發現克卜勒行星定律的清晰方法

(1)

發現克卜勒行星定律的清晰方法

項武義

1

張海潮

2

姚珩

3

_{* 陳鵬仁}

3 1 美國加州大學柏克萊分校數學系 2 國立臺灣大學數學系 3 國立臺灣師範大學物理系日心說中地球並非靜止，而是隨時在運動中，但它卻是滿足面積律的一種規則運動，利用此特性可建立起行星－太陽距離與地球－太陽距離的數學關係，配合觀測所得行星環繞太陽之角速率，能很自然地以運動中的地球發現出其他行星的面積律。接著再使用行星繞日的週期性，即行星－太陽距離可表為角度之週期函數，配合實測的行星角度位置，可清晰建立起每顆行星之週期函數，且得知其形式恰為一橢圓方程，如此便能完成克卜勒當初歷經迂回困頓所獲致的橢圓律。我們以相對簡易的幾何、三角及代數運算，描述了行星運動的不變形式，並指出複雜行星系統的分析關鍵。

壹、前言

西方在柏拉圖（ Plato, 427-347 B.C.）前後，已開始充分的以數學來描述自然現象，且認為球面幾何是為天文學而生，幾何學是宇宙學之一部分，幾何學原理亦為宇宙結構之實體呈現，故研究幾何學對了解天文學至為重要（克萊因， 1972）。 *為本文通訊作者托勒密（ Ptolemy, 85-165 AD）的天文學著作《至大論》（ Almagest）確立了希臘三角學理論，並延續了一千多年，他以本輪、均輪的概念，相當準確的描繪出行星的運動，一直被大家接受，以至於被人們視為絕對真理。直到哥白尼（ N. Copernicus, 1473-1543）以追求數學的和諧與對稱性為理想，強烈質疑本輪、均輪與偏心點的人為運作與複雜性，建立了同心圓的地動說，從而開啟了天文學的革命。克卜勒（ J. Kepler, 1571-1630）深受哥白尼日心理論的啟發，並全力支持，終其一生，進一步提出了以太陽為中心之行星三定律，確立了現代天文學的行星理論，更為牛頓（ I. Newton, 1642-1727）的動力學奠定了穩固基礎。克卜勒的行星橢圓律與面積律發表於 1609 年之《新天文學》（ Kepler, 1609）一書中，該書相當晦澀難懂，常以複雜冗長的幾何形式呈現，而非以現今易懂的數學表示。在哥白尼與克卜勒的天文系統中，地球不再是恆定不動，使得行星位置的決定也隨著複雜，但若建立了地球的運動規則－即地球的面積律與橢圓律（項武義，張海潮，陳鵬仁，姚珩， 2010），則地球反而成為描繪其他行星位置

(2)

的重要有用的起點，與發現其他行星定律的基礎。為了讓克卜勒行星定律的根本精神，重新再現於學子面前，本文將以新穎的簡易方法，僅僅利用一般的三角函數及正弦定律，來發現及探索行星面積律與橢圓律，讓原本看似不可能被輕易了解的行星定律之發展，變成清晰親切。並讓學習者從中掌握住幾何、天文與物理學的緊密關係與分析方法，實際地體會出重大科學發展事跡裡的豐富內涵，浸潤在當初偉大科學家發現科學原理的樂趣裡，並培養出廣闊深刻的科學視野。

貳、火星的面積律

火星繞日週期已知為 687.03 天或約 687 天，即每隔 687 天火星會回到在天體中相同的位置，而地球繞日週期為 365 天，由於此二行星的繞日週期並沒有公因數，彼此互質，表示每經過一個火星年，當火星回到原來位置時，所對應的地球位置卻都不相同。如圖一，若 S 表太陽，M 為火星或次火星年的火星位置，Ei、Ej 為相隔一火星年所對應的地球位置。如此，太陽、火星與兩個地球位置，可形成一個四邊形 SEiMEj，其中 SEi和 SEj線段分別代表太陽到地球在兩個不同位置處的距離（簡稱日地距），並以 ri與 rj 表示，SM 線段則代表太陽至火星之距離（簡稱日火距），以d 表示。 圖一：太陽S、火星 M 與相距一火星年兩 地球位置 Ei、Ej之示意圖

