高二下第一次期中考數學4A題庫(40)

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(1)

Ch1

一、單選題

1. (  )圖中,ABCD − EFGH 是一個正立方體。問下列哪些直線與平面 ACGE 垂直?

(A)直線 AB (B)直線 BF (C)直線 CG (D)直線 DB (E)直線 EB 

【龍騰自命題】 解答  D  解析  平面 ACGE 如圖所示。 (A)因為直線 AB 與直線 AC 不垂直,所以直線 AB 與平面 ACGE 不垂直 (B)因為直線 BF與直線 AE 平行,所以直線 BF 與平面 ACGE 不垂直 (C)因為直線 CG 在平面 ACGE 上,所以直線 CG 與平面 ACGE 不垂直 (D)因為直線 DB 與直線 AC 為正方形 ABCD 的 兩對角線,互相垂直,又直線 DB 與正方形 ABCD 和 EFGH 的中心連線 PQ 也垂直,所 以直線 DB 與平面 ACGE 垂直,如圖所示 (E)因為直線 EB 與直線 AE 不垂直,所以直線 EB 與平面 ACGE 不垂直  2. (  )圖為一個長立方體,試問哪個線段會與AG共平面? (A)CD (B)BC (C)BF  (D)HF (E)GD  【龍騰自命題】 解答  E  解析  與AG共平面,需與AG有交點或平行的線段,因為CDBCBFHFAG均為歪斜 線,而GDAG交於點 G,故選GD

(2)

3. (  )圖為一個八面體,ABCD 為一正方形。下列哪些直線與直線 AD 歪斜? (A)直線 CD (B)直線 BC (C)直線 CF (D)直線 AE  【龍騰自命題】 解答  C  解析  (A)相交於 D 點 (B)與直線 AD 平行 (D)相交於 A 點  4. (  )設 A、B、C 為空間中三點,且不在同一直線上。若空間中一點 D 滿足AD BD CD  問:這樣的 D 點一共有 (A)1 個 (B)2 個 (C)3 個 (D)4 個 (E)無窮多個  【龍騰自命題】 解答  E  解析  設 O 為△ABC 的外心,即AO BO CO  取 D 為通過點 O 與平面 ABC 垂直的直線上的任意點, 則由畢氏定理可知: 2 2 2 2 ADAODOBODOBDCO2DO2 CD因此直線上的點 D 均滿足AD BD CD  故這樣的 D 點有無窮多個 二、多選題 1. (  )如圖是一個長方體,選出正確的選項。 (A)直線AB與直線EF 平行 (B)直線DH 與直線BF 平行 (C)直線FG與直線AB歪斜  (D)直線FH與直線BD歪斜 (E)直線AG與直線BH歪斜  【SUPER 講義】 解答  ABC  解析  (A)正確 (B)正確 (C)正確 (D)直線FH與直線BD平行 (E)直線AG與直線BH交於一 點  2. (  )關於空間中的敘述,選出正確的選項: (A)過已知直線外一點,「恰有」一個平面與 此直線垂直 (B)過已知直線外一點,「恰有」一個平面與此直線平行 (C)過已知平面 外一點,「恰有」一個直線與此平面平行 (D)過已知平面外一點,「恰有」一個平面 與此平面垂直 (E)過已知平面外一點,「恰有」一個平面與此平面平行  【SUPER 講義,學測】 解答  AE  解析  (A)正確 (B)不只一個平面與此直線平行 (C)不只一條直線與此平面平行 (D)不只一個 平面與此平面垂直 (E)正確 

(3)

三、填充題

1. 圖為一個各邊長皆為 1 的四角錐,ABCD 是一個正方形。 (1)求高EH的長為____________。

(2)已知兩側面 ABE 與 ADE 所夾的二面角為,求cos =____________。

【龍騰自命題】 解答  (1) 22 (2) 1 3  解析  (1) 因為點 H 為對角線BD中點,所以 1 12 12 2 2 2 BH    ,利用畢氏定理,得 2 2 2 2 2 2 1 2 2 EHEBBH      。  (2)因為△ ABE和△ ADE均為正三角形,取AE中點 M,則BMD,又正三角形的高 3 2 BMDM  ,對角線 2 BD ,利用餘弦定理,得 2 2 2 3 3 ( ) ( ) ( 2) 1 2 2 cos 3 3 3 2 2 2        。 2. 如圖,四面體 ABCD,已知BCBDAD垂直平面 BCD,且BC5,AC5 10 ,AD9,若平 面 ABC 和平面 DBC 的夾角為 θ,則 tanθ = ____________。 【龍騰自命題】 解答  43 解析  作圖如下:

(4)

