1-1  邏輯的基本概念

[ 多 ][- ． ] 選題 邏輯的基本概念 .已 P 為Q 的 ,Q為 R 的 ,R為 S 的 ,S為Q 的 , 則 ?(A)P 知 件分條充 要條件充 條件要必 要條件必 下列何者正確 為R 的 (B)Q 為 S 的 (C)Q 為 S 的 (D)P為 S 的 (E)Q 為 充件條分 條件分充 必條件要 充要條件 S 的 . 充要條件 　 ABCD 解答： .設 R 為 , 函 f:RR, 且 f(x)= 實數集 數 定義如下 3 x 3 x 3 3 x 1 x 3 1 x 5 x 2               當 當 當 , 則 ? 下列選項何者正確 (A)f(1)=0 (B)f(5)=10 (C)f(4)=11 (D)f(f(1))=1 (E)f(f(5))=19 . 　 ABCDE 解答： .下 (A) 三 (B) 三 280° (C) 何列為真？述敘者 邊三於第和邊兩的形角大 角形的三內角和等於 平 (D) 平 (E) 邊的兩對角線等長四行形 線分平相互邊角對兩的形四行 直 角三角形的斜邊等於兩股的和。 　 AD 解答： .下 (A)2+2=4 或 1+2=3 (B)2 ＞ 3 或 3 ＞ 2 (C)2+1=4 且 1+3=4 (D)32 且33 列各敘述何者真確？ (E) 若 1+3=4 ， 2+5=6 。 則 　 ABD 解答：

.設 P 表 a,b,c成 ”，Q 表 a+c=2b”， (A)PQ (B)QP 述敘“ 列數差等 述“敘 者？確真各何題命列下

(C) ～ P ～ Q (D) ～Q～ P (E)PQ(PQ 且 QP) 。 　 ABCDE 解答： .下 (A)(PQ)Q (B)(P ～ Q)Q (C)( ～ PQ)( PQ) (D)(P ～ Q)( ～ 列命題何者恆真確？ PQ) (E)(PQ)PQ 。 　 AE 解答： .下 (A)9>9 或 9>7 (B)0<0 且 0>0 (C) 若－ 2<x<3 ， 1<x<7 (D) 設 a 、 b 列敘述何者為真？ 則

皆 a+b<0， a<0 或 b<0 (E) 將 17 為實數，若 則

個 5 人 的有一班被分到班插至生人數不少於少則插入班生全部任意分甲，、乙、丙、丁四班 。 　 AE 解答： .設 p,q,r三 p ： 一知已，屋住同人三丙乙甲 ？真為者何下列，真為述敘則 ，屋在丙則都外屋在乙甲若外 q ： r ： (A) 若 (B) 屋若，則乙在屋內在甲內 外屋乙在，若外則丙在屋 丙在屋，則甲乙都在屋內內 若 (C) 若 (D) 在屋甲內屋在都乙則，內丙 丙外屋在都，甲則外屋在乙 乙 (E) 不 。 人在必二丙屋外同內屋在同或 外人有都必屋內屋時何論 　 BCD 解答： .設 m,n 為 , 且 m>n, 而x=_m2 _n2 _,y=2mn,z=m2 _+n2 _{, 譬 m=2,n=1, 則} 數整正意任 _如說