一、太陽到火星的距離

d

若隨機選取地球在 Ei 位置的日期為 1950 年 5 月 13 日 5 時，則在 Ej位置的日期為 1952 年 3 月 30 日 4 時，其中 Ei與 Ej 之時間間隔為一火星年。 ∠SEiM＝ μi 是地球在 Ei位置觀察太陽 S 和火星 M 的 夾角，從觀測所得（可由 MICA,軟體系統精確計算所建立的天文資料，來提供與代表），地球在 Ei處時，火星M 為（黃道） 經度 172.557°，太陽 S 為經度 51.901°，故 μi＝172.557° － 51.901° ＝ 120.656° 。同理，地球在 Ej位置時至 S 與 M 所張之角 度， ∠SEjM ＝ μj＝ 9.473° ＋ 360° － 228.333°＝141.140°。 此處所謂相對於地球的經度，是天文 學家在地球觀測太陽時，將太陽在天球上的投影點以黃道經度標定。以太陽在春分

E

i

_E

j

d

r

i

r

_j

α

i

α

j

μ

i

_μ

j

θ

S

M

(3)

（3 月 21 日或 22 日）時，地球觀察太陽的方向訂為經度 0°，夏至（6 月 21 或 22 日）時，太陽的經度為 90°等等，不過又因為太陽與地球的位置相差180°，所以在春分的時刻，太陽看地球的經度變成 180° ，夏至時刻太陽看地球的經度變成 270°，依此類推（圖二）。圖二：自地球看太陽與自太陽看地球的角度關係 圖一中 ∠EiSEj＝θ 是以太陽S 為參考 點，觀察地球在 Ei、Ej處所張的角度，由此觀之，它似乎為不可觀測量，但藉上述地球與太陽彼此觀看角度的相對關係，θ 將為可觀測值。因為，若地球在 Ei處觀測到太陽 S 的經度為 51.901°，在 Ej處觀測到 S 的經度為 9.473°，則自太陽 S 觀測到 地球在 Ei處之經度為（ 51.901°+180°），在 S 處觀測到 Ej 的經度為（9.473° + 180° ），故 ∠EiSEj＝ θ ＝（51.901°＋ 180°）－（ 9.473°＋ 180°）＝ 51.901°－9.473°＝42.428° (1) θ 值於是可被確定。底下將利用 μi、 μj 及 θ 此三可觀測量，及地球的面積律，試著尋找出日火距 d。若 ∠EjMS＝αj，∠EiMS＝ αi，由四邊形內角和為 360°，則 μi＋ μj＋ θ ＋（ αi＋ αj）＝360° 或 αi＝360°－ μi－ μj－ θ － αj，令 β ＝360° － μi－ μj－ θ ， β 則為一可觀測值，且 αi＝ β － αj (2) 另一方面，四邊形 SEiMEj可視為由 △SEiM 與 △ SEjM 所組成，SM 為共邊，利 用正弦定律， i

d



sin

＝ _i i

r



sin

j

d



sin

＝ _j j

r



sin

(3)



j i



sin

＝ j i

r

j i



sin

(4) 且日火距 d 為 d ＝ _j j j

r





sin

(5) 若地球面積律已建立（項武義，張海潮，陳鵬仁，姚珩，2010），一如克卜勒在《新天文學》一書中所完成的前半段工作，即 ri2∕rj2 ＝ ωj∕ ωi (6) 此表示原本難以直接量測出來太陽與不同地球位置的距離比值，能夠藉著地球在不同位置的角速率（即地球角度對時間的變化大小）之比值推得，而地球角度的變化在天文觀測中正是能夠天天實測的基本數據。因此，ri∕rj 之值可知， μi、 μj也已知，由式（4）可得 sinαi∕sinαj，設此比值為 k，即

π

+θ

θ

地球 E 春分點太陽 S

(4)

sinαi ＝k sinαj (7)

