關於三道幾何題的另解
連威翔
自 由 作 家壹、前言
在 中 學 時 期 學 習 數 學 的 過 程 中，我 們 學 到 一 些 工 具 或 技 巧，除 了 可 以 幫 助 我 們 通 過 各 項 考 試 之 外，在 經 過 一 段 歲 月 之 後，如 果 發 現 這 些 工 具 還 能 夠 持 續 用 來 幫 我 們 解 決 問 題， 便 會 覺 得 當 初 的 學 習 是 值 得 的 。 在 本 文 中，筆 者 將 介 紹 三 道 幾 何 問 題 的 另 解，其 中 將 使 用 中 學 數 學 的 技 巧 來 解 題。透 過 本 文 的 介 紹，除 了 提 供 自 己 的 解 法 供 有 興 趣 的 讀 者 參 考，也 希 望 藉 此 分 享 中 學 數 學 可 以 帶 給 我 們 的 解 題 樂 趣 。貳、第一道幾何題
在 教 育 部 高 中 數 學 學 科 電 子 報 第 101 期 的文 章[1]中， 作 者 陳 建燁 老 師 介 紹了 一 道 有 趣 的 幾 何 題 ， 該 問 題 如 下 ： 問 題1：如 圖，設Δ 中， 為 上 的 高。設 為 上 一 點，直 線 交 於 ，直 線 交 於 。 試 證 ：∠ ∠ 。 圖 1 在[1]中， 作 者 使 用 Ceva 與 Menelaus 定理 證 明 了 上述 問 題 。 我 們 知 道，Ceva 與 Menelaus 定 理 在 正 規的 中 學 數 學課 程 中 並 未介 紹，因 此底 下 筆 者 將 透 過 兩 種 方 法 給 出 另 證。第 一 種 方 法 是 使 用 國 中 課 程 中 介 紹 的 平 面 幾 何 方 法 來 處 理，第 二 種 方 法 則 將 透 過 坐 標，並 使 用 高 中 數 學 課 程 中 介 紹 的 斜 率、分 點 坐 標 與 三 角 函 數 的 概 念 給 出 另 證 。 開 始 證 明 之 前，注 意 圖 1 中 當 , 兩 點 重 合 時，問 題1 中 想 證 明 的等 式∠ ∠之 中 的 符 號∠ , ∠ 將 失 去 定 義 ， 因 此 在 底 下 的 討 論 中 ， 當 , 兩 點 重 合 時 我 們 特 別 改 為 證 明∠ ∠ ， 其 餘 情 況 則 不 變 。 筆 者 對 問 題 1 的 第 一個 證 明如 下 ： 證 明1： 圖 1 中 ， 當 , 兩 點 重 合 時 ， , 兩點重 合 且 , 兩 點 也 重 合 ， 因 此 有 ∠ ∠ 90° ∠ ∠ ； 當 , 兩點重合時，因 , , , 四 點 重 合 ， 可 知 有 ∠ 0° ∠ . 所 以 ， 接 下 來 我 們 只 需 處 理 不 與 , 兩 點 重 合 的 情 況 。 當 不 與 , 兩 點 重 合 時 ， 在 圖 1 中 作 , ， 使 於 、 於 ， 如 下 圖 所 示 ： 圖 2 在 圖2 中 ， 假 設 , , , , . 因 為 平 行 ，且 平 行 ，可 證 明 有 Δ ~Δ 與 Δ ~Δ (均 為 AA 相 似)， 因 此 可 知 , . 由 上 述 兩 式 可 知 ∙ ∙ ∙ ∙ . … 1 同 理 可 證 Δ ~Δ 與 Δ ~Δ ， 因 此 有 , .
