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1-4-5多項式-最高公因式與最低公倍式

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Academic year: 2021

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(1)4-5 多項式-最高公因式與最低公倍式 【定義】 公因式: 若多項式 d ( x) 是的 f ( x) 因式,也是 g ( x) 的因式,則稱 d ( x) 是 f ( x) 與 g ( x) 的一 個公因式。 最高公因式: 多項式 f (x) 與 g (x) 的公因式中,次數最高的稱為 f (x) 與 g (x) 的最高公因式,記 為 ( f ( x), g ( x)) 或 H.C.F.。 輾轉相除法原理: 若多項式 f ( x) 除以 g ( x) 得商式 q ( x) ,餘式 r ( x) ,則 f ( x) 與 g ( x) 的 H.C.F.也是 g (x) 與 r (x) 的 H.C.F.。 公倍式: 若多項式 m(x) 是的 f (x) 倍式,也是 g (x) 的倍式,則稱 m(x) 是 f (x) 與 g (x) 的一 個公倍式。 最低公倍式: 多項式 f ( x) 與 g ( x) 的公倍式中,次數最低的稱為 f ( x) 與 g ( x) 的最低公倍式,記 為 [ f ( x), g ( x)] 或 L.C.M.。最低公倍式的每一個非零常數倍,也是一個最低公倍 式。常要求首項係數為 1。 互質: 若 ( f ( x), g ( x)) = c, c ≠ 0 ,則稱 f (x) 與 g (x) 互質。 【性質】 設 f ( x), g ( x), d ( x) ∈ R[ x] ,則 1. 若 d ( x) | f ( x), f ( x) | g ( x) ,則 d ( x) | g ( x) 。 2. 若 d ( x) 是 f ( x) 與 g ( x) 的一個公因式,則 d ( x) 是 m( x) f ( x) + n( x) g ( x) 的因式。 3. 若 d ( x) | f ( x) g ( x) ,且 d ( x) 與 g ( x) 互質,則 d ( x) | f ( x) 。 4. f ( x) × g ( x) = c( f ( x), g ( x)) × [ f ( x), g ( x)], c ≠ 0 【原理】 輾轉相除法原理: 設 f ( x) 與 g ( x) 是兩個多項式且 deg f ( x) ≥ deg g ( x) , 且商為 q (x) ,餘式為 r (x) , 即 f ( x) = g ( x)q ( x) + r ( x) 則 ( f ( x), g ( x)) = ( g ( x), r ( x)) 。 最高公因式的表現定理: 設 ( f ( x), g ( x)) = d ( x) ,則可以找到兩個多項式 m( x), n( x) , 使得 d ( x) = m( x) f ( x) + n( x) g ( x) 。 【方法】 求最高公因式或最低公倍式,可用以下幾種方法: 1. 因式分解法。 2. 線性組合法。 3. 輾轉相除法。 通常求多項式中的未知數時,有以下幾種方法: 1. 消去最高次項。 2. 消去最低次項。 41.

(2) 3. 消去未知數。 【問題】 1. 設 f (x) 為整係數多項式,求證:不存在三個不同的整數 a, b, c ,使得 f (a) = b, f (b) = c, f (c) = a 。 2. 設 f ( x) 為一個整係數 n 次多項式, a, b 為兩個不同的整數,試證明: a − b | f (a) − f (b) 。 【性質】 整數系與多項式的比較: 整係數的加法、乘法與多項式的加法、乘法都具有封閉性,但整係數的除法與多 項式的除法則不具有封閉性。面對除法失去封閉性所產生的問題,可用兩種方法 來解決,第一個是求餘式,第二個就是討論整除的情形。. 42.

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