中學生通訊解題第二十五期題目參考解答與評析

參考解答與評析

臺北市立建國高級中學數學科

問題編號

912501

已知一個六位數的自然數 n' 它以 p 為個位 數。若把 n 的個位數 p 移到其餘各位數之前， 所得新數是 n 的 4 倍。請問滿足此條件之 n 有幾個?是哪幾個? 參考解答: 令此六位數 n=10x 句，則 p 為其個位 依題意，

4

(1

Ox+p)= 1OOOOOp+x

•

39x=99996p

,

x=2564p

因為 x 為五位數，所以 p 孟 4 討論:若 p=4

' x=10256

•

n=102564

若 p=5

' x=12820

•

n=128205

若 p司，

x=15384

•

n=153846

若 p=7

' x= 17948

•

n=179487

若 p=8

' x=20512

•

n=205128

若 p=9

' x=23076

•

n=230769

滿足題意的六位數 n 共有 6 個。 解題重點: 依題意列出 x 與 p 的關係式，再以所給 予條件作討論。 評析: 本題徵答人數共有 161 人，答對者共 148 人，平均得分為 6.91 分。此題答對人數極多， 不予一一列出。 問題編號

912502

國在某次測驗時，誤將一題分數相吋-!套以「分于相減為分于，分母相減為分

母 J' 結果答案居然也對(假設計算部分並無 其他錯誤)。且且直還記得: 1.分于與分母各為大於 O 的一位阿拉伯數字。 2. 兩分數皆為假分數 o 3. 兩分數之分母不同，但其最大公因數比 1 大。 請問:原題目為何? 參考解答: 由題目可知: 1. 9 孟柄， b爪， d} 三三 l 2. 皆為假分數，故 b 孟 a 且 d 這 c

3.(a

,

e»1

be-ad

b-d 司 因寸了=一一，則 ad(2e-a)=beL

a-e

→ 2e沌，徊，e»

1

'且 a :;t e

(1)

e=1

'徊， e»

1

'且 a :;t e→不合

(2)

e弓，

(a

,

e» 1

'且 a :;t e→不合

(3) e=3

'徊， e»

1

'且 a :;t e→不合

(4) e=4 ' a=2

'貝 U

12d=16b

•

b=3 '

d=4 或 b=6

' d=8

叫

:LV

a=6

'貝U

12d=16b

•

b=3 ' d=4

'但 b 孟 a →不合 → b斗，

d=8

(5) c=5

'與 a 與 c 之最大公因數比 1 大，且 a:;t:c→不合

(6) c=6 ' a=2

'則 20d寸的→ b=5

' d=9

a=3

'則 27d寸的→ b=6

' d=8

a=4

'則 32d=36b→ b=8

' d=9

a=8

'則 32d=36b→ b土8

' d=9

a=9

'則 27d=36b '但 b 這 a→不合

(7) c=7 ' (a

,

c»1

'且 a :;t: c→不合

(8) c=8 ' a=2

'則 14d=6物，但 b 全 a→不合

a=4

'貝U

48d=64b

•

b=3 ' d=4

'但 b 這 a →不合 •

b=6 ' d=8

a=6

'則 60d=64b→不合

(9) c=9 ' a=3

'則 45d=81b→ b=5

' d=9

a=6

'則 72d=81b→ b=8

' d=9

3 4

,,

6 8

,,

6 8

故原題目為豆，互或 2

4 或 6

4

5

9

".6

8

..~8

9

或三

6 或了

6 或 4

6

。。一。。

6-4

或

9-6

8-8

或

5

9

". 8

9

或王

9 或 6

9

解題重點: 在條件不足的情形下作討論時，適當縮 小範圍 (2c>a) ，並注意 (a， c»1 '可簡化過程 o 部分同學忽略假分數的定義是:分子的絕對 值不小於分母的絕對值。 評析: 本題徵答人數共有 22 人，其中全對者共 4 人。平均得分為 4.55 分。其中答題優良或 解法富參考價值者有台北市興雅國中挂且至 同學、基隆市銘傳國中盪且達同學、台北縣 福和國中是噩噩同學、江翠國中區建主同學。 問題編號

912503

矩形的自我相似分割: (1)將矩形 ABCD 分割成 2 個小矩形，使得每 個小矩形的長與寬的比與原矩形 ABCD 的 長寬 tt相等。設最小的一個矩形的長寬比為 x(其中詰 1) ，請求出所有可能的 x 值。 (2)將矩形 ABCD 分割成 3 個小矩形，使得每 個小矩形的長與寬的比與原矩形 ABCD 的 長寬比相等。設最小的一個矩形的長寬比為 x(其中泣 1) ，請求出所有可能的 x 值。 參考解答:

