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數學有何用(高中丶大學)

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(1)

數學有何用

陳宜良  

應用數學講座教授  

中央大學數學系  

(2)

數學有何用

•  數學是追求樣式規律性與本質性的學科 •  數學是理性思維的工具 –  探索未知   –  解決現實問題   –  開創未來世界  

需要數學

(3)

一個探索未知的例子

•  Tycho  Brahe  (第谷·∙布拉赫1546-­‐1601)   – 一組改變歷史的數據   •  Johannes  Kepler  (刻卜勒1571-­‐1630)   – 一個追求真理的探索   •  Isaac  Newton(牛頓1642-­‐1727)   – 千古謎題破解日,萬有引力發現時

(4)

探索未知

(5)
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Geocentric  Model  (地心說)

•  In  the  4th  century  BC,  two  influen>al  Greek   philosophers,  Plato  and  his  student  Aristotle,   wrote  works  based  on  the  geocentric  model.   According  to  Plato,  the  Earth  was  a  sphere,  

sta>onary  at  the  center  of  the  universe.  The  stars   and  planets  were  carried  around  the  Earth  on  

spheres  or  circles,  arranged  in  the  order  

(outwards  from  the  center):  Moon,  Sun,  Venus,   Mercury,  Mars,  Jupiter,  Saturn,  fixed  stars,  with   the  fixed  stars  located  on  the  celes>al  sphere.  

(9)

•  In  the  Ptolemaic  system,  each  planet  is  moved  by   a  system  of  two  spheres:  

one  called  its  deferent,  the  others,  its  epicycle  

•  The  deferent  is  a  circle  whose  center  point,  called   the  eccentric  and  marked  in  the  diagram  with  an   X,  is  removed  from  the  Earth.  The  original  

purpose  of  the  eccentric  was  to  account  for  the   differences  of  the  lengths  of  the  seasons  (autumn   is  the  shortest  by  a  week  or  so),  by  placing  the  

Earth  away  from  the  center  of  rota>on  of  the  rest   of  the  universe.

(10)

•  Another  sphere,  the  epicycle(周轉圓),  is  

embedded  inside  the  deferent  sphere  and  is   represented  by  the  smaller  doTed  line  to  the   right.  A  given  planet  then  moves  around  the   epicycle  at  the  same  >me  the  epicycle  moves   along  the  path  marked  by  the  deferent

(11)
(12)

hTp://en.wikipedia.org/wiki/Tycho_Brahe

Tycho  Brahe  was  a  Danish  nobleman    known  for  his  accurate  and  comprehensive    astronomical  and  planetary  observa>ons.

(13)

•  Tycho  realized  that  progress  in  astronomy   required  systema>c,  rigorous  observa>on,   night  aZer  night,  using  the  most  accurate  

instruments  obtainable.  This  program  became   his  life's  work.  Tycho  improved  and  enlarged   exis>ng  instruments,  and  built  en>rely  new   ones.

(14)

•  The  king  of  Denmark  gave  Tycho  tremendous   resources:  an  island  with  many  families  on  it,   and  money  to  build  an  observatory.    (One  

es>mate  is  that  this  was  10%  of  the  gross   na>onal  product  at  the  >me!)

(15)

•  Tycho  Brahe  was  granted  an  estate  on  the   island  of  Hven  and  the  funding  to  build  the  

Uraniborg,  an  early  research  ins>tute,  where   he  built  large  astronomical  instruments  and   took  many  careful  measurements,  and  later  

Stjerneborg,  underground,  when  he  

discovered  that  his  instruments  in  the  former   were  not  sufficiently  steady.

