2-3-5三角函數的性質與應用-複數的極式
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(2) 【定義】 1. 複數的極式： y. r=. P ( z ) = P ( x + iy ). x2 + y2. θ. x. (1)複數平面上任一點 P ( z ) = P ( x + iy )( x, y ∈ R ) ， 設 OP = r ，並以 θ 表示任意以 x 軸的正向為始邊， OP 為終邊的有向角， y 則 r = x 2 + y 2 =| x + iy | 且 x = r cosθ ， y = r sin θ 及 tan θ = ， x x y 故有 z = x + iy = x 2 + y 2 ( + i ) = r (cos θ + i sin θ ) ， x2 + y2 x2 + y2 x y 其中 cos θ = ， , sin θ = x2 + y2 x2 + y2 z = r (cos θ + i sin θ ) 稱為複數的極式。 (2)給定一個複數 z = x + iy ( x, y ∈ R ) ， 我們就可以把 z = x + iy 表示成 x + iy = r (cos θ + i sin θ ) 的型式。 反之，若知道 OP = r ，. 2.. 以及任一有向角 θ (以 x 軸的正向為始邊， OP 為終邊)的大小， 就可以確定 P 點的位置及其複數坐標，又 θ 的取法不唯一。 向徑與輻角：. 其中 r = x 2 + y 2 = | x + iy | 稱為複數 x + iy 的向徑(或絕對值)， θ 稱為複數 x + iy 的輻角，記為 arg( z ) ，並將 r (cos θ + i sin θ ) 稱為複數 z = x + iy 的極式表 示，簡稱為極式。 也就是說極式是用長度與角度來描述複數，且若 0 ≤ θ < 2π ，則稱輻角 θ 為 複數的主輻角，把它記為 Arg ( z ) 。 【性質】 1. 若 θ 為 z = x + iy 之輻角，則 θ + 2kπ ( k ∈ Z ) 亦為複數 x + iy 的輻角。主輻角 Arg ( z ) 只有一個，而輻角 arg( z ) 卻有無限多個。 2. 複數 x + iy 的極式 r (cos θ + i sin θ ) 中，須注意 r ≥ 0 ，前後角度必須相同，且以 cosθ 為實部， sin θ 為虛部。 3. 注意： (3 cos 30° + 3i sin 30°) ， − 3(cos 30° + i sin 30°) ， 3(sin 30° + i cos 30°) ， 3(cos 30° − i sin 30°) ， 3(cos 30° + i sin 60°) ， 3(sin 30° − i cos 30°) ， 6 ， 3 1 3 1 − i ) ，及 3( + i ) 等均不為複數極式的型式。 2 2 2 2 4. 化成複數極式的技巧為先調整 r ≥ 0 ，再化成 cos θ , sin θ 的順序，接著化成加 法型式。 3(. 2.
(3) 【公式】 複數的乘除運算與棣美弗定理： 1. 若兩複數的極式分別為 z1 = r1 (cosθ1 + i sin θ1 ) 及 z 2 = r2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) ， 則 z1 z 2 = r1 r2 (cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 )) ， 即複數的乘法，其長度為兩複數的長度相乘，角度為兩複數的輻角相加。 證明： z1 z2 = r1 (cosθ1 + i sin θ1 )r2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) = r1r2 [(cosθ1 cosθ 2 − sin θ1 sin θ 2 ) + i (sin θ1 cosθ 2 + cosθ1 sin θ 2 )] = r1 r2 (cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 )) 1 1 2. 設 z2 = r2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) ，則 = (cos( −θ 2 ) + i sin( −θ 2 )) 。 z 2 r2 證明： (cosθ 2 − i sin θ 2 ) 1 1 = = z2 r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) r2 (cosθ 2 + i sin θ 2 )(cosθ 2 − i sin θ 2 ) 1 1 = (cos θ 2 − i sin θ 2 ) = (cos(−θ 2 ) + i sin( −θ 2 )) r2 r2 3. 若兩複數的極式分別為 z1 = r1 (cosθ1 + i sin θ1 ) 及 z 2 = r2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) ， z r 則 1 = 1 (cos(θ1 − θ 2 ) + i sin(θ1 − θ 2 )) ， z 2 r2 即複數的除法，其長度為兩複數的長度相除，角度為兩複數的輻角相減。 證明： r (cosθ1 + i sin θ1 ) r1 z1 = 1 = (cosθ1 + i sin θ1 )(cos(−θ 2 ) + i sin(−θ 2 )) z2 r2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) r2 r r = 1 (cos(θ1 + (−θ 2 )) + i sin(θ1 + (−θ 2 ))) = 1 (cos(θ1 − θ 2 ) + i sin(θ1 − θ 2 )) r2 r2 【問題】 1. Arg ( z1 z 2 ) = Arg ( z1 ) + Arg ( z 2 ) ？(解答：錯誤) z 2. Arg ( 1 ) = Arg ( z1 ) − Arg ( z 2 ) ？(解答：錯誤) z2 3. arg( z1 z 2 ) = arg( z1 ) + arg( z 2 ) ？(解答：錯誤) z 4. arg( 1 ) = arg( z1 ) − arg( z 2 ) ？(解答：錯誤) z2. 3.
