0108 第三冊解答

0108 第三冊 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分) （ ）1.某生的測驗成績與相對上課時數如表所示。若以上課時數為權 數，則其 6 個科目的加權平均成績為何？ 科目 國文 英文 數學 歷史 地理 公民 成績 72 68 72 82 75 86 時數 5 4 4 2 2 2 (A)71 (B)72 (C)73 (D)74 解答 D 解析 權數和  5  4  4  2  2  2  19 成績與權數乘積的和  72  5  68  4  72  4  82  2  75  2  86  2  1406 故加權平均成績 1406 74 19   〈另解〉 若成績以 70 分為基準，把各科成績都減 70，則新成績如下： 國文：2，英文： 2，數學：2，歷史：12，地理：5，公民： 16 權數和  5  4  4  2  2  2  19 成績與權數乘積的和  2  5  (  2)  4  2  4  12  2  5  2  16  2  76 加權平均成績 76 4 19   故原來的加權平均成績  4  70  74 （ ）2.已知 f (x)  3x_{，若f (a)}  _{2 且 f (b)}  _{4，則 f (a}  _b) _{(A)2(B)4(C)6(D)8} 解答 D 解析 ∵ f (a)  2  3a ₂ 又 f (b)  4  3b ₄ ∴ f (a  b)  3a  b ₃a ₃b ₂  ₄  ₈ （ ）3.設 S 為一試驗之樣本空間，集合 A、B 皆為 S 中的事件，且 P (A) 為事件 A 發生的機率。下列敘述何者錯誤？ (A)若 A 與 B 為 互斥事件，則 P (A  B)  P (A)  P (B)恆成立 (B)P (B  A)  P (B)  P (A)恆成立 (C)P (S  A)  1  P (A)恆成立 (D)P (A  B)  P (A)  P (B)  P (A  B)恆成立 解答 B 解析 (A)若 A 與 B 為互斥事件，則 P (A  B)  0 故 P (A  B)  P (A)  P (B)  P (A  B)  P (A)  P (B) (B)舉反例： 設 S 為擲一公正硬幣之樣本空間，A 為正面的事件，B 為反 面的事件 則 ( ) ( ) 1 2 P BA P B  ， ( ) ( ) 1 1 0 2 2 P B P A     P(B  A)  P (B)  P (A) 故 P(B  A)  P (B)  P (A)不一定成立 (C)P (S  A)  P (A' )  1  P(A) (D)排容原理恆成立 （ ）4.若兩數列 2 , 2a , 18 及 a  4 , 2 , a  7 都是等比數列，則下列何 者正確？ (A)  6  a  4 (B)  4  a  2 (C)2  a  4 (D)4  a  6 解答 B 解析 ∵ 2 , 2a , 18 是等比數列 ∴ (2a)2 ₂  ₁₈  _4a2 ₃₆  a2 ₉  _a _3…… ∵ a  4 , 2 , a  7 是等比數列 ∴ 22 _(a  _4)(a  ₇₎  a2 _11a  ₂₄  ₀  _(a  _8)(a  ₃₎  ₀  _a  _{8 或}  3…… 由與 則 a  3，而  4  3  2 故選(B) （ ）5.求多項式(2x  1)5_(x  _{1)之 x}2_{項的係數為何？(A)}  _30(B)  20(C)20 (D)30 解答 A 解析 (2x  1)5_(x  ₁₎  _(2x  ₁₎5x  _(2x  ₁₎5_…… 在(2x  1)5_{的展開式之中} x 項：C5₄(2 )( 1)x  410x，x2_項： 5 2 3 2 3(2 ) ( 1) 40 C x    x 則(2x  1)5_{x 的 x}2_{項為 10x}2 由可知(2x  1)5_(x  _{1)的 x}2_{項為 10x}2 ₍  _40x2₎  _30x2 故 x2_{項的係數為}  ₃₀ （ ）6.設 10 1 log 3 x ，則 log10(10x)  (A) 1 30 (B)1 (C) 4 3 (D) 10 3 解答 C

解析 log10(10x)  log1010  log10x 

1 4 1 3 3   （ ）7.下列何者為方程式(24  x₎x _{16 之實數解？ (A)2 (B)3 (C)4} (D)5 解答 A 解析 ∵ (24  x₎x ₁₆  2(4  x)x ₂4  ₍₄  _x)x  ₄  _x2 _4x  ₄  ₀  _(x  2)2 ₀ ∴ x  2 （ ）8.若 log3x  log3y  2，則1 1 x y 之最小值為何？ (A)0(B)1 3(C) 2 3(D)1 解答 C