由三垂線定理知:ABBC 所以AB (5 10)252 15 2 2 15 9 12 BD     ,故在△ABD 中 9 3 tan 12 4    。  Ch2 一、單選題 1. (  )令A

5,0,12

B

5,0,12

為坐標空間中的兩點,且令Pxy平面上滿足PA PB 13的點。 請問下列哪一個選項中的點可能為P? (A)

5,0,0

 (B)

5,5,0

 (C)

0,12,0

 (D)

0,0,0

 (E)

0,0,24

  【103 學測,POWER 講義,SUPER 講義】 解答  D  解析  設P x y

, ,0

。因為PA PB 13,所以

2 2

2 2 5 144 5 144 13 x y   x y   ,即

2 2 2 2 5 25 5 25 x y x y           。 兩式相減,得

x5

 

2 x5

2x210x25x210x25 x 0 , 代入原式得y0,即P

0,0,0

2. (  )下列何者為真? (A)點(a,b,c)在 x 軸上的投影點為(a,b,0) (B)點(a,b,c)在 xy 平面上的投 影點為(a,0,0) (C)點(a,b,c)到 xy 平面的距離為 c (D)點(a,b,c)至 x 軸的距離為 b2c2  

(E)點(a,b,c)對於 x 軸的對稱點為( − a,b,c) 

【龍騰自命題】 解答  D  解析  (A)╳:(a,0,0) (B)╳:(a,b,0) (C)╳:| c | (D)○ (E)╳:(a, − b, − c)  3. (  )空間中A(3,1, 1) ,B(2,5, )kC(4, 3, 4)  三點共線,則k值為何? (A)2 (B)0 (C)2  (D)4 (E)6  【龍騰自命題】 解答  C  解析  因為 A,B,C 三點共線  AB

//AC

,存在一實數t使得AB t AC

 

 , 故( 1,4, k 1) t(1, 4, 3)   t 1 k2 4. (  )如圖,長方體 ABCD−EFGH 中,AB2,AE1,AD3AP2,FQ1,則PQ 長為 (A) 2 (B) 3 (C)2 (D) 5 (E) 6  【龍騰自命題】 解答  E 

(5)

解析   如圖,建立坐標系, 設 E(0,0,0),則 P(0,2,1),Q(2,1,0),PQ 4 1 1   6 二、多選題 1. (  )已知空間上一點 P(1, −2,3),下列敘述何者正確? (A)P 到 y 軸的距離為 14 (B)P 對 yz平面的對稱點坐標為(1, − 2, − 3) (C)P 對 y 軸的投影點坐標為(1, − 2,3) (D)P 到 yz 平 面的距離為 1 (E)P 對原點的對稱點坐標為( − 1, − 2, − 3)  【龍騰自命題】 解答  D  解析  (A)╳:d P y( , 軸) 10 (B)╳:對稱點坐標為( − 1, −2, 3 ) (C)╳:投影點坐標為(0, −2,0) (D)○ (E)╳:P 對原 點的對稱點坐標為( − 1,2, − 3)  2. (  )在空間中,下列哪些點可與 A( − 1,2, − 3),B(2, − 5,3),C( − 2,6, − 4)三點構成一平行四 邊形? (A)( − 1, − 5, − 2) (B)(3, − 9,4) (C)( − 5,13, − 10) (D)(3,7,6) (E)(1, − 1,2)  【龍騰自命題】 解答  BCE  解析  由圖可知有 3 種可能: 設 O(0,0,0), 1 ( 1,2, 3) (4, 11,7) (3, 9,4) OD

  

OA CB        2 ( 1, 2, 3) ( 4,11, 7) ( 5,13, 10) OD

  

OA BC          , 3 ( 2,6, 4) (3, 7,6) (1, 1,2) OD

  

OCAB       三、填充題 1. 如圖,ABCD − EFGH 為一平行六面體,若 J 為四邊形 BCGF 的中心,且AJ

   

a AB b AD c AE  則( , , )a b c ____________。 【龍騰自命題】 解答  (1, , )1 1 2 2 解析  因為 J 為四邊形 BCGF 的中心, 故BJ

  

12BC12BF

(6)

     

AJ AB BJ  AB21BC12BF 1 1 2 2 AB AD AE

  

  故( , , )a b c  (1, , )1 12 2 。  2. 空間中四點 O(0,0,0),P(1, 1,4),Q(0, 1,3),R(1,1,1),令

  

aPQ2RP ,且AB

 

3 a ,又 (1,5,2) OB

,求 A 點之坐標為____________。 【龍騰自命題】 解答  (4,5,23) 解析  PQ

 ( 1,0, 1) RP

(0,0,3)

a  ( 1,0, 1) 2(0,0,3) ( 1,0, 7)     令 A(x,y,z),OB

(1,5,2)B(1,5,2) (1 ,5 ,2 ) 3 ( 3,0, 21) AB xyza   

故1    x 3 x 4, 5 − y = 0 ⇒ y = 5, 2 − z = −21 ⇒ z = 23, A(4,5,23)。  Ch3 一、單選題 1. (  )空間中有相異四點 A,B,C,D,已知內積AB AC AB AD