合併式(2)與 (7)，可得

sinβcosαj－cosβ sinαj＝k sinαj

兩邊同除 sinαj整理後有 α_j ＝

_









 





sin

cos

cot

1

k

(8) 由於 β 及 k 均為可觀測量，故 αj亦為一可觀測量。代入式（5），最後日火距 d 將直接可以日地距rj表示。對於隨意選取五個不同的觀測日期，由式（5）與（8）所求得之日火距 d 列於 下表一，其中設 1952 年 3 月 30 日的日地距大小rj1＝r0＝100000（圖三）。表一：隨意選取五個不同日期計算所得之日火距 d（括號內日期與無括號日期相差一火 星年）日期 μi μj θ β k αj rj d 1950. 5.13 (1952. 3.30) 120.656° 141.140° 42.456° 304.253° 1.387 22.973° 100000 160750 1952. 6.21 (1954. 5. 9) 122.319° 130.592° 41.744° 294.655° 1.12 30.593° 101072 150805 1954. 8.15 (1956. 7. 2) 125.251° 116.179° 41.593° 283.024° 0.906 40.722° 101770 139993 1956.11. 1 (1958. 9.19) 126.837° 116.786° 43.041° 286.665° 0.885 39.256° 100518 141804 1959. 1. 7 (1960.11.24) 122.044° 133.781° 44.249° 300.073° 1.17 27.383° 98793 155079 圖三：日火距 d 可以日地距 r 來表示，並以 rj1＝r0＝100000 當作標準 M1 M2 M3 Ei2 Ei1 Ei3 Ej1 Ej2 Ej3 S ri1 ri2 ri3 r0 rj3 d1 d2 d3 rj2

(5)

二、火星的角速率ω

火星繞日的角速率 ω ，代表火星於某段時間內（如一日內）相對於太陽的角度變化，它亦無法直接由觀測得知，必須嘗試尋找它與觀測值的間接關係。圖四：太陽 S、地球 E 與火星 M 在間隔 一日後，所分別形成的四邊形 SEi1M1Ej1和 SEi2M2Ej2。則火星一日內所行經的角度 φ＝ b＋ c－ a。 圖四為間隔一日，太陽S、地球 E 和 火星 M 所分別形成的兩組四邊形 SEi1M1Ej1與 SEi2M2Ej2。火星每日的角速率 ω 即為火星相對於太陽S 自 M1移動至 M2 所張的角度 φ。在四邊形SEi1M1Ej1中，∠ SEi1M1、 ∠SEj1M1 和 ∠Ei1SEj1 的角度，如圖一中之 μi、 μj 和 θ ，為可觀測量，且 ∠Ej1M1S 如圖一中之 αj，可由式（7）得到。對 △SEj1M1而言，由內角和關係（參考表一）， ∠M1SEj1 ＝180°－ ∠SEj1M1－ ∠SM1Ej1 ＝180°－141.140°－22.973° ＝15.887° 同理，對第二天太陽、地球與火星所形成之 △SEj2M2 ∠M2SEj2 ＝180°－ ∠SEj2M2－ ∠SM2Ej2 ＝180°－142.194°－22.438° ＝15.368° 太陽 S 至地球位置 Ej1，及次日地球位置 Ej2，所張角度 ∠Ej1SEj2，類似圖一中之 θ，可由式（1）及觀測值，得知 ∠Ej1SEj2＝10.461°－9.473°＝0.988° 所以，在一日內火星相對於太陽所經過的角度（圖四） φ ＝ ∠M2SEj2＋ ∠Ej1SEj2－ ∠M1SEj1 ＝b＋ c－a ＝15.368°＋ 0.988°－15.887° ＝0.469° (9) 即為火星在該日的角速率 ω 。表二列出火星在表一中所選取五個不同日期，計算所得之火星角速率 ω 。表二：對於表一所選取五個不同日期火星角速率ω 之計算值日期 ω 1950. 5.13 0.469 1952. 6.21 0.534 1954. 8.15 0.620 1956.11. 1 0.603 1959. 1. 7 0.504 M1 M2 Ej1 Ei1 Ej2 Ei2 S φ b c a

(6)