x=3,y=4,z=5, 則 , 今 ?(A)x<y (B)x+y>z (C)x,y 各述成立列下敘 般立成恆形情敘一在述些中其問那

中 4 的 (D)x,y 中 3 的 (E)x,y,z 中 3 的 . 必為有一數 倍數 為數一有必 倍數 必有一數為 倍數

　 BCDE 解答：

(D)a(a-b)=0 　 (E)a+b=0 。

　 ABCDE 解答：

.下 (A) 任 60° 　 (B) 敘？述列　各真為者何 少於小角個一有的至中角內△一意個

平 (C) 等 (D)a,b,c 為 四分邊行　長等且平相互線角對的形 邊　形邊四角等是即形邊四 實數，若

a=b ， ac=bc 　 (E) 若 A(B∪C) ， AB 或 AC 。 則 則

　 ADE 解答： .建 100 公 , 選 A 、 B 、 C 、D 、 E 中運動會 尺田徑決賽中 手 五 B 第 A 得決取猜甲：測猜的下如了作次名的們他人賽權。裁判甲、乙、丙、丁、戊對 二、 第 A 第 E 第 C 第 D 第 B 第 E 第 D 第 C ；三猜乙 、一 猜四；丙 三、 丁猜；五 、二 四；戊猜 一、 第 (A) 第 C 　 (B) 比賽。　是次名確正其得推可則，半二對結果公佈發現五位裁判都只猜一 一名為 第 B 　 (C) 第 A 　 (D) 第 E 　 (E) 第 D 。 為名二 三名為 四名為 五名為 　 CDE 解答： .運 3 男 (A 、 B 、 C)3 女 (X 、Y 、Z)參加 術派各動體、育美、樂音，中會 接力賽；傳遞方法： A→X ， B→Y ， C→Z 三 A 著 Y 三種、知已女服男運。三著綠各動紅、藍、 紅，他對穿綠色的色 女 說 ： 」傳棒不可傳錯了！下待列敘述何者正確？會，「我妳有沒有注意到，們同每隊選手服裝都不相　 (A) Ｘ (B) Ｂ (C) Ｚ (D) Ｃ (E) 以 。 色著紅　 藍著色　 著色　綠 著綠色　 上皆非 　 BD 解答： .下 P 為Q 之 (A)a,bR ， P ： Q ： 何者列 充分條件？　 似，三相形角兩 兩三角形全等　

(B)a,b,cR， P ： a2_{+b<0 ，Q ： x}2_{-ab-b=0 無 (C)a,b,cR， P ： a=b=c=0 ，Q ： 實根}

a2_+b2_+c2_{+ab+bc+ca=0 　 (D) 直 ABC 中 P ：M為 Q ：MA =MB =MC 　 角△ ， ，點中邊斜}

(E)a,bN ， P ： ab 為 Q ： a 、 b 均 。 偶數， 為偶數

　 D 解答：

.有 ? (A)l 、m





的 (C)a、b





b0 的 (E)a 、b



　 ACE 解答： [ 單 ][- ． ] 選題 邏輯的基本概念 .欲 A 則 B” 成 (A) 若 A 則 B (B) 若 B 則 A (C) 若“明命題證 ？立成題命者何下明證是就，立列 ～ ～ ～ 若 B 則 A (D) 若 B 則 A (E) 若 B 則A 。 ～ ～ ～ 　 C 解答： .下 (A) 設 a 為 a ＞ 0 為_a2 _{＞0 的 (B) 設 a,b 為 a ＞ b} ？確何各正者述列敘 ，數實 _{必要條件 實數，} 為_a2 _b2 _{的 (C) 設 a,b 為 a=b 且 b=0 為a}2_abb2_{0 的 (D) 件充分條 ，數實 必要條件} 四 (E) 設 a,b 為 ab ＞ 0 為 之對形件條要充的形邊四行平一邊構角線互相平分是使四邊形成 實數， a ＞ 0 且 b ＞ 0 的 。 充分條件 　 D 解答：

x+2y=5 」 x,y 是 2x+y=5 」 (3) 梯 ABCD中 AB //CD ， 「是 實數， 非的。充件條要非分必 形 ， 「E,F 是AD ，BC之 EF //BD 」 (4) 圓 A,B,C,D ， AB // 是「中點」 充要條的。件 上四點 「 CD 」 AC =BD 」 (5) 「 a,b 是 a2-4b=1 」 a 「是 條要。充的件 整數， 是「 為 (A)(1)(2)(3)(4) 　(B)(2)(3)(4)　 (C)(1)(2)(3)(4)(5) 　 (D) 數敘　有的確正述上」奇。件條要充的以 (1)(3)(4) 　 (E)(1)(2)(4)(5) 。 　 E 解答： [ 填 ][- ． ] 充題 邏輯的基本概念 .請 , 『 , 『 , 『 , 非以要』分『必充 』分充非要必 要』充 非充分亦非必要』 等 : 三 ABC中 , (1)BC 的 AD = 填入適當得擇格一中詞空列下 形角 中線 2 1 BC是 ABC 為 _________ 條 . (2) 2 直角三角形的 件 AB +AC2=BC2是 ABC為 ________ 條 . 三角形的角直 件 四 ABCD中 , 兩 AC 與BD (3) 四 ABCD為 _________ 邊形 為線角對 是角是直都角頂個 正方形 條 .(4) AC 與BD 互 ABCD為 __________ 條 .(5) 一 ABCD 件 是直垂相 形的菱 件 雙對角互補是 共 __________ 條 .(6) 圓 ABCD是 圓的 件 的內接平行四邊形 矩 形的 _________ 條 . 梯 ABCD中 , 件 形 (7) 兩 底 個 角 相 等 梯形的 的形梯 是 等 腰 ________ 條 .(8) 圓 腰 ___________ 條 . 件 是等形梯內的接 件 　 , 充 , 必 , 必 , 充 , 充 , 充 , 充 充要：答解 分必要非 充分非要 非充分要 要 要 要 要

.命 ABC中 , 若 A=90,則 ABC為 , 則 (1) 此 題『三角形 直角三角形』

命 設是 題 是 假 _______________

__. 此

命 命 立成 命 題為命 題 題 題 是 是 的 論結是 _______________.(2) 此 否 ?______.(3)此 逆 _________

_____________.(4) 此

命 命題是 成立 題 的 逆 否 ?______.

