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(1)

4-1 有向線段與向量

高中數學

向 量

座號:

姓名:

1.純量:有大小而沒有方向,如:長度、質量、體積。 2.向量:具有大小之外, 還有方向,如:位移、速度、力等。 3.有向線段:,帶有箭頭的線段, 稱為從 A 點到 B 點的 記作AB

4.長度:以 AB

表示。 5.向量相等:若向量的大小相等,且方向相同,即為向量相等。

(2)

4-1 有向線段與向量 6.零向量:始點與終點重合的有向線段所代表的向量稱為,記作

0 。 7.反向量﹕若兩向量ABCD之長度相等,但方向相反,則稱ABCD互為反 向,即AB CD。 8.單位向量﹕長度為 1 的向量,就稱為單位向量。 9.向量的加減法﹕ (1)向量相加﹕已知兩向量ABCD﹐則AB+CD可以利用﹕ 平行四邊形法(如圖) 以向量AB的始點A 作一向量AF且AF =CD﹐再以ABAF 為兩鄰邊﹐作一平行四邊形ABEF﹐則AE=AB+CD. 三角形法(如圖) 以向量AB的終點B 作一向量BE且BE=CD﹐則向量AE=AB+CD. (2)向量相減﹕已知兩向量ABCD﹐則AB-CD=AB+ (-CD)=AB+DC﹐即AB -CD視為ABCD的反向量DC相加。 10. 向量係數積的基本性質﹕設a﹑b為兩個非零向量,r、s 皆為實數,則 (1) r(a+b) = ra+ rb(2) (r + s)a= ra+sa(3) r(sa) = (r×s)a= s(ra)

第四章 向 量

4-1 有向線段與向量

觀念: 例1:在圓O的內接正六邊形中, 令AB

     

a BC,  b AF,  c , 如下圖所示:AO BO FO OC OD OE CD ED

       

, , , , , , , 與FE

哪些向量分別與

  

a b c, , 相等?

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4-1 有向線段與向量 例2:將下列各角化為度度量﹒ 5 3  5 4  2 【練習題】 (1)將下列各角化為弧度量﹒ (2)將下列各角化為度度量﹒ 150 22 30 23 12 3 例2:已知扇形的半徑為 10 公分,圓心角

72

,求其弧長s及面積A。 【練習題】已知扇形的半徑為6 公分,弧長4 公分,求其圓心角的度數及面積。 例3:下列選項何者正確?   (1)   cos 2 cos        . (2)sin(  ) sin . (3)  - tan 2 3 tan       . (4)sin 3 2 4 2         .

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4-1 有向線段與向量 (5)  cos 3 4 -cos       . 例4:求下列各三角函數值。 (1)

sin

6

(2)cos8 3 (3) 31 tan 4

        【練習題】求下列各三角函數值﹒ (1)sin5 6

(2) 5 cos 3

      (3) 11 tan 4

例5:試利用ysinx的圖形畫出下列各函數的圖形,並求其最大值、最小值及 週期. (1)ysinx1. (2)

sin

4

y

x 

(5)

4-1 有向線段與向量 【練習題】試利用ysinx的圖形畫出下列各函數的圖形, 並求其最大值、最小 值及週期. (1)ysinx1 (2)         2 sin xy

(6)

4-1 有向線段與向量 例6:試利用ysinx的圖形畫出下列各函數的圖形, 並求其最大值、最小   值及週期. (1)y2sinx. (2)ysin 2x 【練習題】試利用ysinx的圖形畫出下列各函數的圖形, 並求其最大值、最小 值及週期. (1)y 2sinx (2) sin 2 x y 例7:試利用ycosx的圖形畫出下列各函數的圖形, 並求其最大值、最小值 及週期 (1)ycosx2. (2)y3cosx

(7)

4-1 有向線段與向量

例8:設asin1、bsin 2、csin 3、dsin 4, 試比較a b c d、 、 、 的大小。

【練習題】比較cos1 cos 2 cos3 cos 4、 、 、 的大小。

例9:求方程式sin 1 2

(8)

4-1 有向線段與向量

【練習題】設0 x 2 ,下列各方程式的實根個數。

(1)cos 1 2

(9)

3-2 和角、倍角及半角公式

第三章 三角函數的性質與應用

3-2 和角、倍角及半角公式

觀念:

