(1)48
荷蘭天才速算家克萊因花了
2分
43秒計算一個
500位數字的
73次方根，此壯舉被記錄在金氏世界
紀 錄 中 ； 他 也 常 在 各 場 合 做 速 算 表 演 ， 例 如 ：
6410、
232或任意百位數的
13次方根…等。
以上的
6410、
232、
13次方根、
73次方根各代
表什麼意思呢？這是本單元討論的重點。
指數
4
▲
圖1
甲
正整數指數與指數律
對於實數
a和正整數
n，我們以記號 an來表示
a自乘
n次的乘積，即
an=
a a644444 44444: :7g:
a8
n個
，
並將 an讀作「a的
n次方」，其中
a稱為底數
，n稱為指數
。習慣上，也將 a2讀
作
a的平方， a3讀作
a的立方。
當
a,b是實數，m,n是正整數時，利用乘法的交換律與結合律可得：
1 am:
an=^6444444 444444 6
a a: :7g:
a a ah8^444444 444444: :7g:
a8h=6
a a44444 44444: :7g:
a8=
am n+
m個
n個 ^
m+
nh個
。
4
指數
49
2 a_
mi
n=6
a44444444 44444444
m:
am7:g:
am8=^
a a: :g:
a a ah^ : :g:
ahg^
a a: :g:
ah
64444444444444444444444 44444444444444444444447 8
6444444 444444 67 8 444444 4444447 8 6444444 4444447 8
n個
n個
m個
m個
m個
a a: :g:
a amn
=644444 444447 8=
m n: 個
。
3 a bn:
n=^6444444 444444 6
a a: :7g:
a b b8h^444444 444444: :7g:
b8h=^ ^644444444 44444444
ab abh h7g^
ab8h=^
abh
n
n個
n個
n個
。
我們稱這些指數的運算性質為指數律，整理如下。
設
a,b為實數，且
m,n為正整數，則
1
a am n=
am n+ 。 2_ i
am n=
amn。 3
a bn n=^ h
ab n。
正整數指數的指數律
利用正整數指數的指數律來練習一道例題。
利用指數律求下列各式的值：
1 23#25。 2 12
3
-a^ h k 。 3 ^ h-5 3#23。
解
1 23#25=23 5+ =28=256。
2 12 1 1 1
3
2 3 6
- = - # = - =
a^ h k ^ h ^ h 。
3 5^- h3#23= -_^ 5h#2i3= -^ 10h3=-1000。
例題
1
利用指數律完成下列填空：
1 ^-3h4#^-3h5= -^ 3h 。 2d _ i24 d= 220。 3210#^ h-3 5=d5。
隨堂練習
50
我 們 可 以 使 用 計 算 機 ， 更 快 速 地 求 指 數 的 值 。 以 86 為
例，只要依序按下
如圖2，就可以得到 86的值。
來做一題正整數指數的應用問題。
將一張厚度為
0.01公分足夠大的紙，一直對摺。問：
1 對摺10次後厚度為幾公分？
2 在理想的情況下，要摺幾次它的厚度會超過地球到月球的距離384400
公里呢？
解
1 每對摺一次，紙張厚度加倍。若對摺n次，則紙張厚度為
.
0 01#2
n公分。
將 n=10代入上式，得
. . .
0 01#210=0 01#1024= 10 24。
故對摺10次後厚度為
10.24公分。
2 分別用不同的n代入 .0 01#2
n，利用計算機求近似值並列表如下：
n 10 20 30
紙張厚度
10.24公分 105公尺 107公里
n 40 41 42
紙張厚度 109951公里 219902公里 439805公里
由上表可知：當對摺 42次時，紙張的厚度就會超過地球到月球距離
了。
例題
2
▲
圖2
4
指數
51
隨堂練習
在理想的情況下，將一張厚度為
0.01公分足夠大的紙，一直對摺。問：
對摺25次後，紙張厚度最接近下列哪一個選項？
1臺北101高度約509
公尺 2七星山高度約1120公尺
3玉山高度約3952
公尺 4聖母峰高度約8844公尺。
前面討論的指數都只限於正整數，接下來將逐步把指數的範圍由正整數推廣至
整數、有理數與實數，例如100,10-1,52
1
,3 2,…等，同時希望指數律仍然成立。
乙
整數指數與指數律
在國中時期曾經學過以科學記號表示正數，例如：
. .
