4-1 有向線段與向量
高中數學
向 量
座號:
姓名:
1.純量:有大小而沒有方向,如:長度、質量、體積。 2.向量:具有大小之外, 還有方向,如:位移、速度、力等。 3.有向線段:,帶有箭頭的線段, 稱為從 A 點到 B 點的 記作AB
。 4.長度:以 AB
表示。 5.向量相等:若向量的大小相等,且方向相同,即為向量相等。4-1 有向線段與向量 6.零向量:始點與終點重合的有向線段所代表的向量稱為,記作
0 。 7.反向量﹕若兩向量AB及CD之長度相等,但方向相反,則稱AB與CD互為反 向,即AB CD。 8.單位向量﹕長度為 1 的向量,就稱為單位向量。 9.向量的加減法﹕ (1)向量相加﹕已知兩向量AB與CD﹐則AB+CD可以利用﹕ 平行四邊形法(如圖) 以向量AB的始點A 作一向量AF且AF =CD﹐再以AB﹑ AF 為兩鄰邊﹐作一平行四邊形ABEF﹐則AE=AB+CD. 三角形法(如圖) 以向量AB的終點B 作一向量BE且BE=CD﹐則向量AE=AB+CD. (2)向量相減﹕已知兩向量AB與CD﹐則AB-CD=AB+ (-CD)=AB+DC﹐即AB -CD視為AB與CD的反向量DC相加。 10. 向量係數積的基本性質﹕設a﹑b為兩個非零向量,r、s 皆為實數,則 (1) r(a+b) = ra+ rb (2) (r + s)a= ra+sa (3) r(sa) = (r×s)a= s(ra)第四章 向 量
4-1 有向線段與向量
觀念: 例1:在圓O的內接正六邊形中, 令AB
a BC, b AF, c , 如下圖所示: 問AO BO FO OC OD OE CD ED
, , , , , , , 與FE
哪些向量分別與
a b c, , 相等?4-1 有向線段與向量 例2:將下列各角化為度度量﹒ 5 3 5 4 2 【練習題】 (1)將下列各角化為弧度量﹒ (2)將下列各角化為度度量﹒ 150 22 30 23 12 3 例2:已知扇形的半徑為 10 公分,圓心角
72
,求其弧長s及面積A。 【練習題】已知扇形的半徑為6 公分,弧長4 公分,求其圓心角的度數及面積。 例3:下列選項何者正確? (1) cos 2 cos . (2)sin( ) sin . (3) - tan 2 3 tan . (4)sin 3 2 4 2 .4-1 有向線段與向量 (5) cos 3 4 -cos . 例4:求下列各三角函數值。 (1)
sin
6
(2)cos8 3 (3) 31 tan 4
【練習題】求下列各三角函數值﹒ (1)sin5 6
(2) 5 cos 3
(3) 11 tan 4
例5:試利用ysinx的圖形畫出下列各函數的圖形,並求其最大值、最小值及 週期. (1)ysinx1. (2)sin
4
y
x
4-1 有向線段與向量 【練習題】試利用ysinx的圖形畫出下列各函數的圖形, 並求其最大值、最小 值及週期. (1)ysinx1 (2) 2 sin x y
4-1 有向線段與向量 例6:試利用ysinx的圖形畫出下列各函數的圖形, 並求其最大值、最小 值及週期. (1)y2sinx. (2)ysin 2x 【練習題】試利用ysinx的圖形畫出下列各函數的圖形, 並求其最大值、最小 值及週期. (1)y 2sinx (2) sin 2 x y 例7:試利用ycosx的圖形畫出下列各函數的圖形, 並求其最大值、最小值 及週期 (1)ycosx2. (2)y3cosx
4-1 有向線段與向量
例8:設asin1、bsin 2、csin 3、dsin 4, 試比較a b c d、 、 、 的大小。
【練習題】比較cos1 cos 2 cos3 cos 4、 、 、 的大小。
例9:求方程式sin 1 2
4-1 有向線段與向量
【練習題】設0 x 2 ,下列各方程式的實根個數。
