1-2-2數與坐標系-有理數與實數

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(1)2-2 數與坐標系-有理數與實數【定義】有理數：凡可以表成. q , p, q ∈ Z , p ≠ 0 的數，稱為有理數。 p. 【方法】在數線上標出有理數： n 一個正有理數 r = ，其中 m, n 都是正整數時， m 1 可將數線以為最小刻度， m n 在原點右方的第 n 個刻度即是。 m n 若 − r = − ，其位置在原點左方(負方向)的第 n 個刻度點。 m 可知，每一個有理數都可以標示在數線上。【性質】有理數的稠密性：任意兩個不相等的有理數之間，至少有一個有理數存在。有理數的基本運算： b d bc + ad 1. 加法： + = ， ac ≠ 0 。 a c ac b d bc − ad 2. 減法： − = ， ac ≠ 0 。 a c ac b d bd ， ac ≠ 0 。 3. 乘法： × = a c ac b d bc ， acd ≠ 0 。 4. 除法： ÷ = a c ad 註：有理數的加減乘除都還是有理數。【問題】 1. 無理數的加減乘除都還是無理數？ 2. 有理數與無理數的加減乘除是什麼數？ 3. 證明 2 為無理數。 4. 證明 3 2 為無理數。 5. 證明 3 + 2 為無理數。 6. 證明 3 2 為無理數。 7. 證明 2 + 3 7 為無理數。【定理】 b 最簡分數是有限小數之充要條件為分母只含 2 或 5 的質因數。 a 有理數就是整數或有限小數或循環小數： b ∈ Q, a ≠ 0 ，在除的過程中 a 9.

(2) b 1. 若 r = 0 ，則為整數或有限小數。 a b 2. 若 r ≠ 0 ，則 r = 1,2,", | a | −1，至多 | a | 次必循環且循環節 ≤| a | −1 ，則為循 a 環小數。【定理】若自然數 n 的質因數分解中(標準分解式)，至少有一個質因數出現了奇數次，則 n 為無理數。無理數就是不循環無限小數。【性質】有理數與無理數一起構成了實數。全體的實數所成的集合記做 R 。全體的實數和數線上的點形成一對一的對應。實數的運算具有以下性值： 1. 結合律： (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) 2. 交換律： a + b = b + a ab = ba 3. 分配律： a(b + c) = ab + ac 4. 消去律：若 a + c = b + c ，則 a = b 若 ac = bc, (c ≠ 0) ，則 a = b 5. 三一律： a > b, a = b, a < b 三者中恰有一成立。 6. 遞移律：若 a < b, b < c ，則 a < c 7. 加法律：若 a < b ,則 a + c < b + c 8. 乘法律：若 a < b 且 c > 0 ,則 ac < bc 若 a < b 且 c < 0 ,則 ac > bc 9. 若 a 為實數,則 a 2 ≥ 0 【性質】 1. 設 a, b, c, d ∈ Q ，若 a + b 2 = c + d 2 ⇔ a = c, b = d 。【定義】絕對值：每一個實數都可以標示在數線上，實數 x 到原點 O 的距離記做 | x | ，也就是 x 的 ⎧ x, 當x ≥ 0時絕對值，換言之 | x |= ⎨ 。 ⎩− x, 當x ≤ 0時【性質】絕對值的運算性質： 1. | a |≥ 0 。 2. | a + b |≤| a | + | b | 。 3. | ab |=| a | × | b | 。 b |b| (a ≠ 0) 。 4. | |= a |a| 5.. a 2 =| a | 。. 10.

(3) 絕對值不等式的解： 1. | x |≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a 2. | x |< a ⇔ − a < x < a 3. | x |≥ a ⇔ x ≥ a或x ≤ −a 4. | x |> a ⇔ x > a或x < a 【性質】數系間的關係： ⎧ ⎧ ⎧正整數(自然數) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪有理數 ⎪整數 ⎨零 ⎨ ⎪ ⎪負整數實數 ⎨ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪分數(有限小數, 循環小數) ⎩ ⎪ ⎪⎩無理數 (不循環的無限小數 ). 11.

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