行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
二次式變化之時間域邊界元素法於三維多領域彈動力問題之研究
(I)
Quadratic time domain BEM for 3-D multi-region elastodynamic
problems (I)
計畫編號：NSC 89-2211-E-009-071
執行期限：90 年 8 月 1 日至 91 年 7 月 31 日
主持人：劉俊秀 交通大學土木工程系 教授
一、中文摘要 本文旨在對出現在邊界積分式中的邊 界值（位移場、曳引力場）於時間軸上所 產生的變化作更精確的模擬。文中提出「兩 個短時階內位移呈二次式變化，同時段， 曳引力呈線性變化」之假設，如此再經與 三維動力基本解的褶積步驟後，進而可推 導得到一系列滿足因果律的精確解析三維 褶積核心函數。我們也以一個當在處理邊 界元素法空間奇異積分時所會使用到的重 要性質來驗證上述核心函數之正確性，此 性質描述出當場點與源點重合時或當一步 很大的時階發生時，動力核心會退化成相 對應的靜力核心。同樣地，文中使用二次 元素來切割邊界，故變數於空間上的變化 也是呈現二次式。 關鍵詞：時間域邊界素法、濃縮褶積核心 函數、QL 方法 AbstractIn this paper, a time-domain boundary element method (TDBEM) formulation is presented. The 3-D transient condensed convoluted kernel functions using quadratic temporal shape functions for elastodynamic displacement variables is derived in the formulations. Quadratic variation for
displacement field in two consecutive time steps and linear variation for traction field in each time step are assumed in the BEM formulations. Therefore, so-call QL method for 3-D BEM in time domain is developed. The accuracy of all derived kernel functions are demonstrated through one important property dealing with divergent integral (strongly singularity) in BEM. The property is that the transient kernel functions will reduce to the corresponding static ones when the field point coincides with the source point or when a very large time step occurs. Also, quadratic element for spatial coordinates is employed in the numerical scheme in the presented method.
Key words: Time-domain BEM, convoluted kernel functions, QL method 二、目的 在時間域邊界元素法中，我們需要對 位移和曳引力兩變數於時間軸上之變化作 模擬，最簡單也最多人使用的便是假設它 們在一短時階內維持常數或呈線性變化， 然而這一假設之不足之處可說明如下。首 先，觀察當在分析三維的彈動力問題時所 出現的動力基本解與三維彈靜力問題所出 現的靜力基本解（詳見後節），兩者不同 之處就在於前者存在時間的δ函數(Dirac
function) 以及它分別對時間作一次與二 次微分後的函數，而這不就隱含著上述的 假設不足以正確模擬變數的變化嗎？也就 是說在此線性變化的假設之下，如何對時 間作一階與二階微分？所以本文作了「兩 單位短時階內位移呈現二次式變化，而此 同時曳引力呈現線性變化」的假設去推導 出控制暫態彈動力問題的邊界數值式。本 文命之為 QL 方法，顧名思義，就是將三 維動力基本解之核心與假設的時間形狀函 數對時間作褶積步驟（Reimann convolution integral）後所產生的一系列濃 縮褶積核心函數。 另一個重要動機是 C.C.Wang（1996） 於博士論文[20]中在推導二維暫態彈動力 問題時第一次出現作這樣的假設，而其數 值結果不管精確度或穩定度皆表現非常優 越且良好，然而要加以說明的是二維的動 力基本解沒有δ函數的影響，取而代之是 三維動力基本解對第三空間變數積分後所 產生的 Heaviside 函數。由是可推知這樣的 假設應當極其合理，因為不但有跡可尋且 又符合基本解的物理意義，根據文獻[9,15] 分別使用 LL 方法和 LC 方法（圖 1、圖 2） 來分析大地波傳問題與裂縫問題後皆得到 精確穩定的結果，也足以說明用時間域邊 界元素法來求解三維暫態彈動力問題在計 算力學的領域中確實是頗優越的一種方 法，若以參數 l t c 1 來評估其效果， 由數值的經驗[20]顯示出 QL 方法 的 收斂範圍比 LC 方法來得大，意味著：（1） 以固定尺寸元素在相同數目下切割邊界 時，時階之總數可減少，換言之，累積之 誤差會變小，表示精確性佳；（2）以較多 數目的元素切割邊界時，仍可維持穩定的 數值解，若換成 LC 方法卻會發生發散的 現象，如是可得知 QL 穩定性良好。 