0926 向量 班級 姓名 座號
一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)
（ ）1.設兩向量a
、b
的夾角為，且|a
|
|
b
|
，|a
b
|
4
，|
a
b
|
3
，則 cos(A)7
25
(B)5
13
(C)3
5
(D)4
5
【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵|
a
b
|
2
|
a
|
2
|
b
|
2
2
a
b
16
又|
a
b
|
2
|
a
|
2
|
b
|
2
2
a
b
9
由
得2(|
a
|
2
|
b
| )
2
25
已知|
a
|
|
b
|
4 |
a
|
2
25
|
|
225
4
a
由
得4
7
7
4
a
b
a
b
∴ 2cos
|
||
|
|
|
a
b
a
b
a
b
a
（∵|
a
|
|
b
|
）7
7
4
25
25
4
（ ）2.在坐標平面上的平行四邊形 ABCD（按順序）中，若AB
(4,8)
、(1, 4)
AD
，則|AC
|
|
BD
|
(A)4 5
17
(B)18 (C)8 5
2 17
(D)36 【099 年歷屆試題.】 解答 B 解析(4,8)
(1, 4)
(5,12)
AC
AB AD
(
)
(1, 4)
(4,8)
( 3, 4)
BD
BC CD
AD BA
AD
AB
AD AB
而|
AC
|
5
2
12
2
13
，|
BD
|
( 3)
2
( 4)
2
5
故|
AC
|
|
BD
| 13 5 18
（ ）3.設a
x
y
,8
，b
2,2
x
y
，若a
b
，則x
y
(A)
2
(B)2
(C)
6
(D)6
【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 a
xy,8
， b
2, 2xy
∵ 2 2 8 x y a b x y 由解得x
2
，y
4
故x y 2
4 6 （ ）4.設AB
的單位向量為(
3 4
, )
5 5
且|AB
| 5
，已知 A(2,8)，則 B 為 (A)( 3,4) (B)(
1 4
, )
5 5
(C)(1, 4) (D)( 1,12) 【龍騰自命題.】 解答 D 解析AB
的單位向量為(
3 4
, )
5 5
|
|
AB
AB
∵|
AB
| 5
∴AB
( 3, 4)
設 B(x,y) 則(x 2,y 8)=( 3,4) ∴ B( 1,12) （ ）5.設 A(1, 3)與 B(2, 2)為平面上兩點，若一向量a
與AB
的方向相反， 且|a
| 1
，則a
(A)(1,1) (B)( 1, 1) (C)(
1
,
1
)
2
2
(D)(
1
,
1
)
2
2
【龍騰自命題.】 解答 D 解析AB
(2 1, 2
3)
(1,1)
∴|
AB
|
2
∴(
1
,
1
)
2
2
|
|
AB
AB
又a
與AB
方向相反 ∴(
1
,
1
)
2
2
|
|
a
a
∵|
a
| 1
∴(
1
,
1
)
2
2
a
（ ）6.若A
3, 4
、B
1, 2
、C
4, 2
為平面上三點，若ABCD
為一平 行四邊形，則D
點坐標為 (A)
2,3
(B)
2, 4
(C)
8,0
(D)
8, 4
【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 A
3, 4
、B
1, 2 、C
4, 2
三點 而ABCD
為一平行四邊形 設D x y
,
，由圖示知：ABDC 即
1
3 , 2 4
4 x, 2y
4, 2
4 x, 2 y
4 4 2 2 x y 得x
8
，y
4
故D
坐標
8, 4
（ ）7.△ABC 中，已知向量AB
( 3, 4)
，AC
( 4,3)
，則△ABC 的周長 (A)15(B)5 6 2
(C)10
2 2
(D)10
2
【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ∵AB BC
AC
∴( 4,3)
( 3, 4)
( 1, 1)
BC
AC
AB
2 2|
AB
|
( 3)
4
25
5
、 2 2|
AC
|
( 4)
3
25
5
2 2|
BC
|
( 1)
( 1)
2
，故△ABC 的周長 5+5+2
10 2
（ ）8.如圖，正六邊形 ABCDEF，對角線交於 O，下列何者不等於AB
？ (A)OC