0 0345=3 45#10-2,0 00345. =3 45. #10-3，
其 中10 0 01.
100
1
2
= =
-, 10 0 001.
1000
1
3
= =
-。 這 些 形 如 10
n的 數 ， 指 數 每 增 加
1，其值就變成原來的10倍；相反的，指數每減少1，其值就變成原來的
10
1
倍。
依照這樣的規律有如下圖3的對應關係：
100
1
10
1
1 10 100
10 2 10 1 100 101 102
g g
< < < < <
-
-10
1
#
10
# #10 #10 #10
10
1
#
10
1
#
10
1
#
▲
圖3
52
一般而言，對零指數和負整數指數定義如下：
設
a是不為零的實數，且
n為正整數，定義
1
a0= 。 21
a
a
1
n
n
=
-。
整數指數的定義
整數指數是否仍滿足指數律呢？我們先檢驗指數均為負整數的情形：設
a,b
是不為零的實數，且
m,n均為正整數，則
1 a a
a a a a a a
1 1 1 1
m n
m n m n m n
m n
: = : = = =
-
-+
-^ + h
。
2 a
a
a a a
a a
1
1
1
1
1
1
1
m n
m
n
m
n
m n mn
mn m n
= = = = = = :
-
--
-_
f
f
_
^ ^
i
p
p
i
h h
。
3 a b
a b a b ab ab
1 1 1 1
n n
n n n n n
n
: = : = = =
- -
-_ _
^ ^
i i
h h 。
同學可以自行檢驗指數不全為負整數的情形。事實上，當指數是整數指數時，
指數律仍然是成立的，因此，可以把國中學過的正整數指數律推廣到整數指數律。
設
a,b是不為零的實數，且
m,n為整數，則
1
a am n=
am n+ 。 2_ i
am n=
amn。 3 a bn n ab n
=^ h 。
整數指數的指數律
練習一道整數指數定義的例題。
求下列各式的值：
1 _
r +25 6410 0i 。 2
3
3
7
5
。
例題
3
4
指數
53
解
1 _
r +25 6410 0i =1。
2
3
3
3 3 3 3
3
1
9
1
7
5
5 7 5 7 2
2
#
= - = + -^ h= - = = 。
求下列各式的值：
1
3 +
r
1
107 2 0
_ i 。 2 2
2
3
1
-。
隨堂練習
由例題32的方法，可得當
a為非零實數，且
m,n為正整數時，
a
a
a
n
m
m n
= - 。
而當
m,n為整數時，因為 am n- :
an=
a^
m n- h+
n=
am，所以上式亦成立。
再來看一道利用整數指數的指數律的例題。
利用指數律求下列各式的值：
1 ^-5h3#^-5h 。 2-4 _ i 。 34-1 -2 21
7
1
2
2
#
-e o 。
解
1 5 5 5 5
5
1
3 4 3 4 1
#
- - - = - + - = - -
=-^ h ^ h ^ h ^ h ^ h 。
2 4_ -1i-2= 4^-1h#^-2h=42=16。
3 21
7
1
21
7
1
3
9
1
2
2 2
2
# = # = =
--
-e o e o ^ h 。
例題
4
54
隨堂練習
利用指數律完成下列填空：
1
3
1
3 3
5
8
# - = d
e o 。 2 2
2
1
5 15
=
d
_ i e o 。 3 2-10#3-5=d-5。
接著來看一道與乘法公式結合的例題。
已知 a 2 且 a a0 + -1=3，求下列各式的值：
1
a2+
a-2。 2
a3+
a-3。
解
1 將 a a+ -1=3兩邊平方，得
a+
a-1 2=32
_ i ，
展開得
a2+2# #
a a-1+
a-2= 9，
即 a2+
a-2=9-2=7。
2 將 a a+ -1=3兩邊三次方，得
a+
a-1 3=33
_ i ，
展開得
a3+3#
a2#
a-1+3# #
a a-2+
a-3=27，
即
a3+
a-3=27-3_
a+
a-1i=27-3#3 =18。
例題
5
4
指數
55
隨堂練習
已知 a 2 且 a a0 - -1=2，求下列各式的值：
1
a2+
a-2。 2
a4+
a-4。
以下的例題是生活中跟整數指數有關的應用問題，其中提到的照度是每單位
面積接收到光源亮度的量，單位是勒克斯，照度的大小除了取決於光源的強度之
外，也與被照明物和光源之間的距離有關。
設某檯燈與被照明物的距離為
d公尺時，被照明物表面的照度為
E勒克
斯，且
E與
d的關係式為
E=300#
d-2。
已知此檯燈高度為
0.4公尺，求放置於桌面上時，檯燈正下方的照度
E的
值。
解
將
d=0 4.
