數

y t



log

x

的圖形都通過點

 

1, 0

，恆在 y 軸右方，且往右 邊逐漸上升，往左邊逐漸貼近 y 軸。 再來借助 y＝logx 的圖形，畫出與 y＝logx 相關的函數之圖形。

【例题 3】 利用

y



log

x

的圖形，畫出

y



2log

x

的圖形。 Ans： 【詳解】 因為對每一個

x y

,



2log

x

的值總是

y



log

x

的 2 倍， 所以

y



2log

x

的圖形如下圖所示。 觀察

y



2log

x

的圖形發現，它們的圖形同樣具有類似

y



log

x

的特徵： 其圖形通過點

 

1, 0

，恆在 y 軸右方，且往右邊逐漸下降，往左邊逐漸貼近 y 軸。 【隨堂練習 3】 利用

y



log

x

的圖形，畫出

y



3log

x

的圖形。 Ans： 【詳解】 因為對每一個

_{x y}

_,



_3log

_x

的值總是

_y



_log

_x

的 3 倍，

所以

_y



_3log

_x

的圖形如下圖所示。

事實上，

y



3log

x

的圖形同樣具有類似

y



log

x

的特徵。一般而言，當

0

t 

時，常用對數函數

y t



log

x

的圖形都通過點

 

1, 0

，恆在 y 軸右方，且往右 邊逐漸下降，往左邊逐漸貼近 y 軸。

除了

y



log

x

與

y



log

x

對稱於 x 軸之外，

y



2log

x

與

y



2log

x

的圖形 也對稱於 x 軸，如圖 4 所示。一般而言，因為對每一個

x y t

,



log

x

的值總是

log

y



t

x

_{的相反數，所以}

y t



log

x

_與

y



t

log

x

_{的圖形對稱於 x 軸。}

【隨堂練習】 已知函數

f x

 

的圖形與

g x

 



3log

x

的圖形對稱於 x 軸， 求

f x

 

。 Ans： 【詳解】 因為函數

_{y t}



_log

_x

與

_y



_t

_log

_x

的圖形對稱於 x 軸， 所以

f x

 



3log

x

。 來比較幾個常用對數的圖形。 【例题 4】

常用對數函數

y a



log ,

x y b



log ,

x y c



log

x

的 圖形如右所示。選出所有正確的選項。 (1)

a

0

(2)

b

0

(3)

c

0

(4)

a b



。 Ans： 【詳解】 由圖形可知： (1)(2)因為 y＝alogx，y＝blogx 皆為嚴格遞增函數， 所以

a



0,

b



0

。 (3) 因為

y c



log

x

為嚴格遞減函數， 所以

c

0

。 (4) 作直線

x

10

分別與

y a



log

x

與

y b



log

x

交於

A

   

10, , 10,

a B

b

兩點，如右圖所示； 因為A 點在 B 點的上方，所以

a b



。 故選(1)(2)(4)。

【隨堂練習 4】

常用對數函數

y a



log ,

x y b



log ,

x y



2log

x

的 圖形如右所示，其中

y b



log

x

與

y



2log

x

的圖 形對稱於 x 軸。選出所有正確的選項。 (1)

a

0

(2)

OP

1

(3)

b

2

(4)

a b



。 Ans： 【詳解】 由圖形可知： (1) 因為

y a



log ,

x y b



log

x

皆為嚴格遞減函數， 所以 a＜0，b＜0。 (2) 因為P 點坐標為

 

1, 0

，所以

OP

1

。 (3) 因為

y b



log

x

與

y



2log

x

的圖形 對稱於x 軸，所以

b

2

。 (4) 作直線

x

10

分別與

y a



log

x

和與

log

y b



x

交於

A

   

10, ,

a B

10,

b

兩點， 如右圖所示；因為A 點在 B 點的上方， 所以

_{a b}



。 故選(2)(3)(4)。 將指數函數

_{y }

10

x_{與常用對數函數}

_y



_log

_x

_{的圖形放在同一坐標平面上，如} 圖 5 所示。

▲圖 5 由圖 5 可以直觀的看出

10

x

y 

與

y



log

x

的圖形對稱於直線

y x



。 理由說明如下：設點

 

