0108 第三冊解答

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(1)

0108 第三冊 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分) ( )1.某生的測驗成績與相對上課時數如表所示。若以上課時數為權 數,則其 6 個科目的加權平均成績為何? 科目 國文 英文 數學 歷史 地理 公民 成績 72 68 72 82 75 86 時數 5 4 4 2 2 2 (A)71 (B)72 (C)73 (D)74 解答 D 解析 權數和  5  4  4  2  2  2  19 成績與權數乘積的和  72  5  68  4  72  4  82  2  75  2  86  2  1406 故加權平均成績 1406 74 19   〈另解〉 若成績以 70 分為基準,把各科成績都減 70,則新成績如下: 國文:2,英文: 2,數學:2,歷史:12,地理:5,公民: 16 權數和  5  4  4  2  2  2  19 成績與權數乘積的和  2  5  (  2)  4  2  4  12  2  5  2  16  2  76 加權平均成績 76 4 19   故原來的加權平均成績  4  70  74 ( )2.已知 f (x)  3x,若f (a) 2 且 f (b) 4,則 f (a b) (A)2(B)4(C)6(D)8 解答 D 解析 ∵ f (a)  2  3a 2 又 f (b)  4  3b 4 ∴ f (a b)  3a b 3a 3b 2 4 8 ( )3.設 S 為一試驗之樣本空間,集合 A、B 皆為 S 中的事件,且 P (A) 為事件 A 發生的機率。下列敘述何者錯誤? (A)若 A 與 B 為 互斥事件,則 P (A B) P (A) P (B)恆成立 (B)P (B A) P (B) P (A)恆成立 (C)P (S A)  1  P (A)恆成立 (D)P (A B) P (A) P (B) P (A B)恆成立 解答 B 解析 (A)若 A 與 B 為互斥事件,則 P (A B)  0 故 P (A B) P (A) P (B) P (A B) P (A) P (B) (B)舉反例: 設 S 為擲一公正硬幣之樣本空間,A 為正面的事件,B 為反 面的事件 則 ( ) ( ) 1 2 P BAP B  , ( ) ( ) 1 1 0 2 2 P BP A     P(B A) P (B) P (A) 故 P(B A) P (B) P (A)不一定成立 (C)P (S A) P (A' )  1  P(A) (D)排容原理恆成立 ( )4.若兩數列 2 , 2a , 18 及 a 4 , 2 , a  7 都是等比數列,則下列何 者正確? (A)  6  a  4 (B)  4  a  2 (C)2  a  4 (D)4  a  6 解答 B 解析 ∵ 2 , 2a , 18 是等比數列 ∴ (2a)2 2 18 4a2 36 a2 9 a 3…… ∵ a 4 , 2 , a  7 是等比數列 ∴ 22 (a 4)(a 7) a2 11a 24 0 (a 8)(a 3) 0 a  8 或  3…… 由與 則 a  3,而  4  3  2 故選(B) ( )5.求多項式(2x  1)5(x 1)之 x2項的係數為何?(A) 30(B)  20(C)20 (D)30 解答 A 解析 (2x  1)5(x 1) (2x 1)5x  (2x 1)5…… 在(2x  1)5的展開式之中 x 項:C54(2 )( 1)x  410x,x2項: 5 2 3 2 3(2 ) ( 1) 40 C x    x 則(2x  1)5x 的 x2項為 10x2 由可知(2x  1)5(x 1)的 x2項為 10x2 ( 40x2)  30x2 故 x2項的係數為 30 ( )6.設 10 1 log 3 x ,則 log10(10x)  (A) 1 30 (B)1 (C) 4 3 (D) 10 3 解答 C

解析 log10(10x)  log1010  log10x 

1 4 1 3 3   ( )7.下列何者為方程式(24  x)x 16 之實數解? (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解答 A 解析 ∵ (24  x)x 16  2(4  x)x 24  (4 x)x 4 x2 4x 4 0 (x  2)2 0 ∴ x  2 ( )8.若 log3x  log3y  2,則1 1 xy 之最小值為何? (A)0(B)1 3(C) 2 3(D)1 解答 C

