98 年數學統測試題B
(
D
) 1. 已 知
A( 4, 4)與
B a b( , )為 坐 標 平 面 之 兩 點 , 且 點
C( 1,1)位 在 線 段
AB上 , 又
3BC2AC,則點
B之坐標為何? (A)
( ,
2
2
)
3
3
(B)
3
3
( ,
)
4
4
(C)
4
4
( ,
)
5
5
(D)
(1, 1)。
解 ∵ 3BC2ACAC BC: 3: 2 由分點公式可得3 a3 22 ( 4) 1,3 b3 22 41 1 a ,b ∴點 B 之坐標為 (1, 1)1 (
C
) 2. 已知 為銳角,且
sin
cos
。若
sin
cos
17
3
,則
sin
cos
? (A)
1
9
(B)
2
9
(C)
1
3
(D)
4
9
。
解 2 17 2 (sin cos ) ( ) 3 sin2 2sin cos cos2 17
9 1 2sin cos 17 9 ∴sin cos 49 2 4 1
(sin cos ) 1 2sin cos 1 2
9 9
sin cos 1
3
∵ sincos ∴ sincos 故得0 sin cos 1
3
(
D
) 3. 試問下列各函數值,何者與
cos800的函數值相同? (A)
sin100(B)
sin( 80 ) (C)
cos100(D)
cos( 80 ) 。
解 800 2 360 cos80080 cos80 cos( 80 )
(∵cos( ) cos)
(
B
) 4. 設
為 銳 角 , 則
cos(
)
tan(180
) sin(270
)
sin(360
) cot(270
)
cos(90
)
? (A)
3(B)
1(C)1 (D)3。
解原式cossin tantan cossin cossin 1 cossin 1
(
A
) 5. 已知
ABC中
AB8,
B 45,
C 60,則
BC? (A)
4 6
4 2
3
(B)
4 6
4 2
3
(C) 6 4 2
3
(D) 6 4 2
3
。
解 A 180 7545 60 ,由正弦定理知: sin sin BC AB A C, 又∵sin 75 6 2 4 8 sin 75BC sin 60 8 6 2 3 4 2 BC ∴ BC 4 6 4 2 3 A ( 4 , 4 ) C ( 1 , 1 ) B a b( , ) 3 2(
A
) 6.甲生於地面 A 點處,測得某一個山頂 P 點之仰角為
30,若
甲生朝山頂正下方的山腳
C 點方向,直線向前走 1000 公
尺後到達
B 點(如圖),再測得此山頂 P 點之仰角為
45,
則此山的高度為何? (A)
500( 3 1)公尺 (B)
500( 3 2)公尺
(C)
250( 3 3)公尺
(D)
250( 3 4)公尺。
解 設山的高度為 PC h ,則 BCP 為等腰直角三角形 BC PC h 在 ACP 中,tan 30 1 1000 3 h h 3 1000h h 1000 500( 3 1) 3 1 h ∴山的高度為 500( 3 1) 公尺(
D
) 7.已知方程式
2x230x k 0的兩根為連續自然數,則
k ? (A)106 (B)108
(C)110 (D)112。
解 設二根為 、 1 ( 1) 15.... ( 1) ... 2 k 籬 籮,由籬可得 代入籮 7 k112(
B
) 8. 設
x25x6為 多 項 式
x33x2 cx d的 因 式 , 則
( , )c d ? (A)
( 3,8)(B)
( 4,12)(C)
( 5,10)(D)
( 6,8)。
解 ∵x25x 6 (x2)(x3) (x2)(x3) (x33x2cx d ) 令f x( )x33x2cx d x 、2 x 為 ( )3 f x 的因式,由因式定理知: (2) 0 (3) 0 f f 8 12 2 0 27 27 3 0 c d c d 2 4 3 0 c d c d c ,4 d12 ∴ ( , )c d ( 4,12)(
C
) 9. 設 a , b , c 均 為 異 於 1 的 正 數 , 且 滿 足
abc1, 則
logablogaclogbclogbalogcblogca之值為何? (A)3 (B)1 (C)
3(D)
6
。
解 abc 1 bc 1 a 1 a 、ac 1 b 1 b 、ab 1 c 1 c 原式 log abclogbaclogcab log 1 log 1 log 1
aa bb cc ( 1) ( 1) ( 1) 3
(
A
)10. 設
21
3 64
( )
4
x
x,則
x? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。
解 原式 4x2(4 )1 3x6 2 (3 6) 4x 4 x x 2 (3x6) x 2 3x 6 x1(
D
)11. 在坐標平面上,已知
x0,
y0,且
x2y7,
3x y 6,則
x y之最大值
為何? (A)7 (B)6 (C)5 (D)4。
解 圖示可行解區域得四頂點坐標為 (0,0) ,(0, )7 2 , (1,3) , (2,0) 目標函數為 ( , )f x y x y ( , )x y ( 0 , 0 ) ( 0 , ) ( 1 , 3 ) ( 2 , 0 ) 7 2 7 2 0 4 2 x y ∴ ( , )f x y 的最大值為 4 y x ( 7 , 0 ) ( 2 , 0 ) ( 1 , 3 ) ( 0 , 6 ) ( 0 , )72 O x2y7 3 x y 6 A B P C A B P C h 3 0 ° 4 5 ° 1 0 0 0(
C
)12. 在坐標平面上,若兩平行線
2x4y k與
x 2y4的距離為
20,且
k0,則
k ? (A)8 (B)10 (C)12 (D)28。
解 x 2y 24 x4y 兩平行線為 28 x4y k 與 2x4y 8 由兩平行線距離公式知: | 2( 8) |2 20 2 4 k d |k 8 | 20 k 12或 (不合∵28 k ) ∴0 k12(
B
)13. 在坐標平面上,若兩直線
L1:
my2x1與
L2:
2y3x1互相垂直,則
m?