(16)

•  The  observatory  had  a  large  mural  quadrant   affixed  to  a  north-­‐south  wall,  used  to  measure   the  al>tude  of  stars  as  they  passed  the  

meridian.  This,  along  with  many  other  

instruments  of  the  observatory,  was  depicted   and  described  in  detail  in  Brahe's  1598  book  

(17)

Accuracy

•  He  aspired  to  a  level  of  accuracy  in  his  es>mated   posi>ons  of  celes>al  bodies  of  being  consistently   within  1  arcminute  of  their  real  celes>al  

loca>ons,  and  also  claimed  to  have  achieved  this   level.  But  in  fact  many  of  the  stellar  posi>ons  in   his  star  catalogues  were  less  accurate  than  that.   The  median  errors  for  the  stellar  posi>ons  in  his   final  published  catalog  were  about  1'.5,  indica>ng   that  only  half  of  the  entries  were  more  accurate   than  that,  with  an  overall  mean  error  in  each  

(18)
(19)

•  AZer  disagreements  with  the  new  Danish  king   Chris>an  IV  in  1597,  he  was  invited  by  the  

Bohemian  king  and  Holy  Roman  emperor  

Rudolph  II  to  Prague,  where  he  became  the   official  imperial  astronomer.  He  built  the  new   observatory  at  Benátky  nad  Jizerou.  There,  

from  1600  un>l  his  death  in  1601,  he  was   assisted  by  Johannes  Kepler  who  later  used   Tycho's  astronomical  data  to  develop  

(20)

Eduard  Ender's  portrait  of  1855  showing  Tycho  demonstra>ng     a  celes>al  globe  to  the  Emperor  Rudolph  II  in  Prague.  

(21)
(22)
(23)

刻卜勒的探索

•  hTp://www.keplersdiscovery.com/   •  刻卜勒簡介  

•  刻卜勒的新天文學  

(24)

•  從刻卜勒到牛頓 -­‐-­‐千古謎題破解日,萬有引 力發現時 項武義‧張海潮   •  牛頓萬有引力   Isaac  Newton(1642~1727),英國 的數學家及物理學家,微積分主要締 造者,萬有引力理論的發明者。  

(25)

•  Tycho’s  observa>ons  were  accurate  enough  

for  Kepler  to  discover  that  the  planets  moved   in  ellip>c  orbits,  and  his  other  laws,  which  

gave  Newton  the  clues  he  needed  to  establish   universal  inverse-­‐square  gravita>on.

(26)

解決現實生活中的問題

 

數學與真實世界連結

•  可以讓我們理性分析生活周遭所發生的事   •  可以防災   •  可以讓生活便利   •  可以增進效率   •  可以理性的判斷與協助決策   •  可以協助解決問題

(27)

第一類的例子

•  柯南:  死亡時間的推斷  

(28)

柯南如何判斷受害者死亡時間

•  一屍體在6:30  AM 被發現,屍體溫 度為  20◦.    7:30  AM 時,屍體溫度為 18◦.  當時室溫為 16◦  。人體溫約為 37◦.  柯南怎麼估計 受害者死亡時間 呢?    

(29)

數學建模

•  設屍體溫度在時刻  t  時為Y(t)   •  室溫為  K   •  模型:     •  由Y  在兩個時間點的值推斷 與初期始時間

Y (t +

t)

Y (t)

t

= ↵ (K

Y (t))

(30)

Euler  方法

Leonhard  Euler  

1707-­‐1783

(31)

馬爾薩斯

(Malthus)人口論

•  馬爾薩斯Malthus人口論指出人口呈幾何成 長,糧食受限於耕地面積的限制,終究會 達到飽和,而有限的土地分配給呈幾何成 長的人口,終究不足分配,若土地可以買 賣,則其價值也會愈來愈高。   •  這個理論也可以解釋貴族體制崩解的原因。

(32)

 Thomas  Robert  Malthus    (1766-­‐1834)

(33)

人口論的數學模型

(Malthus,  1798)

•  人類社會的人口若不作適當控制,終會 被細菌或戰爭所摧毀。

P (t +

t) = P (t)(1 + r t)

(34)

環境承載有上限

•  環境承載量      

R := r/

P (t +

t)

P (t)

t

= rP (t)

P (t)

2

= rP (t)

1

P (t)

R

P (t)

t

= rP (t)

1

P (t)

R

Pierre    Verhulst  (1804-­‐1849

(35)

數值方法

:  尤拉法

•  初始值   •  迭代公式:   •  終點值    

P (0)

P (N t)

for n = 0, . . . , N

1

P (t)

! R as t ! 1.

