高中數學科差異化評量—100學年度高二上第2次定期考

高中數學科差異化評量—100 學年度高二上第 2 次定期考

1.5.1 三角函數值表 基礎級試題 1.5.1 三角函數值表 精熟級試題 1. 莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球。在上午 10:00 熱氣球的 仰角為30，到上午 10:10 仰角變成34。請利用下表判斷到上午 10:30 時，熱氣球的仰角最接近下列哪一個度數？ (1)39 (2)40 (3)41 (4) 42 (5)43  30 34 39 40 41 42 43 sin 0.500 0.559 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682 cos 0.866 0.829 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731 tan 0.577 0.675 0.810 0.839 0.869 0.900 0.933 參考答案：(3) 出處：102 年學測 1.5.2 平面與立體測量 基礎級試題 1.5.2 平面與立體測量 精熟級試題 1. 某機場基於飛航安全考量，限制機場附近建築物從機場中心地面 到建築物頂樓的仰角不得超過8。某建築公司打算在離機場中心 3 公里且地表高度和機場中心一樣高的地方蓋一棟平均每樓層高 5 公尺的大樓。在符合機場的限制規定下，該大樓在地面以上最 多可以蓋＿＿＿＿＿層樓。

［參考數據：sin 8 0.1392，cos 8 0.9903，tan 8 0.1405］ 參考答案：84 出處：95 年指考數乙 1. 某人在O點測量到遠處有一物作等速直線運動。開始時該物位置 在 P 點，一分鐘後，其位置在 Q 點，且POQ 。再過一分鐘90 後，該物位置在 R 點，且QOR  。請以最簡分數表示30 2 tan (OPQ) ＿＿＿＿＿。 參考答案：3 4 出處：91 年指考數甲

2. 平面上有 A 、 B 、C三點。已知 B 、C之間的距離是 200 公尺， B 、 A 之間的距離是1500 公尺，ACB等於 60°。請問 A 、C之 間距離的最佳近似值是哪一個選項？ (1)1500 公尺 (2)1600 公尺 (3)1700 公尺 (4)1800 公尺 參考答案：(2) 出處：92 年指考數甲 3. 假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里。兩條筆直的 公路交於丁鎮，其中之一通過甲、乙兩鎮而另一通過丙鎮。今在 一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為45，則丙、丁兩鎮間 的距離約為多少公里？ (1)24.5 公里 (2)25 公里 (3)25.5 公里 (4)26 公里 (5)26.5 公里 ［參考數值： 62.449］ 參考答案：(2) 出處：98 年學測 4. 郭和想測量風景區大佛的高度，首先他在與佛頂部仰角恰為 30 的地面 A 點處做上記號，接著面對著佛像前進 30 公尺到仰角恰 為 45的 B 點，則繼續前進 公尺後可與佛頂部仰角恰為 60。 參考答案：10 3 出處：安樂高中 2. 在與水平面成10的東西向山坡上，鉛直（即與水平面垂直）立起 一根旗竿。當陽光從正西方以俯角60平行投射在山坡上時，旗 竿的影子長為 11 公尺，如圖所示（其中箭頭表示陽光投射的方 向，而粗黑線段表示旗竿的影子）。 試問旗竿的長度最接近以下哪一選項？ (1)19.1 公尺 (2)19.8 公尺 (3)20.7 公尺 (4)21.1 公尺 (5)21.7 公尺 ［參考數值：sin10 0.174，sin 20 0.342， cos10 0.985，cos 20 0.940， 3 1.732 。］ 參考答案：(3) 出處：97 年指考數甲 3. 一架離地面h公尺的消防直昇機發現地面正西方俯角60的 A 處 有火警發生。在同一瞬間，另一架直昇機在消防直昇機垂直下方 200 公尺處發現在東30南方位、俯角45的地面 B 處有消防車。 已知 ,A B 相距 200 公尺，則h＿＿＿＿＿。 (直昇機一瞬間下降 200 公尺的情境有些危險) 參考答案：1800 7 出處：新竹高中

