3-3-1一次方程組與矩陣的列運算-二元一次方程組與二階行列式

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(1)第三冊 3-1 一次方程組與矩陣的列運算-二元一次方程組與 二階行列式 【定義】 n 元一次 m 式聯立方程式: ⎧ a11 x1 + a12 x 2 + " + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x +"+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 稱為 n 元一次 m 式聯立方程式,一般通稱為一次 ⎨ # ⎪ ⎪⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 + " + a mn x n = bm 方程組。 【公式】 二元一次方程組與二階行列式: 解二元一次方程組: ⎧ a1 x + b1 y = c1 ⋅ ⋅ ⋅ (1) ⎨ ⎩ a 2 x + b2 y = c 2 ⋅ ⋅ ⋅ ( 2) 使用代入消去法解之得 ⎧ (a1b2 − a 2 b1 ) x = (c1b2 − c 2 b1 ) ⎨ ⎩(a1b2 − a 2 b1 ) y = (a1c 2 − a 2 c1 ) 當 a1b2 − a 2 b1 ≠ 0 時,解得唯一解 c1b2 − c 2 b1 ⎧ ⎪⎪ x = a b − a b 1 2 2 1 。 ⎨ a1c 2 − a 2 c1 ⎪y = ⎪⎩ a1b2 − a 2 b1 【定義】 為了簡化過程與符號,我們引進二階行列式。 a b 當 a, b, c, d 為 4 個實數,則 稱為二階行列式,它的值為 ad − bc 。 c d 有了行列式的符號 ⎧ a x + b1 y = c1 ⋅ ⋅ ⋅ (1) 此時方程組 ⎨ 1 的解 ⎩ a 2 x + b2 y = c 2 ⋅ ⋅ ⋅ ( 2) a b1 當∆ = 1 ≠ 0時 a 2 b2 a b1 c b1 a c1 ⎧∆ ⋅ x = ∆ x 可表為 ⎨ ,其中 ∆ = 1 ,∆x = 1 ,∆y = 1 。 a 2 b2 c 2 b2 a2 c2 ⎩∆ ⋅ y = ∆ y 【討論】 二元一次方程組解及其幾何意義: ∆ ∆y 1. 當 ∆ ≠ 0 時,方程組有唯一解 ( x, y ) = ( x , ) ,此稱為克拉瑪公式。以幾何 ∆ ∆ 意義表示即為兩直線不平行也不重合,也就是恰有一交點。 2. 當 ∆ = 0, ∆2x + ∆2y ≠ 0 時,方程組有無解,表示這兩個直線平行。. 28.

(2) 3.. 當 ∆ = ∆ x = ∆ y = 0 時,方程組有無限多解,表示這兩個直線重合。 解個數 唯一解 ∆ ∆y ( x, y ) = ( x , ) ∆ ∆. ∆≠0. ∆ = 0, ∆ + ∆ ≠ 0 2 x. 2 y. ∆ = ∆x = ∆y = 0. 無解. 幾何意義. 交點數. 係數. 兩相交直線. 一個. a1 b1 ≠ a 2 b2. 無. a1 b1 c1 = ≠ a 2 b2 c 2. 無限多個. a1 b1 c1 = = a 2 b2 c 2. 兩平行直線. 無限多解. 兩重合直線. 【性質】 二階行列式的性質: 1. 有一行(列)全為 0 ,其值為 0 。 0 b 0 0 = 0或 = 0。 即 0 d c d 2. 每一行(列)可提公因數。 ka b a b ka kb a b 即 =k 或 =k 。 kc d c d c d c d 3. 將兩行(列)對調,則行列式的值變號。 a b b a a b c d =− 或 =− 。 即 c d d c c d a b 4. 將某一行(列)乘以 k 倍加入另一行(列),其值不變。 a b + ka a b a b a b 即 = 或 = 。 c d + kc c d c + ka d + kb c d 5. 二階行列式的行與列依序互相轉換,其值不變。 a b a c 即 = 。 c d b d 6. 兩行(列)成比例,其值為 0 。 a ka a b 即 = 0或 = 0。 c kc ka kb 7. 兩行列式的加法運算。 a + a 2 b1 + b2 a1 b1 a 2 b2 即 1 = + 。 c d c d c d 【應用】 1. 三角形的面積: 設 a = (a1 , a 2 ), b = (b1 , b2 ) 為非平行的兩向量,則由 a, b 所張成的三角形面積為. 1 1 1 a | a | 2 | b | 2 − | a ⋅ b | 2 = || a1b2 − a 2 b1 ||= | 1 2 2 2 b1. a2 1 a |= | | 。 b2 2 b 註:利用本公式,可求給定三點,求三角形面積。 2. 平行四邊形的面積: 29.

(3) 設 a = (a1 , a 2 ), b = (b1 , b2 ) 為非平行的兩向量,則由 a, b 所張成的平行四邊形面 積為 | a | 2 | b | 2 − | a ⋅ b | 2 =|| a1b2 − a 2 b1 ||=| 3.. a1 b1. 兩向量平行: 設 a = (a1 , a 2 ), b = (b1 , b2 ) ,試證: a // b ⇔. 4.. a1. a2. b1. b2. = 0。. 三點共線: 平面中三點 A(a1 , a 2 ), B (b1 , b2 ), C (c1 , c 2 ) 共線. ⇔ S ∆ABC = 0 ⇔ 5.. a2 a |=| | 。 b2 b. a1 − c1. a2 − c2. b1 − c1. b2 − c 2. = 0。. 兩向量垂直:. u ⊥ w = 0 ⇔ u⋅w = 0。 6. 空間中平行四邊形面積: 空間中兩向量 a = (a1 , a 2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) 則由 a, b 所決定的平行四邊形的面積為 | a × b |=| a | × | b | × sin θ , 其中 θ 為 a, b 的夾角。 證明: 由 a, b 所決定的平行四邊形的面積為 所決定的平行四邊形的面積 | a | × | b | × sin θ. =| a | × | b | × 1 − cos 2 θ =| a | × | b | × 1 − (. a ⋅b | a |×|b|. )2. = | a | 2 × | b | 2 −( a ⋅ b) 2 = (a1 + a 2 + a3 ) 2 (b1 + b2 + b3 ) 2 − (a1b1 + a 2 b2 + a3b3 ) 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. = (a 2 b3 − a3b2 ) 2 + (a3 b1 − a1b3 ) 2 + (a1b2 − a 2 b1 ) 2. = (. a2 b2. a3 2 a ) +( 3 b3 b3. a1 2 a ) +( 1 b1 b1. a2 b2. )2. =| a × b |. 30.

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