中學生通訊解題第二十四期題目參考解答與評析

(1)

中學生通訊解題第二十四期題目

參考解答與評析

臺北市立建國高級中學數學科

問題編號

912401

比較 (2002

!

)2 與 2002

2002之間的大小關係。 (定義 :

n ! = n x

(n一 I)

x (n-2) x... x 2 xl

,

n 為自然數) 參考解答一:

20022002

令

_k=石苗2

_!

₎₂

2002

則 k=五百石×玄五百Ix 京五5。

2002

x...x 2002x 1

每一項的分母可表示為 n(2003也)

,

1 三五 n 三三 2002

'

n 為自然數

-n

2 +2003n

= _(n 2-2003n)

2003 . 2 2003 . 2

=仆 -2

)

+C

-2 - )

叉... 1 三 n 三五 2002 .·.n(2003-n)的最小值為 20侶，最大值為 1004003

2002

.一一一一一一至 1

. 'n(2003-n)

~P

k

<1

...(2002!)2 〉20022002 。

參考解答二:

20022002= (2002 1001 )2

(2002 ! )2

= [2002x(2002-I)x(2002-2) X...XI]2

= {[2002x I] x[(2002-1) x2] x[(2002-2) x3]

x...x[(2002-1000) xl001]}2

即 2002 !所代表之 2002 項之乘積可重組為 1001 項之乘積，且每一項可以

(2002-m) x (m+

I)表示，其中 m=O 、 1 、 2 、...、 1000

(2002-m) x (m+ I) = 2002m-m

2 +2002-m

= 2002+(2001-m)m

'''m

=0 、 1 、 2 、"、 1000 ...(2001-m)m這 O

... (2002-m) x (m+

I) 這 2002

".2002

I

>200io

01 .'. (2002 !

)2>2002

2002

。

解題重點: 重排後利用配方法、解不等式來比較大評析: 本題徵答人數共有93 人，其中全對者共 7 人，平均得分為 4.91 分。其中答題優良或解法富參考價值者有福和國中吳霄庭同學、福和國中林東岳同學、南門國中張鈞傑同學。問題編號

912402

如圖，直線表公路， A 、 B 兩黑點位置表遠處的兩棵樹，現在攝影師於公路上想要取景將兩棵樹入鏡，且希望取景角度 ζACB 最

-

58 一

(2)

大，那麼應該如何決定 C 點位置?試敘述取法並證明之。

B

. A

.

公路

C

參考解答:

(1

)作法:如圖過 A 、 B 作圓，並與直線 L 相切於 C 點，則切點 C 即為所要求之點。 B 公路 L (2)證明: 如上圖: 作小圓 Cl 過 A 、 B 、 C 三點，圓心為 p ，在 L 上任取異於 C 的一點 D' 作大圓 C2 過 A 、 B 、 D 三點，1iJ心為 Q' 則兩圓之圓心 p 、 Q 必都在 AB 的中垂線上， B

O-A

/L

l-2

=

B

D

A /L 且

B

D 且 A /L l 可但一

B

C

A L 自守刁 4I 叉 LAPB

>LAQB

故 LACB >LADB 。解題重點: 能知道圓心角與圖周角的關係'或用圓之切線性質求之。評析: 本題徵答人數共有 34 人，答對者共 22 人，平均得分為5.09 分。其中答題優良或解中學生通訊解題第二十四期題目參考解答與評析法富參考價值者有福和國中吳霄庭同學，銘傳國中顏煜洋同學O 問題編號

912403

解 2x

2_一

_II

[x]+ 12=0

0 ([x] 為小於或等於 x 的最大整數，例:

x=3.8

• [x]=3 ; x=-O

.4•

[x]=-I ; x=7

• [x]=7)

參考解答一: 1.定義: .:[x]為小於或等於x 的最大整數 :.x- 1< [x] 豆 x 2 計算:

求 x 的範圈:

2x

2 -ll[x]+12=0

勻

2x

2

₊₁₂

¢ 2x

L

+12=ll[x] ¢

[x]= 一了了一

2x

2 +12

狀況一:

x-I<

-1-1一

Ilx-I

1<

2x

2 +12 ¢ 2x 2-11x+23>0

.: (_11)2- 4-2-23<0

.

.狀況一沒有限制

2x

2 + 12

狀況二 -ττ一三三 x

':2x2+12=llx ¢

2x

2

-llx+12 三三 O

¢ (2x-3

)(x-4) 三 O

j 三 x~4

(I)若1.5 丟 x<2

¢ [x]=1

代入 2x

2

_-11

[x]+ 12=0 ¢ 2x2+

I=O(無實數

解) (2)若 2 三至 x<3

¢ [x]=2

代入 2x

2

_{_11}

[x]+ 12=0¢2x

2 -10=0¢x2=5

¢x=±-.j5

(負不合)

:. x

=-.J5

(第一個解)

(3) 若 3 三三 x<4

¢ [x]=3

代入 2x

2

_-11[x]+12=0

¢

2正-21=0

¢

-

59 一

(3)

科學教育月刊第 256 期中華民國九十二年三月

峙。但±仟(負不合)

x= 仟向解)