若以工程的觀點而言，線性彈靜力問 題可稱得上是最基本同時也是出現最頻繁 的問題，究其原因不外乎是我們可以把它 當成重要基礎而進一步去探討其它更複雜 的工程問題，所以邊界元素法在處理線性 彈靜力問題方面的應用也最為廣泛，然而 換個角度再觀之，我們可以說以邊界元素 法處理此類的問題時先天上就具有優越 性，例如：可降低一個維度來求解，尤其 是問題若屬三維時，比起用有限元素法來 分析，至少在元素切割這步驟就可以省去 不少麻煩。另外，由於基本解的特性，當 問題若屬半無限空間域時，邊界元素法的 式子也會自動滿足無限遠處的輻射條件。 也易於推展「多領域的式子」來處理不同 材料性質的大地波傳工程問題。 本文主要目的就是探討三維暫態彈動 力的問題，同樣我們要看邊界元素法如何 處理此類問題，瞭解控制方程式的由來 後，就開始著手數值化的推導工作。最後， 本文的目標是建立以 QL 方法來求解三 維暫態彈動力問題的數值式子。
由 Israil & Banerjee（1991）[10]和 C.C.Wang（1996）[20]所提及並加以應用 的觀念同樣的也可以用來驗證本論文的濃 縮褶積核心函數正確與否，亦即當時階為 第一步時，褶積核心是否具奇異性？若為 肯定，其在一步很大的時階或源點與場點 重合的狀況下，則會退化成靜力基本解。 三、結果與討論 對等向均質的線彈體而言，以位移函 數 u 為未知數的所謂 Navier 運動方程式如 下：ui,jj( ν 2 1 1 )uj,ij 1 bi0 (1)，其中，、
：Lame’s constant，：Poisson’s ratio，ij：
Kronecker delta。若令式（1）中的
bi=(x-)ei，表示有一單位的集中力正作用
向，此時式（1）的位移解就稱作位移基本 解（Fundamental Solution i.e. Kelvin’s Solution），又當表示成 uj=Gij(x,)ei，Gij 就 是相關的位移核心函數，其意義說明當在 點上往 i 方向施加一單位集中載重時於 x 處往 j 方向所因應而變的位移量，是二階 張量函數。當 uj被求得後，我們可以進一 步得到 tj=ijni=Fijei，而 Fij就是相關的曳引 力核心函數，其意義說明了當在點上往 i 方向施加一單位集中載重時於 x 處往 j 方 向所因應而生的曳引力值。基本核心函數 的完整形式如下[7,19]：
ij ,i ,j
ij r r ) ( G 1 3 4 16 1 (2)
ij ,i,j ,j i ,i j ij rr rn rn n r r F 1 1 2 3 1 2 8 1 2 (3)。其中各項定義，r= x ，r,i= i x r = r rx n z z r n y y r n x x r n r 緊接著以”weighted residual”的觀念來 推導邊界積分式（BIE），首先考慮式 ij,j bi 0 (4) 於中，：解域（solution domain）滿足下列兩個邊界條件： (i)位移邊界條件 ui=u on Si 1 (ii)曳引力邊界條件 ti=ijnj=t on Si 2 想像已經求得式（4）之近似解，欲把誤差 給 最 小 化 ， 我 們 可 以 採 如 下 的 作 法 ：
0 * ,j bi uid ij （5）。其中， * i u 為位 移型態的權重函數（weighting function）， 將上式部分積分兩次（integrating by parts twice）並引進邊界條件(i)、(ii)後可得到：
u
id
* j , ij
+
biuid * = -
1 * S tiuidS +
1 * S tiuidS -
2 * S tiuidS +
2 * S tiuidS （6）。若取 * i u 為式（5）kj,j bk 0 之基 本 解 ， 則 ： ui* Gikek 、 ti* Fikek 、
k k x e b ，帶回上式（6）中，左邊 第一項積分
ijjuid * , =-uk()ek，左邊第 二項積分
biuid * =
biGikekd，右邊 積分包含 S1與 S2兩部分，在此我們考慮 其合併後的積分式（S1+S2=S），則右邊積 分式變成-
StiGikekdS +
SuiFikekdS，整理 後可得： uk()+
SFikuidS=
SGiktidS+
Gikbid （7）。而此式就是 Somigliana’s identity。 若令ξ往邊界移動可得到位移積分式：
S ij j S ij j j iju
F
u
x
dS
G
t
x
dS
c
(8) 。應注意體力(body force)的影響已被忽 略，其中包含與曳引力相關的核心之積分 屬於柯西主值積分（Cauchy Principal Value），而因此所產生的 cij之值與所在 邊界的幾何形狀有關，若為一平滑曲面， 則 cij= 2 1 ij。一般而言，此不連續項 （Discotinuity）之產生是由於 Fij的奇異性 屬 1/2之故，但它的確切值可以藉由著名的剛體運動（Rigid Body Motion）之觀念 來算出。
欲處理邊界積分式，首先得對整個解 域的邊界進行切割，在本文中的元素一律 採用三維等參數四邊形二次元素（3-D isoparametric quadrilateral quadratic element），在每個邊界元素上， xi(1, 2)=
