數學解題中「無到有」的感覺
許建銘
高雄市立龍華國民中學
一、前言：
英國一位難題研究專家曾經發表如下的 問題：「如何在厚紙板上，切割出兩把套在同 一圓圈的鑰匙(如 圖 1-1)？但圓圈與鑰匙不 可有縫隙。」初看這問題的人，大多會與筆 者產生同樣疑問：「有可能嗎？」甚至於說， 出題者先將圖 1-2 繪製在厚紙板上，再請觀 者設法割出如 1-1 的圖，相信還是很多人會 滿頭霧水且無計可施。 要從圖 1-2 的厚紙板上，切割如圖 1-1 的圓圈與鑰匙，它的關鍵在於：用心「看透」 鑰匙圈與鑰匙的交會處。只要將此交會處看 成「重疊」的兩部分，問題就解決大半了。 因為這圖是繪製在厚紙板上，所以可以作如 下的割離：如圖 1-3，將粗黑線由上而下切 到紙板一半厚度的位置；而虛線部分，則是 由 紙 背 往 上 反 切 到 紙 板 的 一 半 厚 度 ， 然 後 設 法 將 四 個 「 重 疊 」 區 域 上 下 分 開 ， 就 見 得 到 如 圖 1-1 的完成圖了。 另一道趣味數學問題是這樣問的：「 圖 1-4 是利用 24 根棉花棒所擺成的 2 個正方 形，請問如何操作可使 它在移動其中 4 根後， 變成 3 個正方形；又接 著再移動其中 8 根，可 以變成 9 個小正方形。」 這道問題我拿來給國三學生當假日「休 閒小品」，同樣得到滿多學生的熱烈迴響。可 惜只有極少數人想出正確解法(如圖 1-5)，大 多數的學生僅解出問題前半部如何變成 3 個 正方形的部分(如圖 1-6 至 1-9)，但因無法繼 續移動作成 9 個小正方形，而宣告失敗或認 定無解。 圖 1-1 圖 1-2 圖 1-3 圖 1-4 圖 1-5 圖 1-6 圖 1-7 圖 1-8 圖 1-9為什麼想到圖 1-5 的學生比想到其它圖 的學生少呢？仔細看看這五個圖，不難發現 這幾個圖當中，就以圖 1-5 的左圖中，三個 正方形同時重疊的區域為最多，而這也可能 是它們比較不被學生「看開」來的主要原因。 而圖 1-6 和圖 1-7，就是因為三個正方形沒有 同時重疊的區域，所以是當中較容易被學生 想到的兩個圖。 「看透」與「看開」兩種「從無到有」 的「感覺」，其實也是幾何學上早已存在的解 題 觀 點 。 由 於 受 到 現 代 電 腦 軟 體 的 設 計 觀 念，以及「形而上」生活哲學思維的影響， 筆者才嘗試將這種解題思考呈現於解題步驟 與數學教學上，當然更希望藉此文章，讓讀 者感受到「思考之美」。 現在讓我為這種解題思考作進一步的說 明：當我們看到一個幾何圖形時，首先要有 「想得開」與「想得透」的「想法」，也就是 說：不管無心或有心在看圖，都要感覺到這 張圖可能是由多個畫在同一紙片上的圖所建 構而成的「群組」。如果群組中每個圖的背景 都是透明無色的，就較容易「看開」這些圖； 如果群組中有一些圖的背景是有色的，此時 就要借助敏銳的洞察力，才能「看透」紙片 上可能「隱藏」的圖形，當然能「看透」，也 就能「看開」了。 以上的說明，也同時確立了一個思考內 涵：「想開」、「想透」、「看開」、「看透」，是 一種以模擬的、動態的觀點來解幾何問題的 分析方式，它們可以使幾何問題的解法更接 近具象的操作，並走入較生活化的體驗。以 下就列舉幾個數學問題，從解題中將可看到 「 魔 術 藥 水 」 使 遮 遮 掩 掩 的 圖 形 「 無 所 遁 形」；「萬能鑰匙」解開層層疊疊的圖形並讓 它們「躍然紙上」。
二、本文：