 

,

在

_{y }

10

x_{的圖形上，則}

10







， 並可推得

log







， 因此 點

 

 

,

在

y



log

x

的圖形上， 反之亦然。故

_{y }

10

x_與

_y



_log

_x

_{的圖形對稱於直線}

_{y x}



_。

乙 對數函數的應用

因為常用對數函數

y



log

x

為嚴格遞增函數，其圖 形與水平線僅有唯一的交點，如圖 6 所示，所以， 若

log





log



，則

 



。 利用這個性質來看一道例題。 【例题 5】 解下列各方程式： (1)

log

x

2log 6

。

(2)

log

x



log

 

x

 

1 log6

。

Ans：

【詳解】

(1) 首先，真數必須為正，即

x

0

。 其次，將方程式化為

 

2

log

x

2log 6 log 6





log6

。 又因為

y



log

x

為嚴格遞增函數， 可知其圖形與

y

log6

僅有唯一的交點， 如下圖所示，所以

x

6

。 最後，綜合以上得

x

6

。 (2) 首先，真數必須為正，即

0

x

且

x 

1 0

， 故

x

1

。

 

log

x x 

1 log6

， 可得

x x 

 

1 6

， 即

x x

2

  

6 0

，解得

3

x

或

x

2

。 最後，綜合以上得

x

3

。 【隨堂練習 5】

解方程式

log3

x



log

 

x

 

3

log12

。

Ans： 【詳解】 首先，方程式的真數必須為正， 即

3

x

0

且

x 

3 0

，故

x

3

。 其次，利用對數的性質， 方程式可化為

log3

x x 



3



log12

， 又因為

y



log

x

為嚴格遞增函數， 所以

3

x x 



3 12



， 即

_x

2

  

_{3 4 0}

_x

， 解得

x

4

或

x

1

。 最後，綜合以上得

x

4

。 因為常用對數函數

y



log

x

為嚴格遞增函數，所以， 「若

 



，則

log





log



。」 有些情況下，可以利用這個性質來比較給定對數的大小。 ▲ 圖 7

【例题 6】

利用

y



log

x

嚴格遞增的特性來比較

log5,

2log2,

log2 log3

a



b



c





三數的大小關係。 Ans： 【詳解】 將以上三數都化成常用對數如下：

log5

a

,

2log2 log4

b



,

log2 log3 log6

c





。 因為

y



log

x

是嚴格遞增函數（即 x 愈大，y 愈大）， 所以

c a b

 

。 【隨堂練習 6】 利用

y



log

x

嚴格遞增的特性來比較

1

1,

log5,

log9

2

a

 

b

c



三數的大小關係。 Ans： 【詳解】 將以上三數都化成常用對數如下： 1 2

1

1 log10,

log5,

log9 log9

log3

2

a

 

b



c







。 因為

y



log

x

是嚴格遞增函數（即 x 愈大，y 愈大）， 所以

_{a b c}

 

。 因為常用對數函數

y



log

x

為嚴格遞增函數，所以下 述性質亦成立： 「若

log





log



，則

 



。」 利用這個性質可以來解決對數不等式的問題。 ▲ 圖 8

【例题 7】 解不等式

log

 

x 

1 1

。 Ans： 【詳解】 首先，因為真數必須為正，即

x 

1 0

， 所以

x

1

。 其次，因為

1 log10



， 所以不等式可化為

 

log

x 

1 log10

。 可推得

x 

1 10

， 解得

x

11

。 最後，綜合以上得

1

 

x

11

。 【隨堂練習 7】 解不等式

log

x

1

。 Ans： 【詳解】 首先，不等式的真數必須為正，即

x

0

其次，因為

_{1 log10}



， 所以利用對數的性質， 不等式可化為

log

x

log10

。 可推得

_x

₁₀

， 最後，綜合以上得

_x

₁₀

。 單元 3 提過十二平均律每個音與下一個音之間的弦長比例關係。除了弦長， 每個音與下一個音的頻率也有著固定的比率，來看一道例題。

【例题 8】 鋼琴鍵盤上每個鍵的頻率

f f

₁

, , ,

₂

f

₁₃如下圖所示。 已知頻率之間的關係為 1

1

log

log2,

1, 2, ,13

12

n

f

n

_n

f









。 問：

f

₇是

f

₁的幾倍？ Ans： 【詳解】 由題意可得 7 1

7 1

1

log

log2

log2

12

2

f

f







 

