1207 第一二冊解答

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1207 第一、二冊 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.已知 cos(   )  cos cos  sin sin,若tan 3 4   ,試求 cos2  (A) 7 25 (B) 7 16 (C) 9 16 (D) 24 25 【091 年歷屆試題.】 解答 A 解析 由題目中tan 3 3 4 4    4 3 x y      或 4 3 x y        2 2 4 3 r    或 2 2 ( 4)  ( 3)  255 3 sin 5 y r      ,cos 4 5 x r   

所求 cos2 cos( )  cos cos sin sin cos2 sin2

4 2 3 2 16 9 7 ( ) ( ) 5 5 25 25 25        ( )2.在坐標平面上,滿足不等式|x|  y  8 的區域面積為何? (A)16 (B)32 (C)64 (D)128 【094 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ |x| y  8 0 | | 0 8 8 8 x y x y y x y x y y y y                        不等式所成區域如圖所示 (為△OAB): ∴ 所成區域面積(即△OAB 面積) 1 16 8 64 2     ( )3.若 tan、tan 為 x2  3x  7  0 的兩根,則 tan(  )  (A) 1 2  (B) 3 8  (C)3 8 (D) 3 7 【092 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ tan、tan 為 x2 3x  7  0 的兩根 tan tan 3 tan tan 7            

∴ tan( ) tan tan 3 3

1 tan tan 1 ( 7) 8               ( )4.設兩向量 a 、 b 的夾角為,且| a || b |, | ab |4,| ab |3,則 cos  (A) 7 25 (B) 5 13 (C) 3 5 (D)4 5 【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ | ab |2| a |2| b |22 ab 16 又 2 2 2 | ab | | a | | b | 2 ab 9 由  得 2 2 2(| a | | b | )25 已知 2 | a || b |  4 | a | 25 | |2 25 4 a   由  得4 7 7 4      a b a b ∴ 2 cos | || | | | a b a b a b a     (∵ | a || b |) 7 7 4 25 25 4   ( )5.若直線 L:ax  by  c  0 的圖形如圖,則點 P(ac,ab)在第幾 象限? (A)一 (B)二 (C)三 (D)四 【093 年歷屆試題.】 解答 D 解析 L:ax by c  0 x 截距為 c a,y 截距為 c b  由圖示知 c 0 a   且 c 0 b    ac 0 且 bc < 0 a、c 同號且 b、c 異號 a、b 異號,即 ab < 0 ∴ 點 P(ac,ab)為(  ,  )在第四象限 ( )6.設 a、b、c 為實數,若 2 2 2 1 1 12 1 a a b b c c  且 3 3 3 1 1 156 1 a a b b c c  , 則 2 2 2 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) a a a b b b c c c        (A)13 (B)144 (C)168 (D)1872 【095 年歷屆試題.】 解答 C 解析

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2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 156 12 168 1 1 ( 1) 1 1 1 a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b c c c c c c c c c c                ( 1)   ( )7.下列何者為多項式? (A)1 4 x (B) 2x8 (C) 13 5x4 (D) 6 x2 【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 1 4 x 及 13 5x4的 x 在分母中出現,故不為 x 的多項式 又6 x2的 x 出現在根號內,故不為 x 的多項式 ∴ 只有 2x8為 x 的多項式 ( )8.設 A (  13 ,  19)、B (x , y)為平面上相異兩點。若向量 AB 與 向量 u (5,12)同方向且|AB|26,則 3x  4y  (A)  103 (B)  29 (C)29 (D)103 【100 年歷屆試題.】 解答 B 解析 AB(x ( 13),y ( 19))(x13,y19) ∵ |AB|26, 2 2 | u | 5 12 13 且ABu 同方向, ∴ AB2 u (x 13 , y  19)  2(5 , 12)  (10 , 24)  x  3,y  5 因此 3x 4y  3  (  3)  4  5  29 ( )9.已知△ABC 中,AB5,BC7,AC8,則下列各內 積中,何者為最大? (A) AB AC (B) BC BA (C) CA CB(D) AB BC 【093 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 b c a AC AB BC A bc AC AB        2 2 2 | || | cos 2 AC AB BC AB AC AB AC A AB AC AC AB          1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (8 5 7 ) 20 2 AC AB BC 2        同理 1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (5 7 8 ) 5 2 2 BC BA  ABBCAC     2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) (7 8 5 ) 44 2 2 CA CB  BCACAB     ( ) ( ) 5 AB BC  BA BC   BC BA   ∴ CA CB 為最大