　  A=90,ABC 為 , 成 , 若 ABC為 , 則 A=90,不 解答： 角形三角直 立 直角三角形 成立

.給 定 命 是設 一 題 命 是 的形四邊角四是都角題『直頂個 ABCD 為 , 則 (1) 此 假 _______________ 形方正』 ___. 此 命 命 立成 命 題為命 題 題 題 是 是 的 論結是 __________________.(2) 此 否 ?______. (3) 此 逆 ___ __________________________. (4) 此 命 命題是 成立 題 的 逆 否 ?_____.

　 ABCD 的 , 四 ABCD 為 , 不 , 四 ABCD 為 , 形四解答邊： 四頂點都是直角個 邊形 形正方 成立 邊形 正方形

則 , 成 四個頂角都是直角 立

.『 x=3y 且 2xy=15 , 則 x=9 且y=3.』 逆 若 的

命 題 是 ______________________________. 又 此逆 命 題 是 成立 否 ?_____.

　 x=9 且y=3,則 x=3y 且 2x-y=15, 成 解答：若 立

.設 a,b 為 , 則 (1) a>0 且b>0 是 ab>0 的 ______ 條 .(2) a>0 或b>0 是 ab>0 的 _____ 條 .(3) 實數 件 件

a=b=0是a b 0 _{的 ______ 條 .(4) a+b=0 是}a b 0 _{的 ______ 條 .(5) a}2 _b2_{是a=b 的 _ 件 件}

______ 條 .(6) a2_b2 _0 _{是a  b 0 的 ______ 條 .} 件 _件

　 , 非 , 充 , 必 , 必 , 充 解答：充分非必要 要必非亦分充 要 要非充分 要非充分 要

.設 x,y 為 , 則 (1) x=3 是x2 _2x_3_0 _{的_______ 條 .(2) x<3 是x}2_{2x30 的 ______} 數實 _件

條 .(3) x>3 是x2_2x_3_0 _{的_____ 條 .} 件 _件

　 , 必 , 充 答充分非必要解： 分要充非 分非必要

.設 x,y 皆 , 則(1) x>2或 y>3 是xy>6的 ______ 條 .(2) x>2 且 y>3 是xy>6的 _____ 條 .(3) 為實數 件 件

0<x<2 或 0<y<3 是xy<6的 _____ 條 .(4) 0<x<2 且 0<y<3 是xy<6的 ______ 條 . 件 件

.設 x,y 為 , 則 (1) x>y 是_x2_{ y}2 _{的 ______ 條 .(2) x>y 是x}3 _y3 _{的 ______ 條 .(3) x>y 是} 實數 _{件 件}

4 4 _y

x  的 ______ 條 .(4) _x2 _{ y}2_是x4 _{ y}4 _{的 ______ 條 .} 件 _件

　 , 充 , 非 , 充 答非充分亦非必要解： 要 分亦非必要充 要

.設 x,y 皆 , 則 (1) x>1 或 y>1 是x2_y2_2 _{的 ______ 條 .(2) x>1 且 y>1 是x}2_y2_{2 的___} 數實為 _件

___ 條 . 件

　 , 充 解答：非充分亦非必要 分非必要

.試

就 （ 亦或充分非非必要： 下 列 要必且分充或分充非入各問題，適當填充要分非必要或必 要 ）充 (1) 設

a,b,c為 a>b” 為 a+c>b+c” 的 ____________ 條 (2) 設 a,b 為 ab=0” “，數實 “ 件。 實數，“

為 a=0 且 b=0” 的 _____________ 條 (3) 設 a,b 為 a=b” 為 ab” 的 __________ “ 件。 實數，“ “

條 (4) 設 a,b 為 件。 實數，“

｜ ” 為 “ a ｜ > ｜ b ｜ a>b” 的 _____________ 條 (5) 設a,b,c 件。

為 a+b+c≠0,“a3_b3_c3 _3abc _{” 為 a=b=c” 的 ____________ 條} 實且數 _{“ 件。}

　 1. 充 2. 必 3. 充 4. 非 5. 充 答：解 要 要非充分 分要必非 充分亦非必要 要

.判

斷 子 列下 題中， P 為Q 的 A,B,C,D 填 A 表 ,B 各 條件？以種何 中其，中格空入 “充分非必要”