解析 log3x  log3y  2  log3xy  2  xy  32 9

又1 1 2 1 x y xy  1 1 1 2 2 9 3 x y  ∴ 1 1 xy 之最小值為 2 3 ( )9.設 3、3為方程式 2 1 0 81 x  x  的兩根,則 (A)  4 (B)  2 (C)2 (D)4 解答 A 解析 3、3為 2 1 0 81 x  x  的兩根

(2)

 3 3 1 81  3 3 4   4 ( )10.連續投擲一粒公正骰子三次,則三次點數和為 5 的機率為何? (A) 1 54 (B) 5 216 (C) 1 36 (D) 7 216 解答 C 解析 設 S 為投擲一粒公正骰子三次的樣本空間,A 為三次點數和為 5 的事件, 則 n(S)  6  6  6  216 ∵ A  {(1 , 1 , 3) , (1 , 3 , 1) , (3 , 1 , 1) , (1 , 2 , 2) , (2 , 1 , 2) , (2 , 2 , 1)} ∴ n(A)  6 故所求 ( ) 6 1 216 36 P A   ( )11.若 2385644a,則 a (A)19 20(B) 29 30(C) 19 10(D) 29 15 解答 A 解析 238564 6 1 6 1 21 1 21 1 7 1 7 19 1 1 1 1 1 3 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 2 5 10 2 2 2 2 2 2 (2 2 ) 2 (2 ) 2 (2 ) 2 2  2 2 2  2              而 4a (22)a 22a 因此2 19 10 a  19 20 a( )12.設三位數的百位數字為 a、十位數字為 b、個位數字為 c。若 a、 c 為偶數,b 為奇數,且 a b c,則滿足這些條件的三位數 共有多少個? (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 解答 D 解析 當 a  8 時,有 10 個 7 5 3 1 0 2 4 6 0 2 4 0 2 0 b c 、 、 、 、 、 、 當 a  6 時,有 6 個 5 3 1 0 2 4 0 2 0 b c 、 、 、 當 a  4 時,有 3 個 3 1 0 2 0 b c當 a  2 時,有 1 個 1 0 b c 因此滿足條件的三位數共有 10  6  3  1  20 個 ( )13.試求 6 139 除以4的餘數為何? (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 解答 C 解析 139 4 34…餘3  139 4 34 3 3 136  

6 6 139  3 136 C6036 6 5 6 4 2 1 3 136 2 3 136 C   C   6 6 6 136 C    6 3  

6 5 6 4 1 2 136 C  3 C  3 136 C661365

∵ 136可以被4整除 ∴ 6 139 除以4的餘數 6 3  除以4的餘數 而 6 3 729,729 4 182  …餘1 故所求餘數為1 ( )14.設

x2y

4與

x2y

5的展開式中所有項的係數和分別為 a 、b,則b a  (A)2 (B)1 (C) 1 2 (D)2 解答 B 解析 (1)令x1、y1代入

x2y

4:

  

4 4 1 2 1   1 1 則

x2y

4的展開式中所有項係數和為1 (2)令x1、y1代入

x2y

5:

  

5 5 1 2 1   1  1 則

x2y

5的展開式中所有項係數和為1 由(1)和(2)可知:a1,b 1 故 1 1 1 b a     ( )15.某位老師想了解某班級學生數學程度,隨機抽取十一位同學得 到他們入學考的數學成績如下:60、 55 、20、45、70、 90 、30 、60、45、45、 30 (單位:分),已知其算術平 均數等於 50 ,則這些分數的樣本標準差為何?(註:樣本標 準差

2 1 1 1 n i i S X X n    

) (A)15分 (B)20分 (C)25分 (D) 30 分 解答 B 解析 ∵ 算術平均數50 ∴ 離均差的平方和

 

2

 

2

 

2

2 60 50 55 50 20 50 45 50        

 

2

 

2

 

2

2 70 50 90 50 30 50 60 50         

45 50

 

2 45 50

 

2 30 50

2 4000 則樣本標準差 1 4000 11 1     400 20(分) 〈另解〉 把成績均乘以1 5,則新成績如下: 12、11、4、9、14、18、6、12、9、9、6 其算術平均數 1 50 10 5    離均差的平方和

 

2

 

2

2 12 10 11 10 4 10       

(3)