， 利用對數律

log

_r

t



_t

log

_r

_，可得 1 7 2 1

1

log

log2 log2

log 2

2

f

f

 





， 即 7 1

2

f

f



。 故

f

₇是

f

₁的

₂

（



1.414

）倍。 【隨堂練習 8】 承例題，問：

f

₁₃是

f

₁的幾倍？ Ans：2 【詳解】 由題意可得 13 1

13 1

log

log2 log2

12

f

f









， 即 13 1

2

f

f



。 故

f

₁₃是

f

₁的 2 倍。

最後，來看一題跟引言有關的應用問題。 【例题 9】 聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特（w/m2_{）來衡量，} 而分貝（s）是音量的一個單位，且它與聲音強度（w） 的關係式如下：

10log

₁₂

10

w

s



_ 。 琵琶行中提到「大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私語。」 已知落雨聲約為 55 分貝，悄悄話約為 25 分貝，問： 落雨聲的聲音強度為悄悄話聲音強度的幾倍？ Ans：1000 【詳解】 設落雨聲的聲音強度為

w

₁， 悄悄話的聲音強度為

w

₂。 由題意知 1 12

55 10log

10

w





且 2 12

25 10log

10

w





， 兩式相減可得 1 2 1 12 12 2

30 10 log

log

10log

10

10

w

w

w

w

 







_



_







， 移項可得 1 2

log

w

3

w



，即 3 1 2

10 1000

w

w

 

。 故落雨聲的聲音強度為悄悄話聲音強度的 1000 倍。 【隨堂練習 9】 承例題，棒球比賽場中，已知一支汽笛發出的聲音為 70 分貝， 問：當千支汽笛同時同地合鳴時，所測得的聲音大約為多少分貝？ Ans： 【詳解】 設一支汽笛發出的聲音強度為 w，

由題意知

70 10log

₁₂

10

w





， 解得

_w



₁₀

5。 因為千支汽笛同時同地合鳴的聲音強度為 5 2

1000

w



1000 10







10

 ， 所以得 2 10 12

10

10log

10log10 =100

10

 



， 故千支汽笛同時同地合鳴， 被測得的聲音大約為 100 分貝。

本單元介紹了常用對數函數圖形的特徵與其應用，最後，來介紹自然對數函 數圖形的特徵與其應用。 （一）自然對數函數

y



ln

x

圖形的特徵 前一單元介紹過：以常數 e 為底的對數（即

log

e

x

），稱為自然對數，常記 做

lnx

。當給定任意實數

x

0

時，x 與

y



ln

x

會形成函數對應關係，稱

y



ln

x

為自然對數函數。因為

log

ln

2.3log

log

x

y

x

x

e







， 所以

y



ln

x

的圖形具有類似

y



log

x

的特徵。事實上， 自然對數函數

y



ln

x

的圖形如圖 9 所示，且為嚴格遞增 函數，即 「若

 



，則

ln

 



ln

。」 （二）連續複利 在第 3 單元的看見數學中提過，以本金 1 萬元、年利率 100%的情況下，當 一年內的計息次數 n 愈來愈大時，本利和

1 1

1

n

n





 

_

_





愈大，而且會趨近於一個固 定的常數 e，也就是說， 當 n 愈來愈大時，

1

1

n

n



_











的值會趨近於 e。 接著，進一步說明一般的情形：設本金為 P 元、年利率為 r。當一年計息次 數為 n 次（即每期的利率為

r

n

）時，經過 x 年後（共 nx 期）的本利和為

1

nx

r

P

n



_











。 ▲ 圖 9

那麼，當計息次數 n 愈來愈大時，本利和會怎麼變化呢？我們說明如下。 先令

r

1

n t



，可得

n rt



，代回以上的本利和公式可得

1

1

1

1

1

rx nx rtx t

r

P

P

P

n

t

t







_



_



_



_

_



_



_









_





_









_





_

。 當計息次數

n rt

 



