國立新竹教育大學 一○一學年 北區高中學生數學與科學跨領域研究人才培育計畫 上學期 招生甄試考題 2012年11月4日 考試時間:計三小時(13:30 – 16:30) 試題若有疑問, 請於考試開始後的三十分鐘內, 舉手提交 「提問單」詢問;之後不再接受詢 問。 桌上的 A4白紙為答案紙與計算紙, 不夠使用時可以舉手要求增加。 考試結束請將答 案紙依照題號排序,而提問單放在最後面,再由監考人員裝訂;計算紙不用繳回。 不得使用電子計算器,答案限用黑色或藍色筆書寫,僅作圖可使用鉛筆。 每題七分,答題的“推演過程”為評分的依據。 1. 試證5554可表示成兩個正整數的平方和。 2. 試求所有整數序對(a, b)使得a + b為一元二次方程式x2+ ax + b = 0的一根。 3. 令a, b, c與d為任意實數。 試證 a6+ b6+ c6 + d6− 6abcd ≥ −2. 並說明等號成立時a, b, c與d之值為何。 4. 已知∆ABC為銳角三角形,分別在邊BC, CA與AB取三點A1, B1 與C1. 試證: 若四邊形ABA1B1, BCB1C1 與CAC1A1 皆為四點共圓之四邊形, 則其外接圓之 圓心都落在三角形ABC 三邊上。 5. 歐基里德想要畫一條直線通過A與B兩點。 這兩點的距離大約5公尺,但是歐基里 德的手邊只有一把一公尺長的直尺與一副最大半徑是 70 公分的圓規。 請依照尺規 做圖的方式,幫歐基里德完成這條直線。(只要大致說出或畫出方法,你不需要真的有 一副圓規。) 6. 考慮數字1, 2, 3, . . . , 999999, 1000000。 (a) 一共出現幾個0? (b) 證明: “1出現的個數”等與“2出現的個數”。 (如果你不會(a),可以先嘗試(b).)
國立新竹教育大學 一○一學年 北區高中學生數學與科學跨領域研究人才培育計畫 上學期 招生甄試考題 參考解答 2012年11月4日 1. 試證5554可表示成兩個正整數的平方和。 解: 5554 = (5 × 11)54= 52 × 552× 1154 = 52× (526× 1127)2 = (5 × m)2 = (3m)2+ (4m)2, 其中m = 526× 1127.
2. 試求所有整數序對(a, b)使得a + b為一元二次方程式x2+ ax + b = 0的一根。 解: 由條件a + b為x2 + ax + b = 0的根, 得(a + b)2 + a(a + b) + b = 0. 化簡得 b2+ (3a + 1)b + 2a2 = 0,將此式視為b的一元二次整系數方程式且其根需為整數。 故判別式D = (3a + 1)2− 4 · 2a2 = 0,得D = (a + 3)2− 8需為完全平方數。 故 (a + 3)2 = 9,得a = −6或a = 0. 因此(a, b)可能值為(−6, 8), (−6, 9), (0, 0)與 (0, −1)
3. 令a, b, c與d為任意實數。 試證 a6+ b6+ c6 + d6− 6abcd ≥ −2. 並說明等號成立時a, b, c與d之值為何。 解: a6+ b6 + c6+ d6− 6abcd ≥ −2 ⇔ a6+ b6 + c6+ d6+ 1 + 1 ≥ 6abcd ⇔ a 6+ b6+ c6+ d6+ 16+ 16 6 ≥ abcd, 由算幾不等式可以得知: a6 + b6+ c6+ d6+ 16+ 16 6 ≥ 6 √ a6× b6× c6× d6 × 16× 16 = |abcd| ≥ abcd. 因為算幾不等式成為等號的充要條件是個項相等, 所以等號成立時必定是|a| = |b| = |c| = |d| = 1.
4. 已知∆ABC為銳角三角形,分別在邊BC, CA與AB取三點A1, B1 與C1. 試證:
若四邊形ABA1B1, BCB1C1 與CAC1A1 皆為四點共圓之四邊形, 則其外接圓之
圓心都落在三角形ABC 三邊上。
解: 因BCB1C1 四點共圓,可得∠BB1C = ∠BC1C = α,同理,可得
∠CC1A = ∠CA1A = β, ∠AA1B = ∠AB1B = γ.
考慮以A1, B1, C1 為頂點的角,則
β + γ = 180◦, γ + α = 180◦, α + β = 180◦.
由上述可得α + β + γ = 270◦,即α = β = γ = 90◦. 因此三邊BC, CA與AB分
5. 歐基里德想要畫一條直線通過A與B兩點。 這兩點的距離大約5公尺,但是歐基里 德的手邊只有一把一公尺長的直尺與一副最大半徑是 70 公分的圓規。 請依照尺規 做圖的方式,幫歐基里德完成這條直線。(只要大致說出或畫出方法,你不需要真的有 一副圓規。) 解: 過A 與 B 兩點分別畫兩條直線, 這兩條線交於點C, 而且 60◦∠ACB ≤ 90◦. 將 AC與BC均分成2k 等分,其中k = 3 (ps. 不斷的平分,而且沒有超級大的圓規還 是可以平分線段); 此時等分線段應該小於70公分, 以利圓規使用。 現在從C 點藉 由相接的兩個等分線段畫平行四邊形, 接著繼續畫平行四邊形, 直到 8個平行四邊 形的對角線正好鋪成A與B 兩點之間的直線。 當然,因為A與B 兩點的距離大約 5公尺, 等分 8段, 所以每一條對角線小於一公尺,所以可以畫出一條過 A與B 兩 點的直線。
6. 考慮數字1, 2, 3, . . . , 999999, 1000000。 (a) 一共出現幾個0? (b) 證明: “1出現的個數”等與“2出現的個數”。 (如果你不會(a),可以先嘗試(b).) 解: (a)考慮以下字串 000000 000001 .. . 999999 這些字串也可以利用集合的乘積{0, 1, . . . , 9}×{0, 1, . . . , 9}×· · ·×{0, 1, . . . , 9} = {0, 1, . . . , 9}6來表示。 由後面的表示法可知:在所有的6, 000, 000個位元中0, 1, . . . , 9 的出現次數是一樣多的,所以總共有6, 000, 000 ÷ 10 = 600, 000個0. 將字串與數字 1, 2, 3, . . . , 999999 比較, 有許多0 是多餘的, 由右而左第一直排 多算1個,第二直排多算10個,...,第六直排多算100000個;合計多算 111, 111個 0。 再加上數字1000000 有6 個0, 所以最後的答案是 600, 000 − 111, 111 + 6 = 488, 895. (b)這一小題的證明已經出現在上面的解題過程,你找到了嗎?