1. 正餘弦的和角公式﹕

(1)sin

 

sin cos  cos sin  (2)sin

 

sin cos  cos sin  (3)cos

 

cos cos sin sin  (4)cos

 

cos cos  sin sin 

2. 正切的和角公式﹕

(1)tan

tan tan 1 tan tan          

(2)tan

tan tan 1 tan tan           3. 平方差公式﹕

(1)sin

 

 

sin  

sin2sin2 cos2cos2 (2)cos

 

cos

 

cos2sin2 cos2sin2

4. 二倍角公式﹕

(1)sin 2 2sin cos  ﹒ (2) 2 2 2 2

cos 2 cos  sin  2cos    1 1 2sin  ﹒

(3) 2 2 tan tan 2 1 tan      ﹒ 5. 三倍角公式﹕

(1)sin 3 3sin4sin3 (2)cos3 4 cos3 3cos 6. 半角公式﹕ (1)sin 1 cos 2 2      (取正﹑取負視 2  所在象限的 sin之正負而定) (2)cos 1 cos 2 2      (取正﹑取負視 2  所在象限的cos之正負而定) (3)tan 1 cos sin 1 cos

2 1 cos 1 cos sin

               (取正負時視2  所在象限的 tan之正負而定) 7.正切表正餘弦公式﹕ (1)sin 2 2 tan2 1 tan      (2) 2 2 1 tan cos 2 1 tan      

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3-2 和角、倍角及半角公式

例2:求

cos15

的值

【練習題】求下列各式的值:

(1)

sin 75

(2)

sin15

(3)

tan 75

(4)

tan15

例3:求下列各式的值:

(1) 求

cos48 cos12

 

sin 48 sin12

的值.

(2)求

sin 67 cos83

 

sin 23 cos7

的值

【練習題】求下列各式的值:

(1)求

sin 200 cos80

 

cos200 sin80

的值

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3-2 和角、倍角及半角公式 例4:設

0

2

 

2

  

 

,且

cos

3

5

 

sin

12

13

sin(

 

)

cos(

 

)

的值。 【練習題】設

為第三象限角,且

sin

3

5

 

為第四象限角,且

cos

2

3

 

,    求

sin(

 

)

cos(

 

)

的值 例5:設0 0 2 2       、   ,且tan 1 tan 1 2 3   、   ,求 tan(  )的值。

【練習題】在△ABC 中,tan 1 tan 2 3

A 、 B  ,求

tanc

的值及

C

的度數。

例6:已知  2   且sin 3 5

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3-2 和角、倍角及半角公式 【練習題】已知3 2 2    且 3 cos 4

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3-2 和角、倍角及半角公式 例7:已知sin cos 1 5     ,求sin 2 的值。 【練習題】已知sin cos 1 3    ,求sin 2 的值。 例8:求

sin18

的值。 【練習題】求

cos36

的值。

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3-2 和角、倍角及半角公式 【練習題】求sin58 與cos58 的值。 例10:已知  32 且sin 4 5    ,求sin cos 2 2   與tan 2  的值。 【練習題】已知4   且 2 sin 2 4 5

  ,求sin

、cos

與tan 的值。

例11:如下圖,有一足球場寬 63 公尺,球門寬 7 公尺,某足球員沿邊界帶球

突破,在距底線35 公尺處起腳射門,設此時足球對球門所張的角為 ,

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3-2 和角、倍角及半角公式 例12:如右圖所示,在山壁上鑿出一隧道形狀的倉庫,上沿為圓弧  AD,其所在 圓的圓心為BC的中點O,半徑為 10 公尺,ABCD均垂直於BC,且 5 AB CD  公尺。今有一矩形箱子欲放入隧道形倉庫裡,試問:這矩形箱 子的正面面積最大值為多少平方公尺?