8 1 2 1, )( ) ( c c i c x N (9.1) ui(1, 2)=
8 1 2 1, )( ) ( c c i c u N (9.2) ti(1, 2)=
8 1 2 1, )( ) ( c c i c t N (9.3) 其中 Nc為元素上八個節點之形狀函 數，如下所列： N1(1,2)= 4 1 (1-1) (1-2) (1+1+2) (9.4) N2(1,2)= 2 1(1-2 1 ) (1-2) (9.5) N3(1,2)= 4 1 (1+1) (1-2) (1-1+2) (9.6)N4(1,2)= 2 1 (1+1) (1-22) (9.7) N5(1,2)= 4 1 (1+ 1) (1+2) (1-1-2) (9.8) N6(1,2)= 2 1 (1-2 1) (1+2) (9.9) N7(1,2)= 4 1 (1- 1) (1+2) (1+1-2) (9.10) N8(1,2)= 2 1(1- 1) (1- 2 2) (9.11) 當對邊界進行切割以後，接下來開始 對每一個元素作積分，此一步驟有一個座 標轉換（Jacobian Transformation）的動作， 所以我們必須計算 J(1,2)之值，其算式為 J(1,2)= ) , (1 2 S = nx2 n2y nz2 ，其中 ni 是邊界點上朝外的法線向量之三個方向的 分量。把每一個元素（共 M 個）積分後相 加得到下列的數值式：
M m c c ij mc j j ij u u F N J d d c 1 8 1 1 1 1 1 1 2
M m c c ij mc j G N J d d t 1 8 1 1 1 1 1 1 2 (10) 然後把邊界上每個元素的節點都依 次當成，這樣作完一次後依序再做下一 點，最後會得到一組代數方程式，以矩陣 表示如下：[F]{u}=[G]{t} (11)。應注意的 是[F]內的對角線上之次矩陣之值就是以 剛體運動觀念所求得後再加進去的，再來 就可以把所有的邊界條件代入上式，整理 後把未知量全部移至等號左邊，得到： [A]{x}={B} (12)，右端{B}內之值全為已 知，針對上式求解後，則所有的邊界值都 變已知量 。 控制彈動力問題的 Navier-Cauchy 可 寫成由壓力波速（c1）跟剪力波速常數（c2） 來表達的式子，而此式子恰也隱含了我們 的問題基本上就是處理彈性波在線彈體中 傳遞時所產生的反應行為，如下： ) C C ( 2 2 2 1 ui,ij + 2 2 C uj,ii + bj =uj (13)，其 中， 2 2 2 1 , 2 C C ，同時我們引進 邊界條件，分別為已知的位移和已知的曳 引力以及令初始條件為零，如下： (i) ui(x,t)=Ui xS1 (ii) ti(x,t)=ijnj=Ti xS2 (iii) ui(x,0)=ui
x,0 =0 Gij 、Fij 在接下來的邊界積分式中或邊界 元素法皆扮演重要的角色，其完整的形式 如下（Eirgen & Suhubi 1975）[3]：
2 1 / 1 / 1 2 ' 2 1 ' 1 ' } 1 1 { 3 4 1 , , c c ij ij ij ij c r t c c r t c a d r t b a T x G ； 2 2 1 4 1 c r t c b ' ij (14)
2 1 / 1 / 1 1 ' 2 1 2 2 2 ' ' 2 25 12 2 { } 6 c c ij ij ij ij ij c r t c c c r t b a d r t b a c F } c r t c r c r t { c c c } c r t c c c r t { c ra ' ' ij ' ' ij 1 1 1 2 1 2 2 1 3 1 3 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 c r t c r c r t { d ' ' ij (15) 出現在 Gij中的項分別定義如下： T t' r r r aij i j , , r bij ij 而出現在 Fij中的項分別定義如下： n r r r r aij i j , 2, i j ij n r r c 2 , n r r n r r dij i j ij ,2 12 ij ij ij c d b 倘若我們繼續處理出現在 Gij 跟 Fij 中的 積分，會得到直觀上較簡單的形式，如下：
ij i j
ij r r G , , 4 1 (16) Fij= r ij ji ji ij rij r r rinj r c c n r r r n r r r r n r n r n r r 2 , , , 2 2 1 , , , , , , , , 2 2 2 2 2 4 1 (17)，其中、 也是函數型態，其解析的 形式將附於附錄（一）。在後面將介紹核心函數一稱之為「因果律」的重要性質， 這性質說明當源點ξ所發散出來的波未到 達場點 x 時，該場點的反應值應為零，而 在三維的波傳問題中，當此波通過場點 後，它就不會再對場點反應值造成任何貢 獻。後面這點與二維的問題有些差異存 在，因為二維的核心是利用三維的核心再 對其第三空間的變數 x3積分後得到的，所 以第三空間上的波（皆屬於平面上ξ點所 發散之波）會陸續不斷的傳到場點上，因 此，在二維問題時，當時間過了 r/c1後， 此源點於時所發散出來的波仍會對場點 反應造成影響。而於三維時，壓力波的影 響則只作用到當同時段所發散的剪力波通 過前的那段時刻。因果律的簡單形式如下： 當 c1(t-)<r 時，Gij=0 。 考慮一受曲面 S 包圍之區域 Ω ， 利用功的動力互易定理（Graffi’s Dynamic Reciprocal Theorem），選取其中一組力的 型態為上段所述的具基本解的單位集中 力，倘若不考慮體力的影響，則對於一個 彈性體，當其初始條件處於靜止狀態時， 積分式將降一維僅剩下面積分（surface integrals）形式，如下：
