1207 第一二冊解答

1207 第一、二冊 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.已知 cos(   )  cos cos  sin sin，若tan 3 4   ，試求 cos2  (A) 7 25 (B) 7 16 (C) 9 16 (D) 24 25 【091 年歷屆試題.】 解答 A 解析 由題目中tan 3 3 4 4    4 3 x y     _  或 4 3 x y        2 2 4 3 r    或 2 2 ( 4)  ( 3)  255 3 sin 5 y r      ，cos 4 5 x r   

所求 cos2 cos( )  cos cos sin sin cos2 sin2

4 2 3 2 16 9 7 ( ) ( ) 5 5 25 25 25        （ ）2.在坐標平面上，滿足不等式|x|  y  8 的區域面積為何？ (A)16 (B)32 (C)64 (D)128 【094 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ |x|  y  8 0 | | 0 8 8 8 x y x y y x y x y y y y             _   _       _{ }  不等式所成區域如圖所示 （為△OAB）： ∴ 所成區域面積（即△OAB 面積） 1 16 8 64 2     （ ）3.若 tan、tan 為 x2  3x  7  0 的兩根，則 tan(  )  (A) 1 2  (B) 3 8  (C)3 8 (D) 3 7 【092 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ tan、tan 為 x2 3x  7  0 的兩根 tan tan 3 tan tan 7      _{ }     

∴ tan( ) tan tan 3 3

1 tan tan 1 ( 7) 8               （ ）4.設兩向量 a 、 b 的夾角為，且| a || b |， | a  b |4，| a  b |3，則 cos  (A) 7 25 (B) 5 13 (C) 3 5 (D)4 5 【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ | a  b |2| a |2| b |22 a  b 16 又 2 2 2 | a  b | | a | | b | 2 a b 9 由  得 2 2 2(| a | | b | )25 已知 2 | a || b |  4 | a | 25 | |2 25 4 a   由  得4 7 7 4      a b a b ∴ 2 cos | || | | | a b a b a b a     （∵ | a || b |） 7 7 4 25 ₂₅ 4   （ ）5.若直線 L:ax  by  c  0 的圖形如圖，則點 P(ac,ab)在第幾 象限？ (A)一 (B)二 (C)三 (D)四 【093 年歷屆試題.】 解答 D 解析 L:ax  by  c  0 x 截距為 c a  ，y 截距為 c b  由圖示知 c 0 a   且 c 0 b    ac  0 且 bc < 0  a、c 同號且 b、c 異號  a、b 異號，即 ab < 0 ∴ 點 P(ac,ab)為(  ,  )在第四象限 （ ）6.設 a、b、c 為實數，若 2 2 2 1 1 12 1 a a b b c c  且 3 3 3 1 1 156 1 a a b b c c  ， 則 2 2 2 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) a a a b b b c c c        (A)13 (B)144 (C)168 (D)1872 【095 年歷屆試題.】 解答 C 解析

2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 156 12 168 1 1 ( 1) 1 1 1 a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b c c c c c c c c c c                ( 1)   （ ）7.下列何者為多項式？ (A)1 4 x (B) 2x8 (C) 13 5x4 (D) 6 x2 【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 1 4 x 及 13 5x4的 x 在分母中出現，故不為 x 的多項式 又6 x2的 x 出現在根號內，故不為 x 的多項式 ∴ 只有 2x8為 x 的多項式 （ ）8.設 A (  13 ,  19)、B (x , y)為平面上相異兩點。若向量 AB 與 向量 u (5,12)同方向且|AB|26，則 3x  4y  (A)  103 (B)  29 (C)29 (D)103 【100 年歷屆試題.】 解答 B 解析 AB(x ( 13),y ( 19))(x13,y19) ∵ |AB|26， 2 2 | u | 5 12 13 且AB與 u 同方向， ∴ AB2 u  (x  13 , y  19)  2(5 , 12)  (10 , 24)  x  3，y  5 因此 3x  4y  3  (  3)  4  5  29 （ ）9.已知△ABC 中，AB5，BC7，AC8，則下列各內 積中，何者為最大？ (A) AB AC (B) BC BA (C) CA CB (D) AB BC 【093 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 b c a AC AB BC A bc AC AB        2 2 2 | || | cos 2 AC AB BC AB AC AB AC A AB AC AC AB          1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (8 5 7 ) 20 2 AC AB BC 2        同理 1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (5 7 8 ) 5 2 2 BC BA  AB BC AC     2 2 2 _{2 2 2} 1 1 ( ) (7 8 5 ) 44 2 2 CA CB  BC AC AB     ( ) ( ) 5 AB BC  BA BC   BC BA   ∴ CA CB 為最大