(4) 5. 試解釋複數極式的乘法及除法之幾何意義(如旋轉、伸縮等意義)？試以下圖 z 1 例子中 z1 及 z 2 作圖標出 z1 z 2 、 1 及 之位置。 z2 z2 (解答：乘或除一個複數就是表示對某一點的伸縮及旋轉之意。). y z 2 = 2(cos. z1 = (cos. π 4. π. π. + i sin ) 3 3. + i sin. π 4. ). x. 【定理】 棣美弗定理(De Moivre`s Theorem)： 若 z = r (cos θ + i sin θ ) 為極式，則 z n = r n (cos nθ + i sin nθ ), ∀n ∈ Z 均成立。 證明： (1)當 n = 1 時， z 1 = r 1 (cos(1 ⋅ θ ) + i sin(1 ⋅ θ )) ，原式成立。 設 n = k 時，原式成立， 即 z k = r k (cos kθ + i sin kθ ) 成立， 則 n = k + 1 時， z k +1 = z k z = r k (cos kθ + i sin kθ )r (cos θ + i sin θ ) = r k +1 (cos(k + 1)θ + i sin(k + 1)θ ) ， 故由數學歸納法得知 z n = r n (cos nθ + i sin nθ ), ∀n ∈ N 均成立。 (2)當 n = 0 時， z 0 = 1 = r 0 (cos(0 ⋅ θ ) + i sin(0 ⋅ θ )) ，原式成立。 (3)當 n = − m, m ∈ N 時， 1 1 1 z n = z −m = m = m = m (cos( − mθ ) + i sin( − mθ )) z r (cos mθ + i sin mθ ) r. = r − m (cos(−mθ ) + i sin( −mθ )) = r n (cos nθ + i sin nθ ) 。 由上知 z n = r n (cos nθ + i sin nθ ), ∀n ∈ Z 均成立。 註： 1. 有時棣美弗定理指的是： 若 z = r (cos θ + i sin θ ) 為極式， 則 z n = r n (cos nθ + i sin nθ ), ∀n ∈ N 均成立。 2. 此定理即表示 | z n | = | z | n 及 arg( z n ) = n arg( z1 ) + 2kπ , k , n ∈ Z 。 3. 定理可以用於簡化複數的乘除法運算。 1 1 4. 若 x + = 2 cos θ ⇒ x = cosθ ± i sin θ ⇒ x n + n = 2 cos nθ 。 x x 4.