代入 E=300#
d-2，得
.
E 300 0 4 300
5
2
300
4
25
1875
2
2
# # #
= - = = =
-e o （勒克斯）。
例題
6
承例題6，已知可將此檯燈調高至
0.8公尺，求調整後的照度 E1是原先的
照度 E2之幾倍？
隨堂練習
由隨堂練習可發現：當光源的距離變為原先的2倍時，照度變為原先的
4
1
。
事實上，照度會與光源的距離呈平方反比的關係。
56
丙
有理數指數與指數律
國中學過方程式 x2=5
恰有兩根 x=! 5
，其中 x= 5 為方程式唯一的正
根。事實上，當 a2 且0
n為正整數時，方程式 xn= 有唯一的正根（12
a 年級課
程會有更進一步的說明），我們將這唯一的正根稱為 a的正
n次方根，以符號
na 表示。例如：方程式 x3
7
= 的唯一正根以符號 3
7 表示，而方程式 x5=23的
唯一正根以符號523表示。因此根據
n a 的定義，得n a 2 , 0 _ i
n a n=
a。
如果指數律 a_ i
m n=
amn在 m
n
1
= 時可以成立，即
an
n
n n
1 1
1
#
a a a
= = =
b l ，
那麼這表示 an
1
必須是 xn= 的正根，又
a na 為 xn a
= 的唯一正根，因此
n
an a
1
= 。……
接著利用整數指數的指數律及_ i
na n=a進行_ i 的計算，以
n a m 5
2
3
` j 為例，
將 5
2
3
` j 五次方後，得
5
2 5
2 5
2
2
5
3 5
5 3
3
3
= # = =
c` j m ` j c` j m ，
所以由方根的定義得 5 5
2
2 3
3
=
` j
。一般而言，當 a2 且0
n是正整數、m是整數
時，
a a a a
n m
n
n mn n n
m
m
= = =
_ i _ i _ i
; E ; E ，
故由方根的定義得
na m= n am
_ i 。……
4
指數
57
根據，定義有理數指數如下。
設
a為正實數，且
n為正整數，m為整數，定義
1
an n a
1
= 。 2
a n n
a a
n
m
m m
=_ i = 。
有理數指數的定義
利用有理數指數的定義來做一道例題。
求下列各式的值：
1 3
125 。 242
3
。
解
1 根據定義，3
125 為方程式 x3=125的唯一正根，得3125= 。5
2 42
3
4 3 23 8
=` j = = 。
例題
7
完成下列填空：
1 2 = 2d。 2 5
27=3d。
隨堂練習
有了有理數指數的定義，利用根式運算可證得指數律仍然成立。
設
a,b為正實數，且
p,q都是有理數，則
1
a ap q=
ap q+ 。 2_ i
ap q=
apq。 3
a bp p=^ h
ab p。
有理數指數的指數律
58
利用有理數指數的指數律來練習一道例題。
利用指數律，求下列各式的值：
1 325 5
12
a k 。 27
7
4
2
3
23
#e o 。
解
1 325 5 2 2 2 16
12
3
5
5
12
3
5
5
12
4
= = # = =
a k b l 。
2 7
7
4
7
7
4
4 4 8
2
3
23
23
2
3
3
#e o =e # o =^ h =` j = 。
例題
8
利用指數律，求下列各式的值：
1 573 3
10
a k 。 25
5
16
4
1
41
#e o 。
隨堂練習
4
指數
59
接著練習一道與乘法公式結合的例題。
已知 a 2 且 a a0 + -1=4
，求 a2
a
1
2
1
+ - 的值。
解
因為
a2+
a a 2
a a a 4 2 6
1
2
1 2
2
1
2
1
1
= + + = + =
- -
-b l b lb l ，
且 a2
a 0
1
2
1
2
+ -
，所以 a2
a 6
1
2
1
+ - = 。
例題
9
已知 a 2 且 a0 2
a 3
1
2
1
+ - =
，求 a4
a
1
4
1
+ - 的值。
隨堂練習
我們也可以使用計算機來求有理數指數的值。
以 76
1
為例，只要依序按下
如圖4所示，就可以得到 76
1
的近似值。
▲
圖4
60
來做一道與有理數指數相關的應用問題。
根據政治學中的「議會規模立方根法則」，理想的國會議員人數
y與國
家人口總數
P（人）的關係為
y P3
1
= 。
1 已知2013年瑞士人口數約為800萬人，求該國理想的國會議員人數。
2 已知2008年臺灣的人口數約為2300萬人，如果採用此法則，求臺灣
的國會議員人數（四捨五入到整數位）。
解
1 將 P=8000000代入公式，得
2 #10
y 80000003 2 10 200
1
3
6 3
1
2
#
= =_ i = = ，
因此，該國理想的國會議員人數為200人。
2 利用計算機可得
.