（ ）10.在鈍角三角形△ABC 中，設 a、b、c 分別為A、B、 C 的對邊長，若A  30且 :a b1: 3，則C  (A)30 (B)60 (C)120 (D)150 【094 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ a:b  sinA:sinB 又知a b: 1: 3且A  30  1: 3sin 30 : sin B 3 sin 2 B    B  60或 120 當B  60時 C  180 30 60 90（不合，已知△ABC 為鈍角三角形） 當B  120時 C  180 30 120 30 （ ）11.在坐標平面上，設 a，b 為實數，若直線 y  ax  b 通過點 (0,6)與點(3,0)，則 3a  2b  ？ (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 【097 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ 直線 y  ax  b 通過(0,6)與(3,0)兩點 6 0 0 3 b a b      _{ }  6 2 b a       ∴ 3a  2b  3  (  2)  2  6  6 （ ）12.在坐標平面上，若△ABC 之三頂點坐標分別為 A(2,0)、B(4,0) 與 C(4,3)，則△ABC 之三邊上共有多少點與原點的距離恰為整數 值？ (A)2 個 (B)4 個 (C)6 個 (D)8 個 【099 年歷屆試題.】 解答 C 解析 以原點為圓心，作出半徑為 2、3、4、5 的圓 這些圓與△ABC 的邊長共有 6 個交點， 也就是△ABC 之三邊上共有 6 個點與原點的距離恰為整數值

故選(C) （ ）13.在 xy 平面上，P 和 Q 為拋物線 y  x2_{上的兩點，若 P 和 Q} 的 x 坐標分別是  1 和 2，則 P 和 Q 的距離為何？ (A)1 (B)2 (C)4 (D) 3 2 【101 年歷屆試題.】 解答 D 解析 令 x  1 代入 y  x2_{得 y}  ₍  ₁₎2_{1，則 P(}  _{1 , 1)} 令 x  2 代入 y  x2得 y  22 4，則 Q(2 , 4) 故 P 和 Q 的距離 2 2 ( 1 2) (1 4) 18 3 2 PQ      

（ ）14.在△ABC 中，設A、B﹑C 之對應邊長分別為 a、b、 c，若B  120，a  5，c  3，則△ABC 的外接圓面積為何？ (A) 7 3 (B) 49 3 (C) 7 3 (D) 49 3  【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 b2 c2 a2 2cacosB  32 52 2  3  5  cos120 9  25  (  15)  49 49 7 b    又 2 sin b R B 7 2 sin120 R    7 2 3 2 R   7 3 R   ∴ △ABC 的外接圓面積為 2 ₍ 7 ₎2 49 3 3 R      （ ）15.已知 ( ,1)P a 、 ( 1, )Q  b 為平面上兩點。若 P 為直線 : 3 4 2 L x y 上一點，且直線 PQ 與直線 L 垂直，則a b  (A) 7 (B) 9 (C)11 (D)13 【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ P a( ,1)為L: 3x4y2上一點 ∴ 3   a 4 1 2  a2，則P(2,1) 直線PQ的斜率 1 1 2 ( 1) 3       PQ b b m 直線L的斜率 3 3 4 4     m ∵ PQL ∴ m_PQ  m 1  1 3 1 3 4 b_{  }  b5 故a b   2 5 7 （ ）16.已知 a、b 為實數。若直線 2x  ay  b  0 通過 10x  2y  5  0 與 6x  y  7  0 之交點，且斜率為 2，則 a  b  (A)  12 (B)  10 (C)10 (D)12 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 直線 2x  ay  b  0 的斜率為 2 2 a 1 a      則此直線為 2x  y  b  0…… 解 10 2 5 6 7 x y x y            2   2 9 9 2 x   x  9 2 x  代入 10 ( 9) 2 5 20 2 y y         則交點為( 9, 20) 2   交點( 9, 20) 2   代回 2 ( 9) ( 20) 0 2 b        b  11 故 a  b  1  (  11)  12 （ ）17.設向量 u ( , 2)a ， v (3, 2 )a ， w  ( 1, 2)，則下列敘 述何者正確？ (A)若 2 u  v 與 w 平行，則 a   3 (B)若 (2 u  v ) w 0，則 5 2 a  (C)若| 2 u  v | 5 ，則 1 2 a  (D) 若| 2 u  v | | w |，則 a  0 【101 年歷屆試題.】 解答 B 解析 2 u  v 2( , 2)a (3, 2 )a (2 , 4)a (3, 2 )a (2a3, 42 )a 2 2 | 2 u  v | (2a3)  (4 2 )a 2 2 (4a 12a 9) (16 16a 4a )        8a228a25 2 2 | w | ( 1) 2  5 (A)∵ 2 u  v 與 w 平行 ∴ 2 3 4 2 1 2 a _  a   2  (2a  3)  (4  2a)  4a  6  4  2a  6a  10  a  5 3  (B)∵ (2 u  v )  w  0 ∴ (2a  3 , 4  2a)(  1 , 2)  0