( )10.在鈍角三角形△ABC 中,設 a、b、c 分別為A、B、 C 的對邊長,若A  30且 :a b1: 3,則C  (A)30 (B)60 (C)120 (D)150 【094 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ a:b sinA:sinB 又知a b: 1: 3且A  30  1: 3sin 30 : sin B 3 sin 2 B    B  60或 120 當B  60時 C  180 30 60 90(不合,已知△ABC 為鈍角三角形) 當B  120時 C  180 30 120 30 ( )11.在坐標平面上,設 a,b 為實數,若直線 y  ax  b 通過點 (0,6)與點(3,0),則 3a  2b  ? (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 【097 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ 直線 y ax b 通過(0,6)與(3,0)兩點 6 0 0 3 b a b       6 2 b a       ∴ 3a 2b  3  (  2)  2  6  6 ( )12.在坐標平面上,若△ABC 之三頂點坐標分別為 A(2,0)、B(4,0) 與 C(4,3),則△ABC 之三邊上共有多少點與原點的距離恰為整數 值? (A)2 個 (B)4 個 (C)6 個 (D)8 個 【099 年歷屆試題.】 解答 C 解析 以原點為圓心,作出半徑為 2、3、4、5 的圓 這些圓與△ABC 的邊長共有 6 個交點, 也就是△ABC 之三邊上共有 6 個點與原點的距離恰為整數值

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故選(C) ( )13.在 xy 平面上,P 和 Q 為拋物線 y  x2上的兩點,若 P 和 Q 的 x 坐標分別是  1 和 2,則 P 和 Q 的距離為何? (A)1 (B)2 (C)4 (D) 3 2 【101 年歷屆試題.】 解答 D 解析 令 x  1 代入 y x2得 y ( 1)21,則 P( 1 , 1) 令 x 2 代入 y x2得 y  22 4,則 Q(2 , 4) 故 P 和 Q 的距離 2 2 ( 1 2) (1 4) 18 3 2 PQ      

( )14.在△ABC 中,設A、B﹑C 之對應邊長分別為 a、b、 c,若B  120,a  5,c  3,則△ABC 的外接圓面積為何? (A) 7 3 (B) 49 3 (C) 7 3 (D) 49 3  【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 b2 c2 a2 2cacosB  32 52 2  3  5  cos120 9  25  (  15)  49 49 7 b    又 2 sin b R B 7 2 sin120 R    7 2 3 2 R   7 3 R   ∴ △ABC 的外接圓面積為 2 ( 7 )2 49 3 3 R      ( )15.已知 ( ,1)P a 、 ( 1, )Qb 為平面上兩點。若 P 為直線 : 3 4 2 L x y 上一點,且直線 PQ 與直線 L 垂直,則a b  (A) 7 (B) 9 (C)11 (D)13 【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ P a( ,1)為L: 3x4y2上一點 ∴ 3   a 4 1 2  a2,則P(2,1) 直線PQ的斜率 1 1 2 ( 1) 3       PQ b b m 直線L的斜率 3 3 4 4     mPQLmPQ  m 1  1 3 1 3 4 b  b5 故a b   2 5 7 ( )16.已知 a、b 為實數。若直線 2x  ay  b  0 通過 10x  2y  5  0 與 6x  y  7  0 之交點,且斜率為 2,則 a  b  (A)  12 (B)  10 (C)10 (D)12 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 直線 2x ay b  0 的斜率為 2 2 a 1 a      則此直線為 2x y b  0…… 解 10 2 5 6 7 x y x y            2   2 9 9 2 x   x  9 2 x  代入 10 ( 9) 2 5 20 2 y y         則交點為( 9, 20) 2   交點( 9, 20) 2   代回 2 ( 9) ( 20) 0 2 b        b  11 故 a b  1  (  11)  12 ( )17.設向量 u ( , 2)av (3, 2 )aw  ( 1, 2),則下列敘 述何者正確? (A)若 2 uv 與 w 平行,則 a   3 (B)若 (2 uv ) w 0,則 5 2 a  (C)若| 2 uv | 5 ,則 1 2 a  (D) 若| 2 uv | | w |,則 a  0 【101 年歷屆試題.】 解答 B 解析 2 uv 2( , 2)a (3, 2 )a (2 , 4)a (3, 2 )a (2a3, 42 )a 2 2 | 2 uv | (2a3)  (4 2 )a 2 2 (4a 12a 9) (16 16a 4a )        8a228a25 2 2 | w | ( 1) 2  5 (A)∵ 2 uvw 平行 ∴ 2 3 4 2 1 2 aa   2  (2a  3)  (4  2a) 4a  6  4  2a 6a  10  a  5 3  (B)∵ (2 uv )  w 0 ∴ (2a  3 , 4  2a)(  1 , 2)  0

