03-103指考數學甲(定稿)

(1)

作答注意事項

考試時間：80 分鐘

作答方式：˙選擇（填）題用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，

切勿使用修正液（帶）。

˙非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在「答案卷」上作答；更正時，可以

使用修正液（帶）。

˙未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案；或未使用黑色墨水的筆

書寫答案卷，致評閱人員無法辨認機器掃描後之答案者，其後果由考生

自行承擔。

˙答案卷每人一張，不得要求增補。

選填題作答說明：選填題的題號是

A，B，C，…，而答案的格式每題可能不同，考生

必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔

細閱讀下面的例子。

例：若第 B 題的答案格式是，而依題意計算出來的答案是

3 ₈

，則考生

必須分別在答案卡上的第 18 列的與第 19 列的畫記，如：

3 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

18

19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 18 1 9

(2)

(3)

說明：第

1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，

請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得

6 分；答錯、

未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1. 在坐標平面上，圓 2 2 ₂ ₂ _{1 0} x y  x y  與y 2x1的圖形有幾個交點？ ( 1 ) 1 個 ( 2) 2 個 ( 3) 3個 ( 4) 4 個 ( 5) 0個 2. 在地面某定點測得數公里外高塔塔尖的仰角為 ，朝高塔方向沿直線前進 100 公尺之1 後，重新測得塔尖仰角為 ，再沿同一直線繼續前進 100 公尺後，測得仰角為2  。請3 問下列哪一個選項的數值依序成等差數列？ ( 1 )   1, ,2 3

( 2 ) sin , sin1 2, sin3

(4)

3. 請問指數方程式

10 6

2 x 10

的解x最接近下列哪一個選項？（ log 2 0.3010 、 log 3 0.4771 、 log 7 0.8451 ）

( 1) 1. 1 ( 2) 1. 2 ( 3) 1. 3 ( 4) 1. 4 ( 5) 1. 5

4. 令多項式 2(x1)n除以 (3x2)n所得餘式的常數項為

r

n_{。請問極限}

lim

n

r

n_{為下列哪一選}

項？

(5)

所有選項均答對者，得

8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，

得

1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

5. 給定向量 (2, 2, 1)_{，請選出正確的選項：} ( 1 ) 可找到向量 _{使得} _  ₂ ( 2 ) 可找到向量 _{使得}  (1, 3, 4) ( 3 ) 若非零向量 _{滿足}_|  _{| 2} | _{| ，則}   ( 4 ) 若非零向量 _{滿足}_|  _|3_| _{| ，則}  0 ( 5 ) 若向量 _{滿足}  0_且   _{，則}  6. 考慮多項式函數 f x( ) 4 x311x26x。請選出正確的選項： ( 1 ) 函數 f 的圖形在點 (1, 1) 的切線斜率為正 ( 2 ) 函數 f 的圖形與直線 y 交於三點1 ( 3 ) 函數 f 的唯一相對極小值為 ₄9 ( 4 ) ( ) 0f   ( 5 ) f(cos4₇) 0

(6)

7. 職業棒球季後賽第一輪採五戰三勝制，當參賽甲、乙兩隊中有一隊贏得三場比賽時，就由該隊晉級而賽事結束。每場比賽皆須分出勝負，且每場比賽的勝負皆不受之前 已賽結果影響。假設甲隊在任一場贏球的機率為定值 p ，以 ( )f p 表實際比賽場數的 期望值（其中 0  ），請選出正確的選項：p 1 ( 1 ) 只須比賽3場就產生晉級球隊的機率為 3 ₍₁ ₎3 p  p ( 2 ) ( )f p 是 p 的5次多項式 ( 3 ) ( )f p 的常數項等於3 ( 4 ) 函數 ( )f p 在 1 2 p _{時有最大值} ( 5 ) f( )1₄  f( )4₅ 8. 考慮 , ,x y z 的方程組 1 1 +1 2 3 5 1 2 3 5 4 2 3 5 8 x y z x y z x y _a z         _ _ _   _ _ _  _{，其中}a_{為實數。請選出正確的選項：} ( 1 ) 若 ( , , )x y z 為此方程組的解，則 x0 ( 2 ) 若 ( , , )x y z 為此方程組的解，則 y0 ( 3 ) 若 ( , , )x y z 為此方程組的解，則 y z ( 4 ) 當a 3時，恰有一組 ( , , )x y z 滿足此方程組 ( 5 ) 當a 3時，滿足此方程組的所有解 ( , , )x y z 會在一條直線上

(7)

( 1 ) cosABC₇

( 2 ) cosBADcosABC ( 3 ) x可能為 1 ( 4 ) x13₂ ( 5 ) 若 A 、B 、C 、 D 四點共圓，則 x7₄

三、選填題（占

12 分）

說明：

1.第 A 與 B 題，請將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的

列號

(10–13)。

2.每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.

如圖，設 ABCD EFGH 為空間中長、寬、高分別為2 、3、5的長方體。已知AB 、2 3 AD BC  ，且DH  ，則內積5   _{之值為。} 1 0 B A C D H E

(8)

B . 在遊戲中，阿玲拿到如右的數字卡。主持人隨機從 1 至9號球中同時取出三球，若這三球的號碼中任兩個都不在卡片上的同一行也不在卡片上的同一列時就得獎，則阿玲得獎的機率為。

（

化成最簡分數

）

─ ─ ─ ─ ─ ─ 以下第貳部分的非選擇題，必須作答於答案卷 ─ ─ ─ ─ ─ ─

1 2 1 3 1 1

(9)

則將予扣分甚至給零分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且

不得使用鉛筆。每一子題配分標於題末。

一

、

在坐標平面上以  表曲線 2 y x x  與直線 y0所圍的有界區域。 ( 1) 試求  的面積。（3 分） ( 2) 若直線 y cx 將  分成面積相等的兩塊區域，試求c之值。（7 分）二

、

對於正整數n，設(1 ) n n n i a ib    ，其中i 1且an_、bn_{為實數。} ( 1 ) 試求 2 2 4 4 a b 之值。（2 分） ( 2 ) 從恆等式(1 )i n1 (1 ) (1 )i n i 可推得an、bn會滿足矩陣乘法 1 1 n n n n a a T b b                ， 試求矩陣 T 。（4 分） ( 3) 令P 、 Q 為坐標平面上異於原點O的兩點，若矩陣T 在平面上定義的線性變換 ' ' OP OQ