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3-4 複數的極式

第三章 三角函數的性質與應用

3-4 複數的極式 觀念: 1. 極坐標系的基本概念﹕O(極點或原點)為端點,作一水平射線OX

,稱為極軸。 對於平面上任一點P,若OP r ,其中r0且以OX

為始邊,OP

為終邊的有向 角為(如右圖), 則數對

 

r, 就稱為點P的極坐標。 而r分別稱為點P的向徑和輻角。 註﹕(1) 因為同界角具有相同的始邊與終邊,

 

r, 和

r n, 2  

n為整數)表示同一 點。 (2) 平面上的任一點,皆至少可以一組極坐標

 

r, 表示﹐反過來說﹐ 任給予一組極坐標

 

r, ﹐也可以在極坐標平面上找到其對應的位 置﹒ 2. 極坐標與直角坐標系﹕ 在平面直角坐標系上﹐以原點O為極點﹐x軸正向方為極 軸﹐則平面上任意點P﹐同時可以表成直角坐標

x y,

與 極坐標

 

r, ﹐其關係如下﹕ cos sin x r y r        ﹐其中 2 2 rxy3. 複數的極式﹕ 任一複數z x yi  ,其中xy為實數,在直角坐標 上都可以找到一對應點P x y

,

,若將點P x y

,

化為 極坐標

 

r, ,則x r cos ﹐y r sin ﹐其中

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3-4 複數的極式 2 2 rxy ,因此,z r

cos isin

就稱為z的複數極式。r OP x2y2 z 稱為z的向徑。為輻角,若0  2 ,則稱為z的主輻 角,記作Arg z

 

例1:求出下列各複數的絕對值、主輻角與極式. 1 (1)z  1 3i (2)z2   1 i (3)z3 3 (4)z4 2i 【練習題】將下列各複數寫成極式:

(1) 3 i

(2) 2 2i

 

(3) i (4) 2

(22)

3-4 複數的極式

觀念:

4.複數極式的乘與除﹕

設二複數z1r1

cos1isin1

z2 r2

cos2isin2

其中r1  z1 ,r2  z2

(1)z1  z2 r r1 2cos

 1 2

isin

 1 2

 (2) 1 1

1 2 1 2 2 2 cos sin z r i zr        5.棣美弗定理﹕設z r

cos isin

,其中r0,若n為正整數,則

cos

sin

n n

z

r

n

i

n

6. 1 的n次方根﹕n為正整數﹐方程式zn 1n個根分別為﹕ 2 2 cos sin k k k z i n n     ,其中k 0、1、2、…、n1 7.令 cos2 isin2 n n      ﹐n為正整數﹐則xn 1n個根即為123 …﹐n1﹒滿足 (1)n 1﹒ (2)1  23 n10  ﹒ (3)xn1xn2 x2  x 1

x

x2

 

x3

 

xn1

  ﹒ 8.複數的n次方根﹕ 設 r

cos isin

﹐其中r0﹐則方程式zn n個根(n為正整數) 為﹕ 2 2 cos sin n k k k z r i n n         ﹐其中k0﹐1 2 …﹐ ﹐ ﹐n1﹒

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3-4 複數的極式

例2:求(cos80(cos35isin80 )(cos50isin35 )(cos5 iisin5 )sin50 ) 的值。

【練習題】求(cos55 sin55 )(cos 25 sin 25 )

cos 20 sin 20

i i

i

   

  的值。

例3:已知z16(cos10isin10 ) 、z2 2(sin 70icos70 ) 、 3 3(cos50 sin 50 ) z i  求 (1)

z z

1

2 (2) 1 3 z z

【練習題】求(cos50 sin50 )(sin 40 cos 40 )

cos80 sin80 i i i        的值。 例4:求

1

3i

10的值。

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3-4 複數的極式 【練習題】試求下列各數的值: 10 (1) (cos18isin18 ) . (2) (2 2 ) i 12 例5:求 6 1 3 i        的值。 【練習題】求

3 i

9的值。 例6:試求 1 的五次方根, 並將代表它們的點描在複數平面上。 【練習題】(1)求 1 的六次方根,並將代表它們的點描在複數平面上. (2)解方程式z5z4z3z2  z 1 0 例7:求 8 8 3i的四次方根。並將代表它們的點描在複數平面上。

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3-4 複數的極式 【練習題】 求 4 4 3i的3 個三次方根,並求這 3 個根在複數平面上所圍的三角形面積。 例8:寫出下圖中 A、B、C、D 兩點的極坐標。 例9:已知點P的極坐標為4,43  ,求其直角坐標。 【練習題】已知點P的極坐標為 8, 4       ,求其直角坐標。

數據

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參考文獻

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