 

2

 

2

2 9 10  14 10  18 10

 

2

 

2

2 6 10 12 10 9 10      

 

2

2 9 10 6 10     160  樣本標準差 1 160 16 4 11 1      (分) 故原來成績的標準差  5 4 20(分) ( )16.有一組資料:0、3、6、9、12、15,設其平均值與標準差分別 為 a 、b,則關於另一組資料:1、2、3、4、5、 6  的平均值與標準差的敘述,何者正確? (A)平均值為 3a 1   ,標準差為 9 b (B)平均值為 1 3 a   ,標準差為 3 b (C) 平均值為 3a 1,標準差為 3 b (D)平均值為 1 3 a   ,標準 差為 9 b 解答 B 解析 令S1

0,3,6,9,12,15

x kk 1,2,3,4,5,6

S1的平均值與標準差為ab 設題目的另一組資料為S22 1 1 1, 2,3, 4,5,6 3 k S   xk    其平均值為 1 1 1 3 3 a a       標準差為 1 3 3 b b    ( )17.設 1 1 2 70 a        , 1 1 4 2500 b        , 1 1 8 216000 c        ,則 a 、bc 三個數的大小關係為何? (A)b c a (B)c b a (C)c a b (D)a b c 解答 A 解析 ∵ 1 1 4 2500 b         2 2 1 1 2 50 b              2 2 1 1 2 50 b             ∴ 1 1 2 50 b        ∵ 1 1 8 216000 c         3 3 1 1 2 60 c              3 3 1 1 2 60 c             ∴ 1 1 2 60 c        而 1 1 1 50 6070  1 1 1 2 2 2 b c a                   ∵ 1 2 x y      為遞減函數 ∴ b c a ( )18.設 1 2 1 2 a      , 1 3 1 3 b      , 1 6 1 6 c      ,則 a 、b、 c 大小順序 為何? (A)a c b (B)a b c (C)c a b (D)b c a 解答 C 解析 6 1 1 6 3 2 2 6 1 1 1 1 2 2 2 8 a                      6 1 1 6 2 3 3 6 1 1 1 1 3 3 3 9 b                      6 1 1 6 1 6 6 2 1 1 1 1 6 6 6 6 c                      則b6a6c6 b a c ( )19.已知 m 、n 為整數,若mlog5005nlog500 21,則m n (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 解答 A 解析 1 2 500 500 500 500

log 5 log 2log 5mlog (2 )n

m n

2 2

500 500 500

log 5 log 2 log (5 2 )

mnmn 而 3 2 500 500 1 log 500log (5 2 ), 則522  53 22 n m 3  mn4 故m n   3 4 7 ( )20.從1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6﹐7﹐8這八個數字中,任取3個相 異數字,若每個數字被取中的機會均相等,則取出之3個數字中,最 大的數字大於6的機率為何? (A) 5 14 (B) 5 12 (C) 7 12 (D) 9 14 解答 D 解析 設任取3個相異數字的樣本空間為S 最大數字為7的事件為A 最大數字為8的事件為B 則 8 3 8 7 6 ( ) 56 3!      n S C 6 2 6 5 ( ) 15 2!     n A C 7 2 7 6 ( ) 21 2     n B C 所求 ( ) ( ) 15 21 9 56 56 14 P AP B    〈另解〉 設任取3個相異數字的樣本空間為S 而3個數字6的事件為A 8 3 8 7 6 ( ) 56 3!      n S C 6 3 6 5 4 ( ) 20 3!      n A C

(4)

( ) 20 5 ( ) ( ) 56 14 n A   P A n S 所求P(3個數字中,最大的數6)  1 P(3個數字中,最大的數6)  1 P(3個數字6) 1 ( ) 1 5 9 14 14  P A    ( )21.設 a 、b、c 三個數均為正實數,且已知a c 36,若 a 、b、 12三數成等差數列,且2、b、 c 三數成等比數列,則下列敘述何 者有誤? (A)b c 32 (B)a b 12 (C)b22c(D)2b a 12 解答 A 解析 ∵ ab、12為等差數列 ∴ 12 2 a b   2b a 12(選項(D))  a2b12 ∵ 2、bc為等比數列 ∴ 2 2 bc(選項(C))  2 1 2 cba2b12, 1 2 2 cb 代入a c 36 則

