0926 向量解答

全文

(1)

0926 向量 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.設兩向量

a

b

的夾角為,且|

a

|

|

b

|

,|

a

b

|

4

|

a

b

|

3

,則 cos(A)

7

25

(B)

5

13

(C)

3

5

(D)

4

5

【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵

|

a

b

|

2

|

a

|

2

|

b

|

2

2

a

b

16

|

a

b

|

2

|

a

|

2

|

b

|

2

2

a

b

9

2(|

a

|

2

|

b

| )

2

25

已知

|

a

|

|

b

|

4 |

a

|

2

25

|

|

2

25

4

a

4

7

7

4

a

b

a

b

∴ 2

cos

|

||

|

|

|

a

b

a

b

a

b

a

(∵

|

a

|

|

b

|

7

7

4

25

25

4

( )2.在坐標平面上的平行四邊形 ABCD(按順序)中,若

AB

(4,8)

(1, 4)

AD

,則|

AC

|

|

BD

|

(A)

4 5

17

(B)18 (C)

8 5

2 17

(D)36 【099 年歷屆試題.】 解答 B 解析

(4,8)

(1, 4)

(5,12)

AC

AB AD

(

)

(1, 4)

(4,8)

( 3, 4)

BD

BC CD

AD BA

AD

 

AB

AD AB

  

|

AC

|

5

2

12

2

13

|

BD

|

( 3)

2

 

( 4)

2

5

|

AC

|

|

BD

| 13 5 18

 

( )3.設

a

x

y

,8

b

 

2,2

x

y

,若

a

b

,則

x

 

y

(A)

2

(B)

2

(C)

6

(D)

6

【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 a

xy,8

b  

2, 2xy

∵ 2 2 8 x y a b x y           由解得

x

2

y

 

4

x    y 2

 

4 6 ( )4.設

AB

的單位向量為

(

3 4

, )

5 5

且|

AB

| 5

,已知 A(2,8),則 B 為 (A)(  3,4) (B)

(

1 4

, )

5 5

(C)(1,  4) (D)(  1,12) 【龍騰自命題.】 解答 D 解析

AB

的單位向量為

(

3 4

, )

5 5

|

|

AB

AB

 

|

AB

| 5

AB

 

( 3, 4)

設 B(x,y) 則(x 2,y  8)=(  3,4) ∴ B(  1,12) ( )5.設 A(1, 3)與 B(2,  2)為平面上兩點,若一向量

a

AB

的方向相反, 且|

a

| 1

,則

a

(A)(1,1) (B)(  1,  1) (C)

(

1

,

1

)

2

2

(D)

(

1

,

1

)

2

2

【龍騰自命題.】 解答 D 解析

AB

(2 1, 2

   

3)

(1,1)

|

AB

|

2

(

1

,

1

)

2

2

|

|

AB

AB

a

AB

方向相反 ∴

(

1

,

1

)

2

2

|

|

a

a

 

|

a

| 1

(

1

,

1

)

2

2

a

 

( )6.若

A

3, 4

B

 

1, 2

C

4, 2

為平面上三點,若

ABCD

為一平 行四邊形,則

D

點坐標為 (A)

2,3

(B)

2, 4

(C)

8,0

(D)

8, 4

【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 A

3, 4

B

 

1, 2 、C

4, 2

三點 而

ABCD

為一平行四邊形 設D x y

,

,由圖示知:

(2)

ABDC

1 

 

3 , 2 4

  

4 x, 2y

4, 2

 

4 x, 2 y

      4 4 2 2 x y           得

x

 

8

y

4

D

坐標

8, 4

( )7.△ABC 中,已知向量

AB

 

( 3, 4)

AC

 

( 4,3)

,則△ABC 的周長 (A)15(B)

5 6 2

(C)10

2 2

(D)10

2

【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ∵

AB BC

AC

( 4,3)

( 3, 4)

( 1, 1)

BC

AC

AB

 

 

  

2 2

|

AB

|

 

( 3)

4

25

5

、 2 2

|

AC

|

 

( 4)

3

25

5

2 2

|

BC

|

 

( 1)

 

( 1)

2

,故△ABC 的周長  5+5+

2

 10 

2

( )8.如圖,正六邊形 ABCDEF,對角線交於 O,下列何者不等於

AB

? (A)

OC

(B)

OF

(C)