P ((n + 1) t) = (1 + r t)P (n t) ✓ 1 P (n t) R ◆

(36)

漁業

     養殖業:    永續經營

•  設每單位時間漁獲量為 C   •  問題:  C  應選擇何值時可以永續經營?  

P (t)

t

= rP (t)

1

P (t)

R

C

(37)

永續的社會

  •  數學建模可以讓我們理性分析生活周遭所發生 的事。   –  人口成長   –  糧食丶水的需求   –  都市擴張   –  房價高漲   •  法國經濟學家Thomas  PikeTy  近日出了一本有 名的書:  廿一世紀資本論  

(38)

書中有許多數據值得數學建模與並做更進一步的分析。  

(39)

第二類例子

•  亞瑪遜書局如何推薦書  

•  影視租賃公司如何推薦影帶  

•  歐巴馬團隊如何估計社群政黨取向  

(40)

亞馬遜如何推薦書

•  亞馬遜網上書店 Amazon.com  是美國最大的一家 網路電子商務公司,是網路上最早開始經營電子 商務的公司之一,亞馬遜書店成立於1995年,一 開始只經營網路的書籍銷售業務,現在則擴及了 範圍相當廣的其他產品,包括了DVD、音樂光碟、 電腦、軟體、電視遊戲、電子產品、衣服、傢具 等等。   •  亞馬遜會根據你購買或評比過的書籍,推薦你相 關的書籍  

(41)
(42)

Ra>ng  by  correla>on-­‐weights  

(43)

Nerlix  Problem

•  Nerlix是一家美國公司,提供北美地區綫上 播放DVD的出租業務。   •  2011年4月,Nerlix宣布在美有2360萬用戶, 而全世界則超過2600萬,可提供10萬種DVD 選擇。 •   Nerlix會根據用戶訂閱過或評比過的資料提 供推薦影片。

(44)

Nerlix

•  Nerlix為追求最佳collabora>ve  filtering算法 的獎,獎金一百萬美金,由Nerlix公司提供。   •  比賽方式是所提供的方法要比該公司用戶 的方法(Cinematch)好10%.  度量方法是RMSE   (root-­‐mean-­‐square-­‐error).

(45)

Nerlix

問題

•  Data  format:  <user,  movie,  date  of  grade,  grade>   •  Training  data:  Training  set  (99,072,112  ra>ngs  not  

including  the  probe  set,  100,480,507  including  the  probe   set)    

•   Quiz  set  (1,408,342  ra>ngs),  used  to  calculate   leaderboard  scores  

•  Test  set  (1,408,342  ra>ngs),  used  to  calculate   compe>>on  scores  

•  On  September  18,  2009,  Nerlix  announced  team  

"BellKor's  Pragma>c  Chaos"  as  the  prize  winner  (a  Test   RMSE  of  0.8567)

(46)

A  Matrix  Comple>on  Approach

•  Given  less  than  1%  of  movie  ra>ngs   •  Goal:  predict  missing  ra>ngs

(47)

第三類例子

(48)

How  google  works

•  爬挖資料 (Crawling)  

•  建立索引 (Indexing)  60  trillion  pages  

(49)

How  google  works

1.  Lars  Elden,  Matrix  Methods  in  Data  Mining  and  PaTern  Recogni>on,  SIAM     2.  PageRank,  Wiki  

(50)
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(52)
(53)
(54)

Two  problems

•  We  may  get  stuck  at  some  page  

(55)
(56)
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(58)

Challenges

•  60  Trillions  of  individual  pages  

•  Size  of  stochas>c  matrix  can  be  hundreds  of   thousands  

(59)

