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98年數學統測試題B(含解答)

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Academic year: 2021

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(1)

98 年數學統測試題B

(

) 1. 已 知

A( 4, 4)

B a b( , )

為 坐 標 平 面 之 兩 點 , 且 點

C( 1,1)

位 在 線 段

AB

上 , 又

3BC2AC

,則點

B

之坐標為何? (A)

( ,

2

2

)

3

3

 (B)

3

3

( ,

)

4

4

 (C)

4

4

( ,

)

5

5

 (D)

(1, 1)

解 ∵ 3BC2ACAC BC: 3: 2 由分點公式可得3   a3 22 ( 4)  1,3  b3 22 41 1 a   ,b   ∴點 B 之坐標為 (1, 1)1 

(

) 2. 已知  為銳角,且

sin

cos

。若

sin

cos

17

3

,則

sin

cos

? (A)

1

9

(B)

2

9

 (C)

1

3

 (D)

4

9

2 17 2 (sin cos ) ( ) 3

    sin2 2sin cos cos2 17

9     1 2sin cos 17 9     ∴sin cos 49 2 4 1

(sin cos ) 1 2sin cos 1 2

9 9

          sin cos 1

3

  

∵ sincos ∴ sincos  故得0 sin cos 1

3

 

(

) 3. 試問下列各函數值,何者與

cos800

的函數值相同? (A)

sin100

 (B)

sin( 80 ) 

(C)

cos100

 (D)

cos( 80 ) 

800  2 360    cos80080  cos80 cos( 80 ) 

(∵cos( ) cos)

(

) 4. 設

 為 銳 角 , 則

cos(

)

tan(180

) sin(270

)

sin(360

) cot(270

)

cos(90

)

 

 

 

 

 

?   (A)

3

  (B)

1

(C)1 (D)3。

原式cossin tantan cossin cossin  1 cossin  1

(

) 5. 已知

ABC

AB8

 B 45

  C 60

,則

BC

? (A)

4 6

4 2

3

 (B)

4 6

4 2

3

 (C) 6 4 2

3

 (D) 6 4 2

3

A  180     7545 60   ,由正弦定理知: sin sin BC AB AC, 又∵sin 75 6 2 4     8 sin 75BC  sin 60  8 6 2 3 4 2 BC    ∴ BC  4 6 4 2 3  A ( 4 , 4 )C ( 1 , 1 )B a b( , ) 3 2

(2)

(

) 6.甲生於地面 A 點處,測得某一個山頂 P 點之仰角為

30

,若

甲生朝山頂正下方的山腳

C 點方向,直線向前走 1000 公

尺後到達

B 點(如圖),再測得此山頂 P 點之仰角為

45

則此山的高度為何? (A)

500( 3 1)

公尺 (B)

500( 3 2)

公尺 

(C)

250( 3 3)

公尺 

(D)

250( 3 4)

公尺。

設山的高度為 PC h ,則 BCP 為等腰直角三角形  BC PC h  在 ACP 中,tan 30 1 1000 3 h h      3 1000h  h 1000 500( 3 1) 3 1 h    ∴山的高度為 500( 3 1) 公尺

(

) 7.已知方程式

2x230x k 0

的兩根為連續自然數,則

k

? (A)106 (B)108

(C)110 (D)112。

解 設二根為  、  1 ( 1) 15.... ( 1) ... 2 k               籬 籮,由籬可得  代入籮 7 k112

(

) 8. 設

x25x6

為 多 項 式

x33x2 cx d

的 因 式 , 則

( , )c d

?   (A)

( 3,8)

  (B)

( 4,12)

 (C)

( 5,10)

 (D)

( 6,8)

解 ∵x25x 6 (x2)(x3) (x2)(x3) (x33x2cx d )f x( )x33x2cx d  x 、2 x 為 ( )3 f x 的因式,由因式定理知:  (2) 0 (3) 0 f f      8 12 2 0 27 27 3 0 c d c d             2 4 3 0 c d c d        c  ,4 d12  ∴ ( , )c d  ( 4,12)