(A)
3 4 (B)
3(C)
4 3 (D)
1。
解 L : 21 x my 的斜率1 0 1 2 m m ,L : 32 x2y 的斜率1 0 2 3 2 m ∵二直線互相垂直 m m1 2 2 31 1 2 m ∴m 3(
C
)14. 在坐標平面上,若圓
x24x y 26y k 0與
x軸相切,則
k ? (A)
6(B)
2 (C)4 (D)8。
解 x 軸的方程式為y ,以0 y 代入圓方程式 0 x2 4x k ∵圓與 x 軸相切0 ∴方程式有相等實數解 判別式D42 ∴4 k 0 k4(
C
)15. 若 a , b 為方程式
29 5
1 2
7 2
0
3 1
x
x
x
的二根,則
a2b2 ? (A)9 (B)11 (C)13
(D)15。
解 2 9 5 1 2 7 2 0 3 1 x x x 7x215(1 2 ) 18 x x35x9(1 2 ) 6 x x2 0 x25x 6 0 (x2)(x 3) 0a,b 為 2,3 ∴a2b2223213(
A
)16. 若 無 窮 等 比 級 數
2
24
38
42
3
x
x
x
x
, 則
x? (A)
2 7(B)
1
2
(C)
1
3
(D)
3
5
。
解 公比 2x2 2x x 2 1 2 3 x x 2 4 x3x ∴ 2 7 x(
D
)17. 若數列
a1,
a2,
a3,
,
an的第
n項
2
3
na
n
,則
a1a2 a3 a20之值為何?
(A)106 (B)
320
3
(C)
520
3
(D)140。
解 1 2 3 a , 2 4 3 a , 2 6 3 a , 2 8 3 a , 20 40 3 a 公差為 2 3的等差數列 由 ( 1 ) 2 n n n S a a 20 20 2 40( ) 140 2 3 3 S (
A
)18. 在坐標平面上,若
ABC三頂點坐標分別為
A(4,5),
B(5, 2),
C(1,1),則
A?
(A)
45(B)
60(C)
120(D)
135。
解 設 A
,∵ A B (1, 7) , A C ( 3, 4) cos A B A C A B A C 2 2 2 2 1 ( 3) ( 7) ( 4) 1 ( 7) ( 3) ( 4) 25 1 25 2 2 (∵ 0A 45 A 180 )(
A
)19. 設
a (2,3),
b ( 3,5)與
c ( 1, )k是平面上三個向量,且「‧」表示二個向量
的 內 積 。 若 (
a b ) ( a 2 b c ) 17, 則
k ? (A)10 (B)11 (C)12
(D)13。
解 | a | 132 , | b |234, a b , a c9 2 3k, b c 3 5k ( a b ) ( a 2 b c ) 17 | a |2 2 a b a c a b 2 | b |2 b c 17 13 2 34 9 ( 2 3 ) (3 5 ) 17 k k 8k63 17 ∴k10(
B
)20. 有一個地區街道線段如圖,現在甲君擬從
點 S 走到點 T;如果規定甲君必須沿著街道
向東或向南行走,則會有多少種不同路線
的走法? (A)44 (B)52 (C)74 (D)95。
解 依加法原理可知:由點 S 走到點 T 共有 52 種方法 S T 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 5 1 1 1 4 5 1 6 1 5 5 5 1 0 2 6 1 6 1 1 1 6 2 6 5 2 1(
C
)21. 已知有一個以 1 為首項的等比數列: 1, (
a b
,
)
2(
a b
)
,
(a b )3,
,則此數列的
第幾項之展開式中含有
4 335a b ? (A)第 6 項 (B)第 7 項 (C)第 8 項 (D)第 9
項。
解 (a b )n展開式中的「一般項」為 n n r r r C a b 依題意令 n n r r r C a b 35a b 4 3 r ,3 n ,7 7 3 35 C ∴(a b )7 為該等比數列的第 8 項(
D
)22. 袋中有大小完全相同的 10 個球,其中 6 個紅球、4 個綠球。假設每一個球被取出
的機會均等,現在從袋中任意取出 3 個球(同時取出),並規定:取出之 3 個
球中,恰好出現一個綠球之彩金為 10 元,恰好出現二個綠球之彩金為 20 元,
三個都是綠球之彩金為 30 元時,則期望值為何? (A)4 元 (B)6 元 (C)8 元
(D)12 元。
解 E P m 1 1P m2 2 P m3 3 4 4 6 4 6 3 1 2 2 1 10 10 10 3 3 3 10 20 C 30 C C C C C C C 60 36 4 10 20 30 12 120 120 120 (元)(
A
)23. 含甲、乙等共有 10 人,今從中任選 3 人參加比賽。假設每人被選出的機會均等,
則甲與乙二人同時被選出參賽的機率為何? (A)
1 15(B)
2
15
(C)
3
15
(D)
4
15
。
解 甲與乙二人同時被選出的機率為 2 8 2 1 10 3 8 1 120 15 C C P C