解析 log3x  log3y  2  log3xy  2  xy  32 9

又1 1 2 1 x y xy  1 1 1 2 2 9 3 x y  ∴ 1 1 x y 之最小值為 2 3 （ ）9.設 3、3為方程式 2 1 0 81 x  x  的兩根，則 (A)  4 (B)  2 (C)2 (D)4 解答 A 解析 3、3為 2 1 0 81 x  x  的兩根

 3 3 1 81 _  _{  3}_{ 3} 4   ₄ （ ）10.連續投擲一粒公正骰子三次，則三次點數和為 5 的機率為何？ (A) 1 54 (B) 5 216 (C) 1 36 (D) 7 216 解答 C 解析 設 S 為投擲一粒公正骰子三次的樣本空間，A 為三次點數和為 5 的事件， 則 n(S)  6  6  6  216 ∵ A  {(1 , 1 , 3) , (1 , 3 , 1) , (3 , 1 , 1) , (1 , 2 , 2) , (2 , 1 , 2) , (2 , 2 , 1)} ∴ n(A)  6 故所求 ( ) 6 1 216 36 P A   （ ）11.若 ₂3₈5₆₄₄a_{，則 a } (A)19 20(B) 29 30(C) 19 10(D) 29 15 解答 A 解析 238564 6 1 6 1 21 1 21 1 7 1 7 19 1 1 1 1 1 3 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 2 5 10 2 2 2 2 2 2 (2 2 ) 2 (2 ) 2 (2 ) 2 2  2 2 2  2              而 4a ₍₂2₎a ₂2a_， 因此2 19 10 a  19 20 a （ ）12.設三位數的百位數字為 a、十位數字為 b、個位數字為 c。若 a、 c 為偶數，b 為奇數，且 a  b  c，則滿足這些條件的三位數 共有多少個？ (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 解答 D 解析 當 a  8 時，有 10 個 7 5 3 1 0 2 4 6 0 2 4 0 2 0 b c 、 、 、 、 、 、 當 a  6 時，有 6 個 5 3 1 0 2 4 0 2 0 b c 、 、 、 當 a  4 時，有 3 個 3 1 0 2 0 b c 、 當 a  2 時，有 1 個 1 0 b c 因此滿足條件的三位數共有 10  6  3  1  20 個 （ ）13.試求 6 139 除以4的餘數為何？ (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 解答 C 解析 139 4 34…餘3  139 4 34 3 3 136  





6 6 139  3 136 C6036 6 5 6 4 2 1 3 136 2 3 136 C   C   6 6 6 136 C    6 3  



6 5 6 4 1 2 136 C  3 C  3 136 C661365



∵ 136可以被4整除 ∴ 6 139 除以4的餘數 6 3  除以4的餘數 而 6 3 729，729 4 182  …餘1 故所求餘數為1 （ ）14.設



x2y



4與



x2y



5的展開式中所有項的係數和分別為 a 、b，則b a  (A)2 (B)1 (C) 1 2 (D)2 解答 B 解析 (1)令x1、y1代入



x2y



4：



  

4 4 1 2 1   1 1 則



x2y



4的展開式中所有項係數和為1 (2)令x1、y1代入



x2y



5：



  

5 5 1 2 1   1  1 則



x2y



5的展開式中所有項係數和為1 由(1)和(2)可知：a1，b 1 故 1 1 1 b a     （ ）15.某位老師想了解某班級學生數學程度，隨機抽取十一位同學得 到他們入學考的數學成績如下：60、 55 、20、45、70、 90 、30 、60、45、45、 30 （單位：分），已知其算術平 均數等於 50 ，則這些分數的樣本標準差為何？（註：樣本標 準差





2 1 1 1 n i i S X X n    



） (A)15分 (B)20分 (C)25分 (D) 30 分 解答 B 解析 ∵ 算術平均數50 ∴ 離均差的平方和



 

2

 

2

 

2



2 60 50 55 50 20 50 45 50        



 

2

 

2

 

2



2 70 50 90 50 30 50 60 50         



45 50

 

2 45 50

 

2 30 50



2 4000 則樣本標準差 1 4000 11 1     400 20（分） 〈另解〉 把成績均乘以1 5，則新成績如下： 12、11、4、9、14、18、6、12、9、9、6 其算術平均數 1 50 10 5    離均差的平方和



 

2

 

2



2 12 10 11 10 4 10       



 

2

 

2



2 9 10  14 10  18 10



 

2

 

2



2 6 10 12 10 9 10      



 