230000003 23 100 2 84 100 284
1
3
1
# . #
= = （人）。
例題
10
臺灣2008年的國會議員（立法委員）為113人，與例題10的結果不一致，
這是因為議會規模立方根法則並不是一體適用的法則。
4
指數
61
隨堂練習
服用止痛藥經過
h小時後，殘留在身體裡的量為原來的
y倍，其中
y與
h
的關係為
y
2
1
h
4
=e o 。
問：
1 當殘留的藥量為原來的
64
1
倍時，才會被認定為代謝完成，那麼服用
一顆止痛藥，至少需要幾個小時才能代謝完成？
2 服用一顆止痛藥三天後，殘留在身體裡的量為原來的幾倍？
丁
實數指數與指數律
定義了有理數指數後，接著可將指數擴張至所有的實數，也就是說，要探討
當
r是無理數時， ar這個符號的意義。以 3 2為例，我們利用 2 的範圍，來探
討 3 2的值。利用計算機列表如下：
2 的範圍 3
2
的範圍（ a13 21 ）
b
a b
. .
1 41 2 11 5 31 4. .4 7. 31 5. .5 2.
. .
1 411 2 11 42 31 41. .
4 7. 1 31 42. .
4 7. 6
. .
1 414 1 2 11 415 31 414. .
4 7. 28 31 415. .
4 7. 33
. .
1 41421 211 4143 31 4142. .
4 72. 87 31 4143. .
4 72. 93
. .
1 414211 2 11 41422 31 41421. .
4 728. 79 31 41422. .
4 728. 84
. .
1 4142131 2 11 414214 31 414213. .
4 72880. 1 31 414214. .
4 72880. 7
62
上表中 3 2的範圍最後會逼近一個實數，我們就定義
它為 3 2。其實，計算機也可快速地得到 3 2 的近似值，
只要依序按下
如圖5所示，就可以得到 3 2的近似值。
一般而言，仿照以上的方法逼近的實數就是實數指數
的值。這樣定義出來的實數指數仍滿足指數律（方式超出
高中範圍，在此不加以討論）。
設
a,b為正實數，r,s是任意實數，則
1
a ar s=
ar s+ 。 2_ i
ar s=
ars。 3
a br r=^ h
ab r。
實數指數的指數律
利用實數指數的指數律練習一道例題。
利用指數律，求下列各式的值：
1 2
2
1- 2
10 #100 。 2 `3 2j2 2。 3
2
3
3
2
2 3 12
#
e o e o 。
解
1 10 2 100 2 10 10 10 10 10
1 2
2 2
2
1 2
2 1 2
# = # = # =
-
-_ i 。
2 3` 2j2 2 =3 2#2 2 =34=81。
3
2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
2
1
2 3 12 2 3 2 3 2 3
# = # = # =
e o e o e o e o e o 。
例題
11
▲
圖5
4
指數
63
隨堂練習
利用指數律，求下列各式的值：
1
2
1
2
1
1 3 1 3
#
+
-e o e o 。 2
9 2 2 2
1
a k 。 3
27
3
2
18
。
來看一道指數有未知數的例題。
已知 2
a=3，求下列各式的值：
1 4
a 1- 。 29#8- +
a 1。
解
1 4 4 4 2
4 4
9
a a
a
1 1
2
#
= = =
- - _ i
。
2 9 8 9 8 8 72 2 72 2 72
27
1
3
8
a 1
a 3
a a 3
# - + = # - # = #_ i- = _ i- = # = 。
例題
12
已知 3
a=2，求下列各式的值：
1 9
a 1+ 。 236#27- -
a 1。
隨堂練習
64
64
最後來做一道應用問題。
蛋糕從180℃的烤箱拿出來放在30℃的室溫下，經過
t分鐘後的溫度
H℃
符合牛頓提出的冷卻定律，公式為
H=30+^180-30h#
a-
t，
其中 a2 為蛋糕的冷卻係數。已知0 6分鐘後測量蛋糕的溫度為
48.75℃，
求蛋糕的冷卻係數
a的值（四捨五入到小數點以下第一位）。
解
依題意將
H=48 75.