三、行星面積律

行星之面積律意謂行星與太陽連線在相同時間掃過相等面積，如圖五所示









2

1 d

A

所以面積速率

dt

dA

＝

dt

d

2



2

1

＝ 2



2

1 d

式中 ω 是行星繞日的角速率圖五：地球面積律示意圖故欲發現面積律，即在檢視：不同行星位置至太陽之距離平方，與在該點所對應的行星角速率 ω 之乘積恆為定值，即 di2ωi ＝ dj2ωj (10) 或者檢視dj2∕di2之比值與 ωi∕ ωj之值是否會相等。結合表一與表二所提供在不同日期的日火距d 及火星角速率 ω，可得 dj2 ∕di2與 ωi∕ ωj兩比值（表三）。其中 di與 ωi都取 1950 年 5 月 13 日的數據為比較標準。由表三最後兩行可以看得出來，火星的 dj2∕di2之值與 ωi∕ ωj 之值幾乎恆等，相差不超過 1％，代表了由公認的天文觀測資料，火星確實嚴格遵行著克卜勒面積律，此為讓人感到振奮，又不出意外的結果。表三：五個不同日期火星日火距平方 dj2/di2比值與對應角速率ωi /ωj比值日期 d ω dj2/di2 ωi/ωj 1950.5.13 160750 0.469 1.000 1.000 1952.6.21 150805 0.534 0.880 0.878 1954.8.15 139993 0.620 0.758 0.756 1956.11.1 141804 0.603 0.778 0.778 1959.1.7 155079 0.504 0.931 0.931

參、火星的橢圓律

由於火星繞日運轉為週期性運動，代表日火距 d 為火星與太陽連線角度 ψ 的週 期函數。而對任一週期函數d 或其倒數 1/d 均可以傅利葉級數表示（Knopp, 1996），即







 





1 0

cos

sin

1

n n n

n

b

n

a

d



茲考慮在最理想情況，此週期函數足以單角ψ 的正餘弦項來充分代表



sin

cos

1

1 1 0

a

b

a

d





(11) 欲確定上式中的 a0、a1及 b1三個未知係數，需要三組數據，形成三元一次聯立方程式後求得。 S

d

E E △θ △s △A

(7)

圖六：兩次火星衝之火星相對於太陽的角度變化ψ 現選取火星 M1在 1950 年 5 月 13 日位置作起始參考（如圖六及表一），在 △SEj1M1中，∠SEj1M1＝ μj1為可觀測值， ∠S M1Ej1＝ αj1為計算值，可由式（8）得知，並列於表一中，故 θj1＝180°－ μj1－ αj1 ＝ 180° － 141.140° － 22.973° ＝ 15.887°。再次觀測火星 M2在表一中 1952 年 6 月 21 日之位置，同理可得 θj2＝180° －130.592°－30.593°＝ 18.815°。由觀測地球與太陽之相對角度，也可知地球自 Ej1 移動到 Ej2 所經過的角度 ∠Ej1SEj2＝ 38.394°，故 ∠ M1SM2＝ψ＝ ∠ Ej1SEj2＋ θj2 － θj1＝38.394° ＋ 18.815° － 15.887° ＝ 41.322°。若取 M1至 S 的連線為水平軸， 或 0°角，則 ψ 即為火星在不同位置 M2至 S 連線所張之角度。以類似方法，可求得 表一中其他兩天1954 年 8 月 15 日及 1956 年11 月 1 日火星至太陽連線之角度 ψ（表 四）。表四：依照表一中數據計算所得對應之火星至太陽連線所張之角度 ψ 日期 ψ 1950. 5.13 0.000° 1952. 6.21 41.337° 1954. 8.15 98.458° 1956.11. 1 174.976° （取 1950 年 5 月 13 日火星至太陽連線為 0°角作參考）將 1952 年 6 月 21 日， 1954 年 8 月 15 日及 1956 年 11 月 1 日三天之日火距 d 及對應之火星角度 ψ ，代入週期關係式 （11），有 1 1 1 1 0 1

sin

cos

1 _

_

b

a

d





2 1 2 1 0 2

sin

cos

1 _

_

b

a

d





3 1 3 1 0 3

sin

cos

1 _

_

b

a

d





解此三元一次方程組，得 a0 ＝ 0.00000662， a1 ＝－0.00000040， b1 ＝ 0.00000047。因此火星繞日運動距離倒數的週期函數為

d

1

＝ 0.00000662－0.00000040 cosψ ＋0.00000047 sinψ (12) 為證實上述四個火星位置所建立之此週期函數為一普遍式。可再任取五個不同日期，由數據求得該日期所對應火星至太 M1 M2 S Ej1 Ej2 _E_i1 Ei θj1 ψ θj2