S i ij i ij i ij u ,t G x,t; , t x,t F x,t; , u x,t ds(x) c (18)，對於上式我們尚未做出任何近似的 假設，因此它仍舊是一精確的式子，進一 步我們可以得到求解三維線彈體內部任一 點暫態應力值的邊界積分式，如下：
S i ijk i ijk jk,t G x,t;, *t x,t F x,t;, *u x,t dSx (19)，上式中所出現的三維與應力相關的 兩個核心附於附錄（二）中，從中可以輕 易得知它含有對時間作二次微分後的函數 項，這說明了當在對變數作時間的模擬 時，若單純只是像以往那樣假設變數隨時 間的變化為常數或呈一次變化，則其對時 間作二次微分後將不足以表現出應力核心 所隱含的力學意義，當在下一章中開始對 積分式（18）作時間上與空間上的離散工 作時，我們將會更清楚其意涵。 欲處理邊界積分式（18）中的動力基 本解與變數之時間褶積，首先一重要步驟 即是必須對變數的行為作適當近似的模 擬。於本文中，我們採用這樣的假設：在 兩單位短時階內的位移變化是呈二次式變 化，而在相同的時段，曳引力於一短時階 內將呈線性變化。根據這樣的假設所衍生 出來的求解方法，本論文中簡稱之為 QL 方法，在以往討論類似的問題時，所採用 的方法不外乎是 CC、LL、LC 等三種，根 據文獻[20]的說法指出前兩種方法所得到 的結果令人不滿意，究其原因根本是一開 始的假設就早已偏離核心所具有的特性， 至於 LC 方法所得到的結果已經具有不錯 的精確性跟穩定性了。以下是把 QL 方法 所持的假設寫成式子表示如下： x M t x M t x ti , LF in LB in1 ， n1t nt (19.1)
x
M u
x M u
x M u
x u QB in n i QM n i QF i 2 2 1 2 2 , ，2n 2t 2nt (19.2) 其中 M 表示時間形狀函數，下標第一 個字母表示二次式或線性變化之意，第二 個字母表示於時間軸上所處的時間節點， 如圖（3）所示： 時間形狀函數如下所示： t t n M LB (19.3) t t n M LF 1 (19.4) n n t t 1 ，其中tn1
n1
t、tn nt 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 t t t t M n n QB (19.5) t t t t M n n QM 2 2 2 2 2 2(19.6) t t t t M n n QF 2 2 2 2 2 2 1 2 1 (19.7) n n t t2 2 2 ，其中t2n2
2n2
t、 t n t2n 2 將上面所假設的ti
x,、ui x, 代入 式（18）中去計算下面的積分：
T i ij t r t x d G 0 ； , (20.1)
T i ij t r u x d F 0 ； , (20.2) 過程中我們將採行隨時階前進的方式 （time-stepping scheme）來順利求解 T 時 刻的反應值，因此先將時間離散等切成 N 等份，則每一階 N T t ，由於 QL 方法涉 及到需在兩時階內處理
Fijui
，所以我們 必須把 N 區分成奇數與偶數的情況來分別 討論之。我們可以進一步把同一個時間節 點上所對應的褶積核心合併在一起，合併 後的褶積核心就稱之為「濃縮褶積核心」， 因此式子（20.1）、（20.2）上被離散後所 得到的形式如下： （1）當 N=2K， T i ij t r t x, d G 0 ；
K n n i n K LBij n K LFij n i n K LBij n K LFij G t G G t G 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 (21)
T i ij t r u x, d F 0 ；
K n n i n K QMij n i n K QBij n K QFij F u F u F 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (22) （2）當 N=2K+1，
T i ij t r t x, d G 0 ；
K n n i n K LBij n K LFij n i n K LBij n K LFij i K LBij K LFij G t G G t G G t G 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 (23)
T i ij t r u x, d F 0 ；
K n n i n K QMij n i n K QBij n K QFij i K QBij K LFij F u F F u F u F 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 (24) 式子(21)、(22)、(23)、(24)中刮號即是濃 縮褶積核心，本節將詳述其完整的形式且 以下的一段話就恆為真，即我們可以分別 先對ψ、χ、ψ,r、χ,r、ψ,rr、χ,rr與 MLF、 MLB、MQF、MQM、MQB作褶積，欲得褶積 核心則只需從中選取對應的函數來加以組 成即可，寫成式子(25~35)表達如下：
