e^(-x^2) 的瑕積分

(1)

http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee 來自bee 美麗之家 ₁ 2 x

e

dx



 _ 





1000731 bee 因為 x2 ye 是一個偶函數，所以 2 2 2 0 0 2 2lim b x x x b e dx e dx e dx  _  _ _    



，因此只要搞定 2 0 lim b x b e dx  



就可以了。不過， 2 0 b x e dx



無法積分，因為找不到一個函數的微分會是 x2 e ，所以需要一點點技巧。令 2 0 lim b x b I e dx  



。考慮 (x2 y2) ze  在頂點為( ,  之正方形的重積分，即 b b) 2 2 2 2 ( ) b b b b x y x y b b b b b V e  dydx e  dy dx     

 



 

2 2 2 2 2 ₂ 2 ₂ 0 ( ) ( ) ( ) 4( ) b b b b b b x y y x x x b e be dy dx be dy be dx be dx e dx            



















， Plot3D[Exp[-(x^2+y^2)],{x,-1,1},{y,-1,1}] 因此 2 2 2 2 2 0 0 lim lim 4( b x ) 4( x ) 4 b b b V V e dx e dx I    







 。

(2)

http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee 來自bee 美麗之家 ₂ 另外，如果我們用極坐標來看這一個體積V 。考慮 (x2 y2) r2 ze  e 在圓心為原點，半徑為a之圓的重積分，則 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1

lim lim lim ( ) lim (1 )

2 2 a a _r _r _a a a a a a V V  e rdrd  e d  e d       

_{ }



_



_

 2 lim (1 a ) a  e       。 ParametricPlot3D[{v*Cos[u],v*Sin[u],Exp[-v^2]},{u,0,2p},{v,-1,1}] 因此可得4I2  ，故 2 I   ，即 x2 2 e dx I   _   



。這一個瑕積分和常態分佈曲線底下的面積有關。常態分佈的機率密度函數為 2 2 ( ) 2 1 x e       ，常態分佈曲線底下的面積為 2 2 ( ) 2 1 x e dx        



。令 2 ( ) 2 x u     。因為 x2 e dx   _  



，得 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 1 1 ( ) 1 1 1 2 x x u x e dx e d e du                _    _        



。而當 0,  時，我們稱其為1 標準常態分佈，機率密度函數為 2 2 1 2 x e   。

(3)

http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee 來自bee 美麗之家 ₃

Plot[Exp[-x^2/2]*(1/ ),{x,-5,5},FillingBottom]

我們得到機率密度函數下的面積為1，但是，那 2 1 2 1 1 2 x e dx   



是多少呢？也就是一個標準差之內的機率是多少？或討論 2 2 1 2 u x x  e du  



是多少呢？令 2 u t  。則 2 2 2 ( ) 2 2 2 0 0 1 1 2 2 2 2 u x u x x _t x u e du e d e dt     _    



。我們將 2 0 2 x _t e dt  



稱為誤差函數(或稱為高斯誤差函數)，記為 2 0 2 ( ) x t erf x e dt   



，則 2 2 2 2 0 1 2 ( ) 2 2 x u x t x x e du e dt erf       



。因為 2 0 2 ( ) x t erf x e dt   



不是一個基本函數，我們用 2 3 4 1 2! 3! 4! t t t t e   t   代入，得到erf x 的泰勒展開式如下： ( ) 2 3 5 7 9 0 2 2 ( ) ( ) 3 10 42 216 x t x x x x erf x e dt x    



      ，

(4)

http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee 來自bee 美麗之家 4 其函數圖形為 Plot[Erf[x],{x,-4,4}] 計算幾個近似值分別為 x 標準差 erf x ( ) mathematica 1 0.7071 2  1 0.682685 Erf[0.7071] 2 2 1.414 2   2 0.954467 Erf[1.414] 3 2.1213 2  3 0.9973 Erf[2.1213] 1.96 1.3859 2  1.96 0.949999 Erf[1.3859] 1.96 2 1.96 0.950004 Erf[1.96] 2