第四類問題

•  壓縮感知   •  影像除躁   •  影像填補

(60)

How  to  reduce  imaging  >me  for  MRI

•  Mo>va>on  from  medical  imaging  

– Low  dose  

– Fast  imaging   – High  resolu>on  

(61)
(62)

MRI  images  

(63)
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Basic  Principles  of  Nuclear  Magne>c  

Resonance  

•  Atoms  with  odd  number  of  protons  and/or  neutrons  possess   nuclear  spin  angular  momentum  S  

•  Associated  with  S  is  a  magne>c  dipole  moment  

•  Magne>c  dipole  moment  rotates  under  external  magne>c   field,  exhibit  magne>c  resonance  phenomena  

•  The  varia>on  of  rota>on  of  spins  generate  magne>c  fluxes   and  can  be  recorded  

•  Hydrogen  H+  atoms  are  abundant  in  biological  specimens  

(65)

MRI:    

use  magne>c  fields  to  perform  

• Relaxa>on:  Main  field  B0  

 

• Excita>on:  Radio  Frequency  (RF)  field  B1  

 

(66)
(67)

Principle  of  MRI  

(68)

Compressive  sensing  

E.  Candes,  J.  Romberg,  T.  Tao  2006   David  Donoho  2006  

(69)

Compressive  sensing  

(70)
(71)

71  

70% Salt-and-Pepper

Noise

Chan, Ho, Nikolova L1

影像除躁

Denoising

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73  

Chan,  Ho,  Nikolova  

70% Salt-and-Pepper

Noise

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影像填補(Image Inpainting) “Image  Inpain+ng  :     An  Overview”,   Guillermo  Sapiro   “Fast  Digital     Image  Inpain+ng”,     Manuel  M.  Oliveira,     Brian  Bowen,     Richard  McKenna    and  Yu-­‐Sung  Chang  

(75)
(76)

Some  Applied  Mathema>cians  in  Image  Processing  

Image  Processing

(77)

Compressive  Sensing    (2004)  

•  Dv  

David  Donoho   Emmanual  Candes   Terence  Chi-­‐Shen  Tao  

Candes,  Romberg,  Tao,  Robust  uncertainty  principles:  Exact  signal  reconstruc>on  from              highly  incomplete  frequency  informa>on,  IEEE  TRANSACTIONS  ON  INFORMATION            THEORY,  VOL.  52,  NO.  2,  FEBRUARY  2006    cited  4894  

DL  Donoho,  Compressed  sensing,  Informa>on  Theory,  IEEE  Transac>ons  on,  2006  ,              cited  6716  

(78)

數學有何用

•  數學是理性思維的工具   – 探索未知   –  解決現實問題   –  開創未來世界  

需要數學

(79)

未來趨勢 未來挑戰

•  全球暖化       •  ⾃自動化的時代   •  都市化     •  資訊的世界   •  ...       •  能源危機     •  ⾼高失業率   •  貧富懸殊  

因應未來挑戰

vs    開創未來世界

(80)

我的一個經驗

•  1979年我在IBM的Watson  Research  Center  做  

       summer  student  

•  我的mentor:  Williard  Miranker  (1956  NYU  Ph.D)    

•  我兩周內把他給我的問題做完了,  之後他帶我參觀很多部 門   –  在空間設計上,部門之間沒有隔閡,全部都連通,吃飯丶喝下午 茶也都在一起   –  Miranker因此和很多部門的人都熟識,知道很多部門的前緣研 究,  包括語音部門,programming  language,  還有一些物理實驗 的部門 等 –  其中最特別的是未來學的部門:  他們常與科學家與工程師互 動,探 討未來科技或社會的走向,或者是想像一種新的發明,並 激盪出 可行的方案

(81)
(82)
(83)
(84)

我的一個經驗

•  過去30年許多知名的科技發展都出自此,例如

DES(Data  EncrypOon  Standard)加密演算、經典 的電腦程式語言:  FORTRAN(Formula  TranslaOon   System)、本 華·∙·∙曼德博(Benoît  B.  Mandelbrot)

