單元十七 數列與級數 17-1
單元十七 數列與級數
重點一、等差數列級數
若等差數列首項 a
1，公差 d，前 n 項和 S
n，則
1. a
n= a
1+ (n1)d = a
m+ (nm)d
2.
2
]
d
)
1
n
(
a
2
[
n
2
n
)
a
a
(
S
1 n n−
+
=
+
=
註：級數 S 與數列 a 的關係
級數
=
+
+
+
+
=
∑
= − n 1 k k n 1 n 2 1 na
a
a
a
a
S
數列 a
n= S
n− S
n−1(其中 n
≥ )，首項 a
2
1= S
1重點二、等比數列級數
若等比數列首項 a
1，公比 r，前 n 項和 S
n，則
1. a
n= a
1r
n−1= a
mr
n−m2.
n 1 n 1 n 1a
a r
a (1 r )
S
(r
1
)
n a (r
1
)
1 r
1 r
−
−
=
=
≠
⋅
=
−
−
時或時
重點三、無窮等比級數
1. 無窮等比級數
r
1
a
S
1−
=
，−1 < r < 1 為收歛條件。
2. 循環小數化為分數：
9990
ab
abcde
cde
b
.
a
=
−
重點四、Σ 的使用法
1.
n k k k n k n k n k k 1 k 1 k 1 k 1(a
b
c )
a
b
c
= = = =+
−
=
+
−
∑
∑
∑
∑
2.
n k n k k 1 k 1(c a )
c
a
= =⋅
= ⋅
∑
∑
，其中 c 為常數
3.
n k 1c
n c
== ⋅
∑
，
n k mc
(n
m 1) c
==
− + ⋅
∑
4.
n k n 1 k n n 1 k n 1 m k n k k 1 k 1 k 1 k 1 k m 1a
a
a
a
a
a
a
− + + = = = = = +=
+
=
−
=
+
∑
∑
∑
∑
∑
重點五、自然數的級數公式與技巧
1. 自然數的級數公式：
(1)
n k 1n(n 1)
k
1 2
n
2
=+
= + +
+ =
∑
單元十七 數列與級數 17-2
(2)
n 2 2 2 2 k 1n(n 1)(2n 1)
k
1
2
n
6
=+
+
= +
+
+
=
∑
(3)
n 3 3 3 3 2 k 1n(n 1)
k
1
2
n
[
]
2
=+
= +
+
+
=
∑
(4)
n k 1n(n 1)(n
2)
k(k 1)
1 2 2 3
n(n 1)
3
=+
+
+ = ⋅ + ⋅ +
+
+ =
∑
2. 級數求和技巧：拆項抵消法
(1) 分式型：
n n k 1 k 11
1
1
1
1
(
)
k(k 1)
k
k 1
1
n 1
=+
=
=−
+
= −
+
∑
∑
(2) 根式型：
n n k 1 k 11
( k 1
k )
n 1
1
k 1
k
=+ +
=
=+ −
=
+ −
∑
∑
單元十七 數列與級數 17-3
精選歷屆試題
1. 等差數列 30，23，16，9，……的第 35 項為 (A)268 (B) 268− (C) 208 (D) 208− (E)1050 。 2. 8 1 81 3k k=∑
的和= (A)3040 81 (B) 30 40 81 (C) 30 30 81 (D) 40 40 27 (E) 40 40 81。 3. 5 2 2+ 與 2− 2的等差中項為 (A) 2 2 2+ (B) 2 2 (C)2 (D) 4 2 4+ (E) 2 2+ 。 4. 若等比數列首項為 32，公比為(– 2 3 )，求第 5 項為 (A)–243 (B)162 (C)–162 (D)243。 5. 試求 3 1 – 15 2 + 75 4 – 375 8 +……總和為 (A) 24 5 (B) 18 5 (C) 9 5 (D) 21 5 。 6. 級數∑
= 6 12 1 k k 的和為 (A)1 (B)1–( 2 1 )6 (C)1–( 2 1 )7 (D)2。 7. 假設一等差數列的第 2 項為 3，公差為 4，則第 10 項為 (A)27 (B)31 (C)35 (D)39。 8. 設一等差級數前 10 項之和為 20，而第 10 項為 6，求首項為 (A)–2 (B)–3 (C)–4 (D)–1。 9. 求無窮級數∑
∞ =15
2
k k k = (A) 2 5 (B) 5 2 (C) 2 3 (D) 3 2 。 10. 問級數 100 1 4 i=∑
的和為 (A)4100 (B)400 (C)25 (D)1004 。單元十七 數列與級數 17-4