i j
n K LFij ij n K LFij n K LFij r r G2 2 1 2 2 1 2 2 1 , , 4 1
i j
n K LFij ij n K LFij n K LFij r r G , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1
i j
n K LBij ij n K LBij n K LBij r r G , , 1 2 2 1 2 2 1 2 2 4 1
i j
n K LBij ij n K LBij n K LBij r r G2 2 2 2 2 2 , , 4 1
i j
K LFij ij K LFij K LFij r r G , , 1 2 1 2 1 2 4 1
i j
K LBij ij K LBij K LBij r r G2 2 2 , , 4 1
n r r r r n r n r n r r F ji i j n K QFij i j ij n K QFij n K r QFij n K QFij , , , 2 2 2 , 2 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 4 1 j i n K QFij n K r QFij n K r QFij j i n K r QFij rn r c c n r r r , 2 2 2 2 2 2 , 2 2 2 , 2 2 2 1 , , 2 2 2 , 2 2 2
n r r r r n r n r n r r F ji i j n K QMij i j ij n K QMij n K r QMij n K QMij , ,, 2 2 2 , 2 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 4 1 j i n K QMij n K r QMij n K r QMij j i n K r QMij rn r c c n r r r , 2 2 2 2 2 2 , 2 2 2 , 2 2 2 1 , , 2 2 2 , 2 2 2
n r r r r n r n r n r r F j i i j n K QBij i j ij n K QBij n K r QBij n K QBij , ,, 2 2 , 2 2 2 2 , 2 2 2 2 4 1 j i n K QBij n K r QBij n K r QBij j i n K r QBij rn r c c n r r r , 2 2 2 2 , 2 2 , 2 2 2 1 , , 2 2 , 2 2 2
n r r r r n r n r n r r F j i i j K QBij i j ij K QBij K r QBij K QBij , , , 2 , 2 2 , 2 2 2 4 1 j i K QBij K r QBij K r QBij j i K r QBij rn r c c n r r r , 2 2 , 2 , 2 2 2 1 , , 2 , 2 2 2
n r r r r n r n r n r r F j i i j K LFij i j ij K LFij K r LFij K LFij , ,, 1 2 , 1 2 1 2 , 1 2 2 2 4 1 j i K LFij K r LFij K r LFij j i K r LFij rn r c c n r r r , 1 2 1 2 , 1 2 , 2 2 2 1 , , 1 2 , 2 2 2 中刮號右上方標示代表遲滯時間 T-τ，只 要是積分的時段不同，其值定會跟著改變，因此我們定義下列五個值： A=2K-2n+2 B=2K-2n+1 C=2K-2n D=2K-2n-1 E=2K-2n-2 如此一來分別計算後所得出的一系列組成 函數（式 36~67）如下所示： 3 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 2 2 3 1 2 3 1 ,
c r u t B u c r u H t r c d M r t t n t n LF n K LFij t B u t C u c r t B c r u t B u c r u H c r t B 2 1 3 1 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 t B u t C u c r t B c r u H t r 2 2 1 t B u t C u n K LFij t n t n LF n K LFij c r t B c r u H t r d M r t
2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 , t B u t C u c r t B c r u H t r c c 1 1 2 1 2 2 1
3 2 2 3 2 3 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 1 2 3 1 , c r u t A u c r u H t r c d M r t t n t n LF n K LFij t A u t B u c r t A c r u t A u c r u H c r t A 2 1 3 1 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 t A u t B u c r t A c r u H t r 2 2 1 uAt t B u n K LFij t n t n LF n K LFij c r t A c r u H t r d M r t