的報告書中發表了碎形 (Fractal)、磁性碟片儲

存(硬碟)、用單一個電晶體即 可記憶一個Bit的

動態RAM(Dynamic  Random  Access  

Memory,DRAM)、精簡指令集電腦(RISC)架構、

以及 關聯式資料庫等。IBM研究院在物理科學

上也有所貢獻,  包括掃描隧道顯微鏡(簡稱:STM)

以及高溫超導等,此 兩項成就都獲得了諾貝爾

(85)

創造未來的一個設計

•  這是創造未來的一個設計。   •  進行前緣研究的專家們在開放的環境下,  彼 此自然認識   •  有機會激盪丶藴釀丶成熟思想。看到跨領 域研究自然產生。

(86)

第二個例子

:  誘發動機

•  2012年加州理工學院(Caltech)  的新生訓練   •  Adam  Steltzner演講:  他是噴射引擎實驗室 (JPL)的登陸火星探測車(好奇號,Curiosity   Rover)的計畫主持人hTp:// www.youtube.com/watc?v=l9P9JNwwiMY     •  講題:  How  the  Trip  to  Mars  has  Changed  Us

(87)

•  他小時候對星空的好奇,對人類登陸月球 的興奮。  

•  對探索火星的奧祕感到無比的興奮  

(88)

•  這是一個追求真理的好奇之旅,而這個探測

車有一 輛小汽車那麼大,要零失誤地在7分

鐘內自大氣層 外登陸火星地表,這是一項非

常不容易的任務,  他說明許多可能的困難及

(89)

好奇與探索

(90)

•  而就在他演講的一刻,同步放映了探測車自 火星地表傳來的影像,映在三層樓高的大銀 幕 上,學生仿如身歷其境,既震撼又感動。這 是一 埸主題為好奇丶夢想丶挑戰未來的大 型表演,無疑的它是一埸振奮新生的成功表 演。

(91)

This  scene  from  the  panoramic  camera  (Pancam)  on  NASA's  Mars  Explora>on  Rover     Opportunity  looks  back  toward  part  of  the  west  rim  of  Endeavour  Crater  that  the   Rover  drove  along,  heading  southward,  during  the  summer  of  2014.

(92)
(93)
(94)
(95)

好奇與探索

•  你對什麼好奇呢?  

•  你做過什麼探索呢?  

•  你的探索有用到數學嗎?  

(96)

未來與過去

:  一個思維模式的差異

•  西方的電影:  有很多Science  Fic>ons,  災難片, 很 多是以未來為背景   •  大陸的電影:  宮廷片,背景是過去,現代片       •   港片:古裝,現代片   •  台片:現代片

(97)

東西文化面對過去與未來的差異

•  西方文化對未知事務的好奇,對未來的夢想, 對求新求變的渴望,對奇發異想的包容甚至 賞識,  對科技發展的高視野,這些都是推動創 新的文化元素 •  東方文化較為現世,同時也有太多過去的包 袱。 在思維上較少向未來看,或幻想未來的 世界。

(98)

開創未來

•  轉個念,多向未來看看吧。

(99)

高中生數學建模競賽

•  Cornell  University  has  a  couple  of  sites  for  high  school  students   •  hTp://www.math.cornell.edu/~mec/  

•  hTp://www.math.cornell.edu/~numb3rs/    

•  COMAP  has  High  school  Math  Contest  for  Modeling   •  hTp://www.comap.com/highschool/contests/h  

•  SIAM  M3  challenge  

•  hTp://m3challenge.siam.org/  

•  WPI  CIMS  Industrial  Mathema>cs  Project  for  High  School  Students     •  hTps://www.wpi.edu/academics/math/CIMS/IMPHSS/

(100)

大學生數學建模競賽

•  COMAP  MCM/ICM   •  hTp://www.comap.com/undergraduate/contests/     •  UCLA  RIPS     •  hTp://www.ipam.ucla.edu/programs/student-­‐research-­‐ programs/research-­‐in-­‐industrial-­‐projects-­‐students-­‐ rips-­‐2014/?tab=overview    

•  WPI  CIMS  REU  

•  hTps://www.wpi.edu/academics/math/CIMS/REU/     •  NCSU  REU   •  hTps://www.math.ncsu.edu/REU/   •     

(101)
(102)

Lunch  Crunch:  Can  nutriGous  be  

affordable  and  delicious?  