ED

(D)

BA

【龍騰自命題.】 解答 B ( )9.設兩平行線 L1:3x y k 0、L2:6x 2y  1  0 的距離為 3,若 k 有兩 解,則此兩解之和  (A)1 (B)  1 (C)0 (D)

2 5

【龍騰自命題.】 解答 A 解析 2

: 6

2

1 0

2 2

: 3

1

0

2

L

x

y

 



每項除以

L

x

  

y

1 2 2 2

1

|

|

1

2

( ,

)

3

|

|

3 10

2

3

( 1)

k

d L L

k

 

去絕對值

1

3 10

1

3 10

2

2

k

  

k

 

∴ 此兩解和

1

3 10

1

3 10

1

2

2

 

 

( )10.設

P

1,10

Q

 

2, 4

R

 

1,2

,若兩實數

滿 足

R

P

Q

,求

 

之值為(A)3(B)

0

(C)

1

(D)

2

【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 R

P

Q

 

1, 2

1,10

2, 4

 

2 ,10

4

       2 1 10 4 2

      得

1

3

 

1

3

  

1

1

0

3

3

    

 

  

 

  

( )11.設

|

a

| 5

,|

b

| 2

,且

a

b

的夾角為 120,則

a

b

(A)10 3 (B)  5 (C)  2 (D)

5

2

【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵

a

b

的夾角為 120 ∴

a

b

|

a

||

b

| cos

  

5 2 cos120

  

5

( )12.若

a

3

b

6

,且

a

b

之夾角

5

6

,則

a

b

(A)18 3 (B)

9 3

(C)

9 3

(D)

18 3

【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 cos150 3 6 3 9 3 2 abab           ( )13.如圖,正六邊形 ABCDEF,對角線交於 O 點,設

AB

a

,BC

b

BF

(A)

2 a

b

(B)

2 a

b

(C)

2 b

a

(D)

2 b

a

【龍騰自命題.】 解答 B 解析

BF

BO

OF

(

AO

AB

)

BA

(∵

AO

BC

BA

 

AB

BC

AB

AB

b

a

a

b

2

a

(3)

( )14.設

a

2

b

3

a

b

之夾角為

4

,試求

2

a

b

(A)

5

(B)

6

(C)

7

(D)

8

【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 cos 45 2 3 2 3 2 abab       ∵ 2 2 ab2 ab    2 ab     2 2 4 a 4 a b b    

    

8 4 3 9

5

2

a

b

5

( )15.坐標平面上三點

A

102,101

B

99,97

C

100,106

所形 成之△ABC面積為(A)

7

4

(B)

7

2

(C)

23

4

(D)

23

2

【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析

AB

   

99

102 ,97 101

3, 4

100

102 ,106 101

 

2,5

AC

 

 

ABC

的面積

1

3 5

 

4

2

23

2

2

    

( )16.已知向量

a

 

6,8

且與

b

之夾角為

60

,則向量

a

b

上 的正射影長為何? (A)

5

(B)

7

(C)

5 3

(D)

10

【105 年歷屆試題.】 解答 A 解析 如圖,

a

b

上的正射影為

c

a

 

6

2

8

2

10

,則正射影長

1

cos 60

10

5

2

c

a

   

〈另解〉

 

2 2

6

8

10

a

a

b

上的正射影長為

cos 60

a

b

a

b

b

b

cos 60

a

b

b

cos 60

a

10

1

5

2

 

( )17.設

a

(3, 4)

b

 

( 5,8)

c

(5,6)

,則

a

b

c

(A)(3,  10) (B)(3,4) (C)(3,18) (D)(8,  10) 【龍騰自命題.】 解答 A ( )18.設

a

b

為非零向量,若|

a

b

| |

a

|

|

b

|

,則

a

b

的夾角為何? (A)0 (B)30 (C)60 (D)90 【龍騰自命題.】 解答 A 解析

|

a

b

| |

a

|

|

b

|

,兩邊同時平方,則 2 2

|

a

b

|

(|

a

|

|

b

|)

又 2 2 2

|

a

b

|

(

a

b

) (

a

b

) |

a

|

2

a

b

|

b

|

2 2 2

(|

a

|

|

b

|)

|

a

|

2 |

a

||

b

|

|

b

|

a

b

|

a

||

b

|

a

b

夾角 ,則

cos

1

|

||

|

a

b

a

b

∴ 可知 cos  1,即  0 ( )19.設直線

L

1

: 2

x

  

y

5

0

,若直線

L

2平行

L

1且通過原點,則

L

1

L

2 的距離為 (A)

