2-3-7三角函數的性質與應用-複數的極式

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(1)第二冊 3-7 三角函數的性質與應用-複數的極式複數平面(高斯平面)：每個複數 z = x + iy , x, y ∈ R 都恰好對應於此平面上的唯一一點 ( x, y ) 。反之，給定坐標平面上一個點 ( x, y ) ，可找到唯一一個複數 z = x + iy 與之對應。這種與複數對應的平面稱為複數平面， x 軸又稱實軸， y 軸又稱為虛軸。當點 P ( x, y ) 對應於複數 z = x + iy ，我們稱 z = x + iy 為 P 點的複數坐標，並寫成 P (z ) 或 P ( x + iy ) 。共軛複數：設 z = x + iy ，則 z = x − iy 稱為 z 的共軛複數。複數的絕對值：對於複數 z1 = x1 + iy1 , z 2 = x 2 + iy 2 , x1 , y1 , x2 , y 2 ∈ R ，他們差的絕對值 | z1 − z 2 |= ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 表示兩點 P1 ( z1 ), P2 ( z 2 ) 的距離。【性質】 1. z1 ± z2 = z1 ± z2 。 2.. z1 × z2 = z1 × z2 。. z1 z )= 1 。 z2 z2 4. | z1 × z2 |=| z1 | × | z2 | 。 |z | z 5. | 1 |= 1 。 z2 | z2 | 【問題】 1. 試在複數平面上用 z = x + iy 表示出 P (z ) 點對於 x 軸， y 軸與原點的對稱點？ 2. 試在複數平面上說明 z1 = x1 + iy1 , z 2 = x 2 + iy 2 , x1 , y1 , x2 , y 2 ∈ R 與 z1 + z 2 , z1 − z 2 之間的幾何關係？【定理】平行四邊形定理：平行四邊形的兩對角線平方的和恰好等於各邊平方的和。【定義】複數的極式： 3.. (. 複數平面上任一點 P ( x + iy ), x, y ∈ R ，設 OP = r ，並以 θ 表示任意以 x 軸的正向為始邊， OP 為終邊的有向角，則 r = x 2 + y 2 =| x + iy | 且 x = r cosθ ， y = r sin θ y 及 tan θ = ，故有 x + iy = r (cos θ + i sin θ ) 。因此給定一個複數 z = x + iy 其中 x, y x 為實數，我們就可以把 z = x + iy 表示成 x + iy = r (cos θ + i sin θ ) 的型式。反之，若知道 OP = r ，以及任一有向角 θ (以 x 軸的正向為始邊， OP 為終邊)的大小，就可以確定 P 點的位置及其複數坐標。向徑與輻角：其中 r = x 2 + y 2 =| x + iy | 稱為複數 x + iy 的向徑(或絕對值)， θ 稱為複數 x + iy 的輻角，記為 arg(z ) ，並將 r (cos θ + i sin θ ) 稱為複數 z = x + iy 的極式表示，簡稱為極式。且若 0 ≤ θ < 2π ，則稱輻角 θ 為複數的主輻角，把它記為 Arg (z ) 。 40.

