1108 式的運算 聯立方程式 不等式與應用 解答

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1108 式的運算 聯立方程式 不等式與應用

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一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.已知兩多項式

 

2

2 4 f x   xaxb 與

  

3 2 3 5 3 g xcxdxx 相等,則 2 3 4 abcd (A) 24 (B) 28 (C) 32 (D) 36 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 5 4 3 3 0 2 a b c d               解得 a 5,b 7,c 3,d 2  a2b3c4d 36 ( )2.已知

5 4 2

 

4

2 2 1 axxx  xbxx 是x的二次多 項式,則 a b  (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 原式ax5

b1

x4x23x3 ∴ a0,b 1 0 解得 a0,b1 1 a b    ( )3.若、 為方程式x 3 1 x    的兩相異實根,則 2 2 ( 1)( 1)     (A)  1 (B) 1 3 (C)1 (D) 5 3 【100 年歷屆試題.】 解答 B 解析 x 3 1 x    左右同乘 x x2 3  x x2 x 3 0  1 1 1       , 3 3 1     2 2 4 2 2 4 1 1 4 ( 1)( 1) 1 2( ) 1 2   1                          4 2 1 1 1 3 3 3        

( )4.已知 cos60  4cos320  3cos20,則多項式 4x3  3x 除

以 x  cos20的餘式為何? (A)0 (B)1 2 (C) 3 2 (D)1 【096 年歷屆試題.】 解答 B 解析 令 f (x) 4x3 3x 由餘式定理知 f (x)除以 x  cos20的餘式為 3 1

(cos 20 ) 4cos 20 3cos 20 cos 60 2 f         ( )5.滿足 0 0 2 0 2 3 26 0 2 0 x y x y x y x y                , 的條件下,f (x , y)  x  2y 的最 小值為 (A)4 (B)8 (C)12 (D)16 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 0 0 2 0 2 3 26 0 2 0 x y x y x y x y                滿足方程組之區域為斜線部分 所圍區域之端點(2 , 0)、(13 , 0)、(4 , 6)、(0 , 2) 代入 f (x , y) x 2y f (2 , 0)  2  2  0  2 f (13 , 0)  13  2  0 13 f (4 , 6)  4  2  6 8 f (0 , 2)  0  2  24  f (x , y)的最小值為8 ( )6.某工廠用兩種不同原料均可生產同一成品,若採用甲 種原料,每噸成本 1000 元,運費 500 元,可得產品 90 公斤;若採用乙種原料,每噸成本 1500 元,運費 400 元,可得產品 100 公斤。現在每日預算成本總共 不得超過 6000 元,運費不得超過 2000 元,則此工廠 每日最多可生產成品多少公斤? (A)360 (B)400 (C)440 (D)480 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 設用甲原料 x 噸,乙原料 y 噸 0 0 1000 1500 6000 500 400 2000 x y x y x y        , 成本: 運費:

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- 2 - 求產量 f (x , y) 90x 100y 之最大  0 0 2 3 12 5 4 20 x y x y x y            , 以(12 20, 7 7 )代入得 f ( 12 20 , 7 7 )  90  12 7  100  20 7  440 公斤為最大 ( )7.設i 1,n 為任意正整數,則[(in)n  1]2  (A)i (B)  1 (C)  i (D)1 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 [(in)n  1]2 i2n(n  1) (i2)n(n  1) ( 1)n(n  1) 1 ∵ n 為任意正整數 ∴ n(n  1)必為偶數 ( )8.求 1 3 60 ( ) 2 i  之值為 (A)260 (B)230 (C)  260 (D)  230 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 60 30 30 30 1 3 4 4

( ) ( 1 3 ) [2(cos sin )] 2 (cos 40 sin 40 )