(a)tz日圖一，設 EB=1

' BC=x

'則AB=x2 _，

所以 x

2

_{=2 二試刊三 。}

D F _C B A E 固一 (b)根據三個小矩形的所有不同擺放方法的 討論，可得四種擺放的方法。

-

65 一

第一種:仿照 (a)的擺法，如圖二一 1 '此時 可以算出 x=估。 D F G C A E H 圖二 1 B 第二種:將圖﹒中的心個小矩形，按照 (a) 的 方法分成兩個小矩形，如圖二 2 ，

所以此時 x=V2

0 D F _C G H B A E 團二 2 D F CH G A E B 圖二 3 第三種:將圖二 -2 的右下角的小矩形豎起來 來，得到另一個分割方式，如圖二 3 。

言:~CH=l

' CF=x

'貝UHB=x

2

,

BC 三x

2

+1

' AE

x2

+

1

、

三了一， AB=x(x斗 1

)

再根據 AE

+

EB = AB

=>宇呵呵(x

2

+

1)

=>Fl

+;./5

從這個結果，還可以看出聞中 E 、 F 、 G 、 H 都是所在線段的黃金分割點。 第四種:將圖二 2 右邊的兩個小矩形都豎起 來，得到另一個分割方式，如圖二 -4 。 一一一 一一___

EF

BH

設 BE=CF=l

'BH=x'

CH=x' 因為王E 三百E

草了年γ 主

一 二::>x一

斗巨

2x

L

_-l

₁

_~~

₂

D F B A E 圖二-4 解題重點: 以各種不同方式作切割，觀察小矩形彼 此間與原矩形的邊長關係可如何對應，善用 比值相等來求出所有可能的切割方式。

評析: 本題徵答人數共有 58 人，其中全對者共 2 人。平均得分為 4.02 分。其中答題完整者 有台北市建成國中迋畫同學、新竹市光華國 中草矗籃同學。

問題編號 i

912504

假設小精靈要於 5x5 階圓形(如圖三)中的左 下角開始直線前進吃完圖中所有的 24 個小 黑點，且小精靈每吃一個小黑點要花 l 秒， 若小精靈行進時轉 90 度需花 l 秒，連續轉兩 次 90 度(即轉 l 制度)需花 3 秒，試問: (1)小精靈應採何種行進路線才能最快吃完 小黑點? (2)此時共花了幾秒鐘? 請說明你選擇路線的方法。(註:圖四為其中 一種走法，共吃 24 個黑點、轉 90 度 2 次、 連續轉兩次 90 度(1 80 度 )3 次，故共計花 24+1x2+3x_{3=35 秒)}

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

:。

• • • •

圖三 「 一-→. 一一章， 一一言， _可 「 「

•

。

L 」 _L 」 圖四 參考解答: 考慮可能較快的數種走法，如下: 「 可 「 「

•

I~

L 」 _L 」 如上圖共需 24十 12 秒 「 一一章， 一一言， 一一弓， 一-→. 「 一一章， 一一〉 L ‘•-「 「 一一章， 」

。

L _‘•- ‘•-如上圓共需 24十 12 秒 「 一一→. 一一弓， 一-;> 「 「 一一→. 可

•

L 」

。

L _{‘•- ‘•-} 」 如上圖共需 24十9 秒 「 一-→. 一-→. 一-→. 「 「 「

•

。

」 」 _L 」 如上圓共需 24+11 秒 「 一一去， 一一弓， 一一→. 「 ‘←一一 ‘←一 」 「

•

L 一一章， 一一令， _可 「 ‘•- ‘•-」

。

L 一-→. 一一章， 一一章， 如仁圖共需 24十 13 秒 「 一-→. 一-→. 一一章， 「 「 「 L 」

6

L _{‘←一 ‘←一} 」 如上圖共需 24+10 秒

67

想法:因為走兩次轉 90 度相當於一次轉 180 度，而前者只需 l 秒，後者則須 3 秒 O 可以知道盡量走轉 90 度的方法，減少 轉 180 度的走法，如此可以減少秒 數。因此，繞著圓圈轉可以避免轉 180 度之情形發生，故 1.在路線不可重複的情形下:最少秒數為 33 秒，如圖五， 2 在路線可以重複的情形下:最少秒數為 32 秒，如圖六與圖七。 「 -→詞， 一-寺， 一一言， 1 「 一一弓， ₁ 」 」

。

L _{4←一一 4←一一} 」 圖五

2.

