單元07-對數函數

110

甲

對數函數及其圖形

　　前一單元我們學過對數的定義，給定任意實數_{x > 0，對數 log2 x 的值都隨} 之唯一確定，也就是說，_{x 與 log2 x 之間的對應關係} x → log₂ x 形成函數 _{y = f} (_x)=log₂ x，稱為「以 2 為底數的對數函數」。 　　利用描點法來看y =log₂ x 的圖形。首先列出一些滿足 y = log₂ x 的點 (x , y)。 x 1 16 18 14 12 1 2 4 8 16 y =log₂ x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 接著，將表列所對應的點逐一畫在坐標平面上（如圖_{2 中的黑點）。此外，可再} 描出更多的點，如_{x = 3} 8 , 34 , 3 , 6 , 10 , 12 , 14 所對應的點（此時可利用計算機來 求值，例如當_{x =3 時，y = log2 3 = log 3}

log 2≈ 1.58 等）。最後，如果描點數夠多，並 　　「聲音強度」和「分貝」呈對數關係，且分貝數隨著 聲音強度的增加而緩慢上升；透過其函數圖形可以看出兩 者的變化關係，如圖1 所示。繪製對數函數圖形，並透過 圖形了解對數函數的特性是本單元學習的重點。 ▲圖₁

對數函數

7

111

7

對數函數 用平滑曲線把這些點連接起來，就可得到函數_{y = log2 x 的圖形（如圖 2 中的紅} 色曲線）。 ▲圖₂ 　　觀察_{y = log2} x 的圖形發現：其圖形通過點 (1 , 0)，恆在 _{y 軸右方，且往右邊} 逐漸上升，往左邊逐漸貼近_{y 軸。} 　　同理，函數 _{y = log x 稱為「以 10 為底數的對數函數」，又簡稱為「}常用對 數函數」。 描繪_{y = log x 的圖形。}

隨堂練習

　　因為由換底公式可得 y =log₂ x = log x log 2= 1

log 2×log x ≈ 3.3 log x，

所以對每一個x , y = log₂ x 的值總是 y = log x 的約略 3.3 倍。因此，y = log x 同樣具 有類似y = log₂ x 的特徵：其圖形通過點(1 , 0)，恆在y 軸右方，且往右邊逐漸上升，

112

　　一般而言，當 _{a > 0 , a≠1 時，稱 y = loga x 為「以 a 為底數的對數函數」。} 仿照上述的作法，利用換底公式可得 y = log_a x =log x log a= 1 log a・log x。 也就是說，一般底數的對數函數y = log_a x 皆可（藉由換底公式）換成常用對數函 數_{y = log x 的常數倍（即} 1 log a倍）。例如： 1 y = log₃ x = 1

log 3×log x ≈ 2 log x。 2 y = log ₁ 10 x = 1 log 1 10 ×log x = - log x。 基於以上理由，我們底下將只探討常用對數函數_{y =log x 與其相關的圖形。} 　　利用 _{y = log x 的圖形可以來描繪 y = - log x 的圖形，來看以下例題。} 利用_{y = log x 的圖形，畫出 y = - log x 的圖形。}

例題

1

因為對每一個 x , y = - l o g x 的值總是 y = l o g x 的相反數，所以 y = - l o g x 的圖形與 y = log x 對稱於 x 軸，如下圖所示。 解

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7

對數函數 已知_A(10 , 1) 在_{y = log x 的圖形上，且設 B 點為 A 點對 x 軸的對稱點。} 1 求 B 點的坐標。 2 問：B 點是否在 y = - log x 的圖形上？

隨堂練習

　　觀察 _{y = - log x 的圖形發現：其圖形通過點} (_{1 , 0})，恆在_{y 軸右方，且往右邊} 逐漸下降，往左邊逐漸貼近_{y 軸。} 　　另外，特別值得注意的是，_{y = log x 和 y = - log x 的圖形對稱於 x 軸。} 　　將_{y = log x 與 y = - log x 的圖形整理如下。} y = log x y = -log x 　　常用對數函數_{y = log x 與 y = - log x 的圖形有以下的特徵：} 1 因為 log 1 = 0，所以圖形會過點(1 , 0)。 2 圖形都在 y 軸右方。 3 1 因為 y = log x 的圖形由左往右逐漸上升，所以 y = log x 為嚴格遞增函數，即

x 愈大，y 愈大（也就是說，若 a > b，則 log a > log b）。

2 因為 y = - log x 的圖形由左往右逐漸下降，所以 y = - log x 為嚴格遞減函數， 即_{x 愈大，y 愈小（也就是說，若 a > b，則 - log a < - log b）。}