   

.  . 。試選出正確的選項。  (A)AB CD

 

. 0 (B)AC AD  (C)

ABCD

平行 (D)AD BC

 

. 0 (E)A,B,C,D 四點 在同一平面上  【109 學測,SUPER 講義,POWER 講義】 解答  A  解析  如圖,AB AC AB AD

   

AB

  

AD AC 0AB CD

 

0 2. (  )試求

a (5,4, 3) 與

b   ( 2, 1,6)所張開的平行四邊形面積最接近下列何者? (A)16  (B)17 (C)32 (D)34 (E)36  【龍騰自命題】 解答  C  解析  

 

ab (41  63, 63 52,52 41) (21, 24,3)  , 故所求面積|

 

ab | 441 576 9   1026 32 3. (  )設 a,b 皆為正實數,則(a 2 )(b 1 2) a b   的最小值為何? (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (E)9 【龍騰自命題】 解答  E 

(7)

解析  [( a)2 ( 2 ) ][(b 2 1 )2 ( 2) ] (1 2)2 2

a b

    ,得(a 2 )(b 1 2) 9

a b

   ,故最小值為 9  4. (  )若 a,b,x,y 為實數,且(x2 + y2 + 1)(a2 + b2 + 9) = (ax + by + 3)2,則

2 2 2 2 x y a b   的值為何? (A)1 (B)13 (C)13 (D)1 9 (E) 1 9    【龍騰自命題】 解答  D  解析  由柯西不等式知(x2 + y2 + 12)(a2 + b2 + 32) ≥ (ax + by + 3)2ax by 13時,等號成立,故 a = 3x,b = 3y 2 2 2 2 2 2 2 2 1 9 9 9 x y x y a b x y        二、多選題 1. (  )已知

a

b 為空間中的二個向量,下列哪些選項正確? (A)

 

ab 為一實數 (B) a b  ab

   

 (C)

 

a a 0 (D)

  

b (3 b ) 0  (E)若

a

b 為不平行的二相異向 量,則|

 

ab |為向量

a

b 所張平行四邊形面積  【龍騰自命題】 解答  DE  解析  (A)╳:

 

ab 為一向量,

 

a b為一實數 (B)╳:

 

ab 為一向量,

 

a b為一實數  (C)╳:

  

aa  0 (D)○:

  

b (3 b ) 0 (E)○:|

 

ab |為向量

a

b 所張平行四邊形面積  2. (  )已知

a

b 為空間中的二個向量,下列哪些選項正確? (A)

a

b 的正射影為一 向量 (B) a

b

的正射影為一正實數 (C) a

b

的正射影為( 2 ) | | a b b a

  

 (D) a

b

的正射影為( 2 ) | | a b b b

  

 (E) a

b

的正射影長為| | | | a b b

 

  【龍騰自命題】 解答  ADE  解析  (A)○:正射影為一向量 (B)╳:正射影為一向量 (C)╳:

a

b 的正射影為 2 ( ) | | a b b b

  

(D)○ a

b

的正射影為( 2 ) | | a b b b

  

(E)○  三、填充題

(8)

1. 設 A(3,0,0),B(0,3,0),C( − 1, − 1, − 1),D( − 3,0,6),求AB CD

 

 ____________。 【龍騰自命題】 解答  9  解析  AB

 ( 3,3,0),CD

 ( 2,1,7),故AB CD

 

         ( 3) ( 2) 3 1 0 7 9。  2. 如圖,設ABCD EFGH為空間中長、寬、高分別為 2、3、5 的長方體。已知AB2、AD BC 3DH 5,則內積AH AC

 

 的值為____________。 【103 指考(甲),SUPER 講義】 解答  9 解析  將長方體放在空間坐標中,令A

0,0,5

H

0,3,0

C

2,3,5

,則

0,3, 5

 

2,3,0

9 AH AC

 

     。  Ch4 一、單選題 1. (  )圖為一個邊長為 3 的正立方體,求| (AE

  

AD )CE|的值為何? (A)3 (B)9 (C)9 3 (D)27 3 (E)27  【龍騰自命題】 解答  E  解析  將正立方體放置於空間坐標系中,設A(0,0,0),D(0,3,0),E(0,0,3),C(3,3,0), 則AE

(0,0,3) ,AD

(0,3,0) ,CE

  ( 3, 3,3)  |(AE

  

AD )CE| 27 〈另解〉 | (AE AD

  