y x 1 L 2 L 3 L 4 L 5 L 5. 某人隔河測一山高，在 A 點觀測山時，山的方位為東偏北60， 山頂的仰角為45，某人自 A 點向東行 600 公尺到達 B 點，山的 方位變成在西偏北60，則山有多高？答：＿＿＿公尺。 參考答案：600 出處：91 年學測 6. 小白、小玉、阿聖相約要測量操場上旗竿的高度，且三人分別站 在與旗竿距離相同的相異三點 A 、 B 、C量測。若BAC 30 , 4 BC  公尺，且由 A 點測得旗竿頂端的仰角為60，則旗竿的高 度為多少公尺？ (1) 16 公尺 (2) 8 公尺 (3) 4 3 3 公尺 (4) 4 3 公尺 (5) 4 公尺 參考答案：(4) 出處：金門高中 2.1.1 點斜式 基礎級試題 2.1.1 點斜式 精熟級試題 1. 如圖，坐標平面上 5 條直線L a x₁: ₁    ，y b₁ 0 2: 2 2 0 L a x y b  ，L3:a x3    ，y b3 0 L4:a x4  y b4  ，0 5: 5 5 0 L a x   ，則下列各數中何者最大？ y b (1)a₁ (2) a₂ (3)a₃ (4)a₄ (5)a₅ 參考答案：(4) 出處：新竹高中 1. 設 (1, 1), (3, 5),A B C(5, 3),D(0, 7), E(2, 3) 及 (8, 6)F  為坐標平面 上的六個點。若直線 L 分別與三角形ABC及三角形 DEF 各恰有 一個交點，則 L 的斜率之最小可能值為＿＿＿。 參考答案：3 出處：101 年學測 2. 試問共有多少個正整數n使得坐標平面上通過點 (A n, 0)與點 (0, 2) B 的直線亦通過點 (7, )P k ，其中k為某一正整數？ (1) 2 個 (2) 4 個 (3) 6 個 (4) 8 個 (5)無窮多個 參考答案：(4) 出處：96 年學測

2. 若一直線的斜率為 2 ，且在兩軸的截距和為 10，則此直線方程 式為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 參考答案： 6x3y20 出處：義大高中 3. 若一直線過點 ( 4 , 6) 且不通過第一象限，並與兩坐標軸所圍成的 三角形面積為 2，則此直線方程式為＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 參考答案： 9x4y120 出處：義大高中 2.1.2 兩線關係、聯立方程式 基礎級試題 2.1.2 兩線關係、聯立方程式 精熟級試題 1. 長方形ABCD中， (1, 2), (3, 5)A B ， D 在第二象限內。若 1 2 AB BC，則 D 點坐標為＿＿＿＿＿。 參考答案： ( 5, 6) 出處：新竹高中 2. 坐標平面上四條斜直線圍出一矩形，四線斜率分別為 m1、m2、 m3、m4且 m1  m2  m3  m4，請選出正確的選項。 (1) m1 × m2 ＝－1； (2) m2 × m3 ＝－1； (3) m1＋m2＋m3＋m4＝0； (4) m1 × m2 × m3 × m4 ＝1 (5) m2＜0 且 m3＞0。 參考答案：(2)(4)(5) 出處：新店高中 1. 如圖，正方形ABCD靠在 ,x y 軸上，其中 A 在x軸上，B 在 y 軸上。 已知 (7, 0), (0, 24)A B ，若 B 點沿 y 軸下滑 4 單位至 '(0, 20)B 時， A 點也沿著x軸往右滑至 'A ，則C點在正方形滑動後的坐標為＿＿ ＿＿＿。 參考答案： (20, 35) 出處：安樂高中 x y A B C D O

3. 設坐標平面上一點 (2,A  及一直線 : 23) L x3y  ，則過 A 點6 0 且平行於直線 L 的直線方程式為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 參考答案： 2x3y 13 出處：竹南高中 4. 坐標平面上，點 ( 2, 5)P  對於直線 2x   的對稱點之坐標為y 6 0 ＿＿＿＿＿。 參考答案： (2, 7) 出處：金門高中 5. 若聯立方程式 2 4 0 3 x y c x by         有無限多組解，則數對 ( , )b c  ＿＿ ＿＿＿。 參考答案： ( 2, 6)  出處：竹南高中

2. 如圖，BAC  30 , 60BCA ，ACD為正三角形，且直線AC 斜率為 1，若直線AB BC CD DA 之斜率分別為, , , m m₁, , , ₂ m₃ m ，₄ 請選出正確的選項。 (1)m m_{1 2}   1 (2)m₂ m₄ (3)m₁ 2 3 (4)m1m2  0 (5)m1m3 。 0 參考答案：(1)(2)(3)(4) 出處：北一女中 3. 坐標平面上有兩條平行直線。若它們的x截距相差 8， y 截距相 差 6，則這兩條平行直線的距離為＿＿＿＿＿。 參考答案：24 5 出處：竹南高中 4. 矩形ABCD中，對角線AC的斜率與 AD 的斜率相乘為 1，且 3, 4 CD AD ，則CD的斜率為＿＿＿＿＿。(兩個答案) 參考答案：2 或 1 2  出處：臺中二中 5. 在坐標平面上，一道光線通過原點O後，沿著 y 軸射向直線 1 : 1 2 L y x ，碰到直線 L 後，假設光線依光學原理(入射角等於 反射角)反射後通過x軸上的 R 點，則 R 點的x坐標為＿＿＿＿。 (化成最簡分數) 參考答案：4 3 出處：92 年學測補考 x y A B C D