「 -•. 「 「 4←一一 4←一一 ₁

。

L ~ 」 L _一一步， 」 圖六 /

•

。

圖六 -1 ...

。

J

圖七 討論路線不可重複的情形: 設為 n 階圓形 'n 為正整數，以 n 分兩種情 形討論。 (1)當 n>2 時: 若要使路徑最|吏，則從外圍向內繞，且靠 邊走到底再轉彎 O 1.外圖周長較長; 設 f(n)為 n 階最外圍的黑點數， n>O' 則

f(n)=4n-4-1 =4n-5

(i) 最外圍的黑點數為n 時，則 f(n)=4n-5

(

ii) 將 n 階圖形的最外圍去掉成 n-I 階 圖形時，則

f(n-l)=4(n-I)-4-1=4n-9 ' f(n»f(n-I)

2. 不必折回吃; 3.轉 90 度吃比轉 180 度吃快。 (2)當 n 三至 2 時 . 1.若要能轉 90 度，則需 (1

+

1

+

I )( 1

+

I

+

I )=9

個黑點才能達成。 ':9>4

'

,

，不可能轉 90 度。 2 ，若要能轉兩次 180 度，則需有一邊為 2x2-1=3 格，

',

'6>4'

，'，不可能轉兩次 180 度。 →當 n 至 2 時，走法只有一種，為由外向 內以 90 度轉彎靠邊走到底再轉彎，秒數 6 秒。

故此題所花時間:

(25-1)+l

x

6+3

x

l =

24+6吋

=33

(秒)。 解題重點: 考慮如何使秒數變少的方法(轉彎的變 化)。 評析: 本題徵答人數共有 125 人，其中全對者 共 7 人。平均得分為 3.26 分。其中滿分的同 學有台北市東湖國中至主主同學、景興國中 星星盒同學、台北縣江翠國中註廷車、蛙互支 堂皇、童逸盟同學、基隆市銘傳國中楊昀琪、 有 3 點及 5 點二種: 正六邊形的情形如下圖所示:投影點個數有 3 、 4 、 6 點三種: 問題編號

912505

平面上一點 A 對一直線 L 作垂線，此垂線與 直線 L 的交點 p ，點 P 稱為點 A 對直線 L 的 投影點 O 考慮一正方形的四個頂點，在一條 直線上的投影點個數，如圖四，共有 4 ， 3 ，2 點等三種情形，

L

P

_圖四 (1)請考慮正五邊形、正六邊形的情形，它們 的頂點在直線上的投影點個數，可能有那 幾種情形。 (2)考慮，般的正 n 邊形，它們的頂點在直線 上的投影點個數，可能有那幾種情形。 參考解答: (1)正五邊形的情形如下圖所示:投影點個數 (3)將正 n 邊形分成兩種情形:

n+l

(a)當 n 為奇數時，投影點個數有方一、n 個點這兩種情形。 假設一個正 n 邊形在直線 L 上頂點的投 影點個數不為 n' 所以必有兩個頂點在L 的 投影點為同一點，假設此兩點為A 、 B' 假

-

69 一

點個數不為 n' 因為 n 為偶數，所以可分 設 AB 的中垂線為 MN ，則MN必定是正 n 邊 形的一條對稱軸且 MN

II

L ，如圖所示，於是 正 n 邊形的頂點中除了一個頂點在MN上以

外，其他頂點可分成中且，每組的兩個頂點

對於直線 MN 對稱，所以它們的連線垂直於 直線 MN' 因此這 n 個頂點在直線 L 的投影

n-l

n+l

點個數共有了一+1=方一個。 成兩個情形: 。有兩組頂點A 、 B 與 C 、 D 在直線 L 上 的投影點為同一點， @只有一組頂點A 、 B 在直線 L 上的投影 點為何一點。 在白的情形中，除了n=6 之外，其餘的正

n 邊形在直線L 上的投影數個數均為2+l 。

在@的情形巾，除了n=6 之外，其餘的正

n 邊形在直線 L _t的投影數個數均為3 。

(b)當 n 為偶數時，投影點個數有jj 十卜

M L n 點這三種情形。 N 解題重點: 藉由對正五、正六邊形的頂點於直線的 投影點個數，來觀察歸納並說明一般正 n 邊 形的情形。 評析: 本題徵答人數共有 61 人，其中全對者共 8 人。平均得分為 5.15 分。其中答題優良或 解法富參考價值者有台北市興雅國中挂且直至 同學、台北縣福和國中蛙重量、且主主、主 主虹、墨畫巨星等同學、基隆市銘傳國中重且 里同學 O 假設一個正 n 邊形在|直線 L 上頂點的投影