 )CE|為向量AE

AD

CE

所決定的平行六面體體積, 又| (AE AD CE

         

 ) | | ( AE AD ) ( AE AC ) | | ( AE AD ) ( AC) | | (AE AD

      

 ) ( AB AD ) | | ( AE AD ) ( AB) |得知 向量AE

AD

CE

所決定的平行六面體體積與正立方體ABCDEFGH體積相等, 故所求即為3 3 3 27   2. (  )關於行列式的性質,下列哪一選項恆成立? (A) a b c a d g d e f b e h g h i c f i    (B) 0 1 0 a b a b d e g h g h (C) 0 0 0 0 0 b d e f h (D) 0 0 0 0 0 a c e g i (E) a e b f a b e f c g d h c d g h         【SUPER 講義,指考(乙)】 解答  C 

(9)

解析  (A)行列互換其值不變 (B)將三階行列式依第三行展開,得 0 1 0 1 0 0 a b d e a b a b d e g h g h d e g h       a b g h   (C)展開,得 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b d e f h        (D)展開,得 0 0 0 0 0 0 0 0 a c e aei ceg g i       aei ceg   (E)展開,得左式

a e d h

 

 

 c g b

 

f

ad ah ed eh  

 

bc cf bg gf

ad bc

 

eh gf

 

ah ed cf bg

        。右式

ad bc

 

eh gf

。因此,左式並不恆 等於右式  3. (  ) 1 4 9 4 25 36 9 64 81 的值為何? (A)− 2 (B)0 (C)6 (D)9 (E)81  【龍騰自命題】 解答  B  解析   1 4 9 4 25 36 9 64 81 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 5 6 3 8 9 (第一行 × ( − 1)加到第二行,第二行 × ( − 1)加到第三行)       = 1 3 5 4 21 11 9 55 17 (第一行 × ( − 3)加到第二行,第一行 × ( − 5)加到第三行)       = 1 0 0 4 9 9 9 28 28   =1 × 9 9 28 28   = 0 4. (  )設 a,b,c 為三角形的三邊長,且 2 2 2 0 a b c a b c a b c a b c     ,則此三角形為何種三角形? (A)正 三角形 (B)直角三角形 (C)等腰三角形 (D)等腰直角三角形  【龍騰自命題】 解答  C  解析   2 2 2 a b c a b c a b c a b c    (第一行 × 1 加到第二行)= 0 2 2 2 2 2 2 1 0 ( ) 1 0 1 a a b c a a a b a b c b a b c b b c a b c c c c             ⇒ − (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a) = 0

(10)

因為 a + b + c ≠ 0,故 a − b = 0 或 b − c = 0 或 c − a = 0 ⇒ a = b或 b = c 或 c = a,即△ABC 為等腰三角形  二、多選題 1. (  )若 a d g b e h c f i   則下列行列式中何者值與 Δ 相等? (A) a b c d e f g h i  (B) g a d h b e i c f  (C) d a g e b h f c i  (D) c a b f d e i g h (E) a g d c i f b h e   【龍騰自命題】 解答  ABDE  解析  (A)○: a d g a b c b e h d e f c f i g h i    行列互換其值不變  (B)○: g a d a g d a d g h b e b h e b e h i c f c i f c f i      (C)╳: d a g a d g e b h b e h f c i c f i     (D)○: c a b a c b a b c a d g f d e d f e d e f b e h i g h g i h g h i c f i       (E)○: a g d a d g a d g c i f c f i b e h b h e b e h c f i      2. (  )下列哪些與 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a a a b b b c c c 相等? (A) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a b c a b c a b c  (B) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 b b b c c c a a a  (C) 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a c b a  (D) 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 a b a b a b b b b c c c     (E) 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 a b a b a b b b b c c c   【龍騰自命題】 解答  ABCD  解析  (A)○:行列互換,其值不變 (B)○:先 1、3 列互換,再 1、2 列互換,後與原行列式相 同 (C)○:由(A),先 1、3 列互換,再 1、3 行互換 (D)○:由原行列式第 2 列 × 1 加到 第 1 列 (E)╳  三、填充題

(11)

1. 設 A(5,3),B( − 2,1),C(t,2t + 1)三點共線,則 t = ____________。 【龍騰自命題】 解答  13 解析   5 3 1 2 1 1 0 2 1 1 t t    ⇒ 5 − 4t − 2 + 3t − t + 6 − 10t − 5 = 0 ⇒ 12t = 4 t 13。  2.

a (5,3,8)

b (2, 2,5)

c ( , ,0)k k 所張開的平行六面體體積為 176,則 k = ____________。 【龍騰自命題】 解答  ± 8  解析  V |

  

c (ab ) | | 22 | k 故|22k| = 176 ⇒ k = ± 8。 

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