由 上 述 兩 式 可 知 ∙ ∙ ∙ ∙ . … 2 此 時 由 1 , 2 兩式可知 . 將 上 式 等 號 兩 側 的 消去，並改寫為 , 展 開 上 式 兩 側 相 乘 的 括 號 後 得 . 再 經 過 整 理 後 有 , 消 去 上 式 等 號 兩 邊 的 正 項 ， 再 同 時 除 以 正 數 ， 最 後 再 移 項 可 得 1 1 1 1 . … 3 此 時 ， 先 回 頭 觀 察 圖 2， 再利 用 1 , 2 兩式上方由相似形而得的比例關係，可知 ∙ , ∙ , 因 此 有 1 1 , … 4 1 1 . … 5 利 用 3 , 4 , 5 三式可知 , 接 著 配 合∠ ∠ 90° 的 條 件，可 證 得Δ ~Δ (SAS 相 似 )，從 而 有∠ ∠ ， 因 此 得∠ ∠ ， 證 畢 。 接 著 ， 是 筆 者 對 問 題 1 提 出的 第 二 種 證明 ： 證 明2：在 證 明 1 的 一 開 始，我 們 已 對 與 , 重合的兩種情形給出證明，因此在本證明中 將 會 省 略 對 此 兩 情 形 的 討 論 ， 只 看 不 與 , 兩點重合的情形。
在 圖 1 中 置 入 直角 坐 標 ， 以 為原 點 ， 並分 別 以 , 兩 向 量 所 指 的 方 向 為 軸 與 軸 正 向 ， 則 如 下 圖 ： 圖 3 在 圖3 中 ， 我 們假 設 , , , 的 坐 標 分 別 為
0, ,
, 0 ,
, 0 ,
0, ,
其 中 有 0 與 0 。因 為 我 們 只 考 慮 不 與 , 兩 點 重 合 的 情 形，所 以 底 下 我 們 只 對 0 的 情 況 進 行 討 論 。 因 為 , 分別在 , 上，設 , ， 其 中 0 , 1， 則 有 : : 1 , : : 1 . 使 用 分 點 公 式 ， 可 將 , 的坐標寫成： 1 ∙ 0, ∙ 0 1 , 1 , 1 ∙ 0, ∙ 0 1 , 1 . 圖 3 中 ， 因 為 , 的 斜 率 相 同 ， 即 ， 可 知 有 1 . 利 用 上 式 ， 可 寫 下 . … 6 又 因 為 , 的 斜 率 相 同 ， 即 ， 可 知 有 1 . 利 用 上 式 ， 可 寫 下 . … 7不 難 驗 證 ， 在 6 , 7 兩式中分式的分母處出現的 , 兩 項 均 不 為 零 。 利 用 6 , 7 兩式，我們可寫下 , 的 斜 率 ， 兩 者 分 別 為 1 1 , 1 1 . 由 上 兩 式 可 知 。 又 因 為 有
tan ∠ , tan ∠ tan ∠ ,
可 得 tan ∠ tan ∠ . … 8 由 於 tan 函 數 在 0,2 上 嚴 格 遞 增 ， 因 此 具 有 一 一 對 應 的 特 性 ， 而 0 ∠ , ∠ 2， 故 由 8 式可知 ∠ ∠ ， 也 因 此 得 ∠ ∠ ， 證 畢 。
參、第二道幾何題
本 節 中，筆 者 將 介 紹 國 立 中 山 大 學 應 數 系 雙 週 一 題 活 動 中 一 道 與 幾 何 有 關 的 計 算 題， 該 問 題 如 下 ： 問 題2： 設 正 六邊 形 的 對 角 線 及 分 別 被 點 與 分 割 ， 使 得 , 若 , , 三 點 共 線 ， 求 之 值 。 此 問 題 的 公 告 解 答 ， 請 參 考[2]。 在[2]的兩 種 解 法中，均 使 用了 高 中 課 程中 介 紹 的 複數 來 處 理，解 法 很 特 殊。其 中 的 第 一 種 解 法 ， 還 用 上 了 在 第 貳 節 證 明 2 中 曾使 用 的 分點 公 式 。 在[2]中 的 兩 種解 法 ， 應 該比 較 適 合 高 中 以 上 程 度 的 學 生 來 閱 讀 。 對 於 問 題 2，底 下筆 者 也 將 介紹 兩 種 方 法來 求 解，第一 種 是 使 用國 中 平 面 幾何 的 解 法， 而 第 二 種 則 將 使 用 高 中 數 學 會 學 到 的 向 量 工 具 來 解 題 。 