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5-1-2機率與統計(二)-獨立事件

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Academic year: 2021

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(1)5-1-2 機率與統計(二)-獨立事件 【定義】 獨立事件與相關事件: 若 P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B) ,則稱 A, B 為獨立事件,否則稱相關事件(相依事件)。 就是事件 A 發生的機率不受事件 B 是否發生影響,同樣的就是事件 B 發生的機率 不受事件 A 是否發生影響。 【性質】 意義: 當 P( A) > 0, P( B) > 0 時,下列互為充要條件 1. P( A | B) = P( A) 。 2. P( B | A) = P( B) 。 3. P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B) 。 即 A , B 為獨立事件時 A 發生與否的機率不受 B 發生與否影響 或 B 發生與否的機率不受 A 發生與否影響。 【性質】 獨立事件的性質: 若 A, B 為獨立事件,則 1. A, B' 也是獨立事件。 2. A' , B 也是獨立事件。 3. A' , B' 也是獨立事件。 (pf) 1. P( A ∩ B' ) = P( A) − P( A ∩ B) = P( A) − P( A) P( B) = P( A)(1 − P( B)) = P( A) P( B' ) 2. P( A'∩ B) = P ( B ) − P( A ∩ B ) = P( B) − P( A) P( B) = P( B)(1 − P( A)) = P( A' ) P( B) 3. P( A'∩ B' ) = 1 − P( A ∪ B) = 1 − P( A) − P( B) + P( A ∩ B) = (1 − P( A))(1 − P( B)) = P( A' ) P( B' ) 【問題】 1. 若 P( A | B) = P( B) ,則事件 A, B 是否為獨立事件? 2. 任意非空事件 A 與空事件是否為獨立事件? 3. 任意非空事件 A 與全事件是否為獨立事件? 4. 獨立事件與互斥事件有何差異? 5. 設 A, B 為互斥事件,則 A, B 為獨立事件?.

(2) 6. 設 A, B 為獨立事件,則 A, B 為互斥事件? 7. 當 A, B 為兩非空事件,且 A, B 為相關事件,則 A, B 是否為互斥事件? 8. 當 A, B 為兩非空事件,且 A, B 為互斥事件,則 A, B 是否為相關事件? 【結論】 1. 設 A, B 為兩非空事件,若 A, B 為相關事件,則 A, B 為互斥事件。 2. 設 A, B 為兩非空事件,若 A, B 為獨立事件,則 A, B 不為互斥事件。 3. 當兩事件為獨立且互斥時,則兩事件中至少有一事件為空事件。 【定義】 三個事件獨立: 若事件 A, B, C 滿足下列條件 1. P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B) 2. P( B ∩ C ) = P( B) ⋅ P(C ) 3. P(C ∩ A) = P(C ) ⋅ P( A) 4. P( A ∩ B ∩ C ) = P( A) ⋅ P( B) ⋅ P(C ) 則稱 A, B, C 三事件獨立。 註: 1. 若只滿足前三個條件,稱 A, B, C 兩兩獨立。 2. 前三個條件不保證第四個條件成立。 3. 第四個條件不保證前三個條件成立。 獨立事件( n 事件): 當事件 A1 ," , An 滿足 P ( Ai1 ∩ " ∩ Aik ) = P ( Ai1 ) × " × P ( Aik ) 時,對任意 2 ≤ k ≤ n 時, 其中 Ai1 ," , Aik 為任取的 k 個不同事件,稱事件 A1 ," , An 是獨立的。 【性質】 1. 設事件 A1 ," , An 是獨立事件,則. P( A1 '∪ A2 '∪" ∪ An ' ) = 1 − P( A1 ∩ A2 ∩ " ∩ An ) = 1 − P( A1 ) × P( A2 ) × " × P( An ) 【問題】 1. 若 A, B, C 為獨立事件,則 (1) A, B' 也是獨立事件? (2) A' , B, C 也是獨立事件? (3) A' , B' , C 也是獨立事件? (4) A' , B' , C ' 也是獨立事件? (5) A ∪ B ' 和 C 也是獨立事件? 2. 若 A, B, C 兩兩為獨立事件,則 A, B, C 為獨立事件? 3. 若事件 A, B, C 三事件獨立,則 A, B, C 是否兩兩獨立? 4. 從袋中 3 紅 2 藍抽出球,甲抽完紀錄顏色後放回,乙再抽,則乙抽中紅色之 機率為何? 5. 從袋中 3 紅 2 藍抽出球,甲抽完紀錄顏色後不放回,乙再抽,則乙抽中紅色 之機率為何?.

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