(以下各圖的虛線部分，表示「看 透」的圖形) (一)問題 1：如圖 2-1，∆ABC中，AB=AC， AC BE⊥ ，CD⊥AB。 求證：BE=CD 【證 1】(1)看得開∆ABE與∆ACD(如圖 2-2) (2)QBE、CD分 別 為 AC、AB邊 上 的高 ° = ∠ = ∠ ∴ AEB ADC 90 (3)又∠A=∠A，AB=AC ACD ABE≅∆ ∆ ∴ 故BE=CD 【證 2】(1)看得開∆DBC與∆ECB(如圖 2-3) (2)QCD、BE分 別 為 AB、AC邊 上 的高 ° = ∠ = ∠ ∴ BDC CEB 90 (3)又BC=BC，∠DBC=∠ECB B C A E D 圖 2-1 C A D B A E 圖 2-2ECB DBC≅∆ ∆ ∴ 故BE=CD ( 二 ) 問 題 2 ： 如 圖 2-4 ， ∠1+∠2=160°， ° = ∠A 40 ，∠E =35°，求∠B？ 【解 1】看不開的解法： 設∠1=x°，∠2=160°−x° ° + ° = ∠ ° − ° = ∠ADF 180 x， FCE 20 x 35 20 40 180−x+ = +x+ 165 2 = ⇒ x 5 . 82 = ⇒x ° = ∠ ∴ FCE 102.5 ° = ° − ° = ∠ ⇒ B 102.5 40 62.5 【解 2】看得開∆ABC與∆DBE(如圖 2-5) 2 160 35 40 360°− °− °− ° = ∠B ° = ° = 62.5 2 125 (三 ) 問題 3 ： 如 圖 2-6 ， 矩 形 ABCD 中 ， 6 = AB ，BC=4，BE 弧是以 AB為半徑 之圓的四分之一，BF 弧是以BC為半徑 之圓的四分之一，求斜線部分的面積？ 【解 1】看不開(如圖 2-7)的解法： (1)過 F 作FH⊥AB (2)AB=6，BC=CF =BH=4 2 4 6− = = ⇒AH 8 4 2× = = ⇒矩形ADFH面積 (3)區域 Q 的面積 π π 4 16 4 4 1 42− × × 2 = − = (4)斜線部分的面積 ) 4 16 ( 8 4 1 62π× − − − π = 24 13 − = π 【解 2】看得開○1、○2、○3 (如圖 2-8) 斜線部分的面積=(○1加○2減○3)的面 積= (36 16 ) 24 4 1 − + π π 12 13 − = π E B D B C C 圖 2-3 D 2 A B C E 1 F 如圖 2-4 E D 2 A B C 1 F 2 A B C E D B 1 圖 2-5 圖 2-6 H Q 圖 2-7 A D B C A B E B C F
1
3
2
圖 2-8(四)問題 4：如圖 2-9，AB=AC，ACDE 為 正方形，求∠EBC的度數？ 【解 1】看開等腰∆ABE 設∠ABE=∠AEB=x° ° − ° = ∠ ∴ BAE 180 2x ° − ° = ∠ ⇒ BAC 90 2x
(
)
° + ° = ° − ° − ° = ∠ ⇒ x x ABC 45 2 2 90 180 ° = ∠ ∴ EBC 45 【解 2】看透圓 A(如圖 2-10) CE EAC= °= ∠ 90 Q 弧的度數 ° = ° × = ∠ ∴ 90 45 2 1 EBC (五)問題 5：如圖 2-11，正五邊形 ABCDE 的 兩條對角線AC，BE相交於 P。 求證：BC=PC 【證 1】看開∆ABC與∆ABE(如圖 2-12) ° = ∠ = ∠BAE ABC 108 Q ° = ° − ° = ∠ = ∠ = ∠ ∴ 36 2 108 180 3 2 1 ° = ° − ° = ∠ − ° = ∠4 108 3 108 36 72 Q 又∠5=∠2+∠3=36°+36°=72° 5 4=∠ ∠ ⇒ ∴BC=PC 【證 2】看透正五邊形 ABCDE 的外接圖(如 圖 2-13) CDE CBE 2 1 = ∠ ∴ 弧的度數 ° = ° × × = 360 ) 72 5 2 ( 2 1 又 2 1 = ∠BPC (BC 弧+AE 弧)的度數 ° = ° × × = 360 ) 72 5 2 ( 2 1 BPC CBE=∠ ∠ ⇒ PC BC= ∴B
C
A
E
D
圖 2-9B
C
A
E
D
圖 2-10 B C D E A P 圖 2-11 2 4 3 5 1 3 2 1 B C E A P B E A B C A 圖 2-12B
C
D
E
A
P