(5) 【問題】 1的 3 次方根： 試解方程式 z 3 = 1 。 解答： 設解之極式為 r (cos θ + i sin θ ) 且 1之極式為 (cos 0 + i sin 0) ⇒ (r (cos θ + i sin θ )) 3 = (cos 0 + i sin 0) ⇒ r 3 (cos 3θ + i sin 3θ ) = (cos 0 + i sin 0). ⎧r = 3 1 ⎧r 3 = 1 ⎪ ⇒⎨ ⇒⎨ 2kπ , k = 0,1,2 ⎩3θ = 0 + 2kπ , k ∈ z ⎪θ = 3 ⎩ 2kπ 2 kπ ⇒ 根為 z k = cos + i sin , k = 0,1,2 3 3 此 3 個根稱為 1 的 3 次方根。 y A1 ( w). A0 (1) x. A2 ( w 2 ) 【性質】 若令 ω = cos. 2π 2π ，則此 3 個根為 z 0 , z1 , z 2 ，即 1, w, w 2 ，且有以下性質： + i sin 3 3. 1. ω 3 = 1 。 2. 1 + ω + ω 2 = 0 。 3. 已知 z 3 − 1 = ( z − 1)( z 2 + z + 1) ， 又 z 3 − 1 = ( z − 1)( z − ω )( z − ω 2 ) ， 可得 z 2 + z + 1 = ( z − ω )( z − ω 2 ) ， 令 z = 1 代入， 得 (1 − ω )(1 − ω 2 ) = 3 。 4. 若點 Ak ( z k ), k = 0,1,2 ， 此 3 個根在複數平面上半徑為 1的圓上，並將單位圓 3 等份， 2π 即 ∠Ai OAi +1 = , i = 0,1,2 (令 A3 = A0 )。 3 2π 1 5. 此 3 個根在複數平面上所圍成的正三角形面積為 3 ⋅ ( ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ sin )。 3 2 6. A0 A1 × A0 A2 = | 1 − ω | × | 1 − ω 2 | = | 3 | = 3 。. 5.
(6) 【方法】 1的 n 次方根： 試解方程式 z n = 1, n ∈ Z + 。 解答： 設解之極式為 r (cos θ + i sin θ ) 且 1之極式為 (cos 0 + i sin 0) ⇒ (r (cos θ + i sin θ )) n = (cos 0 + i sin 0) ⇒ r n (cos nθ + i sin nθ ) = (cos 0 + i sin 0). ⎧r = n 1 ⎧r n = 1 ⎪ ⇒⎨ ⇒⎨ 2kπ , k = 0,1,2, L, n − 1 ⎩nθ = 0 + 2kπ , k ∈ z ⎪θ = n ⎩ 2 kπ 2 kπ ⇒ 根為 z k = (cos + i sin ), k = 0,1,2, L , n − 1 n n 此 n 個根稱為 1的 n 次方根。 【性質】 2π 2π ，則此 n 個根為 z 0 , z1 , z 2 ,L, z n −1 ，即 1, w, w 2 ,L , w m −1 ， 若令 ω = cos + i sin n n 且有以下性質： y A1 ( z1 ) = A1 ( w). A2 ( z 2 ) = A2 ( w ) 2. A0 ( z0 ) = A0 (1). 2π n. x (1,0) An −1 ( z n −1 ) = An −1 ( w n −1 ). 1. ω n = 1 。 n −1. n −1. k =0. k =0. 2. 1 + ω + ω 2 + L + ω n −1 = 0 (即實部 ∑ cos kθ = 0 且虛部 ∑ sin kθ = 0 )。 n −1. n−2. 3. 已知 z − 1 = ( z − 1)( z + z + L + z + 1) ， 又 z n − 1 = ( z − 1)( z − ω )( z − ω 2 ) L ( z − ω n −1 ) ， 可得 z n −1 + z n − 2 + L + z + 1 = ( z − ω )( z − ω 2 ) L ( z − ω n −1 ) ， 令 z = 1 代入， 得 (1 − ω )(1 − ω 2 ) L (1 − ω n −1 ) = n 。 4. 若點 Ak ( z k ), k = 0,1,2,L , n − 1 ， 此 n 個根在複數平面上半徑為 1的圓上，並將單位圓 n 等份， 2π 即 ∠Ai OAi +1 = , i = 0,1,2, L , n − 1 (令 An = A0 )。 n 2π 1 5. 此 n 個根在複數平面上所圍成的正 n 邊形面積為 n ⋅ ( ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ sin )。 2 n 6. A0 A1 × A0 A2 × L × A0 An −1 = | 1 − ω | × | 1 − ω 2 | ×L× | 1 − ω n −1 | = | n | = n 。 n. 6.