第 一 種 解 法 如 下 ： 解 答1： 連 接 設 交 於 ， 並 作 於 ， 如 下 圖 ：圖 4 假 設 1， 則 由 題 目 所 給 的 等 式 可 知 ， 且 。 上 圖 中 若 ， 則 直 線 與 不 相 交 ， 此 結 果 違 反 題 目 假 設 ， 因 此 可 知 。 注 意 ， 若 , 兩 點 重 合 ， 可 得 ， 此 時 , 兩 點 亦 重 合 ， 得 1， 此 為 矛 盾，故 , 兩 點 不 重 合；若 , 兩 點 重 合，同 理 亦 可 得 出 1且 0 的 矛 盾，故 , 兩 點 不 重 合 。 至 此 ， 可 知 落 在 上 且 與 , 兩點相異，因此知 1。 圖 4 中 ， 不 難 證明Δ ~Δ (AA 相 似)， 因 此 可 知 . … 9 由 於 ， 且Δ , Δ 均 為30° 60° 90°三 角 形 ， 因 此 有 1 2√3, 1 2 , √3 2 , 1 3 2 . 將 上 述 四 個 線 段 長 代 入 9 式，可得 2√3 1 2 1 3 2 2 √3 . 上 式 可 化 簡 為3 1， 因 0 可 解 得 √ ， 解 題 完 畢 。 以 上 就 是 第 一 種 解 法。在 開 始 介 紹 將 會 使 用 向 量 工 具 的 第 二 種 解 法 之 前，我 們 先 介 紹 一 個 平 面 向 量 的 性 質 如 下 ： 性 質1： 已 知 , 是 平 面 上 的 兩 非 零 向 量 ， 且 , 不 平 行 。 若 已 知 實 數 , , , 滿 足
, … 10 則 有 且 。 證 明 ： 使 用 反 證 法 。 首 先 ， 若 ， 則 由 10 式可知 . … 11 因 為 為 非零 向量 ， 故由 11 式可 知 必然 有 1 2。 此 時 ， 11 式顯 示 等 於 乘 上 一 個 非 零 常 數，因 此 平 行 ，但 此 結 果 與 , 不 平 行 的 前 提 矛 盾，因 此 可 知 1 2 不 成 立。 接 著，若 ，同 理 可 得 , 兩 向 量 平 行 的 結 果，但 這 再 次 抵 觸 , 不 平 行 的 前 提， 故 不 成 立 。 至 此 ， 因 與 均 不 成 立 ， 可 知 且 ， 證 畢 。 有 了 上 述 性 質 後 ， 我 們 便 可 開 始 看 問 題2 的 第 二 種解 法 ， 如 下： 解 答2： 請 參 考下 圖 ： 圖 5 由 題 意 可 知 : : 1 ， 因 此 有 1 . … 12 回 顧 解 答 1， 我們 知 道 值 滿 足 1。 因 為 ， 所 以 有 1 2 , … 13 將 13 式代入 12 式後，可得 1 2 1 2 1 . 假 設 ， 其 中 0， 則 有 1 2 1 2 1 . … 14 又 因 為 : : 1 ， 因 此 有
1 . … 15 由 14 , 15 兩式可知 1 2 1 2 1 1 , 因 為 , 是 不 平 行 的 非 零 向 量 ， 利 用 性 質 1， 由上 式 可知 1 2 1 , 2 1 1 , 從 而 可 寫 下 2 1 1 2 1. … 16 由 16 式的右半邊可得3 1，又因 0可得 √ ， 解 題 完 畢 。 最 後，若 我 們 將 √ 代 回 16 式，還可得 √3 1，而 1 的 結 果 也 與 圖5 中 呈 現 出 的 條 件 相 符 。 其 實 ， 此 值也可由解法 1 算出，有興趣的讀者不妨試試。
肆、第三道幾何題
在 教 育 部 高 中 數 學 學 科 電 子 報 第 104 期 的文 章[3]中， 作 者 陳 建燁 老 師 介 紹了 與 三 角 形 之 「 布 洛 卡 角 」 有 關 的 一 個 性 質 ， 該 性 質 是 指 底 下 的 等 式 ：cot cot cot cot , … 17
其 中 , , 為 三 角 形 的 三 內 角 ， 則為 布 洛 卡 角， 可 參 考 下圖 ：
圖 6
