期末考數學+解答(數理班)

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國立台灣師大附中九十七學年度第一學期期末考數學科高三科教班試題

2009.1.9.

一、勘誤題：每題 5 分，共計 10 分。

說明：以下兩題的解題步驟中，各有一步驟是不正確的，請先標出不正確的式子代號( 1、2、3、4 )(各 2 分)，再說明不正確的理由(各 3 分)。

1.求函數 f(x)＝ sin x + cos x 的最小值。

解：(1) 由算幾不等式得 sin x + cos x ≧2 sinx cosx

(2) 代換兩倍角公式＝2 1 sin 2 2 x (3) ∵絕對值不小於 0 ≧ 0 (4) 故得 sin x + cos x 的最小值為 0 2.求解分式不等式 4 x x 2 x2 ＋－ ≧1。解：(1) 將 x+4 乘到不等式右邊得 x2_{－2x ≧ x+4} (2) 移項整理得 x －3x－4 ≧ 0 2 (3) 分解因式得 (x－4)(x+1) ≧ 0 (4) 又分母不可為 0，故得解為 x≦-1 或 x≧4 但 x≠ -4 二、填充題：每格 5 分，共計 60 分。 1.函數 f(x)＝ sin x + cos x 的最小值為__________。 2.設 a，b，c 均為正數，則 c b a b a c a c b ＋＋＋＋＋的最小值為__________。 3.設 O 為坐標平面上的原點，P 點坐標為（2，8）；若 A，B 分別是正 x 軸及正 y 軸上的點，使得 PA ⊥ PB ，則△OAB 面積的最大可能值為__________。（化成最簡分數）

4.設 a，b，c 是實數且 a＋2b－3c＝22，則 a2_＋4b2_＋c2_{的最小值為(1)__________，此時數對( a，b，c）為(2)__________。}

5.分式不等式 4 x x 2 x2 ＋－ ≧1 的解為__________。

6.設 x，y 是實數且滿足 3x2_＋4y2_{＝12x，則 x}2_－4y2_{－2x 的最大值為__________。} 7.設 x，y 是實數且滿足 x2_＋xy＋y2_＝15，則 (1) x＋y 的範圍為__________。 (2) 承(1)，x2_＋xy＋y2_{＝15 在坐標平面上的圖形，最有可能是圓、橢圓、拋物線、雙曲線中的哪一個？} 8.坐標平面上三角形 ABC 三頂點的坐標分別是 A（2，3），B（0，4），C（1，5）， (1) 試以二元一次不等式組表示三角形 ABC 的所圍成的區域 F。(包含邊界線) (2) 若(x，y)∈F，則（x－1）2_{＋（y－1）}2_{的最大值為__________。} (3) 若(x，y)∈F，則 9 x 8 y －－的最小值為__________。

(2)

三、計算作圖題：每題 10 分，共計 30 分。 1.坐標空間中，設點 P 是球面 S：（x－1）2_{＋（y＋2）}2_{＋（z－2）}2_{＝16 上的點，求點 P 到平面 E：2x＋2y－z＝23 的最長距離，} 以及發生最長距離時點 P 的坐標。 2.某家具工廠製造書桌和椅子，每張需要的材料費、工資及利潤如下表所示：材料費（元）工資（元）利潤（元）書桌 200 150 400 椅子 80 100 200 如果每天材料費上限為 32000 元，而工資上限為 36000 元， (1) 設每天製造書桌 x 張和椅子 y 張，試列出限制條件。( 3分) (2) 畫出可行解區域的圖形，並標明各直線方程式和各交點。( 4分) (3) 試問工廠該如何分配每天的產量以達到最佳獲利？( 3分) 3.設二次方程式 x²+ 2(1+log k )x + (3+ log₅ ₅ k ) = 0 有相異實根，求 k 之範圍。( 10 分)

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國立台灣師大附中九十七學年度第一學期期末考數學科高三科教班答案卷

2009.1.9. 一、勘誤題：每題 5 分，共計 10 分。班號座號姓名 1.不正確的式子是第_______式(2分) 2.不正確的式子是第_______式(2分) 理由是(3分)：理由是(3分)： 二、填充題：每格 5 分，共計 60 分。 1. 2. 3. 4(1). 4(2). 5. 6. 7(1). 7(2). 8(1). 8(2). 8.(3) 三、計算作圖題：每題 10 分，共計 30 分。

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國立台灣師大附中九十七學年度第一學期期末考數學科高三科教班答案卷

2009.1.9.

一、勘誤題：每題 5 分，共計 10 分。

1.不正確的式子是第___4___式(2分) 2.不正確的式子是第__ 1___式(2分) 理由是(3分)：理由是(3分)：

兩個不等式等號成立時的條件不知 x+4 的正負

sin x ＝ cos x 和 sin 2x ＝0 不可只將 x+4 乘到右邊而不討論 無法同時成立 ( 需將兩邊乘以 (x+4)2 ) 故最小值不會是 0 二、填充題：每格 5 分，共計 60 分。 1. 1 2. 6 3. 289 8 4.最小值 44 4.數對 ( 2，1，－6 ) 5. －4＜x≦－1 或 x≧4 6. 8 7(1). －2 5≦ x+y ≦ 2 5 7(2). 橢圓 8(1). x－y＋4≧0，2x＋y－7≦0，x＋2y－8≧0 8(2). 16 8.(3) 8 3 三、計算作圖題：每題 10 分，共計 30 分。 1.設點 P 的坐標是（a，b，c），則點 P 到平面 E 的距離是d＝ 2 2 2 1 2 2 23 c b 2 a 2 ）－（＋＋－－＋＝ 3 23 c b 2 a 2 ＋－－由柯西不等式得出［2（a－1）＋2（b＋2）－（c－2）］2_≦［_（a－1）2_{＋（b＋2）}2_{＋（c－2）}2_］_［22_＋22_{＋（－1）}2_］因此 5≦d≦13 當以上的柯西不等式等號成立時，可知存在實數 λ 使a－1＝2λ，b＋2＝2λ，c－2＝－λ，代入球面 S 的方程式得 9λ2_{＝16，解出 λ＝} 3 4 或 λ＝ 3 4 －當 λ＝ 3 4 －時，點 P 的坐標為（ 3 5 －， 3 14 －， 3 10 ），這時距離 d＝13 是最長距離 2.(１)設每天製造書桌 x 張和椅子 y 張，則獲利為 400x＋200y 元而限制條件為 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧200x＋80y≦32000 150x＋100y≦36000 x≧0，y≧0 ，即 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧5x＋2y≦800 3x＋2y≦720 x≧0，y≧0 ( 3分) (２)畫出可行解區 F 的圖形如下( 4分) (3)檢驗各頂點的目標函數值：頂點目標函數值（0，0） 0 （160，0） 64000 （40，300） 76000 （0，360） 72000 （x，y）＝（40，300）有最大獲利 76000 元，故應製造書桌 40 張，椅子 300 張 ( 3分) 3. 0 ＜ k ＜ 1 25 或 k＞5