107下學期招生考試(試題+解答)

北區高中學生數學與科學跨領域研究人才培育計畫 一○七學年度下學期 招生甄試考題 考試時間: 108年2月24日, 13:30 – 16:30,計三小時 本試題共五題_,壹頁 試題若有疑問, 請於考試開始後的三十分鐘內, 舉手提交 「提問單」 詢問;之後不再接受詢 問。 A4 白紙為答案紙與計算紙, 考試結束請將答案排序, 然後提問單與計算紙排在最後 面, 再由監考人員裝訂。 答案限用黑色或藍色筆書寫, 僅作圖可使用鉛筆, 不得使用修正液 (帶), 不得使用電子計算器。 每題七分,答題的“推演過程”為評分的依據。 1. 已知函數 f(x) = x 2 1 + x2, x為任意實數。 試求 f( 1 2019) + f (1) + f (2019)之值。 2. 試找出所有的正整數n,它的除了n之外的所有正因數的平方和等於2n + 2. 3. 稱正整數為“好數”是指該正整數比它的數字和恰好大2007. 試問:所有好數之和。 4. 設xi ≥ 0 (i = 1, 2, · · · , n),規定xn+1 = x1. 試證: n X k=1 s 1 (xk+ 1)2 + x 2 k+1 (xk+1+ 1)2 ≥ n √ 2. 5. 已知a, b, c為_∆ABC 的三邊長,其中BC = a, CA = b, AB = c,且滿足 a2 = b2 + bc. 試證:_{∠A = 2∠B.} 1

北區高中學生數學與科學跨領域研究人才培育計畫 參考解答 108年2月24日 1. 已知函數 f(x) = x 2 1 + x2, x為任意實數。 試求 f( 1 2019) + f (1) + f (2019)之值。 解: 若ab= 1,則 f(a) + f (b) = a 2 1 + a2 + b2 1 + b2 = 1 + a 2 + 1 + b2 1 + a2_{+ b}2_{+ a}2_b2 = 1. 於是, f(1) = 1 2, f(2019) + f ( 1 2019) = 1. 故 f( 1 2019) + f (1) + f (2019) = 3 2.

2. 試找出所有的正整數n,它的除了n之外的所有正因數的平方和等於2n + 2. 解: 答: n= 6. 顯然, n不是質數, 也不是完全平方數。 令n = ab,其中 a, b是n的相異的正因 數。 將n的所有除了n之外的正因數的平方和記為s. 則 s_{≥ a}2+ b2+ 1. 因為a _{6= b,}所以, a2+ b2 + 1 > 2ab + 1. 於是 s _{≥ a}2+ b2 + 1 ≥ 2ab + 2 = 2n + 2. 若且唯若a, b都是質數,並且_{|a − b| = 1}時,該式中的等號成立。 因此, a, b只能是2, 3,從而n= 6.

3. 稱正整數為“好數”是指該正整數比它的數字和恰好大2007. 試問:所有好數之和。 解: 答: 20145. 設 f_{(n) = n − S(n) (S(n)}是正整數n 的數字和)。 則函數是非嚴格的增函數, 且 f(2009) < f (2010) = f (2011) = · · · = f(2019) = 2007 < f(2020). 所以,滿足條件的所有正整數只有10個,其和為 2010 + 2011 + · · · + 2019 = 20145.

4. 設xi ≥ 0 (i = 1, 2, · · · , n),規定xn+1 = x1. 試證: n X k=1 s 1 (xk+ 1)2 + x 2 k+1 (xk+1+ 1)2 ≥ n √ 2. 解: 令xk = tan2θk,其中θk ∈ [0, π 2) (k = 1, 2, · · · , n). 規定θn+1 = θ1. 則 s 1 (xk+ 1)2 + x 2 k+1 (xk+1+ 1)2 = q cos4_θ k+ sin4θk+1 ≥ cos 2 θk+ sin2θk+1 √ 2 . 故 n X k=1 s 1 (xk+ 1)2 + x 2 k+1 (xk+1+ 1)2 ≥ n X k=1 cos2 θk+ sin 2 θk+1 √ 2 = n √ 2.

5. 已知a, b, c為∆ABC 的三邊長,其中BC = a, CA = b, AB = c,且滿足 a2 = b2 + bc. 試證:_{∠A = 2∠B.} 解: 如圖,延長CA到_D,使得 AD= AB = c, 則 CB2 = CA · CD. 所以, CB 為∆ABD的外接圓過點B 的切線。 注意到

∠ABC = ∠ADB = ∠ABD, 故 ∠CAB = 2∠ABC, 即_{∠A = 2∠B.} A B D C a b c c