在 上 述 仿 照[3]中參 考 圖 形 所繪 製 的 圖 6 中， 點稱為「第一布洛卡點」，它所在的位 置 其 實 可 藉 由 尺 規 作 圖 畫 出 兩 圓 來 交 出。上 圖 中，只 要 作 出 過 , 兩點且與 相切於 的 第 一 個 圓，以 及 過 , 兩點且與 相切於 的第二個圓，則兩圓之交點即為 點。讀者不
妨 先 試 著 思 考 其 中 的 原 因 ， 筆 者 將 在 文 末 的[註 1]中 給出 簡 單的 說 明 。 而 陳 老 師 在[3]文中 證 明 17 式時，沒有走平面幾何的路線，反而透過高中數學的多項 式 與 三 角 等 技 巧 來 完 成 證 明，過 程 頗 為 精 彩，讀 者 不 妨 多 多 參 考。而 為 何 要 介 紹[3]文呢 ？ 在 此 先 賣 個 關 子 ， 請 讀 者 先 看 看 底 下 的 性 質 ： 性 質 2： 如 下 圖， 圓 是Δ 的 外 接 圓 ， 試 證 ： 圖 7 性 質 2 是 說 明 一個 圓 周 角 的度 數 等 於 其所 對 弧 度 數的 一 半 ， 想必 大 家 都 不陌 生(註 2)。 其 證 明 方 式 ， 通 常 是 使 用 平 面 幾 何 的 方 法 ， 有 興 趣 的 讀 者 可 參 考[4]。 底 下，筆 者 將 把 性 質 2 當 成是 一 個 有 待證 明 的 幾 何題，並 介 紹一 個 使 用 坐標 平 面、向 量 與 三 角 函 數 的 證 法 來 證 明 它 。 對 性 質 2 提出 另 證， 是 想 藉 此呼 應[3]文 使用 高 中 數 學工 具 對 平 面 幾 何 問 題 提 出 另 解 的 精 神 。 筆 者 的 證 法 如 下 ： 證 明 ： 在 圖7 中 ， 以圓 心 為原 點 建 立 坐標 平 面 ， 如下 圖 所 示 ： 圖 8
上 圖 中 ， 我 們 假 設 圓 半 徑 為 1， 並 過 點 作 圓 的 切 線 。假 設 以 軸 正 向 為 始 邊 、 射 線 , , 為 終 邊 的 三 個 廣 義 角 大 小 分 別 為 , , ， 則 我 們 有
cos , sin , cos , sin , cos , sin .
不 失 一 般 性，假 設 0 2 ，則 從 圖 8 的 三 角 形 外接 圓 與 軸正向之交點出發， 以 逆 時 針 方 向 沿 著 外 接 圓 繞 一 圈 時 ， 經 過 的 三 角 形 頂 點 依 序 為 , , 。 此 時 ， 利 用 兩 向 量 夾 角 的 計 算 公 式 計 算cos ∠ ， 我 們 可 寫 下 cos ∠ ∙ . … 18 為 了 計 算 18 的右式，我們先考慮 ∙ 的 計 算。利 用 上 面 寫 下 的 , , 坐 標，再 透 過 三 角 函 數 的 差 角 公 式 與 和 化 積 公 式 ， 可 得 如 下 的 結 果 ：
∙ cos cos , sin sin ∙ cos cos , sin sin
cos sin cos cos sin sin
cos cos cos sin sin sin
1 cos 2 cos cos
2 cos 2
2 sin sin
2 cos 2
1 cos 2 cos
2 cos cos 2 sin sin 2
1 cos 2 cos 2 cos 2 . … 19 再 利 用cos 函 數 的 倍 角 公 式 ， 可 知 1 cos 2 cos 2 . 將 上 式 代 入 19 式後，利用和差角公式，可得 ∙ 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 2 4 cos 2 sin 2 sin 2 . … 20
另 一 方 面 ， 為 了 計 算 18 式中的 這 項 ， 先 計 算 如 下 ：
| cos cos , sin sin | cos cos sin sin
2 2 cos cos sin sin 2 2cos
