從克令勒行星繞日運動到牛頓萬有引力平方反比定律

(1)

平均曲率叫苦|

從克令勒行星繞日運動到牛頓萬有引力

平方反比定律

黃光照*蕭志明

薑北市立第一女子高級中學壹、前言在教學的過程中，我們很想知道如何由克←勒行星三大運動定律開始，透過向心加速度的概念並配合牛頓運動定律，推導出牛頓的萬有引力與兩物體之距離平方成反比的。±全A _ '"口口問

貳、曲線的曲率與曲率半徑

如圖 l 所示，為了描述曲線的彎曲程度，定義曲線上 AB 兩點切線變他的角度 &α

(

~α=α' 一 α ，其中 α 與 α' 為曲線在 A 點的切線與 x 軸的夾角與曲線在 B 點的切線與 x 軸的夾角)與 AB 兩點間弧長卸的比值，為 AB 兩點問曲線線段的平均曲率(為 7 方便使用，令曲率為正值) y x 圖 l 曲率對於曲線上的一個點，如 A 點，為精確描述此處曲線的彎曲程度，可令 B 點趨近 A 點，也就是 t.s → o '則此處的曲率為:

曲率 k=[lim 判 =1 坐|

i 臼→ o

t.s

I I ds I *為本文通訊作者

45

(2)

-科學教育月刊第 369 期中攀民國 103 年 6 月

的 = .J(街州砂f=Fφ2 品=~以

又因為曲線的切線斜率為 tanα =y'

二字 α=

tan-I(

y')

dtan-I (

y') dy'

~dα= 一一一一一一一﹒一一·dx= 一一一τ ﹒ y"·dx

dey')

dx

l+y'<

所以可推出曲率計算公式:

曲率k=1叫苦1=1主 1=

因為曲率半徑為曲率的倒數，所以曲率半徑

y"

(1

+

y'2)X

R= 土 =Ilim主一

k

I

ll<•

o

~α

=1 去 1=

(1

+

y'2)先

y"

、 EJ

-A

'，.‘、

參、由克卡勒第一定律:捕圍軌道，求捕圓的曲率與曲率半徑

如圖 2 所示，若有一楠圓方程式為:

x2. Y2

,

--~一一 a2 _.

_b

2

可利用參數 &.令 x

=

acos θ •

y

=

bsinθ 三字 dx =-asinθ ·dB ; 吵 =

b

cos B . dB

三今 v' 一生一一主竺豆豆

- 一一

-

dx

asin θ

y" 一些:一吵，豆豆一立一sinθ 幻nθ-cosθcosθ 一土一=

b

一一

-dx

dB

dx

a

sin

2θ

-astn θ

a

2

sin

3θ

y

x

國 2 楠圍的參數式

(3)

46-從克卡勒行星繞日運動.tIJ 牛頓萬有引力平方反比定律代人曲率半徑公式(1) ，得

- bcos

θ ，叫，

[1

+

(一一?一-n叫楣圓的曲率半徑 R=I- asiγ 。 2 sin)θ (a2

sin

2θ

+

b

2

cos

2θ

)X

ab

(2)

更進一步，我們希望引人較有意義的夾角ψ( 焦點至楣閻上一點P 的位置向量 r ' 與此點 P 切線速度 v 的夾角)來取代參數θ 。如圓 3 所示，角 β 為位置向量 r 與 x 軸的夾角，角 α 為切線也就是速度v 與 x 軸的夾角，所以 ψ=α-β 。由圖形可知

tan

lJ

_

= 一一一一一一bsinθ C

+

acos θ

且..

tan

_ta

a

_{α =Y'= \= 一一一一于一工}

=

V' 吵的os

()

ax aSLDσ

bcos θbsinθ tanα 一個nβ aslO θ

c

+

acos

θ

tan

ψ= tan(α 一 β)

=

---- --

----,-

~

=

I

+

tan

αtan β bcos θbsin

()

fJ 1+(一- -~-: )(一一一~) aSIOlt C

+

a

cos

lt y

b

CSLDθ V

b

<p

~f(acos θ ， bsinθ)

a

α 、一.、一

-x 國 3 棉圓的曲率和曲率半徑由 (2) 式，得精圓的曲率半徑

R=

(伊a

2

叫

θ

+

b

2

、切

c

∞

osω戶

=

[a仇

2、s幻叫

i

ab

「

ι1 亢

(b

_叫22

ab

b

2

a sin

3

rp

47 -(3)

(4)

科學教育月刊第 369 期中攀民國 103 年 6 月

肆、由克卡勒第二、第三行星定律、向心加速度的概念與牛頓運動定律推

得萬有引力之平方反比定律

的神第二定律:計SIOψ= 于 O

20b

7f v= 一一一一一

rTsinrp

由向心加速度﹒ 4π2

₀

2b2

d-V2-JTKin2ψ4π

2 ₀₃

_.

一

n.

_c

-R

-

b

2 - 1' 2·

T

2 山U_'f/

。

sin

3ψ

y

ν

-P 的曲率中心

x

圍 4 平方反比定律推導周圍

(r

:行星與太陽間距離 ;R:P點的曲率半徑) 由圖 ₄ 知:

Ar

4π2 03 行星所受的加速度A=一」主一一=~=一「了

叫

ψ

才)川

1'" T"

由克←勒第三定律:李=定值

K

力

rk

l-r

K 一 π-r A 『-A 由牛頓運動定律茍質暈 m 的行星受太陽引力 F=mη吽₁

r

r 表明萬有引力與距離平方成反比。

參考文獻

曹亮吉_{(2002) :怎麼說它有多彎?取自 http://episte.math.n}仙_{.edu.tw/articles/sm/sm}

_一

₁₆

08 2/

徐國誠₍₂₀₀₃₎ :行星橋圓軌道部分相關問題。(龍騰版)科學新天地，第4 期， 38-43 。