(

) 9. 設 a , b , c 均 為 異 於 1 的 正 數 , 且 滿 足

abc1

, 則

logablogaclogbclogbalogcblogca

之值為何? (A)3 (B)1 (C)

3

 (D)

6 

abc 1 bc 1 a 1 a    、ac 1 b 1 b    、ab 1 c 1 c   

原式 log abclogbaclogcab log 1 log 1 log 1

aabbcc           ( 1) ( 1) ( 1) 3

(

)10. 設

2

1

3 6

4

( )

4

x

x

,則

x

? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。

解 原式 4x2(4 )1 3x6 2 (3 6) 4x4 x  x  2 (3x6)x    2 3x 6 x1

(

)11. 在坐標平面上,已知

x0

y0

,且

x2y7

3x y 6

,則

x y

之最大值

為何? (A)7 (B)6 (C)5 (D)4。

解 圖示可行解區域得四頂點坐標為 (0,0) ,(0, )7 2 , (1,3) , (2,0) 目標函數為 ( , )f x y    x y ( , )x y ( 0 , 0 ) ( 0 , ) ( 1 , 3 ) ( 2 , 0 ) 7 2 7 2 0 4 2 x y ∴ ( , )f x y 的最大值為 4 y x ( 7 , 0 ) ( 2 , 0 ) ( 1 , 3 ) ( 0 , 6 ) ( 0 , )72 O x2y7 3 x y  6 A B P C A B P C h 3 0 ° 4 5 ° 1 0 0 0

(3)

(

)12. 在坐標平面上,若兩平行線

2x4y k

 x 2y4

的距離為

20

,且

k0

,則

k

? (A)8 (B)10 (C)12 (D)28。

解  x 2y  24 x4y   兩平行線為 28 x4y k 與 2x4y 8 由兩平行線距離公式知: | 2( 8) |2 20 2 4 k d       |k 8 | 20 k 12或 (不合∵28 k ) ∴0 k12

(

)13. 在坐標平面上,若兩直線

L1

my2x1

L2

2y3x1

互相垂直,則

m

(A)

3 4 

 (B)

3

 (C)

4 3 

 (D)

1

L : 21 x my   的斜率1 0 1 2 m m  ,L : 32 x2y  的斜率1 0 2 3 2 m  ∵二直線互相垂直 m m1 2    2 31 1 2 m    ∴m 3

(

)14. 在坐標平面上,若圓

x24x y 26y k 0

x

軸相切,則

k

? (A)

6

 (B)

2 

 (C)4 (D)8。

x 軸的方程式為y ,以0 y 代入圓方程式 0 x2 4x k   ∵圓與 x 軸相切0 ∴方程式有相等實數解  判別式D42     ∴4 k 0 k4

(

)15. 若 a , b 為方程式

2

9 5

1 2

7 2

0

3 1

x

x

x

 的二根,則

a2b2

? (A)9 (B)11 (C)13

(D)15。

解 2 9 5 1 2 7 2 0 3 1 x x x   7x215(1 2 ) 18 x x35x9(1 2 ) 6 x x2  0 x25x 6 0  (x2)(x 3) 0a,b 為 2,3 ∴a2b2223213

(

)16. 若 無 窮 等 比 級 數

2

2

4

3

8

4

2

3

x

x

x

x

, 則

x

?   (A)

2 7

  (B)

1

2

  (C)

1

3

(D)

3

5

解 公比 2x2 2x x    2 1 2 3 x x   2 4 x3x ∴ 2 7 x

(

)17. 若數列

a1

a2

a3

an

的第

n

2

3

n

a

n

,則

a1a2  a3  a20

之值為何?

