單元07-對數函數

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對數函數及其圖形

  前一單元我們學過對數的定義,給定任意實數x > 0,對數 log2 x 的值都隨 之唯一確定,也就是說,x 與 log2 x 之間的對應關係 x → log2 x 形成函數 y = f (x)=log2 x,稱為「以 2 為底數的對數函數」。   利用描點法來看y =log2 x 的圖形。首先列出一些滿足 y = log2 x 的點 (x , y)。 x 1 16 18 14 12 1 2 4 8 16 y =log2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 接著,將表列所對應的點逐一畫在坐標平面上(如圖2 中的黑點)。此外,可再 描出更多的點,如x = 3 8 , 34 , 3 , 6 , 10 , 12 , 14 所對應的點(此時可利用計算機來 求值,例如當x =3 時,y = log2 3 = log 3

log 2≈ 1.58 等)。最後,如果描點數夠多,並   「聲音強度」和「分貝」呈對數關係,且分貝數隨著 聲音強度的增加而緩慢上升;透過其函數圖形可以看出兩 者的變化關係,如圖1 所示。繪製對數函數圖形,並透過 圖形了解對數函數的特性是本單元學習的重點。 ▲圖1

對數函數

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對數函數 用平滑曲線把這些點連接起來,就可得到函數y = log2 x 的圖形(如圖 2 中的紅 色曲線)。 ▲圖2   觀察y = log2 x 的圖形發現:其圖形通過點 (1 , 0),恆在 y 軸右方,且往右邊 逐漸上升,往左邊逐漸貼近y 軸。   同理,函數 y = log x 稱為「以 10 為底數的對數函數」,又簡稱為「常用對 數函數」。 描繪y = log x 的圖形。

隨堂練習

  因為由換底公式可得 y =log2 x = log x log 2= 1

log 2×log x ≈ 3.3 log x,

所以對每一個x , y = log2 x 的值總是 y = log x 的約略 3.3 倍。因此,y = log x 同樣具 有類似y = log2 x 的特徵:其圖形通過點(1 , 0),恆在y 軸右方,且往右邊逐漸上升,

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  一般而言,當 a > 0 , a≠1 時,稱 y = loga x 為「以 a 為底數的對數函數」。 仿照上述的作法,利用換底公式可得 y = loga x =log x log a= 1 log alog x。 也就是說,一般底數的對數函數y = loga x 皆可(藉由換底公式)換成常用對數函y = log x 的常數倍(即 1 log a倍)。例如: 1 y = log3 x = 1

log 3×log x ≈ 2 log x。 2 y = log 1 10 x = 1 log 1 10 ×log x = - log x。 基於以上理由,我們底下將只探討常用對數函數y =log x 與其相關的圖形。   利用 y = log x 的圖形可以來描繪 y = - log x 的圖形,來看以下例題。 利用y = log x 的圖形,畫出 y = - log x 的圖形。

例題

1

因為對每一個 x , y = - l o g x 的值總是 y = l o g x 的相反數,所以 y = - l o g x 的圖形與 y = log x 對稱於 x 軸,如下圖所示。

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對數函數 已知A(10 , 1) 在y = log x 的圖形上,且設 B 點為 A 點對 x 軸的對稱點。 1 求 B 點的坐標。 2 問:B 點是否在 y = - log x 的圖形上?

隨堂練習

  觀察 y = - log x 的圖形發現:其圖形通過點 (1 , 0),恆在y 軸右方,且往右邊 逐漸下降,往左邊逐漸貼近y 軸。   另外,特別值得注意的是,y = log x 和 y = - log x 的圖形對稱於 x 軸。   將y = log x 與 y = - log x 的圖形整理如下。 y = log x y = -log x   常用對數函數y = log x 與 y = - log x 的圖形有以下的特徵: 1 因為 log 1 = 0,所以圖形會過點(1 , 0)。 2 圖形都在 y 軸右方。 3 1 因為 y = log x 的圖形由左往右逐漸上升,所以 y = log x 為嚴格遞增函數,即

x 愈大,y 愈大(也就是說,若 a > b,則 log a > log b)。

2 因為 y = - log x 的圖形由左往右逐漸下降,所以 y = - log x 為嚴格遞減函數,x 愈大,y 愈小(也就是說,若 a > b,則 - log a < - log b)。

