3-3-1一次方程組與矩陣的列運算-二元一次方程組與二階行列式
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(2) 3.. 當 ∆ = ∆ x = ∆ y = 0 時,方程組有無限多解,表示這兩個直線重合。 解個數 唯一解 ∆ ∆y ( x, y ) = ( x , ) ∆ ∆. ∆≠0. ∆ = 0, ∆ + ∆ ≠ 0 2 x. 2 y. ∆ = ∆x = ∆y = 0. 無解. 幾何意義. 交點數. 係數. 兩相交直線. 一個. a1 b1 ≠ a 2 b2. 無. a1 b1 c1 = ≠ a 2 b2 c 2. 無限多個. a1 b1 c1 = = a 2 b2 c 2. 兩平行直線. 無限多解. 兩重合直線. 【性質】 二階行列式的性質: 1. 有一行(列)全為 0 ,其值為 0 。 0 b 0 0 = 0或 = 0。 即 0 d c d 2. 每一行(列)可提公因數。 ka b a b ka kb a b 即 =k 或 =k 。 kc d c d c d c d 3. 將兩行(列)對調,則行列式的值變號。 a b b a a b c d =− 或 =− 。 即 c d d c c d a b 4. 將某一行(列)乘以 k 倍加入另一行(列),其值不變。 a b + ka a b a b a b 即 = 或 = 。 c d + kc c d c + ka d + kb c d 5. 二階行列式的行與列依序互相轉換,其值不變。 a b a c 即 = 。 c d b d 6. 兩行(列)成比例,其值為 0 。 a ka a b 即 = 0或 = 0。 c kc ka kb 7. 兩行列式的加法運算。 a + a 2 b1 + b2 a1 b1 a 2 b2 即 1 = + 。 c d c d c d 【應用】 1. 三角形的面積: 設 a = (a1 , a 2 ), b = (b1 , b2 ) 為非平行的兩向量,則由 a, b 所張成的三角形面積為. 1 1 1 a | a | 2 | b | 2 − | a ⋅ b | 2 = || a1b2 − a 2 b1 ||= | 1 2 2 2 b1. a2 1 a |= | | 。 b2 2 b 註:利用本公式,可求給定三點,求三角形面積。 2. 平行四邊形的面積: 29.
(3) 設 a = (a1 , a 2 ), b = (b1 , b2 ) 為非平行的兩向量,則由 a, b 所張成的平行四邊形面 積為 | a | 2 | b | 2 − | a ⋅ b | 2 =|| a1b2 − a 2 b1 ||=| 3.. a1 b1. 兩向量平行: 設 a = (a1 , a 2 ), b = (b1 , b2 ) ,試證: a // b ⇔. 4.. a1. a2. b1. b2. = 0。. 三點共線: 平面中三點 A(a1 , a 2 ), B (b1 , b2 ), C (c1 , c 2 ) 共線. ⇔ S ∆ABC = 0 ⇔ 5.. a2 a |=| | 。 b2 b. a1 − c1. a2 − c2. b1 − c1. b2 − c 2. = 0。. 兩向量垂直:. u ⊥ w = 0 ⇔ u⋅w = 0。 6. 空間中平行四邊形面積: 空間中兩向量 a = (a1 , a 2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) 則由 a, b 所決定的平行四邊形的面積為 | a × b |=| a | × | b | × sin θ , 其中 θ 為 a, b 的夾角。 證明: 由 a, b 所決定的平行四邊形的面積為 所決定的平行四邊形的面積 | a | × | b | × sin θ. =| a | × | b | × 1 − cos 2 θ =| a | × | b | × 1 − (. a ⋅b | a |×|b|. )2. = | a | 2 × | b | 2 −( a ⋅ b) 2 = (a1 + a 2 + a3 ) 2 (b1 + b2 + b3 ) 2 − (a1b1 + a 2 b2 + a3b3 ) 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. = (a 2 b3 − a3b2 ) 2 + (a3 b1 − a1b3 ) 2 + (a1b2 − a 2 b1 ) 2. = (. a2 b2. a3 2 a ) +( 3 b3 b3. a1 2 a ) +( 1 b1 b1. a2 b2. )2. =| a × b |. 30.
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