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 , t A u t B u c r t A c r u H t r c c 1 1 2 1 2 2 1
3 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 2 2 3 1 2 3 1 , c r u t C u c r u H t r c d M r t t n t n LB n K LBij t B u t C u c r t C c r u t C u c r u H c r t C 2 1 3 1 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 t B u t C u c r t C c r u H t r 2 2 1 t B u t C u n K LBij t n t n LB n K LBij c r t C c r u H t r d M r t
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3 2 2 3 2 3 2 2 1 2 2 2 2 3 1 2 3 1 , c r u t D u c r u H t r c d M r t t n t n LB n K LBij t C u t D u c r t D c r u t D u c r u H c r t D 2 1 3 1 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 t C u t D u c r t D c r u H t r 2 2 1 uCt t D u n K LBij t n t n LB n K LBij c r t D c r u H t r d M r t
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3 2 2 3 2 3 2 2 0 1 2 3 1 2 1 2 3 1 , c r u t K u c r u H t r c d M r t t LF K LFij
1 3 1 2 3 1 2 2 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 c r t K c r u t K u c r u H c r t K u K t t K u c r t K 1 2 2 2 1 2 1 2 u K t t K u c r t K c r u H t r 1 2 2 2 2 1 2 1 uKt t K u K LFij t LF K LFij c r t K c r u H t r d M r t
1 2 2 2 2 1 2 0 1 2 , 3 2 2 1 u K t t K u c r t K c r u H t r c c 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1
3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 3 1 2 1 2 3 1 , c r u t K u c r u H t r c d M r t t t LB K LBij 3 1 2 3 1 2 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 c r u t K u c r u H c r t K t K u t K u c r t K 2 1 2 2 1 2 1 2 t K u t K u c r t K c r u H t r 2 1 2 2 2 1 2 1 t K u t K u K LBij t t LB K LBij c r t K c r u H t r d M r t
2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 , t K u t K u c r t K c r u H t r c c 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 4 2 2 2 3 4 2 2 3 2 2 2 2 2 4 1 2 3 4 2 c r u t AB u t B A u c r u H t r c n K QFij 3 4 2 3 3 4 1 2 2 2 3 2 u t B A u c r u H c r t AB c r t B A t A u t C u c r t AB c r t B A c r u t AB 2 1 2 3 1 4 1 2 2 2 3 4 1 2
t A u t C u c r c r t B A t AB c r u H t r 2 2 2 2 2 2 2 1
t A u t C u n K QFij n K QFij c r c r t B A t AB c r u H t r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 t A u t C u c r c r t B A t AB c r u H t r c c 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1