(2) 【性質】 1. 若 θ 為 x + iy 之輻角，則 θ + 2kπ , k ∈ Z 亦為複數 x + iy 的輻角。主輻角只有一個，而輻角卻有無限多個。 2. 複數 x + iy 的極式 r (cos θ + i sin θ ) 中，須注意 r ≥ 0 ，而前後角度必須相同，且以 cosθ 為實部， sin θ 為虛部。 3. 注意： − 3(cos 30° + i sin 30°) ， 3(sin 30° + i cos 30°) ， 3(cos 30° − i sin 30°) ， 3 1 3 1 − i ) ，以及 3( + i) 2 2 2 2 等均不為複數極式的型式。但 3(cos sin −1 30° + i sin sin −1 30°) 為複數極式的型式。 4. 化成複數極式的技巧為先化成 cos θ , sin θ 的順序，再化成加法型式。【公式】複數的乘除與棣美弗定理： 1. 若兩複數的極式分別為 z1 = r1 (cosθ1 + i sin θ1 ) 及 z 2 = r2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) ，則 z1 z 2 = r1 r2 (cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 )) ，即長度相乘，輻角相加。 1 1 2. 設 z = r (cos θ + i sin θ ) ，則 = (cos( −θ ) + i sin( −θ )) 。 z r 若兩複數的極式分別為 z1 = r1 (cosθ1 + i sin θ1 ) 及 z 2 = r2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) ， z r 3. 則 1 = 1 (cos(θ1 − θ 2 ) + i sin(θ1 − θ 2 )) ，即長度相除，輻角相減。 z 2 r2 【問題】 1. Arg ( z1 z 2 ) = Arg ( z1 ) + Arg ( z 2 ) ？ z 2. Arg ( 1 ) = Arg ( z1 ) − Arg ( z 2 ) ？ z2 3. 試解釋複數極式的乘法幾何意義(如旋轉、伸縮等意義)？【定理】棣美弗定理：若 z = r (cos θ + i sin θ ) ，則 z n = r n (cos nθ + i sin nθ ), ∀n ∈ N 均成立。註： 1. 可用數學歸納法證明。 2. 此定理即表 | z n |=| z | n 及 arg( z n ) = n arg( z1 ) + 2kπ , k , n ∈ Z 。 3(cos 30° + i sin 60°) ， 3(sin 30° + i cos 30°) ， 6 ， 3(. 3. 可以推廣至 z n = r n (cos nθ + i sin nθ ), ∀n ∈ Z 。 4. 定理可以用於簡化複數的乘法運算。 1 1 5. 若 x + = 2 cosθ ⇒ x n + n = 2 cos nθ 。 x x 【方法】複數的 n 次方根：試解 z n = a, n ∈ Z + , a ∈ C ？設解為 z = r (cos θ + i sin θ ) 且 a = r0 (cosθ 0 + i sin θ 0 ) ⇒ ( r (cos θ + i sin θ )) n = r0 (cos θ 0 + i sin θ 0 ) ⇒ r n (cos nθ + i sin nθ ) = r0 (cos θ 0 + i sin θ 0 ). 41.

(3) ⎧r n = r0 ⇒⎨ ,k ∈ z ⎩nθ = θ 0 + 2kπ ⎧r = n r0 ⎪ ⇒⎨ θ 0 + 2kπ , k = 0,1,2," , (n − 1) = θ ⎪ n ⎩ θ + 2kπ θ + 2kπ ⇒ z k = n r0 (cos 0 + i sin 0 ), k = 0,1,2," , (n − 1) n n 此 n 個根稱為 a 的 n 次方根。 θ θ 2π 2π 註：若令 z0 = n r0 (cos 0 + i sin 0 ), ω = (cos + i sin ) n n n n 則此 n 個根為 z0 , z0ω , z0ω 2 ," , z0ω n −1 。【性質】. 1. 上述 n 個 a 的 n 次方根都在半徑為 n r0 的圓周上。 2π , i = 0,1,2," (n − 1) 。 n 3. 點 Ak ( z k ), k = 0,1,2," , (n − 1) 構成一個正 n 邊形。【例題】試解 z n = 1, n ∈ Z + ？ 2π 2π 假設 ω = cos ， + i sin n n 則 1. ω n = 1. 2. 若點 Ak ( z k ), k = 0,1,2," , (n − 1) ，則 ∠Ai OAi +1 =. n. n. k =1. k =1. 2. 1 + ω + ω 2 + " + ω n −1 = 0 (即 ∑ cos kθ = 0,∑ sin kθ = 0 ) 3. z − 1 = ( z − 1)( z + z + " + z + 1) = ( z − 1)( z − ω )( z − ω 2 )" ( z − ω n −1 ) = 0 (可得 (1 − ω )(1 − ω 2 )" (1 − ω n −1 ) = n ) 4. 此 n 個根在複數平面上將單位圓 n 等份。【定義】極坐標：在複數平面上選定一點 O，再過 O 作一數線 L ，以其正向為始邊，繞定點 O 旋轉，使 P 點恰在其上，若其旋轉量 θ (為一有向角，逆時針為正、順時針為負)，且設 n. n −1. n−2. OP = r ，我們就可以利用 r , θ 來描述 P 點的位置，用符號 [r , θ ] 表示 P 點的位置，這種表示法就是極坐標表示法。其中 O 點稱為該極坐標系的極(或極點)，數線 L 稱為極軸。並稱 [r , θ ] 為 P 點的極坐標。. 42.

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