(1)cos 1 2
3-2 和角、倍角及半角公式
第三章 三角函數的性質與應用
3-2 和角、倍角及半角公式
觀念:
1. 正餘弦的和角公式﹕
(1)sin
sin cos cos sin (2)sin
sin cos cos sin (3)cos
cos cos sin sin (4)cos
cos cos sin sin 2. 正切的和角公式﹕
(1)tan
tan tan 1 tan tan (2)tan
tan tan 1 tan tan 3. 平方差公式﹕(1)sin
sin
sin2sin2 cos2cos2 (2)cos
cos
cos2sin2 cos2sin24. 二倍角公式﹕
(1)sin 2 2sin cos ﹒ (2) 2 2 2 2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin ﹒
(3) 2 2 tan tan 2 1 tan ﹒ 5. 三倍角公式﹕
(1)sin 3 3sin4sin3 ﹒ (2)cos3 4 cos3 3cos ﹒ 6. 半角公式﹕ (1)sin 1 cos 2 2 (取正﹑取負視 2 所在象限的 sin之正負而定) (2)cos 1 cos 2 2 (取正﹑取負視 2 所在象限的cos之正負而定) (3)tan 1 cos sin 1 cos
2 1 cos 1 cos sin
(取正負時視2 所在象限的 tan之正負而定) 7.正切表正餘弦公式﹕ (1)sin 2 2 tan2 1 tan (2) 2 2 1 tan cos 2 1 tan
3-2 和角、倍角及半角公式
例2:求
cos15
的值【練習題】求下列各式的值:
(1)
sin 75
(2)sin15
(3)tan 75
(4)tan15
例3:求下列各式的值:
(1) 求
cos48 cos12
sin 48 sin12
的值.(2)求
sin 67 cos83
sin 23 cos7
的值【練習題】求下列各式的值:
(1)求
sin 200 cos80
cos200 sin80
的值3-2 和角、倍角及半角公式 例4:設
0
2
,2
,且cos
3
5
、sin
12
13
求sin(
)
與cos(
)
的值。 【練習題】設
為第三象限角,且sin
3
5
,
為第四象限角,且cos
2
3
, 求sin(
)
與cos(
)
的值 例5:設0 0 2 2 、 ,且tan 1 tan 1 2 3 、 ,求 tan( )的值。【練習題】在△ABC 中,tan 1 tan 2 3
A 、 B ,求
tanc
的值及
C
的度數。例6:已知 2 且sin 3 5
3-2 和角、倍角及半角公式 【練習題】已知3 2 2 且 3 cos 4
3-2 和角、倍角及半角公式 例7:已知sin cos 1 5 ,求sin 2 的值。 【練習題】已知sin cos 1 3 ,求sin 2 的值。 例8:求
sin18
的值。 【練習題】求cos36
的值。3-2 和角、倍角及半角公式 【練習題】求sin58 與cos58 的值。 例10:已知 32 且sin 4 5 ,求sin cos 2 2 、 與tan 2 的值。 【練習題】已知4 且 2 sin 2 4 5
,求sin
、cos
與tan 的值。例11:如下圖,有一足球場寬 63 公尺,球門寬 7 公尺,某足球員沿邊界帶球
突破,在距底線35 公尺處起腳射門,設此時足球對球門所張的角為 ,
3-2 和角、倍角及半角公式 例12:如右圖所示,在山壁上鑿出一隧道形狀的倉庫,上沿為圓弧 AD,其所在 圓的圓心為BC的中點O,半徑為 10 公尺,AB與CD均垂直於BC,且 5 AB CD 公尺。今有一矩形箱子欲放入隧道形倉庫裡,試問:這矩形箱 子的正面面積最大值為多少平方公尺?