(4)若 x=4 ¢

[x]=4

代入 2x

2

_-11[x]+12=0

¢

2x

2

-32=0

¢

x

2

₌₁₆

¢

x=±4(負不合)

:.

x=4

(第三個

解)

3 計算串恥=但但

4

富參考價值者有福和國中林育任同學，東湖國中李光宇同學，江翠園中吳哲瑋同學，金華國中謝博丞同學。問題編號

912404

四邊形ABCD滿足_AB

_{= BC =10 '}

4三 ABC=100° ， ζCDA=130° ，貝

_{IJ BD =?}

參考解答二: 參考解答…:

C

¢

_BD

₌₁₀_。連_{EA 、} _{EC '則}_{A 、 D 、 C 、 E} 四點共圓，如下圖，以 B

為圓心，

AB 為半徑畫一個圓

.

.ζABC=100°

.

.ζABC 所對的弧是 100°

':AC

優弧=260°， ζCDA=130° :.D點在圓周上¢ _{BD 為半徑} 參考解答二: 圖一:

A

\_______

D

B-一_τ守一-C¢ 1.依題意作出圖一 2.過 _A、D、C 三點作一圓，在圖上取一點

_E'

1. 2x

2

-11[x]+12=0

¢

2x

2

=II[x]-12

文 0<2x

2

₌₁₁

_[x]-12

¢

11 [x]-12>0

¢

[x]>有如]為整數

¢ [x] 孟 2

2. 由定義 'x 這 [x]:. l1 x 美 11

[x]=2x

2

_+12>2x

2

oh

>

I

O

答:〈

l

o JL

K l

.LX 11 X 11

O

_{吋 =5.5}

_文凶手

X

¢ _[x]_{三 x<5.5 且 x}是整數 ¢ _{[x] 三三 5} 3.由 1 、 _2'2

_手

[x] 至5 將_{[x]=2 、 3 、 4 、 5} _代入求解_([x]_為整數)

[x]=2'

x=-{5

(負不合)

=3

,

X='仟(負不合)

=4

,

_x=4(負不合)

=5

內仟俏

計捕算餌串結僻吉躁眛果:吋

_仟

4

解題重點: 利用夾擊x的方法或討論_[x]_{的範團來求} x值。評析: 本題徵答人數共有94 人，其中全對者共 27

_{人，平均得分為}

3.64

分。答題優良或解法

.

.ζAEC+ζADC=180°

,

:.ζAEC=50。 3.在圓中， ζAEC

_與

ζABC對的弧相同，且 ζ_ABC=2L三_AEC' 一60一

(4)

中學生通訊解題第二十四期題目參考解答與評析 4.若購物中J 心到每個黑點的距離中的最大值定 =>B 點是這個圓的圓心，義為最佳距離，如原來的團中，則購物中心設 :.BD 為圓 B 的半徑置在何處時，最佳距離之值為最小?

:.AB =10 = BD

0 解題重點: 能洞察出以圓輔助，並利用圓周角與圓參考解答: 1.分成 x ，y 軸個別討論，總距離和最小即求心角或四點共圓的角度關係發現答案。

評析:

_{Ix 一司 +Ix-~ +[X-~+IX一叫 +[X-7[+IX 一叫}

本題徵答人數共有 71 人，其中全對者共

血1

62 人，平均得分為 6.34 分。其中答題優良或

Iy一叫 +Iy-~ +Iy-~

+IY-1

+Iy-~

+Iy-l

解法富參考價值者有興雅國中林昭平同學、之最小值，故當 x=4 或 5 或 6' 且 y=3 或 4 銘傳國中林召力安同學、衛道國中廖振廷同學。時皆可使總距離和為最小。 2.(x， y)共有 3x2=6 種可能情形 o 若不合住家 (6，4)位置，則有 5 種。問題編號

912405

3.再加入一點於(1，8)後，同理，分成 x，y 軸個別討論，總距離和最小即求

Ix 一 11 +Ix 一 21

+lx- 31+lx- 41+lx-

6

1 +Ix 一 71

+lx- 81

及

Iy-ol+l y 一 11

+ 1

y -

31 + 1

y -

41 +

_{Iy 一 61+1 y}

-7

1+1

y - 81

之最小值，故當 x=4 且 y=4 時可使總距離和為最小 o 4. 購物中心設置在 (5 ， 3) 、的， 3) 、 (7 ，4)等位置

876543210

8

7

6

5

4

3

2

時，最佳距離均為 6' 為最小 o 圖中表某城市的街道地圖，其中六個黑點位置表解題重點: 示住家位置，黑線表示道路位置，若現在要設置了解街道距離與直線距離之不同意義，一購物中心於某兩黑線交叉位置處: 清楚絕對值不等式的最小值之求法。 1.若此購物中心到每個黑點距離的距離和要最評析: 短，則應設置在何位置，試以所附座標標示? 本題徵答人數共有 20 人，其中全對者共 2.設置位置有幾種可能情形? 1 人 o 平均得分為 2.5 分。其中答題優良或解法富參考價值者有光華國中范祐維同學。 3.若再加入一點於(1，8)後，購物中心位置是否還一 61 一需要作調整?