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5 1 函數 y = log x 圖形上任相異兩點所連成的線段都在函數圖形的下方（即函數 圖形的凹口向下），如圖_{3(a) 所示。} 2 函數 y = - log x 圖形上任相異兩點所連成的線段都在函數圖形的上方（即函 數圖形的凹口向上），如圖_{3(b) 所示。} (a) (b) ▲圖₃ 　　藉助 _{y = log x 與 y = - log x 的圖形，可以畫出一些與它們相關的函數之圖形，} 來看一道例題。 利用_{y = log x 的圖形，畫出 y = 2 log x 的圖形。}

例題

2

因為對每一個x , y = 2 log x 的值總是 y = log x 的 2 倍，所以 y = 2 log x 的圖 形如下圖所示。

　　觀察_{y = 2 log x 的圖形發現，它們的圖形同樣具有類似 y = log x 的特徵：其圖}

形通過點(_{1 , 0})，恆在 _{y 軸右方，且往右邊逐漸上升，往左邊逐漸貼近 y 軸。一}

般而言，當_{t > 0 時，常用對數函數 y = t log x 的圖形都有上述特徵。}

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7

對數函數 利用_{y = - log x 的圖形，畫出 y = - 3 log x 的圖形。}

隨堂練習

　　事實上，_{y = - 3 log x 的圖形同樣具有類似 y = - log x 的特徵。一般而言，當} t < 0 時，常用對數函數 y = t log x 的圖形都通過點(1 , 0)，恆在 _{y 軸右方，且往右} 邊逐漸下降，往左邊逐漸貼近_{y 軸。}

　　除了_{y=log x 與 y= - log x 對稱於 x 軸之外，y=2 log x 與 y= - 2 log x 的圖形也對} 稱於_{x 軸，如圖 4 所示。一般而言，因為對每一個 x , y=t log x 與 y= - t log x 互為相} 反數，所以_{y = t log x 與 y = - t log x 的圖形對稱於 x 軸。}

▲圖₄

已知函數 _f (_x) 的圖形與 _g(_x)= -3 log x 的圖形對稱於 x 軸，求 f (x)。

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　　將以上內容整理如下。 常用對數函數 _{y = t log x 的圖形如下：} 且 _{y = t log x 有以下特徵：} 1 圖形會過點 (1 , 0)，都在y 軸右方。 2 1 當 t > 0 時，函數 y = t log x 為嚴格遞增函數且其圖形凹口向下。 2 當 t < 0 時，函數 y = t log x 為嚴格遞減函數且其圖形凹口向上。 3 函數 y = t log x 與 y = - t log x 的圖形對稱於 x 軸。

常用對數函數

y = t log x 的圖形與其特徵

　　來比較幾個常用對數的圖形。

常用對數函數_{y = a log x , y = b log x , y = c log x 的圖形} 如右所示。選出所有正確的選項。 1 a > 0　　　　2 b > 0 3 c > 0　　　　4 a > b。

例題

3

由圖形可知： 1 2 因為 y = a l o g x , y = b l o g x 皆為嚴格遞增函 數，所以 a > 0 , b > 0。 3 因為 y= c log x 為嚴格遞減函數，所以 c < 0。 4 作直線 x = 10 分別與 y = a log x 與 y = b log x 交 於 A(10 , a), B(10 , b) 兩點，如右圖所示； 因為 A 點在 B 點的上方，所以 a > b。 故選124。 解

117

7

對數函數

常 用 對 數 函 數 _{y = a log x , y = b log x , y = c log x 的} 圖形如右所示，其中_{y = a log x 與 y = c log x 的圖} 形對稱於 _{x 軸。選出所有正確的選項。} 1 0 < a < 1 2 OP = 1 3 a + c = 0 4 c > b。

隨堂練習

　　將指數函數 _{y = 10}x與常用對數函數_{y = log x 的圖形放在同一坐標平面上，如} 圖5 所示。 ▲圖₅ 由圖5 可以直觀的看出 y = 10x與 _{y = log x}的圖形對稱於直線_{y = x。} 理由說明如下：設點(a, b) 在_{y = 10}x的圖形上，則 b=10a，