(8)

陽所張之角度 ψ，並列於表五。由週期關 係式（12）求得其日火距 d’，與在尋找面積律中所引用之日火距式（5）中之 d 比較，d’與 d 二值幾乎完全相等，可證實式 （12）所表角度 ψ 之週期函數 1/d 之正確有效性。表五：隨意選取五個不同日期，比較週期關係式所求得之日火距 d’及由式 (5) 利用正弦定律所計算之日火距d 日期 d ψ d’ (d’－d)/d_(％) 1959.1.7 155090 235.697° 154866 -0.144 1961.2.21 164125 277.814° 163935 -0.116 1963.3.25 166678 310.942° 166587 -0.055 1965.4.29 163511 345.914° 163462 -0.030 1967.6.6 155039 24.493° 155018 -0.014 (12)是否會描繪出一橢圓軌道？若假定橢圓的長軸與座標 x 軸重疊，則橢圓方 程式為



cos

1 )

1 (

2

e

a

r







其中，a 為半長軸長， e 為離心率（圖七）

（Harris, 1998；Lawrence, 1972； Symon, 1971）。此橢圓方程式亦可寫成



cos

)

1 (

cos

1

2

A

B

e

a

e

r









(13) 其中

)

1 (

1

2

e

a

A





，

)

1 (

_e

2

a

e

B





，如果橢圓長軸與 x 軸不重疊（圖八），則式（13）得改寫成



 



cos sin cos 1 2 1 0 A n n B A r       (14) 此處 n12＋n22＝B，＝＝e。 ψ a ae y r F F’ 圖七：與 x 軸重疊之橢圓的座標表示 x 圖八：與 x 軸不重疊之橢圓的座標表示 x ψ0 ψ r F y

(9)

式（11）或（12）因此已具備橢圓方程式（14）的形式，可確認火星的確是沿著以太陽為焦點的橢圓軌道運動，結合此三式，火星離心率 e 之計算值為 e = 0 2 1 2 1 a b a 



 



0093 . 0 00000662 . 0 00000047 . 0 00000040 . 0 2 2     此結果與火星軌道離心率的公認值 0.093 完全相同，再次證實火星繞日運動的週期函數與橢圓方程式對等，且其運行軌道滿足橢圓律。

對於其他四顆行星－木星、土星、水星、金星可完全以相同方法，發現其面積律與橢圓律（項武義，張海潮，姚珩， 2010），在此僅再舉木星為例，描述其所遵循的行星規則。

肆、木星的行星定律

一、面積律

參考圖一與圖二，木星與太陽之日木距 d 也可由日地距（此處取 1962 年 8 月 6 日之值）rj1＝

r

0為 100000 為參考值。則其他隨意選取四個不同日期計算所得之日木距 d，同理可由式（ 5）及式（ 8）求得， 並列於表六。利用圖四關係，可自木星在表六中所選取不同日期之觀測值，求得所對應之木星角速率 ω ，如此可檢視 d2_{ω 是否為常} 數，或 dj2∕di2＝ ωi∕ ωj，而建立起木星之面積律（如表七所示）表六：隨意選取五個不同日期計算所得之日木距 d 日期 μi μj θ β k αj rj d 1962. 8. 6 146.236° 152.523° 49.469° 348.228° 1.191 5.372° 100000 492868 1964.10.19 145.966° 151.732° 50.540° 348.238° 1.169 5.422° 98199 492182 1966.12.28 144.850° 153.833° 50.363° 349.046° 1.311 4.737° 96988 517905 1969. 2.26 145.841° 154.098° 49.561° 349.500° 1.303 4.557° 97683 537089 1971. 4.29 146.757° 153.745° 48.787° 349.289° 1.251 4.757° 99306 529690