表 ,C表 ,D表 ______(1) 設 a,b 為 P ：a>b,Q ： 充”非要“必分 “充要” 要。”分必非亦充非“ 實數，

2

a >_b2 _{， ______(2) 設 a,b 為 P ：a+b>0且 ab>0,Q:a>0 且b>0 ， ______(3) 設 a,b 實數，}

為 P ：_a2_b2 _{=0,Q ：a=b=0， ______(4) 設 a,b 為 P ： ab=0,Q ：a=0 或} 實數， _實數，

b=0 ， ______(5) 設a,b,c為 P ： ac=bc,Q ：a=b 。 實數，

　 D,C,C,C,B 解答：

.a,bR ， a=0 且 b=0” 為 a2_-ab+b2_{=0” 的　 條} 則“ “ _件。

（ ） 填充分， 必 要 或充要 　 解答：充要 .命 ABC 中 AB =AC ， ABC 是 腰 題“△ ，若 則△ 等 三 角 形 命題是 真確？ ” ， 其問 否 否 　 。 　　 （ 填 真 ， 代號 T （ ） F （ 假）） 　 F 解答： .設 a,bR 則|a|+|b|=|a+b|之 　 。 充要條件為 　　 　 ab≧0 解答： .班 50 位 學 上 同 發 動 自 、 、 三 款 種 921 賑 每， 100 元 200 元 300 元 中一擇項 捐款 ，則“至少”有 災 人 位 學 同 其 捐款 數相同。 　 17 解答： .xR， 原 命題 x>3 ， ： 則 若 x 3 <1 （ 真 ； 其 命題， 判 真 ） 試寫出 否 並 斷 偽否 命題： 　 。 　　 　 x≦3則 解答：若 x 3 ≧1 （ 偽） .x,yR ， x=1 為 x2+y2=2(x-y-1) 之 則 什 條件？ 充 ） 麼 分 ， 必要，充要，皆不是 　 （ 。 　　 　 解答：必要 .寫 命題 對 ” 逆 出 “ 角互相垂直平分線 的 菱 形 命 題 　 。 　　 　 平菱為形邊四的分直解垂相互線角對：答形 .若 a,b 皆 a,b 之 整數 為偶數則 和必為偶數， 此 原 命為真，題 否 判 真 偽其 試寫出原 之題命 題 並命 斷 　 。 　　 　 a,b 不 a,b 之 假（） 數整解若：答 皆為偶則數 和不為偶數

.「 P 、Q 、 R 三點 滿 足 PQQR QR 」為 P 、Q 、 R 三點 　 「 何？件條種直的」上線一在 　　 （ 充 ） 分 、 必要、充要、皆不是 。 　 解答：充分條件 .x+y=0 為 x=y=0 之　 條 　　 件。 　 解答：必要

.a,b,c為 a+b>c 」 a,b,c是 　 條 正數，「三 為「 長之形邊三角三 　　 件」。

　 解答：必要 .a,b 為 a>b 是 a2_>b2 _{之　 條} 實數，則 _件。 　 解答：非充分非必要 .a>0 且 b>0 是 ab>0 之　 條 　　 件。 　 解答：充分 .命 題“若我 能 考 上大 學 學很強 逆 命否 為題 ，則我的數 。之” 　 。 　　 　 學 解答：若我的數 不 能考 上大 學 很強 則我不 .a>b 為 a2_>b2 _{的 條 件。} 　 解答：非充分非必要 [ 綜 題 ][- ． ] 合 邏輯的基本概念 .已 原 知 命 題 為 “ 設 a,b 為 _a2 _+b2 _{>0 ， a≠0或} 實數，若 _則 b≠0” ， 試 逆 轉 逆轉 命題， 判 真 偽其 寫 出 其 命題， ，題命 並 斷 ？ 　 略 解答：

.設 x,y 為 4x+3y=11 ， 2x－3y≠1”為 實數，命題“若 則

偽 求 ， _x2 _+2y2 _{= ？} 　 6 解答： .設 p,q 為 求 實數， 證 ： _但 p+q<1為 _x2 _{－px－ q=0 無 件條分充非。} 程式方 _{要條件，的根實必} 　 略 解答： .設 a,b 為 正實數， 試 證：“ a=b” 為 ab “ 2 b a   ” 的充要條件。 　 略 解答： .設AB ,CD為 O 的 弦 圓 兩 ， 別 “ “ M、N 分 為AB ,CD的 AB>CD”為 OM< ：證試點中， ON ”的 充要條件。 　 略 解答：

.設a,b,c為 a≠0， _b2 _{－ 4ac>0” 為 ax}2 _{+bx+c=0 有 異} 且數實 明：證“ _{程式“方 相}

二 實

根 ” 的 充要條件 。