(A)106 (B)

320

3

 (C)

520

3

 (D)140。

解 1 2 3 a  , 2 4 3 a  , 2 6 3 a  , 2 8 3 a   , 20 40 3 a   公差為 2 3的等差數列 由 ( 1 ) 2 n n n Saa20 20 2 40( ) 140 2 3 3 S   

(

)18. 在坐標平面上,若

ABC

三頂點坐標分別為

A(4,5)

B(5, 2)

C(1,1)

,則

 A

 (A)

45

 (B)

60

 (C)

120

 (D)

135

(4)

設 A 

,∵ A B (1, 7) , A C   ( 3, 4)  cos  A B A C A B A C 2 2 2 2 1 ( 3) ( 7) ( 4) 1 ( 7) ( 3) ( 4)              25 1 25 2 2        (∵ 0A 45    A 180 )

(

)19. 設

a (2,3)

b  ( 3,5)

c  ( 1, )k

是平面上三個向量,且「‧」表示二個向量

的 內 積 。 若 (

a  b ) ( a 2 b  c ) 17

, 則

k

?   (A)10   (B)11   (C)12

(D)13。

| a | 132 , | b |234, a  b  , a  c9   2 3k, b  c  3 5k ( a  b ) ( a 2 b  c ) 17 | a |2 2  a  b  a  c  a  b 2 |b |2  b  c 17  13 2 34 9 ( 2 3 ) (3 5 ) 17      k   k   8k63 17  ∴k10

(

)20. 有一個地區街道線段如圖,現在甲君擬從

點 S 走到點 T;如果規定甲君必須沿著街道

向東或向南行走,則會有多少種不同路線

的走法? (A)44 (B)52 (C)74 (D)95。

解 依加法原理可知:由點 S 走到點 T 共有 52 種方法 S T 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 5 1 1 1 4 5 1 6 1 5 5 5 1 0 2 6 1 6 1 1 1 6 2 6 5 2 1

(

)21. 已知有一個以 1 為首項的等比數列: 1, (

a b

 ,

)

2

(

a b

)

,

(a b )3

,

,則此數列的

第幾項之展開式中含有

4 3

35a b ? (A)第 6 項 (B)第 7 項 (C)第 8 項 (D)第 9

項。

解 (a b )n展開式中的「一般項」為 n n r r r C a b 依題意令 n n r r r C a b35a b 4 3 r ,3 n ,7 7 3 35 C   ∴(a b )7 為該等比數列的第 8 項

(

)22. 袋中有大小完全相同的 10 個球,其中 6 個紅球、4 個綠球。假設每一個球被取出

的機會均等,現在從袋中任意取出 3 個球(同時取出),並規定:取出之 3 個

球中,恰好出現一個綠球之彩金為 10 元,恰好出現二個綠球之彩金為 20 元,

三個都是綠球之彩金為 30 元時,則期望值為何? (A)4 元 (B)6 元 (C)8 元

(D)12 元。

E P m 1 1P m2 2 P m3 3 4 4 6 4 6 3 1 2 2 1 10 10 10 3 3 3 10 20 C 30 C C C C C C C        60 36 4 10 20 30 12 120 120 120        (元)

(

)23. 含甲、乙等共有 10 人,今從中任選 3 人參加比賽。假設每人被選出的機會均等,

則甲與乙二人同時被選出參賽的機率為何? (A)

1 15

 (B)

2

15

 (C)

3

15

 (D)

4

15

(5)

解 甲與乙二人同時被選出的機率為 2 8 2 1 10 3 8 1 120 15 C C P C    

(

)24. 已知有 10 個數據為:10 , 40 , 40 , 50 , 65 , 75 , 100 , 90 , 80 及 x。若它們的中位

數為 60,則

x

? (A)50 (B)55 (C)60 (D)65。

將數值由小到大順序排列如下:10 , 40 , 40 , 50 , 65 , 75 , 80 , 90 , 100 (x 未排入) ∵數據個數n10為偶數,且中位數為 60  x65 ∴中位數 5 6 1 1 ( ) ( 65) 60 2 2 e Mxxx   x55

(

)25. 已知有四組數據,分別列述如下,那一組的標準差最小?  (A)5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,

10 (B)20 , 20 , 20 , 20 , 20 , 20 (C)1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 (D)5 , 25 , 10 , 25 , 5 ,

5。

∵選項(B)中各值均相等  算術平均數 X 20  ∴離均差 (xiX)為 0  變異數 6 2 2 1 ( ) 6 1 i i x X S    

 ,標準差0 6 2 1 ( ) 6 1 i i x X S    

 為最小0 (離均差平方和的算術平均數即為變異數,而其平方根為標準差)

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