(B)OF
(C)ED
(D)
BA
【龍騰自命題.】 解答 B （ ）9.設兩平行線 L1：3x y k 0、L2：6x 2y 1 0 的距離為 3，若 k 有兩 解，則此兩解之和 (A)1 (B) 1 (C)0 (D)2 5
【龍騰自命題.】 解答 A 解析 2: 6
2
1 0
2 2: 3
1
0
2
L
x
y
每項除以L
x
y
∴ 1 2 2 21
|
|
1
2
( ,
)
3
|
|
3 10
2
3
( 1)
k
d L L
k
去絕對值1
3 10
1
3 10
2
2
k
k
∴ 此兩解和1
3 10
1
3 10
1
2
2
（ ）10.設P
1,10
，Q
2, 4
，R
1,2
，若兩實數
、
滿 足R
P
Q
，求
之值為(A)3(B)0
(C)
1
(D)
2
【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 R
P
Q
1, 2
1,10
2, 4
2 ,10
4
2 1 10 4 2
得1
3
，1
3
故1
1
0
3
3
（ ）11.設|
a
| 5
，|b
| 2
，且a
與b
的夾角為 120，則a
b
(A)10 3 (B) 5 (C) 2 (D)5
2
【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵a
與b
的夾角為 120 ∴a
b
|
a
||
b
| cos
5 2 cos120
5
（ ）12.若a
3
，b
6
，且a
與b
之夾角5
6
，則a
b
(A)18 3 (B)9 3
(C)
9 3
(D)
18 3
【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 cos150 3 6 3 9 3 2 a b a b （ ）13.如圖，正六邊形 ABCDEF，對角線交於 O 點，設AB
a
，BC
b
，BF
(A)2 a
b
(B)
2 a
b
(C)2 b
a
(D)2 b
a
【龍騰自命題.】 解答 B 解析BF
BO
OF
(
AO
AB
)
BA
（∵AO
BC
，BA
AB
）
BC
AB
AB
b
a
a
b
2
a
（ ）14.設
a
2
，b
3
，a
與b
之夾角為4
，試求2
a
b
(A)5
(B)6
(C)7
(D)8
【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 cos 45 2 3 2 3 2 a b a b ∵ 2 2 a b 2 a b 2 a b 2 2 4 a 4 a b b
8 4 3 9
5
∴2
a
b
5
（ ）15.坐標平面上三點A
102,101
、B
99,97
、C
100,106
所形 成之△ABC面積為(A)7
4
(B)7
2
(C)23
4
(D)23
2
【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析AB
99
102 ,97 101
3, 4
100
102 ,106 101
2,5
AC
則△
ABC
的面積1
3 5
4
2
23
2
2
（ ）16.已知向量a
6,8
且與b
之夾角為60
，則向量a
在b
上 的正射影長為何？ (A)5
(B)7
(C)5 3
(D)10
【105 年歷屆試題.】 解答 A 解析 如圖，a
在b
上的正射影為c
而a
6
2
8
2
10
，則正射影長1
cos 60
10
5
2
c
a
〈另解〉
2 26
8
10
a
a
在b
上的正射影長為cos 60
a
b
a
b
b
b
cos 60
a
b
b
cos 60
a
10
1
5
2
（ ）17.設a
(3, 4)
，b
( 5,8)
，c
(5,6)
，則a
b
c
(A)(3, 10) (B)(3,4) (C)(3,18) (D)(8, 10) 【龍騰自命題.】 解答 A （ ）18.設a
、b
為非零向量，若|a
b
| |
a
|
|
b
|
，則a
與b
的夾角為何？ (A)0 (B)30 (C)60 (D)90 【龍騰自命題.】 解答 A 解析|
a
b
| |
a
|
|
b
|
，兩邊同時平方，則 2 2|
a
b
|
(|
a
|
|
b
|)
又 2 2 2|
a
b
|
(
a
b
) (
a
b
) |
a
|
2
a
b
|
b
|
2 2 2(|
a
|
|
b
|)
|
a
|
2 |
a
||
b
|
|