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5 1 函數 y = log x 圖形上任相異兩點所連成的線段都在函數圖形的下方(即函數 圖形的凹口向下),如圖3(a) 所示。 2 函數 y = - log x 圖形上任相異兩點所連成的線段都在函數圖形的上方(即函 數圖形的凹口向上),如圖3(b) 所示。 (a) (b) ▲圖3   藉助 y = log x 與 y = - log x 的圖形,可以畫出一些與它們相關的函數之圖形, 來看一道例題。 利用y = log x 的圖形,畫出 y = 2 log x 的圖形。

例題

2

因為對每一個x , y = 2 log x 的值總是 y = log x 的 2 倍,所以 y = 2 log x 的圖 形如下圖所示。

  觀察y = 2 log x 的圖形發現,它們的圖形同樣具有類似 y = log x 的特徵:其圖

形通過點(1 , 0),恆在 y 軸右方,且往右邊逐漸上升,往左邊逐漸貼近 y 軸。一

般而言,當t > 0 時,常用對數函數 y = t log x 的圖形都有上述特徵。

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對數函數 利用y = - log x 的圖形,畫出 y = - 3 log x 的圖形。

隨堂練習

  事實上,y = - 3 log x 的圖形同樣具有類似 y = - log x 的特徵。一般而言,當 t < 0 時,常用對數函數 y = t log x 的圖形都通過點(1 , 0),恆在 y 軸右方,且往右 邊逐漸下降,往左邊逐漸貼近y 軸。

  除了y=log x 與 y= - log x 對稱於 x 軸之外,y=2 log x 與 y= - 2 log x 的圖形也對 稱於x 軸,如圖 4 所示。一般而言,因為對每一個 x , y=t log x 與 y= - t log x 互為相 反數,所以y = t log x 與 y = - t log x 的圖形對稱於 x 軸。

▲圖4

已知函數 f (x) 的圖形與 g(x)= -3 log x 的圖形對稱於 x 軸,求 f (x)。

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  將以上內容整理如下。 常用對數函數 y = t log x 的圖形如下:y = t log x 有以下特徵: 1 圖形會過點 (1 , 0),都在y 軸右方。 2 1 當 t > 0 時,函數 y = t log x 為嚴格遞增函數且其圖形凹口向下。 2 當 t < 0 時,函數 y = t log x 為嚴格遞減函數且其圖形凹口向上。 3 函數 y = t log x 與 y = - t log x 的圖形對稱於 x 軸。

常用對數函數

y = t log x 的圖形與其特徵

  來比較幾個常用對數的圖形。

常用對數函數y = a log x , y = b log x , y = c log x 的圖形 如右所示。選出所有正確的選項。 1 a > 0    2 b > 0 3 c > 0    4 a > b。

例題

3

由圖形可知: 1 2 因為 y = a l o g x , y = b l o g x 皆為嚴格遞增函 數,所以 a > 0 , b > 0。 3 因為 y= c log x 為嚴格遞減函數,所以 c < 0。 4 作直線 x = 10 分別與 y = a log x 與 y = b log x 交A(10 , a), B(10 , b) 兩點,如右圖所示; 因為 A 點在 B 點的上方,所以 a > b。 故選124。

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對數函數

常 用 對 數 函 數 y = a log x , y = b log x , y = c log x 的 圖形如右所示,其中y = a log x 與 y = c log x 的圖 形對稱於 x 軸。選出所有正確的選項。 1 0 < a < 1 2 OP = 1 3 a + c = 0 4 c > b。

隨堂練習

  將指數函數 y = 10x與常用對數函數y = log x 的圖形放在同一坐標平面上,如 圖5 所示。 ▲圖5 由圖5 可以直觀的看出 y = 10xy = log x的圖形對稱於直線y = x。 理由說明如下:設點(a, b) 在y = 10x的圖形上,則 b=10a

