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99指考數乙-非選

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Academic year: 2021

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(1)

99 學年度指定科目考試

數學乙非選擇題考生作答情形分析

【第一處 / 陳慧美】

每 年 指 考 成 績 單 寄 發 後 , 有 些 考 生 認 為 我 的 數 學 乙 考 科 非 選 擇 題 , 答 案 明 明 正 確 , 為 什 麼 無 法 得 到 該 題 的 滿 分 , 甚 至 1 分 未 得 ? 本 文 就 此 一 疑 問 , 說 明 本 年 度 數 學 乙 非 選 擇 題 僅 得 到 部 分 題 分 或 是 1 分 未 得 的 可 能 情 形 , 以 及 數 學 科 非 選 擇 題 給 分 的 大 原 則 , 希 望 能 藉 此 釐 清 部 分 考 生 的 疑 惑 。 以 下 各 題 會 從 兩 方 面 進 行 分 析 , 一 是 正 確 的 解 題 步 驟 , 二 是 考 生 解 題 的 錯 誤 概 念 或 解 法 。

第 一 題 :

題 目 : 設

a b c d

, , ,

都 是 20 以 內 的 正 奇 數 , 考 慮 五 次 整 係 數 多 項 式 函 數 5 4 3 2 2 p x = x + ax + bx + cx + dx + ( ) 。 ( 1 ) 試 問 滿 足 上 述 條 件 的 五 次 整 係 數 多 項 式 函 數 p x( ) 共 有 多 少 個 ? (4 分 ) ( 2 ) 試 求 多 項 式 方 程 式 x5 + 3x4 + 5x3 + 7x2 + 3x + 2 = 0 的 所 有 整 數 根 。 (8 分 ) 分 析 : 本 題 評 量 欲 藉 由 多 項 式 函 數 為 素 材 , 以 第 (1)題 評 量 排 列 組 合 計 數 方 法 , 屬 於 高 二 下 課 程 ; 第 (2)題 評 量 整 係 數 多 項 式 一 次 因 式 檢 驗 法 , 屬 於 高 一 上 課 程 。 第 (1)小 題 (一 ) 正 確 解 題 步 驟 : 第 一 小 題 解 題 概 念 有 以 下 二 個 : (1) 瞭 解 何 謂 正 奇 數 , 並 指 出 20 以 內 的 正 奇 數 有 10 個 。 (2) 再 利 用 乘 法 原 理 求 出 滿 足 上 述 條 件 的 p x( ) 有 10 ×10×10×10(或 4 10 ,或 10000 )個。 (二 ) 錯 誤 概 念 或 解 法 : 考 生 在 此 小 題 只 要 寫 出 滿 足 上 述 條 件 的 五 次 整 係 數 多 項 式 函 數 的 p x( ) 有 10 ×10 ×10 ×10(或 4 10 ,或 10000 )即可得滿分;無法寫到該答案者,若能提及 2 0 以 內 的 正 奇 數 有 10 個 , 亦 可 得 到 部 分 分 數 。 考 生 在 此 小 題 最 常 犯 的 錯 誤 有 :

(2)

1 .不 曉 得 何 謂 正 奇 數 部 分 考 生 列 舉 正 奇 數 時 , 將 偶 數 穿 插 於 其 中 , 以 致 無 法 得 分 。 2 .未 指 出 20 以 內 的 正 奇 數 有 1 0 個 此 類 考 生 最 常 遇 到 的 問 題 是 將 正 奇 數 個 數 算 錯 , 使 得 後 續 的 乘 法 原 理 亦 算 錯 , 因 而 無 法 得 分 。 3 .指 出 20 以 內 的 正 奇 數 有 1 0 個 , 但 後 續 求 解 錯 誤 部 分 考 生 在 計 算 a b c d, , , 的 組 成 情 形 時 , 想 成 從 10 個 正 奇 數 中 選 4 個 , 因 而 算 成 10 4 C ; 或 想 成 由 1 0 個 正 奇 數 中 取 出 4 個 不 同 數 字 排 列 得 P ; 或 寫 出 10 個 正 奇 數 後 就410 不 知 該 如 何 作 答 。 這 些 考 生 因 未 能 正 確 利 用 乘 法 原 理 求 解 , 故 僅 能 拿 到 部 分 分 數 。 第 (2)小 題 (一 ) 正 確 解 題 步 驟 : 設 5 4 3 2 3 5 7 3 2 ( ) p x = x + x + x + x + x + 1.指出x= −2是 5 4 3 2 3 5 7 3 2 0 x + x + x + x + x + = 的 根 。 2 .正 確 說 明 為 何 僅 有 x= −2是 5 4 3 2 3 5 7 3 2 0 x + x + x + x + x + = 的 根 , 例 如 : ( 1 )利 用 一 次 因 式 檢 驗 法 說 明 p x( ) = x5 + 3x4 + 5x3 + 7x2 + 3x + 2 的可能因式為 1 1 2 2 x + , x − ,x + ,x, 再 將 x 以 − 1 1, ,−2 2, 代 入 檢 驗 , 得 僅 有 x= −2為 其 根 。 ( 2 ) ( )p x = 因 式 分 解 成0