(4)

(2a  3)  (  1)  (4  2a)  2  0  (  2a  3)  (8  4a)  0  2a  5  0  5 2 a  (C)∵ | 2 uv | 5 ∴ 8a228a255  平方 8a2 28a  25  25  8a2 28a  0 4   2a2 7a 0 a(2a 7) 0 a 0 或 7 2  (D)∵ | 2 uv | | w | ∴ 8a228a25 5  平方 8a2 28a  25  5  8a2 28a  20  0 4   2a2 7a 5 0 (2a 5)(a 1) 0 5 2 a  或  1 ( )18.設x、 y 、 z 為整數,且 2x y 3x  y 4 5 2x3y z 4,則 z 可為下列何者? (A) 0 (B) 3 (C) 5 (D)11 【106 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ xyz為整數 ∴ xyx y 4、2x3yz也是整數 2x y 3x  y 4 5 2x3y z 4 而22 3 0 5 0 4  2 4 0 2 3 0 x y x y x y z              2 4 0 2 3 0 x y x y x y z               (1) 2 4 0 2 3 0 x y x y x y z               :2x 4 2  x3 3 x 代入 :3 y 2  y 1 3 x 、y 1代入 :

 

2 3 3     1 z 0  z3 (2) 2 4 0 2 3 0 x y x y x y z                :2x  4 2  2x2  x1 1 x 代入 :1  y 2  y 3 1 x 、y 3代入 :2 1 3     

 

3 z 0  z 7 由(1)和(2)可知:z3或7 故選(B) ( )19.設 a、b 為實數且i 1,若 2 3i為 2x2  ax  b  0 之 一根,則 a  b  (A)1 (B)3 (C)6 (D)14 【095 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 3i為 2x2 ax b  0 之一根 又 a、b 為實數  另一根為2 3i 由根與係數關係知 (2 3 ) (2 3 ) 2 (2 3 )(2 3 ) 2 a i i b i i              4 2 a    且7 2 b   a  8 且 b  14 ∴ a b  6 ( )20.設i 1,已知 1 3 2 i   且2    1  0,試求(2  )(2  2)  (A)5 (B)7 (C) 3 3i (D) 6 3i 【097 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵  2 1 0(即 2 1)  ( 1)( 2 1)  0   3 1  0   3 1 ∴ (2 )(2  2)  4  2 2 2 3 4  2( 2)  3  4  2  (  1)  1  7 ( )21.將(x43x32x5)(x32)(x3)乘開化簡後, 3 x 項的係 數為何? (A) 5 (B) 3 (C) 3 (D) 5 【104 年歷屆試題.】 解答 C 解析 4 3 3 (x 3x 2x5)(x 2)(x3) 3 x 項3x3  ( 2) 3 ( 5)  x3 3 3 3 3 18 15 3  xxx 故 3 x 項的係數為3 ( )22.滿足二元一次聯立不等式 4 3 6 5 2 10 x y x y x y            的整數解

 

x y 共, 有幾個? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 【105 年歷屆試題.】 解答 B 解析 聯立不等式的圖解區域如下: 則整數解

 

x y, 為

 

1,3 、

 

2, 0 、

 

2,1 、

 

2, 2 ,共有4個 ( )23.滿足不等式 2 ( 1) ( 3) 0 2 x x x     的整數解共有幾個? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【097 年歷屆試題.】 解答 C

(5)

解析 2 ( 1) ( 3) 0 2 x x x      (x  1) 2 (x 3)(x  2)  0  (x 3)(x  2)  0(∵ (x  1)2 0)   3  x  2 又 x 為整數,且 x  1 ∴ x 可為  2, 1,0 共 3 個 ( )24.已知a、b 為實數,若不等式 2  x ax b 之解為 5  x 3, 則a b (A) 17   (B) 13 (C)13 (D)17 【104 年歷屆試題.】 解答 D 解析   5 x 3  [x ( 5)](x 3) 0  (x5)(x 3) 0  2 2 15 0    x x  2 2 15   x x 上式與x2axb作比較, a2,b15 故a b  2 15 17 ( )25.已知平面三向量 a

 

3, 4 , b

x, 9

c  

8,y

設 abb// c ,則yx之值為何? (A) 18 (B) 6 (C) 6 (D)18【103 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ abab 0 

  

3, 4  x, 9 

0  3x  4

 

9 0  3x360  12 x 則 b

x, 9 

 

12, 9

b// cc  

8,y

∴ 12 9 8 y     12y72  y6 故y  x 6 12 6

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