•  First  Lady  Michelle  Obama  spearheaded  an  ini>a>ve  on  good  nutri>on   that  led  to  passage  of  the  Healthy,  Hunger-­‐Free  Kids  Act  of  2010.  

Implementa>on  of  the  act,  however,  revealed  the  compe>ng  

preferences  of  the  school  lunch  program’s  three  major  stakeholders.  

Students  care  most  about  taste  and  quan>ty;  school  districts  are  

concerned  about  affordability;  and  the  federal  government,  which   provides  financial  support,  wants  to  promote  lifelong  healthy  ea>ng   habits.    

•  Schools  have  seen  the  cost  of  offering  lunch  go  up  (since  healthier   foods  are  oZen  more  expensive),  while  par>cipa>on  goes  down  

(students  are  less  sa>sfied  with  school  lunch,  either  because  it  doesn’t   taste  as  good  or  

it  isn’t  filling  enough),  causing  a  fiscal  crisis  for  some  school  districts1.     •  The  USDA  has  asked  your  consul>ng  firm  to  provide  a  report  with  

mathema>cally  founded  insights  into  the  problem;  you  should  address   at  minimum  the  following  three  concerns.    

(103)

•  1.  You  are  what  you  eat?  Students’  caloric  needs  at  lunch  depend  on  how  ac>ve   they  are,  whether  they  eat  breakfast,  and  a  host  of  other  factors.  Develop  a  

mathema>cal  model  that  takes  as  input  a  student’s  individual  aTributes,  and   outputs  the  number  of  calories  that  a  student  with  those  aTributes  should  eat  at   lunch.    

•  2.  One  size  doesn’t  necessarily  fit  all.  The  guidelines  dictated  by  the  Healthy,   Hunger-­‐Free  Kids  Act  of  2010  are  based  on  mee>ng  the  needs  of  an  “average   student”2.  However,  mee>ng  the  average  need  may  not  necessarily  be  the  right   amount  for  many  students.  Now  that  you’ve  iden>fied  aTributes  that  affect  caloric   needs  at  lunch,  create  a  model  to  determine  the  distribu>on  of  U.S.  high  school   students  among  each  of  these  categories.  If  every  student  eats  the  standard   school  lunch,  what  percentage  of  students  will  have  their  caloric  needs  met  at   lunch?    

•  3.  There’s  no  such  thing  as  a  free  lunch.  A  sample  school  district  has  a  weekly   budget  of  $6  per  student  

for  the  purchase  of  food  only.  Leverage  math  modeling  to  develop  a  lunch  plan   (using  food  categories)  that  stays  within  the  budget,  meets  the  nutri>onal  

standards  and  appeals  to  students.  What  changes  would  you  make  if  your  budget   was  increased  by  $1?    

(104)

You  may  want  to  take  into  account  how  your  model  could  be  applied   across  different  geographic  and/or  socio-­‐economic  regions.Your  

report  to  the  USDA  should  include  a  one-­‐page  summary  of  your   findings.  

You  may  find  the  following  websites  helpful:     hTp://www.globalrph.com/es>mated_energy_requirement.htm     hTp://www.cdc  .gov/mmwr/pdf/ss/ss5905.pdf   hTp://www.cdc.gov/growthcharts/charts.htm#Set3     hTp://www.amstat.org/censusatschool/about.cfm   Winning  team

(105)

如何做好準備

•  數學物理兼備  

•  學會寫程式  (matlab)  

 

參考文獻

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