圖 2-13(六)問題 6：如圖 2-14，若AB=AC，AD∥ BC，試證CD+BD> AB+AC。 【證 1】(1)看透以 AD為軸，∆ACD的鏡射圖 AED ∆ (如圖 2-14) 2 1=∠ ∠ ⇒ ，AE=AC (2)QAD∥BC ∴∠2=∠ACB ABC ACB=∠ ∠ = ∠ = ∠ ⇒ 1 2 ° = ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ ∴ 180 2 1 BAC ACB ABC BAC 推得 B、A、E 三點共線 (3)QDE+BD>BE=AB+AE AC AB BD CD+ > + ∴ 【證 2】(1)看透BF為直徑的圓 A 與∆ADF(如 圖 2-16) (2)因為 AD//BC ABC ∠ = ∠ ⇒ 3 ，∠4=∠ACB 又∠ABC=∠ACB ∴∠3=∠4 (3)QAF=AC，∠3=∠4， AD=AD CD DF CAD FAD ≅∆ ⇒ = ∆ ∴ (4)QDF+BD>AB+AF AC AB BD CD+ > + ∴ (七)問題 7：如圖 2-17，正 ∆ABC內部任一點 P，且PD⊥AB，PE⊥BC，PF ⊥AC， 若AB=a，試證：PD PE PF a 2 3 = + + 【證 1】看透∆APB與∆APC與∆BPC(如圖 2-18) 由 (∆APB+∆APC+∆BPC) 的 面 積 ABC ∆ = 面積 AC PF BC PE AB PD× + × + × ⇒ 2 1 2 1 2 1 2 4 3 a = 2 4 3 ) ( 2 1 a a PF PE PD+ + × = ⇒ 得證PD PE PF a 2 3 = + + 【證 2】(1)看透正∆AMN (2)看透∆AMN和∆ABC的高 AH AG 和 (如圖 2-19) (3)因為PD⊥AB，PF ⊥AC，由等 腰三角形性質 可推得PD+PF =AG AH GH AG PE AG PF PE PD+ + = + = + = ⇒ 得證PD PE PF a 2 3 = + + B C A D 圖 2-14 2 1 B C A D E 圖 2-15 4 3 B C A D F 圖 2-16 B P B P B C C C A A A E E D F D F 圖 2-18
(八)問題 8：有一個半徑為 1 的圓形硬幣，沿 著 直 角 三 角 形 ABC的 三 邊 內 緣 移 動 一 周，若∠B=90°， AB=6，BC=8，求 硬幣掃過的面積？ 【解】(1)如圖 2-20，設BDIG為邊長 2 的正 方形， 且DE∥BC， FG ∥AB， AC IH ⊥ 。 (2)看開∆ADE、∆FGC、 ∆FIE、 ABC ∆ 為四個相似直角三角形。 (3) 因 為 AD=6−2=4 ， 所 以 3 16 6 4 8× = = DE 3 10 2 3 16 = − = − = ⇒IE DE DI 12 5 = ⇒ BC IE 2 12 5 10 8 6 = × × = ∴IH 由DI =IG=IH =2，推得硬幣掃過如圖 2-21 的斜線區域。 以上(1)~(3)的解程目的，是解題者試圖求 出IH 的 長 ， 以 斷 定 硬 幣 掃 過 的 區 域 是 否會產生「中空」（若IH>2）的情形。 然而若能看透∆ABC的內切圓(如圖 2-22 之右圖 )，且算得半徑為 2 2 10 8 6 = − + ， 當然可以更快推出硬幣掃過的區域圖形。 (4)看透∆AMN(如圖 2-21，MN為圓 P 的切線且平行BC) 因為圖 2-22 的左、右兩圖相似， 又圓 P 半徑為 1，而圓 S 半徑為 2 所以 3 2 1 6× = = AM ， 4 2 1 8× = = MN 3 3 6− = = ⇒BM (5) 看 開 圓 P 與 梯 形MBCN ( 如 圖 2-23) 面積 面積 圓 斜線面積= P +MBCN ∴ 18 3 ) 8 4 ( 2 1 + = × + + =π π P B C A E D F M N P A D F M G N B C A H G H 圖 2-19 A B D C G F E H I 圖 2-20