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並可推得 a=log b， 因此 點(b, a) 在y = log x 的圖形上， 反之亦然。故_{y = 10}x和 _{y = log x 的圖形對稱於直線 y = x。} 　　 事 實 上， 當 _{a > 0 , a≠1 時，指數函數 y = a}x和 _{y = loga x 的圖形對稱於直線} y = x。 已知函數 _f (_x) 的圖形與 _g(_x)= log₂ x 的圖形對稱於直線 y = x，求 f (x)。

隨堂練習

乙

對數函數的應用

　　因為常用對數函數_{y = log x 為嚴格遞增函數，其圖形} 與水平線僅有唯一的交點，如圖6 所示，所以， 若log a = log b，則 a = b。 利用這個性質來看一道例題。 ▲圖₆

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7

對數函數

解下列各方程式：

1 log x = 2 log 6。　　　　2 log (x+2)-log x = log3。

例題

4

1 首先，真數必須為正，即

x > 0。

其次，將方程式化為

log x =2 log 6 = log

(

6

)

2=log 6。

又因為y =log x 為嚴格遞增函數，可知其 圖形與 y = log 6 僅有唯一的交點，如右圖 所示，所以 x = 6。 最後，綜合以上得 x = 6。 2 首先，真數必須為正，即 x+2 > 0 且 x > 0， 故 x > 0。 其次，利用對數的性質，方程式可化為 log

(

x+2_x

)

=log 3， 可得 x+2_x =3， 即 x + 2 = 3x，解得 x = 1。 最後，綜合以上得 x = 1。

解方程式 log 3x + log (_{x - 3})=log 12。

解

120

　　因為常用對數函數圖形與水平線僅有唯一交點，又任意底數的對數都可利用 換底公式換成常用對數，所以當我們要解任意底數的對數方程式時，可以先將任 意底數的對數換成常用對數再解方程式。來看一道例題。

解方程式 _{log3 x+log3}(_{x - 1})=1 + log₃ 2。

例題

5

首先，真數必須為正，即 x > 0 且 x - 1 > 0， 故 x > 1。 其次，利用換底公式可得 log x

log 3+ log log 3(x - 1) =1+log 2log 3， 同乘log 3 可得

log x+log (x - 1)=log 3+log 2， 再利用對數的性質化簡得 log x(x - 1)=log 6， 可得 x(x - 1)=6， 即x2-x - 6 = 0，解得 x = 3 或 x = - 2。 最後，綜合以上得x = 3。 解方程式 _log2 (_x+3)-log₂ (x - 1)=1。 解

隨堂練習

121

7

對數函數 　　因為常用對數函數 _{y = log x 為嚴格遞增函數，所以} 「若 a > b，則log a > log b。」 有些情況下，可以利用這個性質來比較給定對數的大小。

利用_{y = log x 嚴格遞增的特性來比較 a = log3 4 , b = log9 25 , c = - log1} 3

6 三 數的大小關係。

例題

6

將以上三數都化成常用對數如下：

a =log₃ 4 = log 4_{log 3 ,}

b =log₉ 25 =log 25_{log 9} = 2 log 5

2 log 3 = log 5log 3 ,

c = -log₁ 3

6 = - log 6

log 1₃ = - log 6-log 3 = log 6log 3。

因為y = log x 是嚴格遞增函數（即 x 愈大，y 愈大），所以 log 6 > log 5 > log 4，

即c > b > a。

利用y = log x 嚴格遞增的特性來比較 a = log₂ 8 , b = log₄ 36 , c = - log₁ 2 7 三 數的大小關係。 　　因為常用對數函數 _{y = log x 為嚴格遞增函數，所以下} 述性質亦成立： 「若_{log a > log b，則 a > b。」} 利用這個性質可以來解決對數不等式的問題。 ▲圖₇ 解