(

x

+

2)(

x

4

+

x

3

+

3

x

2

+ + =

x

1)

0

後 , 仍 須 完 整 說 明 4 3 2

( )

3

1

0

f x

=

x

+

x

+

x

+ + =

x

無 其 他 整 數 根 , 完 整 說 明 可 見 後 面 詳 解 。 (二 ) 錯 誤 概 念 或 解 法 : 在 此 小 題 中 , 考 生 較 易 出 錯 的 情 形 有 以 下 幾 類 : 1 .知 道 利 用 一 次 因 式 檢 驗 法 , 但 說 明 未 盡 完 善 在 解 一 中 , 部 分 考 生 寫 出 整 數 根 僅 可 能 為 1, 2± ± , 卻 未 將 x 以 − 1 1, ,−2 2, 代 入 檢 驗 , 以 說 明 僅 有 x= − 為 其 根 。 同 理 在 解 二 中 , 考 生 寫 出2 f x( )=x4+x3+3x2+ + = 的 整 數x 1 0 根 僅 可 能 是 1± ,亦 未 將 x 以 − 1 1, 代 入 檢 驗,以 說 明 無 其 他 整 數 根。上 述 考 生 皆 是 因 演 算 過 程 未 盡 完 善 , 故 無 法 得 到 完 整 分 數 。 2 .寫 出 答 案 , 但 推 理 過 程 有 誤 部 分 考 生 僅 以 列 舉 方 式 說 明 x= − 為2 x5 + 3x4 + 5x3 + 7x2 + 3x + 2 = 0 的 根 , 並 未 說

(3)

明 為 何 無 其 他 整 數 根 ; 或 嘗 試 以 一 次 因 式 檢 驗 法 說 明 , 但 寫 出 整 數 根 的 可 能 值 時 , 卻 寫 出 1, 2± ± 以 外 的 根,可 見 其 對 一 次 因 式 檢 驗 法 的 觀 念 不 甚 清 楚。此 外,有 些 考 生 將 算 式 分 解 為 4 3 2 (x+2)(x +x +3x + + 後 , 直 接 說x 1) x= −2為 5 4 3 2 3 5 7 3 2 0 x + x + x + x + x + = 的 根 , 並 未 說 明 f x( ) 恆 為 正 或 無 實 根 的 理 由 , 因 而 無 法 得 到 全 部 分 數 。 上 述 考 生 雖 能 寫 出 題 目 答 案 , 但 因 對 一 次 因 式 檢 驗 法 的 概 念 不 熟 悉 , 或 未 寫 出 f x( ) 恆 為 正 或 無 實 根 的 理 由 而 被 扣 分 。 數 學 科 非 選 擇 題 主 要 評 量 用 數 學 式 清 楚 表 達 解 題 過 程 的 能 力 , 因 此 列 式 、 推 理 過 程 是 否 正 確 、 邏 輯 判 斷 是 否 合 理 , 均 為 評 定 分 數 的 重 要 依 據 。

第二題:

題 目 : 小 惠 有 一 台 自 行 車 , 平 時 用 一 副 四 位 數 密 碼 的 號 碼 鎖 鎖 住 。 有 一 天 , 志 明 向 她 借 用 這 台 自 行 車 , 她 答 應 借 用 , 但 只 告 訴 志 明 號 碼 鎖 的 密 碼 abcd 符 合 以 下 二 階 方 陣 的 等 式 : 5 15 5 0 10 35 0 5 a b c d − = − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦, 志 明 卻 一 直 無 法 解 出 正 確 的 密 碼,而 不 能 使 用 這 台 自 行 車。請 你 (妳 )幫 忙 志 明 求 出 這 副 號 碼 鎖 的 正 確 密 碼 。 (12 分 ) 分 析 : 本 題 評 量 能 否 求 解 反 方 陣 , 或 解 聯 立 方 程 式 , 屬 高 三 選 修 課 程 , 常 見 解 法 如 後 面 詳 解 所 列 。 除 此 , 尚 有 考 生 利 用 高 斯 消 去 法 求 反 矩 陣 , 若 過 程 、 答 案 正 確 亦 可 得 分 。 (一 ) 正 確 解 題 步 驟 : 1 .利 用 矩 陣 乘 法 列 出 聯 立 方 程 組 後 , 求 解 a b c d, , , 之 值 ; 或 利 用 反 矩 陣 求 出 a b c d ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦之 值 。 2 . 正 確 寫 出 四 位 數 密 碼 abcd 之 值 。 (二 ) 錯 誤 概 念 或 解 法 : 以 下 列 舉 說 明 此 題 無 法 得 分 或 得 部 分 分 數 的 幾 個 可 能 情 形 , 例 如 : 1 . 計 算 錯 誤 常 見 的 情 形 有 反 矩 陣 算 錯 , 部 分 考 生 知 道 1 5 15 5 0 10 35 0 5 a b c d − − ⎡ ⎤ ⎡= ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ,但在 求 反 矩 陣

(4)

1 5 15 1 35 15 10 35 25 10 5 − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦時 , 不 是 detA 算 錯 , 就 是 忘 記 除 以 25, 或 是 約 分 時 計 算 錯 誤 , 因 此 僅 能 得 到 部 分 分 數 。 或 有 些 考 生 利 用 矩 陣 乘 法 列 出 聯 立 方 程 組 後 , 因 計 算 錯 誤 而 無 法 得 到 正 確 的 abcd 之 值 , 以 致 無 法 得 到 完 整 分 數 。 2 . 過 程 正 確 , 但 密 碼 未 以 四 位 數 字 表 列 之 因 題 目 所 述 為 「 … 但 只 告 訴 志 明 密 碼 鎖 的 密 碼

abcd

… , 請 你 ( 妳 )幫 忙 志 明 求 出 這 副 號 碼 鎖 的 正 確 密 碼 。 」, 考 生 計 算 完 後 , 答 案 應 以 四 位 數 字 表 列 出 密 碼 , 部 分 考 生 因 以 矩 陣 型 式 表 示 答 案 , 故 無 法 得 滿 分 。 3 . 寫 出 答 案 , 但 推 理 過 程 錯 誤 部 分 考 生 以 錯 誤 的 方 式 執 行 矩 陣 乘 法 , 仍 得 出 正 確 答 案 , 如 : 5 10 5 5 10 0 15 35 0 與 15 35 5 a b c d a b c d − = − = ⎧ ⎧ ⎨ + = + = ⎩ ⎩ , 此 時 答 案 雖 正 確 , 但 因 考 生 矩 陣 乘 法 概 念 有 誤 , 故 無 法 得 分 ; 有 些 考 生 看 似 利 用 解 三 求 解 , 在 兩 邊 同 除 以 5 時 , 有 考 生 一 邊 除 以 5, 但 另 一 邊 未 除 5,最 後 在 答 案 的 部 分 又 自 動 除 以 5,此 舉 雖 得 到 正 確 答 案,但 因 推 理 過 程 不 正 確 , 故 無 法 得 分 ; 另 有 考 生 一 劈 頭 就 假 設 a=7,b=3,c=2,d = , 再 代 入 矩 陣 中 說 明1 確 實 為 其 解 , 因 未 說 明 如 何 求 得 a b c d, , , 之 值 , 故 無 法 得 分 。 上述情形,有些是錯誤的基本概念或知識,例如矩陣乘法錯誤,或反矩陣公式背錯,或推 理過程不合理,故無法得分;有些考生知道如何求解,亦能列出正確算式,但過程中計算錯誤。 建議考生在修習數學時,要先理解數學基本概念,才能應用正確的概念解題,及寫下解題過程時, 應注意推理與計算是否正確,才不會因計算錯誤而失分。 數學甲與數學乙的題型有選擇、選填與非選擇題。選擇題與選填題,只要答案正確,即可 得到全部分數。但非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達推理過程,答題時應將推理或解題過 程說明清楚,且得到正確答案,方可得到滿分。如果計算錯誤,則酌給部分分數。如果只有答案 對,但觀念錯誤,或過程不合理,則無法得到分數1 。本文說明正確的解題概念與步驟,以及得 部分分數與無法得分的可能情形,主要用意在於提供老師教學或學生平常練習時的參考。若考生 對自己的非選擇題成績有疑慮,可以申請複查,大考中心會調閱考生答案卷,重新檢視成績2 。