愈來愈大時，t 也會愈來愈大，且此時

1

1

t

t



_











的值會趨近於 e， 因此，本利和

1

1

1

rx nx t

r

P

P

n

t







_



_

_



_



_





_





_





_





_

會趨近於

Pe

rx。 當計息次數 n 愈來愈大時，就宛如分分秒秒、時時刻刻都以複利在計息，我們稱 之為連續複利。而且，由以上的說明可知：本金 P 元、年利率為 r，在連續複利 的情況下，經過 x 年的本利和為

Pe

rx。 （三）自然對數函數的應用 最後，來看一個有趣的問題：在連續複利的情況下，多少年後本利和才會超 過本金 P 的兩倍呢？以年利率為 10%為例，在連續複利的情況下，經過 x 年後的 本利和為 0.1x

Pe

， 因此，若經過 x 年後本利和超過本金的 2 倍，則 x 須滿足不等式

_Pe

0.1x



2

_P

_，即 0.1x

₂

e 

。 因為自然對數函數

y



ln

x

為嚴格遞增函數，所以可得 0.1

ln

_{e }

x

ln2

_， 根據對數的定義可將不等式化成

0.1 ln2

x

。 最後，利用計算機可得

10 ln2 6.9

x 



。 故至少經過 7 年，本利和才會超過本金的 2 倍。

在以上連續複利的情況下，我們會使用自然對數（並非常用對數）來估計本 利和超過本金 2 倍的時間（即

10 ln2



年）。此外，當我們探究細菌分裂或放射物 質衰變這些按比例成長或衰退的模型，並且假設它們分分秒秒、時時刻刻都進行 分裂或衰變時，其數量的變化都會與自然對數函數

y



ln

x

有著密切的關係。 關於自然對數函數

y



ln

x

的圖形，選出所有正確的選項。 (1)會過點

 

1, 0

(2)會過點

 

e

,1

(3)為嚴格遞增函數 (4)圖形都在 x 軸上 方。 (1) 因為

ln1

log1

0

loge





，所以會通過（

1,0

）。 (2) 因為

ln

log

1

log

e

e

e





，所以會通過（

_e

_,1

）。 (3) 由圖形可知自然對數函數

y



ln

x

為嚴格遞增函數。 (4) 由圖形可知自然對數函數

y



ln

x

圖形都在 y 軸右方。 故選(1)(2)(3)。

觀念澄清

0. 下列敘述對的打「」 (1) 對數函數

y



log

x

的圖形過點

 

1, 0

。 (2) 若點



0.02, k



在

y



log

x

的圖形上，則

k

0

。 (3) 對數函數

y



log

x

的圖形是凹口向上。 (4) 對數函數

y



log

x

的圖形與指數函數

_{y }

10

x_的圖形 對稱於直線

y x



。 (5)

log0.9 log0.8



。 Ans： 【詳解】 (1) ○：

log1 0



。 (2) ○：

k

log0.02 log1 0





。 (3) ╳：對數函數

y



log

x

的圖形是凹口向下。 (4) ○：對數函數

y



log

x

的圖形與指數函數

10

x

y 

_{的圖形對稱於直線}

y x



_。 (5) ○：因為常用對數函數為嚴格遞增函數， 所以

log0.9 log0.8



。

一、基礎題

1. 連連看：將下列各函數連到所對應的函數圖形：

2log

y



x

• •

f x

 

2log

y



x

• •

g x

 

3log

y



x

• •

h x

 

3log

y



x

• •

k x

 

Ans： 【詳解】

2log

y



x

‧ ‧

f x

 

2log

y



x

‧ ‧

g x

 

3log

y



x

‧ ‧

_{h x}

 

3log

y



x

‧ ‧

_{k x}

 

2. 對數函數

y



3log ,

x y a



log ,

x y b



log

x

的圖形 如右，其中

y



3log

x

與

y b



log

x

的圖形對稱於 x 軸。選出所有正確的選項。 (1)

a

0

(2) P 點坐標為

 