隨堂練習

▲圖₈

122

解下列各不等式： 1 log (x - 1)<1。　　　2 log₁ 3 x + log₁ 3 (x - 2)> -1。

例題

7

1 首先，因為真數必須為正，即 x - 1 > 0，所以 x > 1。 其次，因為 1 = log 10，所以不等式可化為 log (x - 1) < _{log 10。} 可推得 x - 1 < 10， 解得 x < 11。 最後，綜合以上得 1 < x < 11。 2 首先，因為真數必須為正，即 x > 0 且 x - 2 > 0， 所以 x > 2。 其次，利用換底公式可得 log x log 1 3 + log (x-2) log 1 3 > -1，即 log x -log 3+ log ( x - 2) -log 3 > -1， 同乘 - log 3 可得，

log x+log (x - 2) < _{log 3，} 再利用對數的性質化簡得 log x(x - 2) < _{log 3，} 可推得 x(x - 2)<_3， 即 x2-2x - 3 < 0，解得 - 1 < x < 3。 最後，綜合以上得 2 < x < 3。 解

123

7

對數函數

解下列各不等式：

1 log x2>_{0。　　　　2 log3} (_{x - 3})+log₃ (x - 5)<_1。

隨堂練習

　　最後，來看一題跟引言有關的應用問題。 聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特（W/m2）來衡量，而分貝（s）是 音量的一個單位，且它與聲音強度（w）的關係式如下： s =10 log w 10-12。 琵琶行中提到「大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私語。」已知落雨聲約為 55 分貝，悄悄話約為 25 分貝，問：落雨聲的聲音強度為悄悄話聲音強 度的幾倍？

例題

8

設落雨聲的聲音強度為 w₁，悄悄話的聲音強度為 w₂。由題意知 55 = 10 log w1 10-12且 25 = 10 log w₂ 10-12， 兩式相減可得 30 = 10

(

log w1 10-12 -log w₂ 10-12

)

=10 log w₁ w₂， 移項可得 log w1 w₂ =3，即 w_w1 2 =10 3_=1000。 故落雨聲的聲音強度為悄悄話聲音強度的1000 倍。 承例題，棒球比賽場中，已知一支汽笛發出的聲音為_{70 分貝，問：當千} 支汽笛同時同地合鳴時，所測得的聲音大約為多少分貝？ 解

隨堂練習

124

7

觀念澄清 下列敘述對的打「」 1 對數函數 y = log₇ x 的圖形過點 (1 , 0)。 2 若點 (0.01 , k) 在_{y = log2 x 的圖形上，則 k < 0。} 3 對數函數 y = log x 的圖形是凹口向上。 4 對數函數 y = log x 的圖形與指數函數 y = 10x的圖形對 稱於直線 y = x。 5 log 0.9 > log 0.8。

一、基礎題

連連看：將下列各函數連到所對應的函數圖形： y = 2 log x • •　 f (x) y = - 2 log x • •　 g(x) y = 3 log x • •　 h(x) y = - 3 log x • •　 k(x)

125

7

對數函數

對數函數 _{y = 3 log x , y = a log x , y = b log x 的圖形如} 右，其中 _{y = 3 log x 與 y = b log x 的圖形對稱於 x 軸。} 選出所有正確的選項。 1 a > 0 2 P 點坐標為 (1 , 0) 3 _{b = 13} 4 3 > a。 解下列各方程式：

1 log (x + 6)-log (x - 2)=log 5。 2 log₃ x + log₃ 2 = 2。

利用 _{y = log x 嚴格遞增的特性來比較 a = log3} 2 , b = 12 log₃ 5 , c = log 3 2 三 數的大小關係。

126

解下列各不等式： 1 log₃ (x2+2x)> _1。 2 log₁ 2 (x - 1)+log₁ 2 (x - 3) ≥ - 3。 星星的「視星等」_{y 與其「亮度」x 之間的關係為函數 y = - 52 log}

(

x a

)

，其中 a 是織女星的亮度。已知觀測到某星的視星等為 - 2.5，問：該星的亮度為 織女星亮度的多少倍？

二、進階題

解方程式 _log (₁₀x+100)= x 2 +1 + log 2。 已知函數 _f (_x)=b + log_a x 的 4 個函數值如下表。 x 1 4 2 4 8 f (x) m n 10 - m n + 4 求 1 函數 f (x)。　　　　2 m 與 n 的值。

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7

對數函數 右圖為眼睛的「亮度感覺」_{y 與「照度」x（勒克斯）之} 間的關係圖 ； 其關係為對數函數 _{y = a l o g2} x，其中 a 是常數，且點 (10 , 1) 在該函數圖形上。 1 求 a 的值。 2 若想讓眼睛的亮度感覺由 1 提升為 2 ，則照度須變 為原照度的多少倍？