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並可推得 a=log b, 因此 點(b, a) 在y = log x 的圖形上, 反之亦然。故y = 10xy = log x 的圖形對稱於直線 y = x。    事 實 上, 當 a > 0 , a≠1 時,指數函數 y = axy = loga x 的圖形對稱於直線 y = x。 已知函數 f (x) 的圖形與 g(x)= log2 x 的圖形對稱於直線 y = x,求 f (x)。

隨堂練習

對數函數的應用

  因為常用對數函數y = log x 為嚴格遞增函數,其圖形 與水平線僅有唯一的交點,如圖6 所示,所以, 若log a = log b,則 a = b。 利用這個性質來看一道例題。 ▲圖6

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對數函數

解下列各方程式:

1 log x = 2 log 6。    2 log (x+2)-log x = log3。

例題

4

1 首先,真數必須為正,即

x > 0。

其次,將方程式化為

log x =2 log 6 = log

(

6

)

2=log 6。

又因為y =log x 為嚴格遞增函數,可知其 圖形與 y = log 6 僅有唯一的交點,如右圖 所示,所以 x = 6。 最後,綜合以上得 x = 6。 2 首先,真數必須為正,即 x+2 > 0 且 x > 0,x > 0。 其次,利用對數的性質,方程式可化為 log

(

x+2x

)

=log 3, 可得 x+2x =3, 即 x + 2 = 3x,解得 x = 1。 最後,綜合以上得 x = 1。

解方程式 log 3x + log (x - 3)=log 12。

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  因為常用對數函數圖形與水平線僅有唯一交點,又任意底數的對數都可利用 換底公式換成常用對數,所以當我們要解任意底數的對數方程式時,可以先將任 意底數的對數換成常用對數再解方程式。來看一道例題。

解方程式 log3 x+log3(x - 1)=1 + log3 2。

例題

5

首先,真數必須為正,即 x > 0 且 x - 1 > 0,x > 1。 其次,利用換底公式可得 log x

log 3+ log log 3(x - 1) =1+log 2log 3, 同乘log 3 可得

log x+log (x - 1)=log 3+log 2, 再利用對數的性質化簡得 log x(x - 1)=log 6, 可得 x(x - 1)=6, 即x2-x - 6 = 0,解得 x = 3 或 x = - 2。 最後,綜合以上得x = 3。 解方程式 log2 (x+3)-log2 (x - 1)=1。 解

隨堂練習

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對數函數   因為常用對數函數 y = log x 為嚴格遞增函數,所以 「若 a > b,則log a > log b。」 有些情況下,可以利用這個性質來比較給定對數的大小。

利用y = log x 嚴格遞增的特性來比較 a = log3 4 , b = log9 25 , c = - log1 3

6 三 數的大小關係。

例題

6

將以上三數都化成常用對數如下:

a =log3 4 = log 4log 3 ,

b =log9 25 =log 25log 9 = 2 log 5

2 log 3 = log 5log 3 ,

c = -log1 3

6 = - log 6

log 13 = - log 6-log 3 = log 6log 3。

因為y = log x 是嚴格遞增函數(即 x 愈大,y 愈大),所以 log 6 > log 5 > log 4,

c > b > a。

利用y = log x 嚴格遞增的特性來比較 a = log2 8 , b = log4 36 , c = - log1 2 7 三 數的大小關係。   因為常用對數函數 y = log x 為嚴格遞增函數,所以下 述性質亦成立: 「若log a > log b,則 a > b。」 利用這個性質可以來解決對數不等式的問題。 ▲圖7

隨堂練習

▲圖8

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解下列各不等式: 1 log (x - 1)<1。   2 log1 3 x + log1 3 (x - 2)> -1。