3 3 2 i ii   i      30 30 2 (cos 0 isin 0) 2    ( )9.甲、乙兩人同解 2 4 4 5 x ay bx y        ,若甲看錯 a 得(x , y)  (3 ,  1);乙看錯 b 得(x , y)  (5 ,  2),試求正確的解(x , y)  (A)(2 ,  1) (B)(  2 , 1) (C)(1 ,  2) (D)(  1 , 2) 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 將(x , y)  (3 ,  1)代入 bx 4y  5  b  3 將(x , y)  (5 ,  2)代入 2x ay  4  a  3 故正確方程式為 2 3 4 3 4 5 x y x y         (x , y)  (  1 , 2) ( )10.若(x  2)(x  2)  (x  3)(x  4)  7(3  x)  9,則 x  (A)1 (B)  1 (C)  2 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 原式  x2 4  x2 7x  12  21  7x  9 ∴ 14x 28,故 x  2 ( )11.複數 cos4 sin4 3 3 z i  的標準式為 (A) 1 3 2 2 i   (B) 3 1 2 2i   (C)1 3 2 2 i (D) 1 3 2 2 i   【龍騰自命題.】 解答 A ( )12.設(2x3  3x  1)  (3x3  2x2  2)  ax3  bx2  cx  d,其 中 a、b、c、d 為常數,則 ad  bc  (A)12 (B)9(C)7(D)5 【龍騰自命題.】 解答 C ( )13. 1 7 101 7 1 7 149 7 x y y x     的解(x , y)為 (A)(7 ,  7) (B)(21 ,  14) (C)(14 , 21) (D)(35 ,  7) (E)(14 , 35) 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 1 7 101 7 1 7 149 7 x y y x        50 50 250 7 x 7 y …    48 48 48 7 x 7 y  … 7 50  x y  35… 7 48  x y  7…    2x  28  x  14    2y  42  y  21 ( )14.設 z  1  i,則 | z20 |  (A)20 2 (B)1024 (C)10 2 (D)2048 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 z  1  i | z |  2  | z20 |  | z |20 ( 2)20 2101024

( )15.(cos54  isin54)5  (A)1 (B)1 (C)i (D)i

【龍騰自命題.】 解答 D ( )16.已知x、 y 滿足 3 2 12 0 2 0 0 0 x y x y x y                ,則 2x y 1之最大 值為 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析

(3)

- 3 -

 

x y, f x y

 

, 2x y 1

 

2,0 3

 

4,0 7

 

0,6 5

 

0, 2 1 ∴ 2x y 1的最大值為 7 ( )17.設複數 1 3 2 1 3 2 ( ) ( ) 2 2 i i z   ,則下列敘述何者有誤? (A)z  1 (B)z 的實部為 1 (C)z 的虛部為 0 (D)z 1 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (A) 2 2 2 2 1 3 1 3 (1 3 )(1 3 ) 1 3 ( ) ( ) [ ] ( ) 1 2 2 2 2 4 i i i i z          (B)1 的實部為 1 (C)1 的虛部為 0 (D)z 1 1 ( )18.不等式4x  17  3 的解為 (A)x  5 (B)x  5 (C)x  5 (D)x  5 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 4x  17 3  4x 20  x  5 ( )19.以 x  1 去除 2x3  3ax  6 與 ax4  x 1 所得之餘式相 等,則 a  (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 令 f (x) 2x3 3ax 6,g (x) ax4 x 1 根據餘式定理  f (1) g (1)  2  3a 6  a  1  1  a  2 ( )20.已知(2 , b)與(1 , 1)在直線 y  3x  2 的兩側,則 b 值 可為 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 y 3x  2  3x y  2  0 又(2 , b)、(1 , 1)在直線的兩側 故(6  b  2)(3  1  2)  0  b  4 ( )21.(4x3  2x2  2x  5)(2x2  5x  6)乘積中,x2的係數為 (A)  8 (B)  6 (C)  4 (D)0 (E)8 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 乘積中 x2的係數  (  2)  (  6)  2  (  5)  (  5)  2  12  10  10  8 ( )22.圖中斜線區域所表示的不等式為 (A)3x  2y (B) 1 3 2 x  y (C) 0 2 3 x y (D) 1 2 3 x y (E)2x  3y  6  0 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 經過(0 , 2)與(3 , 0) 兩點的直線方程式為 1 3 2 x y   (利用截距式), 因為斜線區域包含原點,故斜線區域的不等式為 1 3 2 x y   ( )23.下列何者為不等式|x  5|  |2  x|的解? (A) 3 2 2 x    (B) 3 2 x  (C)  5  x  0 (D)x   5 【096 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ |x  5|  |2  x| (x  5)2 (2  x)2 0  [(x  5)  (2  x)] [(x  5)  (2  x)]  0  7(2x  3)  0 ∴ 3 2 x  ( )24.行列式 2 2 13 15 2 13 2 2 13 15 2 15       (A) 35 (B) 45 (C) 55 (D) 65 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 2 2 13 15 2 13 2 2 13 15 2 15      2 15 2 13 2 13 2 15     ( 1)



 

2 2 15 2 15 2 13    

(4)

- 4 -   13 52 65 ( )25.若 2 3i 與 4 為實係數方程式 3 2 0 xaxbx c 的其 中兩根,則 a b c   (A) 28 (B) 29 (C) 30 (D) 31 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 3 2 xaxbxc

x4

x 

2 3i

  x 

2 3i

2

4 4 13 x x x     1 x 代入得 1    a b c

1 4 1 4 13



 

 30 31 a b c     

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