t A u t C u n K QFij n K r QFij c r c r t B A t AB c r u H t r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 1 1 t A u t C u t c r u H rc 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 1 1 3 c r c r t B A t AB c r u H t r r n K QFij n K r QFij t A u t C u t c r u H c r 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 c r t B A t AB c r u H t r c c t A u t C u t c r u H c r c r 1 1 1 2 1 4 2 2 2 3 4 2 2 3 2 2 2 2 2 4 1 2 3 4 c r u t AC u t C A u c r u H t r c n K QMij 3 4 2 3 3 4 1 2 2 2 3 2 u t C A u c r u H c r t AC c r t C A t A u t C u c r t AC c r t C A c r u t AC 2 1 2 3 1 4 1 2 2 2 3 4 1 2
t A u t C u c r c r t C A t AC c r u H t r 2 2 2 2 2 2 1
t A u t C u n K QFij n K QMij c r c r t C A t AC c r u H t r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 t A u t C u c r c r t C A t AC c r u H t r c c 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1
t A u t C u n K QFij n K r QMij c r c r t C A t AC c r u H t r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 1 1 t A u t C u t c r u H rc 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 1 1 3 c r c r t C A t AC c r u H t r r n K QFij n K r QMij t A u t C u t c r u H c r 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 c r t C A t AC c r u H t r c c t A u t C u t c r u H c r c r 1 1 1 2 1 4 2 2 2 3 4 2 2 3 2 2 2 2 4 1 2 3 4 2 c r u t DE u t E D u c r u H t r c n K QBij 3 4 2 3 3 4 1 2 2 2 3 2 u t E D u c r u H c r t DE c r t E D t C u t E u c r t DE c r t E D c r u t DE 2 1 2 3 1 4 1 2 2 2 3 4 1 2
t C u t E u c r c r t E D t DE c r u H t r 2 2 2 2 2 2 2 1
t C u t E u n K QBij n K QBij c r c r t E D t DE c r u H t r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 t C u t E u c r c r t E D t DE c r u H t r c c 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1
t C u t E u n K QBij n K r QBij c r c r t E D t DE c r u H t r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 1 1 t C u t E u t c r u H rc 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 1 1 3 c r c r t E D t DE c r u H t r r n K QBij n K r QBij t C u t E u t c r u H c r 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 c r t E D t DE c r u H t r c c t C u t E u t c r u H c r c r 1 1 1 2 1
2 2 6 4 3 3 4 4 2 2 2 2 3 4 2 2 3 2 2 2 u K tu K K t u c r u H t r c K QBij 2 2 2 2 3 2 4 2 2 2 6 4 3 3 4 4 1 c r t K K c r t K c r