2



2 9 10 6 10     160  樣本標準差 1 160 16 4 11 1      （分） 故原來成績的標準差  5 4 20（分） （ ）16.有一組資料：0、3、6、9、12、15，設其平均值與標準差分別 為 a 、b，則關於另一組資料：1、2、3、4、5、 6  的平均值與標準差的敘述，何者正確？ (A)平均值為 3a 1   ，標準差為 9 b (B)平均值為 1 3 a   ，標準差為 3 b (C) 平均值為 3a 1，標準差為 3 b (D)平均值為 1 3 a   ，標準 差為 9 b 解答 B 解析 令S₁



0,3,6,9,12,15







x k_k 1,2,3,4,5,6



則S₁的平均值與標準差為a、b 設題目的另一組資料為S₂ 則 ₂ 1 1 1, 2,3, 4,5,6 3 k S   x  k    其平均值為 1 1 1 3 3 a a       標準差為 1 3 3 b b    （ ）17.設 1 1 2 70 a        ， 1 1 4 2500 b        ， 1 1 8 216000 c        ，則 a 、b、 c 三個數的大小關係為何？ (A)b c a (B)c b a (C)c a b (D)a b c 解答 A 解析 ∵ 1 1 4 2500 b         2 2 1 1 2 50 b _{ }  _{ }  _{ }  _{ }          2 2 1 1 2 50 b _{ }  _{ }  _{ }  _{ }         ∴ 1 1 2 50 b        ∵ 1 1 8 216000 c         3 3 1 1 2 60 c _{ }  _{ }  _{ }  _{ }          3 3 1 1 2 60 c _{ }  _{ }  _{ }  _{ }         ∴ 1 1 2 60 c        而 1 1 1 50 6070  1 1 1 2 2 2 b c a   _  _              ∵ 1 2 x y      為遞減函數 ∴ b c a （ ）18.設 1 2 1 2 a      ， 1 3 1 3 b      ， 1 6 1 6 c      ，則 a 、b、 c 大小順序 為何？ (A)a c b (B)a b c (C)c a b (D)b c a 解答 C 解析 6 1 1 6 3 2 2 6 1 1 1 1 2 2 2 8 a  _{ }  _{   }    _{ } _{ } _{ }  _{ }  _{   }   6 1 1 6 2 3 3 6 1 1 1 1 3 3 3 9 b  _{ }  _{   }    _{ } _{ } _{ }  _{ }  _{   }   6 1 1 6 1 6 6 2 1 1 1 1 6 6 6 6 c  _{ }  _{   }    _{ } _{ } _{ }  _{ }  _{   }   則_b6_a6_c6 _ b a c （ ）19.已知 m 、n 為整數，若mlog₅₀₀5nlog₅₀₀ 21，則m n (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 解答 A 解析 1 2 500 500 500 500

log 5 log 2log 5mlog (2 )n

m n

2 2

500 500 500

log 5 log 2 log (5 2 )

 m n  m n 而 3 2 500 500 1 log 500log (5 2 )， 則₅ ₂2  ₅3 ₂2 n m _ 3  m ，n4 故m n   3 4 7 （ ）20.從1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6﹐7﹐8這八個數字中，任取3個相 異數字，若每個數字被取中的機會均相等，則取出之3個數字中，最 大的數字大於6的機率為何？ (A) 5 14 (B) 5 12 (C) 7 12 (D) 9 14 解答 D 解析 設任取3個相異數字的樣本空間為S 最大數字為7的事件為A 最大數字為8的事件為B 則 8 3 8 7 6 ( ) 56 3!      n S C 6 2 6 5 ( ) 15 2!     n A C 7 2 7 6 ( ) 21 2     n B C 所求 ( ) ( ) 15 21 9 56 56 14 P A P B    〈另解〉 設任取3個相異數字的樣本空間為S 而3個數字6的事件為A 8 3 8 7 6 ( ) 56 3!      n S C 6 3 6 5 4 ( ) 20 3!      n A C

( ) 20 5 ( ) ( ) 56 14 n A   P A n S 所求P(3個數字中，最大的數6)  1 P(3個數字中，最大的數6)  1 P(3個數字6) 1 ( ) 1 5 9 14 14  P A    （ ）21.設 a 、b、c 三個數均為正實數，且已知a c 36，若 a 、b、 12三數成等差數列，且2、b、 c 三數成等比數列，則下列敘述何 者有誤？ (A)b c 32 (B)a b 12 (C)b22c(D)2b a 12 解答 A 解析 ∵ a、b、12為等差數列 ∴ 12 2 a b   2b a 12（選項(D)）  a2b12 ∵ 2、b、c為等比數列 ∴ 2 2 b  c（選項(C)）  2 1 2 c b 把a2b12， 1 2 2 c b 代入a c 36 則