5

3

(B)

5

2

(C)

5

(D)

2 5

【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 L2平行L1: 2x  y 5 0,可設L2: 2x  y k 0 又L2過原點

 

0, 0 ,代入L2得0 0  k 0 0 k   可知L2: 2x y 0 則

1 2

2 2 5 0 5 , 5 5 2 1 d L L      

(4)

( )20.已知

a

b

皆為單位向量且

a

b

的夾角為

3

,若

a

b

m a

b

互相垂直,則 m 值為(A)1(B)2(C)  1 (D)  2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵

a

b

皆為單位向量,則

|

a

| |

b

| 1

|

||

| cos

1

2

a

b

a

b

又 ∵

a

b

m a

b

互相垂直 ∴

0

(

a

b

) (

m a

b

)

m a

|

|

2

 

(1

m

)(

a

b

) |

b

|

2

1

(1

) 1

1

1

2

2

2

m

m

m

 

 

∴ m  1 ( )21.已知

a

(1,3)

b

(4, 2)

,若|

a

t b

|

為最短,則 t 等於 (A)

1

2

(B)2 (C)  2 (D)

1

2

【龍騰自命題.】 解答 D 解析

|

a

|

10

|

b

| 2 5

a

b

10

, 2 2 2 2 2

|

a

t b

|

|

a

|

2

t a

b

t

|

b

|

10

20

t

20

t

2

1

1

2

1

20(

)

20[(

)

]

2

2

4

t

t

t

 

1

2

t

 

時最短 ( )22.已知平面上四點坐標為

A

(57, 23)

B

(7, 2)

C

(5,12)

D x y

( , )

。 若向量

7

3

4

4

AD

AB

AC

,則

x

 

y

(A)

4

(B)

2

(C)

2

(D)

4

【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析

AD

(

x

57,

y

23)

(7 57, 2

23)

( 50, 25)

 

 

AB

(5 57,12 23)

( 52, 11)

 

 

AC

7

3

4

4

AD

AB

AC

7

( 50, 25)

3

( 52, 11)

4

4

(

350

,

175

) (

156

,

33

)

4

4

4

4

(

97

,

71

)

2

2

 

由 與 : 則

57

97

2

 

x

17

2

x

71

23

2

 

y

25

2

 

y

17

(

25

)

4

2

2

 

 

 

x

y

〈另解〉

7

3

4

4

AD

AB

AC

4 

4

AD

7

AB

3

AC

4(

D

A

)

7(

B

A

) 3(

C

A

)

4

D

7

B

3

C

7(7, 2) 3(5,12)

 

(49, 14) (15,36)

(34, 50)

4 

(

17

,

25

)

2

2

D

17

2

x

25

2

 

y

17

(

25

)

4

2

2

 

 

 

x

y

( )23.設 A (2, 3)、B (4, 5)、C (1,3)、D (k,7),若

AB

//

CD

,則 k  (A)3 (B)  3 (C)5 (D)  5 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析

AB

(4  2, 5  (  3))  (2, 2)

CD

(k  1,7  3)  (k  1,4) ∵

AB

//

CD

2

2

1

4

k

  2k  2  8  k  3 ( )24.設

|

a

|

2

|

b

|

2

a

b

的夾角為

3

4

,試求

a

b

(A)4 (B)  2 (C)3 (D)2 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析

|

||

| cos

3

2

2 (

2

)

2

4

2

a

b

a

b

 

 

 

( )25.設坐標平面上有

A

5, 2

B

 

2,3

C

2,1

三點,求由

AB、AC

所形成的四邊形面積為 (A)

34

(B)13 (C)

20

(D)

26

【隨堂測驗.】 解答 D 解析

AB

2 5,3

 

 

2

 

3,5

 

2 2 2

3

5

34

AB

 

 

2 5,1

2

7,3

AC

  

 

 

 

2 2 2

7

3

58

AC

 

  

3

7

5 3 36

AB AC

 

   

(5)

面積

 

2 ABC

2 2 2

1

2

2

AB

AC

AB AC

 

34 58 36

2

676

26

數據

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參考文獻

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