例題

7

1 首先,因為真數必須為正,即 x - 1 > 0,所以 x > 1。 其次,因為 1 = log 10,所以不等式可化為 log (x - 1) < log 10。 可推得 x - 1 < 10, 解得 x < 11。 最後,綜合以上得 1 < x < 11。 2 首先,因為真數必須為正,即 x > 0 且 x - 2 > 0, 所以 x > 2。 其次,利用換底公式可得 log x log 1 3 + log (x-2) log 1 3 > -1,即 log x -log 3+ log ( x - 2) -log 3 > -1, 同乘 - log 3 可得,

log x+log (x - 2) < log 3, 再利用對數的性質化簡得 log x(x - 2) < log 3, 可推得 x(x - 2)<3, 即 x2-2x - 3 < 0,解得 - 1 < x < 3。 最後,綜合以上得 2 < x < 3。

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對數函數

解下列各不等式:

1 log x2>0。    2 log3 (x - 3)+log3 (x - 5)<1。

隨堂練習

  最後,來看一題跟引言有關的應用問題。 聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特(W/m2)來衡量,而分貝(s)是 音量的一個單位,且它與聲音強度(w)的關係式如下: s =10 log w 10-12。 琵琶行中提到「大弦嘈嘈如急雨,小弦切切如私語。」已知落雨聲約為 55 分貝,悄悄話約為 25 分貝,問:落雨聲的聲音強度為悄悄話聲音強 度的幾倍?

例題

8

設落雨聲的聲音強度為 w1,悄悄話的聲音強度為 w2。由題意知 55 = 10 log w1 10-12且 25 = 10 log w2 10-12, 兩式相減可得 30 = 10

(

log w1 10-12 -log w2 10-12

)

=10 log w1 w2, 移項可得 log w1 w2 =3,即 ww1 2 =10 3=1000。 故落雨聲的聲音強度為悄悄話聲音強度的1000 倍。 承例題,棒球比賽場中,已知一支汽笛發出的聲音為70 分貝,問:當千 支汽笛同時同地合鳴時,所測得的聲音大約為多少分貝? 解

隨堂練習

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觀念澄清 下列敘述對的打「」 1 對數函數 y = log7 x 的圖形過點 (1 , 0)。 2 若點 (0.01 , k) 在y = log2 x 的圖形上,則 k < 0。 3 對數函數 y = log x 的圖形是凹口向上。 4 對數函數 y = log x 的圖形與指數函數 y = 10x的圖形對 稱於直線 y = x。 5 log 0.9 > log 0.8。

一、基礎題

連連看:將下列各函數連到所對應的函數圖形: y = 2 log x • •  f (x) y = - 2 log x • •  g(x) y = 3 log x • •  h(x) y = - 3 log x • •  k(x)

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對數函數

對數函數 y = 3 log x , y = a log x , y = b log x 的圖形如 右,其中 y = 3 log x 與 y = b log x 的圖形對稱於 x 軸。 選出所有正確的選項。 1 a > 0 2 P 點坐標為 (1 , 0) 3 b = 13 4 3 > a。 解下列各方程式:

1 log (x + 6)-log (x - 2)=log 5。 2 log3 x + log3 2 = 2。

利用 y = log x 嚴格遞增的特性來比較 a = log3 2 , b = 12 log3 5 , c = log 3 2 三 數的大小關係。

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解下列各不等式: 1 log3 (x2+2x)> 1。 2 log1 2 (x - 1)+log1 2 (x - 3) ≥ - 3。 星星的「視星等」y 與其「亮度」x 之間的關係為函數 y = - 52 log

(

x a

)

,其中 a 是織女星的亮度。已知觀測到某星的視星等為 - 2.5,問:該星的亮度為 織女星亮度的多少倍?

二、進階題

解方程式 log (10x+100)= x 2 +1 + log 2。 已知函數 f (x)=b + loga x 的 4 個函數值如下表。 x 1 4 2 4 8 f (x) m n 10 - m n + 41 函數 f (x)。    2 m 與 n 的值。

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對數函數 右圖為眼睛的「亮度感覺」y 與「照度」x(勒克斯)之 間的關係圖 ; 其關係為對數函數 y = a l o g2 x,其中 a 是常數,且點 (10 , 1) 在該函數圖形上。 1 求 a 的值。 2 若想讓眼睛的亮度感覺由 1 提升為 2 ,則照度須變 為原照度的多少倍?

數據

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參考文獻

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