2.2.1 二元一次不等式 基礎級試題 2.2.1 二元一次不等式 精熟級試題 1. 滿足不等式x0，y ，0 x2y，3x4y20之格子點 ( , )x y 有 ＿＿＿＿＿個。 （ ,x y 均為整數之點( , )x y 稱為格子點。） 參考答案：12 出處：義大高中 2. 坐標平面上兩點(4, 1)和(5, 9)在直線 3x   的兩側，其中y k 0 k 為整數。請選出正確的選項。 (1)滿足上式的k最少有 5 個 (2)所有滿足上式的k的總和是 35 (3)所有滿足上式的k中，最小的是 7 (4)所有滿足上式的k的平均是 9 (5)所有滿足上式的k中，奇數與偶數的個數相同 參考答案：(3)(5) 出處：102 年指考數乙 1. 聯立不等式        e dy cx b ay x 3 的圖形如圖，請選出正確的選項。 (1)a0 (2)b0 (3)c0 (4)d 0 (5)e0 參考答案：(3)(5) 出處：竹北高中 2. 設 (5, 6)A ， ( 2, 0)B  ， (1, 2)C  為坐標平面上的三點，若 ( ,P k k1) 為ABC內部一點，則實數k的範圍為___________. 參考答案： 3 5 1_{ }  _k 出處：義民高中 3. 設 (2, 1)A  、 (3, 3)B ，若 AB 與直線 : 2L xmy2m 相交，則實5 數m的範圍為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 參考答案：m3或m 11 出處：竹北高中 x y O

2.2.2 線性規劃 基礎級試題 2.2.2 線性規劃 精熟級試題 1. 在x0，y ，0 x2y50， 4x y 60條件下，則 3x y 的最 大值為＿＿＿＿＿，最小值為＿＿＿＿＿。 參考答案：最大值為 50，最小值為 0 出處：義大高中 2. 有一家客運公司對於連續假期，擬出甲、乙兩種方案來紓解返鄉 旅客，甲方案每趟的人事成本為 5000 元，而其餘的成本為 5000 元，可得利潤 30000 元；而乙方案每趟的人事成本為 7000 元， 而其餘的成本為 13000 元，可得利潤 50000 元。 現預算為：總成本不得超過 510000 元，人事成本不得超過 201000 元，問甲、乙兩方案要各跑多少趟才可以得到最大利潤？而最大 利潤為多少元？ 參考答案：甲方案跑 15 趟，乙方案跑 18 趟才能得到最大利潤為 1350000 元 出處：建國高中 1. 媽媽拿了 160 元給小寶到市場買橘子和蘋果，已知橘子每顆 10 元，蘋果每顆 15 元，媽媽要求小寶購買的蘋果數量至少為橘子的 3 倍，而且橘子和蘋果至少各買一顆。 (1)試以上述條件描繪聯立不等式之圖形。 (2)若媽媽說「兩種水果的總量必須最多，而剩下的錢就當作小寶 的零用錢」，請問小寶該如何購買才能使橘子和蘋果的總數量最 多，而且可以拿到最多的零用錢？（水果數量必須為整數） 參考答案： 10 15 160 3 1 1 x y y x x y             ， 小寶須購 買橘子 2 顆、蘋果 9 顆，零用錢最多為 5 元。 出處：竹北高中

3. 某航空公司想利用 A 、 B 兩型飛機飛航一新航線， A 型飛機每天 可載 50 名乘客， B 型飛機每天可載 80 名乘客； A 型飛機每架需 要有 2 名技師維修， B 型飛機每架也需要有 2 名技師維修； A 型 飛機每架 4 億元， B 型飛機每架 9 億元。若該航線每日最少需載 客 400 名，而基於營運成本考量，最多只能聘用 12 名技師，問 該公司要買 A 、 B 兩型飛機各多少架最為省錢，同時又符合需 要﹖(需列出不等式組、目標函數及作圖求解) 參考答案：買 A 型飛機 2 架， B 型飛機 4 架，成本最省為 44 億元。 出處：基隆女中 4. 一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上由點 (0, 30)A 、 (18, 27) B 、 (20, 0)C 、 (2, 3)D 所圍成的平行四邊形及其內部。已 知目標函數 ax by （其中 ,a b 為常數）在 D 點有最小值 48，則此 目標函數在同個可行解區域的最大值為＿＿＿＿＿。 參考答案：432 出處：100 年指考數乙 2. 已知一個線性規劃問題的可行解區域為四邊形ABCD及其內部， 其中 (4, 0), (8, 10), (6, 14), (2, 6)A B C D 為坐標平面上的四個點。若 目標函數k ax by  （ ,32 a b 為實數）在四邊形ABCD的邊界上 一點 (4, 10) 有最小值 18，則a＿＿＿＿＿，b＿＿＿＿＿。 參考答案：a14，b 7 出處：99 年指考數乙 3. 在一個牽涉到兩個未知量 ,x y 的線性規劃作業中，有三個限制條 件，坐標平面上符合這三個限制條件的區域是一個三角形區域， 假設目標函數為 ax by （ ,a b 是常數），在此三角形的一個頂點 (19, 12) 上取得最大值 31，而在另一個頂點 (13, 10) 取得最小值 23，現因業務需要，加入第四個限制條件，結果符合所有限制條 件的區域變成一個四邊形區域，頂點少了 (19, 12)，新增 (17, 13) 和 (16, 11) ，在這四個限制條件下，請選出正確的選項？ (1) ax by 的最大值發生在 (17, 13) (2) ax by 的最小值發生在 (16, 11) (3) ax by 的最大值是 30 (4) ax by 的最小值是 27 參考答案：(1)(3) 出處：92 年指考數甲