(10)

表七：任取五個不同日期顯示dj2/di2與 ωi /ωj幾乎完全相等，證得木星之面積律日期 d ω dj2/di2 ωi/ωj 1962. 8. 6 492868 0.090 1.000 1.000 1964.10.19 492182 0.090 0.997 0.997 1966.12.28 517905 0.081 1.104 1.104 1969. 2.26 537089 0.076 1.187 1.188 1971. 4.29 529690 0.078 1.155 1.155

二、橢圓律

利用圖六，選取木星在 1962 年 8 月 6 日位置作為起始參考，在表七中其他三個日期之木星至太陽連線所張之角度，可與火星類似方法求得，並列於下表八。表八：依照表六中數據計算所得對應之木星至太陽連線所張之角度 ψ （取1962 年 8 月 6 日木星至太陽連線為0°角作參考）日期 ψ 1962. 8. 6 0.000° 1964.10.19 73.328° 1966.12.28 142.104° 1969. 2.26 203.869° 由日木距週期函數式（11），可求得木星繞日運動的週期關係式為

d

1

＝ 0.000001950＋0.000000075 cosψ ＋0.000000058 sinψ (15) 將此距離關係式計算所得之日木距，與公認的觀測值相比較，彼此完全相等（表九）。可知此週期函數確實可準確描繪出木星之運動軌跡。由於式（15 ）亦為一橢圓軌跡方程式，如式（14），證實木星軌道為一橢圓軌道，且其離心率 0 2 1 2 1 a b a e 



 



049 . 0 000001950 . 0 000000058 . 0 000000075 . 0 2 2     與木星軌道離心率的公認值 0.048 相差無幾，再次顯示木星的運行軌道是以太陽為焦點的橢圓軌道，而滿足行星橢圓律。

伍、結論

我們以地球作為發現各個行星定律的基礎，只是這個地球並非靜止，而是隨時在運動中，但它卻是有規律的運動－滿足面積規律，利用它可建立起行星－太陽距離與地球－太陽距離的數學關係，如式（5）所示，配合行星環繞太陽之角速率，便可很自然的發現其他行星之面積律。由於行星繞日週期運轉，代表行星－太陽距離可表為角度之週期函數，利用觀測的行星角度位置，及由地球的面積律求得之行星至太陽距離，而能建立起每顆行

(11)

星之週期函數式，且其形式為一橢圓方程式。由此，不僅可發現描繪行星距離的軌跡式，且證實此行星軌道是以太陽為焦點的橢圓軌道，因而確立了行星橢圓律。我們以相對簡易清晰的幾何關係、三角學及基本代數，描述了行星運動的不變形式，讓學子體會如何以有力的數學方法，來分析複雜但重要的行星系統，從中尋找出自然現象背後的和諧性與簡潔性，並以此實例，奠定與擴展日後邁向數理科學研究的基礎與信心。

陸、參考文獻

克萊因（Klein, M. [1972], 1983）：數學史 ─ 數學思想的發展。台北：九章出版社。項武義，張海潮，陳鵬仁，姚珩（2010），重訪克卜勒 ─ 地球的面積律與橢圓律，台北：數學傳播 (已接受)。項武義，張海潮，姚珩（2010）：千古之謎 ─ 幾何天文與物理兩千年。台北：台灣商務印書館。

Harris, J. and Stocker, H. (1998). "Ellipse" §3.8.7 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, 93.

Kepler, J. ( [1609] 1992). New Astronomy. New York : Cambridge University Press.

Knopp, K. (1996). "Periodic Functions." Ch. 3 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, 58-92. Lawrence, J.D. (1972). A Catalog of Special

Plane Curves. New York: Dover, 72-78.

MICA — Multiyear Interactive Computer Almanac ( 美國海軍天文台星體位

置計算軟體), Version 2.0

Symon, R. (1971). Mechanics. 3rd ed. New York: Addison-Wesley, 131-133.