1, 0

(3)

1

3

b

(4)

3 a



。 Ans： 【詳解】 由圖形可知： (1) 因為

y a



log

x

的圖形為嚴格遞增函數， 所以

_a

₀

。 (2) P 點坐標為(1，0)。 (3) 因為 y＝3logx 與 y＝blogx 對稱於x 軸， 所以

b

3

。

(4) 作直線

_x

₁₀

分別與

_{y a}



_log

_x

和

_y



_3log

_x

交於

   

10, ,

10,3

A

a C

兩點，如右圖所示， 因為C 點在 A 點的上方，所以

3 a



。 故選(1)(2)(4)。 3. 解下列各方程式： (1)

log

x

log2 0



。

(2)

log

 

x

 

3 log

 

x

 

1 log3

。

Ans： 【詳解】 (1) 首先，方程式的真數必須為正，即

_x

₀

。 其次，利用對數的性質， 方程式可化為

log 2

 

x 

0

， 可得

2 10 1

x

0



，解得

1

2

x 

。 最後，綜合以上得

1

2

x 

。 (2) 首先，方程式的真數必須為正， 即

x 

3 0

且

x 

1 0

，故

x

1

。 其次，利用對數的性質， 方程式可化為

log

3

log3

1

x

x

 



， 可得

3

3

1

x

x

 



，解得

x

3

。 最後，綜合以上得

x

3

。

4. 利用

y



log

x

嚴格遞增的特性來比較

1

log2,

log5,

2log2

2

a



b



c



三數的大小關係。 Ans： 【詳解】 將以上三數都化成常用對數：

log2,

1

log5 log 5,

2

2log2 log4

a

b

c











。 因為

y



log

x

是嚴格遞增函數（即 x 愈大，y 愈大）， 所以

_{c b a}

 

。

5. 解不等式

log

 

x

 

1 log

 

x

 

3 3log2

。

Ans： 【詳解】 首先，不等式的真數必須為正， 即

x 

1 0

且

x 

3 0

，故

x

3

。 其次，將不等式化為

log



x



1



x

 

3



log8

。 可得



x



1



x

 

3 8



，解得

  

1

x

5

。 最後，綜合以上得

3

 

x

5

。 6. 星星的「視星等」y 與其「亮度」x 之間的關係為函數

5

log

2

x

y

a

 



_{ }

 

，其中 a 是織女星的亮度。 已知觀測到某星的視星等為



2.5

， 問:該星的亮度為織女星亮度的多少倍？ Ans： 【詳解】 依題意得

2.5

5

log

2

x

a

 

 

_{ }

_{ }

，

移項得

1 log

x

a

 

  

_{ }

， 化簡得

x



10

a

。 故該星亮度為織女星亮度的 10 倍。

二、進階題

7. 解方程式

log 10 100





1 log2

2

x



  

x

_。 Ans： 【詳解】 因為







2 2



1 log2

2

log 10 10 2

log 20 10

x x

x 



 





， 所以

_{10 100 20 10}

2 x x

  

_， 即





2 2

10 10

x





0

， 因此

_{10 10 10}

2 1 x

 

， 解得

_x

₂

。

8. 右圖為眼睛的「亮度感覺」y 與「照度」x（勒克斯） 之間的關係圖；其關係為對數函數

log

log2

a

y



x

， 其中 a 是常數，且點

 

10,1

在該函數圖形上。 (1) 求 a 的值。 (2) 若想讓眼睛的亮度感覺由 1 提升為 2， 則照度須變為原照度的多少倍？ Ans： 【詳解】 (1) 因為函數圖形通過點

 

10,1

， 所以

log10 1

log2

a

_

， 解得

_a

_log2

。

即

log2

log

log

log2

y





x



x

。 (2) 設亮度感覺為 1 與 2 時，環境照度分別為 x1

,

x2， 則 1＝logx1

,

2＝logx2， 解 x1＝10，x2＝100。 故需將環境照度提高為原照度的

100

10

10



倍。