 (2a  3)  (  1)  (4  2a)  2  0  (  2a  3)  (8  4a)  0  2a  5  0  5 2 a  (C)∵ | 2 u  v | 5 ∴ 8a228a255  平方 8a2 28a  25  25  8a2 28a  0 4   2a2 _7a  ₀  _a(2a  ₇₎  ₀  _a  _{0 或} 7 2  (D)∵ | 2 u  v | | w | ∴ 8a228a25 5  平方 8a2 28a  25  5  8a2 28a  20  0 4   2a2 _7a  ₅  ₀  _(2a  _5)(a  ₁₎  ₀  5 2 a  或  1 （ ）18.設x、 y 、 z 為整數，且 2x y 3x  y 4 5 2x3y z 4，則 z 可為下列何者？ (A) 0 (B) 3 (C) 5 (D)11 【106 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ x、y、z為整數 ∴ xy、x y 4、2x3yz也是整數 2x y 3x  y 4 5 2x3y z 4 而22 3 0 5 0 4  2 4 0 2 3 0 x y x y x y z     _{  }   _{  }   2 4 0 2 3 0 x y x y x y z               (1) 2 4 0 2 3 0 x y x y x y z               ：2x 4 2  x3 3 x 代入 ：3 y 2  y 1 3 x 、y 1代入 ：

 

2 3 3     1 z 0  z3 (2) 2 4 0 2 3 0 x y x y x y z                ：2x  4 2  2x2  x1 1 x 代入 ：1  y 2  y 3 1 x 、y 3代入 ：2 1 3     

 

3 z 0  z 7 由(1)和(2)可知：z3或7 故選(B) （ ）19.設 a、b 為實數且i 1，若 2 3i為 2x2  ax  b  0 之 一根，則 a  b  (A)1 (B)3 (C)6 (D)14 【095 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 3i為 2x2_ ax  b  0 之一根 又 a、b 為實數  另一根為2 3i 由根與係數關係知 (2 3 ) (2 3 ) 2 (2 3 )(2 3 ) 2 a i i b i i              4 2 a    且7 2 b   a  8 且 b  14 ∴ a  b  6 （ ）20.設i 1，已知 1 3 2 i   且2    1  0，試求(2  )(2  2)  (A)5 (B)7 (C) 3 3i (D) 6 3i 【097 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵  2 ₁  _0（即 2 _1）  ( 1)( 2 1)  0   3 1  0   3 1 ∴ (2 )(2  2)  4  2 2 2 3 4  2( 2)  3  4  2  (  1)  1  7 （ ）21.將_(x4_3x3_2x_5)(x3_2)(x_{3)乘開化簡後，} 3 x 項的係 數為何？ (A) 5 (B) 3 (C) 3 (D) 5 【104 年歷屆試題.】 解答 C 解析 4 3 3 (x 3x 2x5)(x 2)(x3) 3 x 項_3x3  _{( 2) 3 ( 5)}  _x3 ₃ 3 3 3 18 15 3  x  x  x 故 3 x 項的係數為3 （ ）22.滿足二元一次聯立不等式 4 3 6 5 2 10 x y x y x y            的整數解

 

x y 共, 有幾個？ (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 【105 年歷屆試題.】 解答 B 解析 聯立不等式的圖解區域如下： 則整數解

 

x y, 為

 

1,3 、

 

2, 0 、

 

2,1 、

 

2, 2 ，共有4個 （ ）23.滿足不等式 2 ( 1) ( 3) 0 2 x x x     的整數解共有幾個？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【097 年歷屆試題.】 解答 C

解析 2 ( 1) ( 3) 0 2 x x x      (x  1) 2 (x  3)(x  2)  0  (x  3)(x  2)  0（∵ (x  1)2 0）   3  x  2 又 x 為整數，且 x  1 ∴ x 可為  2， 1，0 共 3 個 （ ）24.已知a、b 為實數，若不等式 2  x ax b 之解為 5  x 3， 則a b (A) 17   (B) 13 (C)13 (D)17 【104 年歷屆試題.】 解答 D 解析   5 x 3  [x ( 5)](x 3) 0  (x5)(x 3) 0  2 2 15 0    x x  2 2 15   x x 上式與_x2_ax_{b作比較，} 則a2，b15 故a b  2 15 17 （ ）25.已知平面三向量 a 

 

3, 4 ， b 



x, 9



， c  



8,y



。 設 a  b 且 b// c ，則yx之值為何？ (A) 18 (B) 6 (C) 6 (D)18【103 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ a  b ∴ a b 0 

  

3, 4  x, 9 



0  3x  4

 

9 0  3x360  12 x 則 b 



x, 9 

 

12, 9



∵ b// c 且 c  



8,y



∴ 12 9 8 y     12y72  y6 故y  x 6 12 6