3-4 複數的極式
第三章 三角函數的性質與應用
3-4 複數的極式 觀念: 1. 極坐標系的基本概念﹕ 以O(極點或原點)為端點,作一水平射線OX
,稱為極軸。 對於平面上任一點P,若OP r ,其中r0且以OX
為始邊,OP
為終邊的有向 角為(如右圖), 則數對
r, 就稱為點P的極坐標。 而r和分別稱為點P的向徑和輻角。 註﹕(1) 因為同界角具有相同的始邊與終邊,
r, 和
r n, 2
(n為整數)表示同一 點。 (2) 平面上的任一點,皆至少可以一組極坐標
r, 表示﹐反過來說﹐ 任給予一組極坐標
r, ﹐也可以在極坐標平面上找到其對應的位 置﹒ 2. 極坐標與直角坐標系﹕ 在平面直角坐標系上﹐以原點O為極點﹐x軸正向方為極 軸﹐則平面上任意點P﹐同時可以表成直角坐標
x y,
與 極坐標
r, ﹐其關係如下﹕ cos sin x r y r ﹐其中 2 2 r x y ﹒ 3. 複數的極式﹕ 任一複數z x yi ,其中x、y為實數,在直角坐標 上都可以找到一對應點P x y
,
,若將點P x y
,
化為 極坐標
r, ,則x r cos ﹐y r sin ﹐其中3-4 複數的極式 2 2 r x y ,因此,z r
cos isin
就稱為z的複數極式。 而r OP x2y2 z 稱為z的向徑。為輻角,若0 2 ,則稱為z的主輻 角,記作Arg z
﹒ 例1:求出下列各複數的絕對值、主輻角與極式. 1 (1)z 1 3i (2)z2 1 i (3)z3 3 (4)z4 2i 【練習題】將下列各複數寫成極式:(1) 3 i
(2) 2 2i
(3) i (4) 23-4 複數的極式
觀念:
4.複數極式的乘與除﹕
設二複數z1r1
cos1isin1
,z2 r2
cos2isin2
其中r1 z1 ,r2 z2(1)z1 z2 r r1 2cos
1 2
isin
1 2
(2) 1 1
1 2 1 2 2 2 cos sin z r i z r 5.棣美弗定理﹕設z r
cos isin
,其中r0,若n為正整數,則
cos
sin
n nz
r
n
i
n
6. 1 的n次方根﹕ 設n為正整數﹐方程式zn 1的n個根分別為﹕ 2 2 cos sin k k k z i n n ,其中k 0、1、2、…、n1 7.令 cos2 isin2 n n ﹐n為正整數﹐則xn 1的n個根即為1﹐﹐2﹐3﹐ …﹐n1﹒滿足 (1)n 1﹒ (2)1 23 n10 ﹒ (3)xn1xn2 x2 x 1
x
x2
x3
xn1
﹒ 8.複數的n次方根﹕ 設 r
cos isin
﹐其中r0﹐則方程式zn 的n個根(n為正整數) 為﹕ 2 2 cos sin n k k k z r i n n ﹐其中k0﹐1 2 …﹐ ﹐ ﹐n1﹒3-4 複數的極式
例2:求(cos80(cos35isin80 )(cos50isin35 )(cos5 iisin5 )sin50 ) 的值。
【練習題】求(cos55 sin55 )(cos 25 sin 25 )
cos 20 sin 20
i i
i
的值。
例3:已知z16(cos10isin10 ) 、z2 2(sin 70icos70 ) 、 3 3(cos50 sin 50 ) z i 求 (1)
z z
1
2 (2) 1 3 z z【練習題】求(cos50 sin50 )(sin 40 cos 40 )
cos80 sin80 i i i 的值。 例4:求
1
3i
10的值。3-4 複數的極式 【練習題】試求下列各數的值: 10 (1) (cos18isin18 ) . (2) (2 2 ) i 12 例5:求 6 1 3 i 的值。 【練習題】求
3 i
9的值。 例6:試求 1 的五次方根, 並將代表它們的點描在複數平面上。 【練習題】(1)求 1 的六次方根,並將代表它們的點描在複數平面上. (2)解方程式z5z4z3z2 z 1 0 例7:求 8 8 3i的四次方根。並將代表它們的點描在複數平面上。3-4 複數的極式 【練習題】 求 4 4 3i的3 個三次方根,並求這 3 個根在複數平面上所圍的三角形面積。 例8:寫出下圖中 A、B、C、D 兩點的極坐標。 例9:已知點P的極坐標為4,43 ,求其直角坐標。 【練習題】已知點P的極坐標為 8, 4 ,求其直角坐標。