(7) 【方法】 複數 a 的 n 次方根： 試解方程式 z n = a, n ∈ Z + , a ∈ C 。 解答： 設解之極式為 r (cos θ + i sin θ ) 且 a 之極式為 r0 (cos θ 0 + i sin θ 0 ) ⇒ ( r (cos θ + i sin θ )) n = r0 (cos θ 0 + i sin θ 0 ) ⇒ r n (cos nθ + i sin nθ ) = r0 (cos θ 0 + i sin θ 0 ). ⎧r = n r0 ⎧r n = r0 ⎪ ⇒⎨ ⇒⎨ θ 0 + 2kπ , k = 0,1,2,L, n − 1 ⎩nθ = θ 0 + 2kπ , k ∈ z ⎪θ = n ⎩ θ + 2kπ θ + 2kπ + i sin 0 ), k = 0,1,2, L, n − 1 ⇒ 根為 z k = n r0 (cos 0 n n 此 n 個根稱為 a 的 n 次方根。 【性質】 θ θ 2π 2π + i sin ， 若令 z 0 = n r0 (cos 0 + i sin 0 ), ω = cos n n n n 則此 n 個根為 z 0 , z1 , z 2 ,L , z n −1 ，即 z 0 , z 0ω , z 0ω 2 , L , z 0ω n −1 ， 且有以下性質： (註： z 0 = [ n r0 (cos n. θ0 n. + i sin. θ0 n. )]n = r0 (cos θ 0 + i sin θ 0 ) = a ) y. A1 ( z1 ) = A1 ( z0 w) A2 ( z 2 ) = A2 ( z 0 w ) 2. A0 ( z 0 ) 2π n. ( n r0 ,0). x. An −1 ( z n −1 ) = An −1 ( z 0 w n −1 ). 1. z n − a = ( z − z 0 )( z − z1 )( z − z 2 ) L ( z − z n −1 ) = ( z − z 0 )( z − z 0ω )( z − z 0ω 2 ) L ( z − z 0ω n −1 ) 。. 2. 若點 Ak ( z k ), k = 0,1,2,L , n − 1 ，. 此 n 個根在複數平面上半徑為 n r0 的圓上，並將此圓 n 等份， 即 ∠Ai OAi +1 =. 2π , i = 0,1,2, L , n − 1 (令 An = A0 )。 n. 1 2π 3. 此 n 個根在複數平面上所圍成的正 n 邊形面積為 n ⋅ ( ⋅ n r0 ⋅ n r0 ⋅ sin ) 。 2 n. 7.
(8) 【定義】 極坐標： 設 P ( z ) = P ( x + iy ) 的極式為 r (cos θ + i sin θ ) ， 以符號 [r , θ ] 來做為 P (z ) 的坐標，稱為極坐標，記為 [r , θ ] 。 在複數平面上選定一點 O ，再過 O 作一數線 L ， 以其正向為始邊，繞定點 O 旋轉，使 P 點恰在其上， 若其旋轉量 θ (為一有向角，逆時針為正、順時針為負)，且設 OP = r ， 我們就可以利用 r , θ 來描述 P 點的位置， 用符號 [r , θ ] 表示 P 點的位置，這種表示法就是極坐標表示法。 其中 O 點稱為該極坐標系的極(或極點)，數線 L 稱為極軸， 並稱 [r , θ ] 為 P 點的極坐標。. P ( z ) = P ( x + iy ) r. θ. L. O. 註： 1. 極坐標就是用長度與角度來描述點之意。 2. 點的極坐標的表示法不唯一(因為有同界角的關係)， 但直角坐標的表示法唯一。 3. 直角坐標： ( x, y ) = ( r cos θ , r sin θ ) 。 複數坐標： z = x + iy = r (cos θ + i sin θ ) 。 極坐標： [r , θ ] 。 【公式】 兩點距離： 兩點 A[r1 ,θ1 ], B[r2 , θ 2 ] 的距離為 AB = r1 + r2 − 2r1 r2 cos(θ1 − θ 2 ) 2. 2. y B[r2 , θ 2 ]. A[r1 , θ1 ]. x. 8.
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