2 12

1 2 36 2 b  b  2 2 4b24b 72  2 4 96 0 bb  

b8



b12

0  b8或12 而b為正實數,故b8 把b8代入 與 ,則a  2 8 124, 1 82 32 2 c   (A)b c  8 3240 (B)a b   4 8 12 故選(A) ( )22.若同時擲兩粒公正的骰子,則下列何者正確? (A)點數和等於 5的機率大於點數和等於8的機率 (B)點數和等於6的機率 大於點數和等於7的機率 (C)點數和等於7的機率大於點數 和等於9的機率 (D)點數和等於9的機率大於點數和等於8 的機率 解答 C 解析 設同時擲兩粒骰子的樣本空間為S,點數和等於k的機率為Pk (如:P5為點數和等於5的機率)

 

6 6 36 n S    擲兩粒骰子: 點數和 5 6 7 8 9 方法數 4 5 6 5 4 則 5 4 36 P  , 6 5 36 P  , 7 6 36 P  , 8 5 36 P  , 9 4 36 P  (A)P5P8 (B)P6P7 (C)P7P9 (D)P9P8 ( )23.已知四個正數 a 、b、 c 、d為一等比數列,若a b 20, 65     a b c d ,則a (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解答 D 解析 設等比數列的公比為rr0) 則barcar2dar3 20   a ba ar 20  a(1 r) 20  a b   c d 65  20   c d 65  c d 45  2 3 45   ar ar  2 (1 ) 45 ar r : 2(1 ) 45 (1 ) 20    ar r a r  2 9 4  r  3 2   r (負不合) 3 2  r 代回 : (1 3) 20 2   aa8 ( )24.連續投擲一公正硬幣四次,觀察其出現正反面的情形。已知E 為第二次投擲出現正面的事件,F為第三次投擲出現正面的事件, G為四次投擲中至少出現兩次正面的事件。若P A

 

表示事件A發 生的機率,則下列敘述何者正確? (A)

 

1 8 P E  (B)

1 8 P EG  (C)

|

1 4 P F E  (D)

 

11 16 P G  解答 D 解析 設樣本空間為S,則

 

4 2 16 n S   (A)E:第二次出現正面的事件

 

3 2 8 n E   則

 

 

 

168 12 n E P E n S    (B)∵ G表示至少出現兩次正面的事件 ∴ G表示只有一次正面或沒有正面的事件  EG:只有第二次出現正面,其餘皆為反面的事件

1 n EG  則

 

161 n E G P E G n S       (C)F:第三次出現正面的事件  FE:第二、三次均出現正面的事件

2 2 4 n FE   則

 

4 1 | 8 2 n F E P F E n E     (D)設G0為沒有出現正面的事件,

 

0 1 n G  ,則

 

 

 

0 0 1 16 n G P G n S   設G1為出現一次正面的事件,

(5)

 

1 4 n G  ,則

 

 

 

1 1 4 16 n G P G n S   則

 

1

 

1

 

0

 

1 P G  P G  P GP G 1 1 4 11 16 16 16     ( )25.設 a 、b、 c 三數成等比數列,且滿足a b c  9及 2 2 2 189 abc  ,則等比中項b (A)6 (B)2 (C)1 2 (D)6 解答 A 解析 〈法一〉 ∵ abc成等比數列 ∴ 2 bac 2 2 2 189 abc   a2c2189b2 9 a b c    a c  9 b

a c

 

2 9 b

2  a22acc281 18b b 2

2 2

ac 2ac81 18b b  2 

2

189 b 2b281 18b b  2  18b 108  6 b  〈法二〉 設等比數列abc的公比為rbar, 2 car 9 a b c    2 9 aarar  

2

1 9 a  r r  2 2 2 189 abc   2

 

2

 

2 2 189 aarar   a2a r2 2a r2 4 189  2

2 4

1 189 arr  :

2 2 4 2 1 189 9 1 a r r a r r      



2 2 2 2 1 1 21 1 a r r r r a r r        

2 1 21 a  r r   2 21 aarar   :2ar 12  ar 6 ∵ barb 6

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