_{2 12}



1 2 ₃₆ 2 b  b  2 2 4b24b 72  2 _{4 96 0} b  b  



b8



b12



0  b8或12 而b為正實數，故b8 把b8代入 與 ，則a  2 8 124， 1 82 32 2 c   (A)b c  8 3240 (B)a b   4 8 12 故選(A) （ ）22.若同時擲兩粒公正的骰子，則下列何者正確？ (A)點數和等於 5的機率大於點數和等於8的機率 (B)點數和等於6的機率 大於點數和等於7的機率 (C)點數和等於7的機率大於點數 和等於9的機率 (D)點數和等於9的機率大於點數和等於8 的機率 解答 C 解析 設同時擲兩粒骰子的樣本空間為S，點數和等於k的機率為P_k （如：P₅為點數和等於5的機率）

 

6 6 36 n S    擲兩粒骰子： 點數和 5 6 7 8 9 方法數 4 5 6 5 4 則 ₅ 4 36 P  ， ₆ 5 36 P  ， ₇ 6 36 P  ， ₈ 5 36 P  ， ₉ 4 36 P  (A)P₅ P₈ (B)P₆P₇ (C)P₇ P₉ (D)P₉P₈ （ ）23.已知四個正數 a 、b、 c 、d為一等比數列，若a b 20， 65     a b c d ，則a (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解答 D 解析 設等比數列的公比為r（r0） 則bar，_c_ar2_，d _ar3 20   a b  a ar 20  a(1 r) 20  a b   c d 65  20   c d 65  c d 45  2 3 45   ar ar  2 (1 ) 45 ar r ： 2_{(1 ) 45} (1 ) 20    ar r a r  2 9 4  r  3 2   r （負不合） 3 2  r 代回 ： (1 3) 20 2   a  a8 （ ）24.連續投擲一公正硬幣四次，觀察其出現正反面的情形。已知E 為第二次投擲出現正面的事件，F為第三次投擲出現正面的事件， G為四次投擲中至少出現兩次正面的事件。若P A

 

表示事件A發 生的機率，則下列敘述何者正確？ (A)

 

1 8 P E  (B)





1 8 P EG  (C)



|



1 4 P F E  (D)

 

11 16 P G  解答 D 解析 設樣本空間為S，則

 

4 2 16 n S   (A)E：第二次出現正面的事件

 

3 2 8 n E   則

 

 

 

168 12 n E P E n S    (B)∵ G表示至少出現兩次正面的事件 ∴ G表示只有一次正面或沒有正面的事件  EG：只有第二次出現正面，其餘皆為反面的事件





1 n EG  則









 

161 n E G P E G n S       (C)F：第三次出現正面的事件  FE：第二、三次均出現正面的事件





2 2 4 n FE   則









 

4 1 | 8 2 n F E P F E n E     (D)設G₀為沒有出現正面的事件，

 

0 1 n G  ，則

 

 

 

0 0 1 16 n G P G n S   設G₁為出現一次正面的事件，

 

1 4 n G  ，則

 

 

 

1 1 4 16 n G P G n S   則

 

1

 

1

 

0

 

1 P G  P G  P G P G 1 1 4 11 16 16 16     （ ）25.設 a 、b、 c 三數成等比數列，且滿足a b c  9及 2 2 2 189 a b c  ，則等比中項b (A)6 (B)2 (C)1 2 (D)6 解答 A 解析 〈法一〉 ∵ a、b、c成等比數列 ∴ 2 b ac 2 2 2 ₁₈₉ a b c   _a2_c2₁₈₉_b2 9 a b c    a c  9 b 



a c

 

2 9 b



2  _a2_2ac_c2_{81 18} _{b b} 2 _



2 2



a c 2ac 81 18b b  2 



2



189 b 2b281 18b b  2  18b 108  6 b  〈法二〉 設等比數列a、b、c的公比為r 則bar， 2 car 9 a b c    2 9 aarar  



2



1 9 a  r r  2 2 2 189 a b c   2

 

2

 

2 2 189 a  ar  ar   _a2_{a r}2 2_{a r}2 4 ₁₈₉  2



2 4



1 189 a r r  ：









2 2 4 2 1 ₁₈₉ 9 1 a r r a r r      











2 2 2 2 1 1 21 1 a r r r r a r r        





2 1 21 a  r r   2 21 aarar   ：2ar 12  ar 6 ∵ bar ∴ b 6