2.3.1 圓的方程式 基礎級試題 2.3.1 圓的方程式 精熟級試題 1. 在坐標平面上S x: 2y22x4y  ，請選出正確的選項。 k 0 (1)若k0，則S為一圓 (2)若k5，則S為一點 (3)若k 5，則S無圖形 (4)若S為一圓，其圓心為 ( 1, 2) (5)若S為一圓且和x軸相切，則k 1 參考答案：(1)(2)(5) 出處：金門高中 2. 下列哪一個選項的數值為圓x2y22x4y 內接正十二邊形0 的面積？ (1)15 (2)15 2 (3)15 3 (4)30. 參考答案：(1) 出處：弘文高中 3. 過兩點A( 2, 1) ， (3, 4)B 且圓心在 y 軸上的圓方程式為＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 參考答案： 2 10 2 85 ( ) 3 9 x  y  出處：基隆女中 1. 在坐標平面上，下列哪些選項的條件恰可決定一圓？ (1)過 (1, 1), ( 1, 1) 且圓心在x軸上 (2)過 (1, 1), ( 1, 1) 且圓心在 y 軸上 (3) (3, 0), ( 1, 2), (5, 1)  三點 (4)過 (5, 0), ( 5, 0), (0, 5), (4, 3)  四點 (5)圓心在直線 2x  上，且與y 3 x軸、 y 軸均相切 參考答案：(1)(4) 出處：新竹女中 2. 如圖，橋面上有一圓拱形建築（即AB為圓的一部分），共有 7 根 垂直支柱，其中圓拱的寬度 AB 為 40 公尺。若相鄰支柱間距離都 是 5 公尺，CD之長為 10 公尺， 則(1)圓弧 AB 所在之圓的半徑為＿＿＿＿＿公尺。 (2)自左邊起第二根支柱 PQ 的長度為＿＿＿＿＿公尺。 參考答案：(1) 25 (2) 5 21 15 出處：新竹女中

A

P

C

B

Q

D

4. 已知( , )a b 為圓C x: 2y24x2y  上的點，則4 0 2 2 (a1)  (b 3) 的最大值為＿＿＿＿＿。 參考答案：64 出處：金門高中 3. 設O為原點， P 點在圓x2y24x8y  上，且4 0 OP長為整 數，則滿足上述條件的 P 點有多少個？ (1)18 (2)16 (3)14 (4)12 個 參考答案：(2) 出處：弘文高中 2.3.2 圓與直線的關係 基礎級試題 2.3.2 圓與直線的關係 精熟級試題 1. 已知圓x2y2ax by 14 與直線0 x2y3c相切於 (5, 1) ，請 選出正確的選項。 (1)a6 (2)b10 (3)c1 (4)半徑為 20 (5)圓心為 (3, 5) 參考答案：(1)(3)(5) 出處：義民高中 2. 坐標平面上，已知圓 2 2 : 4 6 0 C x y  x y k 與x軸相切。 (1)實數k之值為＿＿＿＿。 (2)若圓C又與直線 ymx相切，其中m0﹐則m之值為＿＿＿ ＿。 參考答案：(1) 4 (2)12 5 出處：新竹女中 1. 坐標平面上 (10, 處有一點光源， 4) 將圓C x: 2y28x8y28 投射在 y 軸上的影長為＿＿＿＿。 0 參考答案：5 2 出處：竹北高中 2. 設m為實數。若圓x2 y24x7y10 與直線0 ym x(  在坐3) 標平面上的兩個交點位於不同的象限，而滿足此條件的m之最大 範圍為a m b，則a＿＿＿、b＿＿＿。 參考答案： 2 3 a ， 5 3 b 出處：102 年指考數甲