, t=6代入，得
.
a
48 75=30+^180-30h# -6，
移項化簡，並利用計算機可得
a.1 4. 。
例題
13
麵包出爐的溫度
x℃，放在30℃的室溫下經過
t分鐘後的溫度
H℃符合牛
頓提出的冷卻定律，公式為
.
H=30+^
x-30h#^1 25h-
t。
已知3分鐘後測量麵包的溫度為
55.6℃，求麵包出爐時的溫度（四捨五入
到整數位）。
隨堂練習
65
65
4
一、觀念題
以下各小題對的打「○」，錯的打「×」。
1
2
1
3
1
3
2 = 。
2
3
25
1
3
2
-5 = 。
3 5
2 5
2
3 3
=` j 。
二、基礎題
求下列各式的值：
1 `
5-
2j3`
5+
2j3
。 2 5
3 -2
c` j m 。
3 643
2
。 4 .
25
16
8
27
0 25
.
.
0 5
3
2
2 5
# #
-e o e o ^ h 。
設 a2 ，化簡下列各式：0
1_
a3:
a-2i-3。
2 2
a
a
4 3
4
1 3
1
-_
^ h
i
。
3
a2+
a a -
a
1
2
1
2
1
2
1
-
-c mc m。
4
66
天文學家波德於1766年提出有名的「波德法則」：行星與太陽的平均距離
d天文單位可用數學式子
d=
a+
b#2
n
表示，其中
n值與行星的對應表如下：
行星 金星 地球 火星
n 0 1 2
已知金星與太陽平均距離為
0.7天文單位，且火星與太陽的平均距離為
1.6
天文單位，求 a 及 b 的值。
海嘯是一種有強大破壞力的海浪，其速度
V（公尺 秒）的公式為
V 10
h 2
1
=^ h ，
其中
h為海水深度（公尺）。已知2004年的南亞海嘯發生於平均水深約
3890公尺的印度洋，求此海嘯的速度最接近以下哪一個等級的選項？
1獵豹約36公尺 秒
2高鐵約80公尺 秒
3飛機約200公尺 秒
4聲音約340公尺 秒。
已知 2
a+2-
a=3，求下列各式的值：
1 4
a+4-
a。 2 8
a+8-
a。 3`
2j
a+`
2j-
a。
已知 4
a= ，求 85
a-2
a 2+ 的值。
67
三、進階題
設 a=20 3. ,
b=20 01. ，選出正確的選項。
1
a10
= 8 2
b30
= a 32
ab2=21 32. 4
b
a
2 2
.
0 28
= 。
已知 9
a= 2+ ，求1
3 3
27 27
a a
a a
+
+
-的值。
芮 氏 規 模 為 地 震 大 小 的 標 度 ， 芮 氏 規 模 每 增 加 1 ， 釋 放 的 能 量 約 變 為 3 2
倍。
1已知芮氏規模7所釋放的能量是芮氏規模3的 2
n倍，求
n的值。
2問：芮氏規模
5.1所釋放的能量是芮氏規模3的幾倍？（四捨五入到整數位）