b
|
∴a
b
|
a
||
b
|
若a
b
夾角 ，則cos
1
|
||
|
a
b
a
b
∴ 可知 cos 1，即 0 （ ）19.設直線L
1: 2
x
y
5
0
，若直線L
2平行L
1且通過原點，則L
1與L
2 的距離為 (A)5
3
(B)5
2
(C)5
(D)2 5
【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 L2平行L1: 2x y 5 0，可設L2: 2x y k 0 又L2過原點
0, 0 ，代入L2得0 0 k 0 0 k 可知L2: 2x y 0 則
1 2
2 2 5 0 5 , 5 5 2 1 d L L （ ）20.已知
a
、b
皆為單位向量且a
與b
的夾角為3
，若a
b
與m a
b
互相垂直，則 m 值為(A)1(B)2(C) 1 (D) 2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵a
、b
皆為單位向量，則|
a
| |
b
| 1
∴|
||
| cos
1
2
a
b
a
b
又 ∵a
b
與m a
b
互相垂直 ∴0
(
a
b
) (
m a
b
)
m a
|
|
2
(1
m
)(
a
b
) |
b
|
21
(1
) 1
1
1
2
2
2
m
m
m
∴ m 1 （ ）21.已知a
(1,3)
，b
(4, 2)
，若|a
t b
|
為最短，則 t 等於 (A)1
2
(B)2 (C) 2 (D)1
2
【龍騰自命題.】 解答 D 解析|
a
|
10
，|
b
| 2 5
，a
b
10
， 2 2 2 2 2|
a
t b
|
|
a
|
2
t a
b
t
|
b
|
10
20
t
20
t
21
1
21
20(
)
20[(
)
]
2
2
4
t
t
t
∴1
2
t
時最短 （ ）22.已知平面上四點坐標為A
(57, 23)
、B
(7, 2)
、C
(5,12)
、D x y
( , )
。 若向量7
3
4
4
AD
AB
AC
，則x
y
(A)
4
(B)
2
(C)2
(D)4
【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析AD
(
x
57,
y
23)
(7 57, 2
23)
( 50, 25)
AB
(5 57,12 23)
( 52, 11)
AC
7
3
4
4
AD
AB
AC
7
( 50, 25)
3
( 52, 11)
4
4
(
350
,
175
) (
156
,
33
)
4
4
4
4
(
97
,
71
)
2
2
由 與 ： 則57
97
2
x
17
2
x
71
23
2
y
25
2
y
故17
(
25
)
4
2
2
x
y
〈另解〉7
3
4
4
AD
AB
AC
4
4
AD
7
AB
3
AC
4(
D
A
)
7(
B
A
) 3(
C
A
)
4
D
7
B
3
C
7(7, 2) 3(5,12)
(49, 14) (15,36)
(34, 50)
4
(
17
,
25
)
2
2
D
17
2
x
，25
2
y
故17
(
25
)
4
2
2
x
y
（ ）23.設 A (2, 3)、B (4, 5)、C (1,3)、D (k,7)，若AB
//
CD
，則 k (A)3 (B) 3 (C)5 (D) 5 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析AB
(4 2, 5 ( 3)) (2, 2)CD
(k 1,7 3) (k 1,4) ∵AB
//
CD
∴2
2
1
4
k
2k 2 8 k 3 （ ）24.設|
a
|
2
，|
b
|
2
，a
與b
的夾角為3
4
，試求a
b
(A)4 (B) 2 (C)3 (D)2 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析|
||
| cos
3
2
2 (
2
)
2
4
2
a
b
a
b
（ ）25.設坐標平面上有A
5, 2
、B
2,3
、C
2,1
三點，求由AB、AC
所形成的四邊形面積為 (A)34
(B)13 (C)20
(D)26
【隨堂測驗.】 解答 D 解析AB
2 5,3
2
3,5
2 2 23
5
34
AB
2 5,1
2
7,3
AC
2 2 27
3
58
AC
3
7
5 3 36
AB AC
面積