2 2 1 2 sin 2 2 sin 2 . 因 為0 2 ， 可 知0 ， 因 此sin 0， 故 上 式 可 化 簡 為 2 sin 2 . … 21 同 理 ， 我 們 也 可 得sin 0， 以 及 2 sin 2 . … 22 將 20 , 21 , 22 三式代入 18 式，即可得到 cos ∠ cos 2 . … 23 觀 察 圖8，可 知 就 是 弧 的 度 數，且 滿 足0 ；此 外，由 圖8 也 可 看出 , 兩點落在過 之圓切線的同側，因此0 ∠ 。由 於cos函數在區間 0, 上 為 嚴 格 遞 減 ， 因 此 具 有 一 一 對 應 的 特 性 ， 故 我 們 由 23 式可知 這 樣 就 完 成 了 性 質 2 的 證 明。
伍、結語
本 文 只 是 簡 單 的 心 得 分 享 ， 寫 作 日 期 是 2019 年 7 月 初 的 夏 天， 同 時 間 世大 運 正 好 在 義 大 利 的 拿 坡 里 舉 辦。寫 作 過 程 中，有 時 會 從 白 天 寫 到 晚 上，也 顧 不 得 飯 有 沒 有 吃，好 像 怕 靈 感 跑 掉 的 樣 子。覺 得 寫 得 不 順 的 時 候，會 選 擇 在 晚 上 出 門 散 步 吹 吹 風、聽 聽 蟲 鳴，在 身 心 放 鬆 的 狀 態 下 ， 也 得 到 一 些 不 錯 的 想 法 。 筆 者 對 問 題 3 的 證明 ， 在 本文 寫 作 前 約半 年 就 已 大致 記 錄 在 紙上 ， 剛 好 因為 看 到[3] 文 ， 所 以 決 定 和 問 題 1 與 問題 2 的 另 解一 起 提 出 來分 享 給 大 家。 文 章 最 後， 筆 者 要 感謝 [1],[3]文 的 作 者陳 建 燁 老 師以 及 提 供 問題[2]的 雙 週一 題 主 辦 單位，因 為 有他 們 所 提 供的 珍貴 的 資 料 ， 才 有 本 文 的 誕 生 。
備註：
註 1：當我 們 依照 圖 6 底 下所 介 紹 的 作法，在 圖 6 中 畫 出 所 需要 的 兩 個 圓後，假 設 兩圓 相 交 於 ， 則 如 下 圖 ： 圖 9 上 圖 中，我 們 也 畫 出 了 兩 圓 的 切 線：直 線 與直線 。若 問 圓 9 中 兩 圓其 圓 心 的 位 置 如 何 確 定，首 先，過 且垂直 之直線與 中垂線的交點，就是圖 9 下 方 較 大 圓 的 圓 心 位 置 ； 而 圖 9 左 上 方 較小 圓 的 圓 心， 則 落 在 過 且垂直 之直線 與 中垂線的交點處。 圖 9 中 ， 因 為∠ , ∠ 分 別 為 對 弧 的 圓 周 角 與 弦 切 角 ， 可 知 觀 察Δ ， 因 三 角 形 內 角 和 為 ， 利 用 上 式 可 知 ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ , 消 去 上 式 等 號 兩 端 的∠ ， 即 得 ∠ ∠ . 接 著，只 要 觀 察 圖 9 中 的 另一 個 圓，同 理也 可 得 出∠ ∠ 。這 樣，我 們 就 證 出 圖6 中 所 標 示之∠ ∠ ∠ 的結果了。 圖 9 中 的 ， 依 據[3]文 的 介 紹， 就 稱 為 「第 一 布 洛 卡點 」。 至 於[3]文中 介 紹 的「 第 二 布 洛 卡 點 」， 其 作 圖 法 亦 與 圖 9 類 似 ，讀 者 若有 興 趣 ， 不妨 自 行 完 成。 註 2： 性 質 2 所 想 證明 的 結論 ， 為 何 不寫 成∠ ∠ 呢？其中的一個原因，大概是 因 為 當 圖7 中 的 弧的度數大於平角時，我們對於∠ 究竟是指 弧還是 弧 會 感 到 混 淆 。 此 時 ， 若 引 入 像∠ 與 ∠ 這兩個 新的 記號，就可 以 幫 助 我 們 區 別，但 這 樣 的 記 號 就 較 不 簡 潔 與 自 然。筆 者 認 為，這 就 是 我 們 以「 弧 度 記 號 」 取 代 「 角 度 符 號∠」來標示圓心角的主因。