1 吳家怡(民 93),我的數學甲非選擇題得分了嗎。選才通訊,第 120 期。 2 大考中心(民 97),大學入學考試中心說明稿。大考中心網站:http://www.ceec.edu.tw

(5)

數學乙參考解法:

第一題

第 (1)小 題 (甲 ) 瞭 解 20 以 內 的 正 奇 數 有 10 個 。 (乙 ) 由 乘 法 原 理 知,滿 足 上 述 條 件 的 五 次 整 係 數 多 項 式 函 數 的 p x( ) 有 10×10×10 ×10 (或 4 10 ,或 10000 )個。 第(2)小題 設 5 4 3 2 3 5 7 3 2 ( ) p x = x + x + x + x + x + 【解一】 1.

p x

( )

是 整 係 數 多 項 式,其 一 次 整 係 數 因 式 僅 有 以 下 四 種: x +1 ,x − 1 ,x + 2 ,x − 2。 2.檢 驗 何 者 為 p x( ) 的 根 1 0 p(− ) ≠ , 故 x = − 不 是1 p x( ) = 0 的 根 ; 1 0 p( ) ≠ , 故 x = 1 不 是 p x( ) = 0 的 根 ; 2 0 p(− ) = , 故 x = − 是2 p x( ) = 0 的 根 ; 2 0 p( ) ≠ , 故 x = 2 不 是 p x( ) = 0 的 根 。 綜 合 上 述 可 知 p x( ) = 0 僅 有 一 個 整 數 根 x = − 2 註:由 p x( ) 的 係 數 均 為 正 數 , 可 判 斷 p x( ) = 0不 可 能 有 正 根 , 亦 可 由 奇 偶 性 判 斷 出 0 p x( ) = 不 可 能 有 奇 數 根 。 【解二】 1 .將 方 程 式 分 解 為(x+2)(x4+x3+3x2+ + = , x 1) 0 2.以下提供幾個方法說明 f x( )=x4+x3+3x2+ + = 無其他整數根。 x 1 0 【甲】 ( )f x 恆大於零,理由如下: 0 x= 時, (0) 1 0f = > ; 0 x≠ 時, f x( )=x4+x3+3x2+ + =x 1 x x2( 2+ + +x 1) (2x2+ + ,各項均恆大於零,所以無x 1) 其他整數根。 【乙】以一次因式檢驗法檢驗 因 ( )f x 的一次整係數因式僅可能為x+1,x− ,但將1 x= − 代入後,發現 (1), ( 1)1, 1 f f − 均不為

(6)

0,故 ( )f x = 無其他整數根。 0 故可知僅有x= − 是2 x5 + 3x4 + 5x3 + 7x2 + 3x + 2 = 0 的 根 。

第二題

【解一】 (1) 解 5 15 5 10 35 0 a c a c − = ⎧ ⎨− + = ⎩ ,得a=7 ,c= 2 (2) 解 5 15 0 10 35 5 b d b d − = ⎧ ⎨− + = ⎩ ,得b=3,d= 1 ( 3 ) 由 ( 1 ) (2 ) 可 知 密 碼 為 7 321 【解二】 (1) a b c d ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 5 15 5 0 1 35 15 5 0 10 35 0 5 25 10 5 0 5 − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎥ ⎢ = ⎥ ⎢ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 7 3 2 1 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (2) 得 知 密 碼 為 7321 【解三】 (1) 將 已 知 條 件 的 等 號 兩 邊 同 除 以 5 , 得 到 1 3 1 0 2 7 0 1 a b c d − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2) 所 以 1 1 3 2 7 a b c d − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 7 3 2 1 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( 3 ) 得 知 密 碼 為 73 21

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