單元10-直角三角形的三角比

180

古人利用竿子與其影子來測量金字塔的高度，這已 實際應用了三角比的概念；後來三角比更進一步成為研 究天文學的重要工具。例如測量恆星的距離、推估地球 的半徑。如今，三角比已廣泛地應用在航空、建築、工 程，甚至醫學與音樂等。介紹三角比與其關係式是本單 元討論的重點。

直角三角形的

三角比

10

▲ 圖1

甲

銳角三角比

如圖2所示，雖然竿子的高度BC 與金字塔的高度 B Cl l不同，但是陽光是沿著同一個方向平行照射而來， 所 以 陽 光 與 地 面 形 成 了 一 個 固 定 的 角 度 ， 即3ABC 和 A B C 3 l l l 相似；將這兩個直角三角形疊合如圖3，並利用 相似三角形對應邊成比例，得 B C BC A C AC A B AB = = l l l l l l 。 因此，只要測量得 AC , BC 與 A Cl l 的長度，便可求得金 字塔的高度（ B Cl l ）。進一步來說，可將以上式子改寫 成以下三個式子： ▲ 圖2 ▲ 圖3

10

直角三角形的三角比

181

AB BC A B B C = l l l l , AB AC A B A C = l l l l , AC BC A C B C = l l l l 。 也就是說，當 A+ 固定時，這些邊對應的比值與三角形的大小 無關，我們稱這些比值為 A+ 的「三角比」。 在 直 角 三 角 形 ABC 中 （ C+ =90

c

） ， BC 稱 作 A+ 的對 邊，AC 稱作 A+ 的鄰邊， AB 稱作斜邊。對 A+ 而言，將上述 的三個三角比分別給定下列名稱。 在直角三角形ABC中（ C+ =90

c

），當 A+ 的對邊長 為a，鄰邊長為b，且三角形的斜邊長為c時，規定： 1 sin A A c a + = 的對邊長 = 斜邊長 ，稱作 A+ 的正弦。 2 cos A A c b + = 的鄰邊長 = 斜邊長 ，稱作 A+ 的餘弦。 3 tan A A A b a + + = 的對邊長 = 的鄰邊長 ，稱作 A+ 的正切。 銳角三角比的定義

以上符號sin,cos和tan分別為sine,cosine及tangent的縮寫。接著，以邊長

為5、12、13的直角三角形為例來計算三角比。

在三角形 ABC 中，已知 C+ =90

c

, AB=13, AC= 12,

BC=5，求 sin A , cos A 及 tan A 的值。

解 根據三角比的定義，得 sin A AB BC 13 5 = = , cos A AB AC 13 12 = = , tan A AC BC 12 5 = = 。

例題

1

▲ 圖4

182

隨堂練習

求下列各三角形中 sin A , cos A 及 tan A 的值。

1　　　　　　2　　　　　　　　3 已知一個銳角的某個三角比時，利用作圖與畢氏定理，就可求得另外二個三 角比。 已知 A+ 為銳角且 cos A 25 24 = ，求 sin A 和 tan A 的值。

隨堂練習

已知 A+ 為銳角且 sin A 3 2 = ，求 cos A 和 tan A 的值。 解 作一直角三角形 ABC ，使 C+ 為直角，斜邊 AB= ,3 A + 的對邊 BC=2，如右圖所示。由畢氏定理得 AC= AB2-BC2= 32-22 = 5。 根據三角比的定義，得 cos A 3 5 = , tan A 5 2 5 2 5 = = 。

例題

2

10

直角三角形的三角比

183

在直角三角形 ABC 中， C+ 為直角，以 a , b , c 分 別表示 A+ , + ,B + 的對邊長，由三角比的定義，得C sin A c a = ,cos A c b = 。 移項後可得：直角三角形的兩股長分別為 sin a= c A,b= ccosA。 如 圖 5 所 示 ， 其 中 線 段 A C 也 稱 為 線 段 A B 在 直 線 A C 上 的正 射 影， 其 長 度 cos AC= AB A。也就是說，已知斜邊長與「角」則可得鄰邊長與對邊長。利用 這個結論來看一題三角比的應用問題。 如 右 圖 ， 在3ABC 中 ， AD= BC 。 已 知 AB=40, cos B 5 4 = , tan C 7 24 = ，求 BC 的值。

隨堂練習

如右圖， ABD3 與 BCD3 皆為直角三角形。已知 AB= 17, sin 17 15 i = ,cos 5 3 z = ，求 1 BD 的值。　　　2 BC 的值。　　　　3 CD 的值。 解 1 在 ABD3 中，BD ABsin 17 17 15 15 # i = = = 。 2 在 BCD3 中，BC BDcos 15 5 3 9 # z = = = 。 3 由畢氏定理得 CD= 152-92 =12。

例題

3

▲ 圖5

184

常 用 的 三 角 板 分 別 是 正 方 形 的 一 半 （ 45

c

-45

c

-90

c

） 與 正 三 角 形 的 一 半 （30

c

-60

c

-90

c

），利用畢氏定理可得這兩個三角形的邊長比分別為 : :1 1 2 （圖 6(a)）和 :1 3 2 （圖: 6(b)）。 ▲ 圖6 (a) (b) 利用這兩個直角三角形的邊角比，可得 30

c

, 45

c

, 60

c

這三個常用特別角的三角 比。 當角度不是特別角時，可以透過計算機的操作求三 角 比 。 開 始 計 算 之 前 ， 確 認 計 算 機 螢 幕 畫 面 上 方 顯 示 「DEG」，如圖7所示，即計算機的操作設定為DEG模 式（輸入的角以「度」為單位）。若不在此模式中，只 要依序按下 4 看到螢幕畫面上方出現「DEG」，表示設定成功。（本書之後提及計算機皆預設 在DEG模式中，不再另行說明。）不同的計算機機型在角度單位的變換按法略 有不同，計算機的型號太多，無法一一列舉，同學可自行參照各計算機的使用說 明書。 ▲ 圖7

10

直角三角形的三角比

185

接著，我們以 sin 5

c

和 cos 5

c

為例，只要分別依序按鍵如圖8所示，即可得到 它們的近似值。 ▲ 圖8

(a)sin 5c.0 0872. (b)cos 5c .0 9962.

5 5 反過來，已知三角比的值，也可利用計算機來求其對應的角度。例如已知 . sini =₁ 0 6與 tani = ，只要分別依次按鍵如圖₂ 3 9所示，即可得到i 與₁ i 的近₂ 似值。 ▲ 圖9 (a)i₁.37c (b)i₂.72c .6 3 其中，計算機上的 、 與 分別稱為反正弦鍵、反餘弦鍵與反正切 鍵。

186

1 求 sin 30

c

, sin 45

c

及 sin 60

c

的值。

2 利用直尺測量右圖三角形的三邊長來估算 sin A 的值與 A + 的角度。（四捨五入到小數點以下第1位） 解 1 利用 30

c

-60

c

-90

c

的 三 角 形 邊 長 比 為 :1 3 2 及 45:

c

-45

c

-90

c

的 三 角形邊長比為 : :1 1 2 ，作圖如下： 根據三角比的定義，得 sin 30 2 1

c

= ,sin 45 2 1 2 2

c

= = ,sin 60 2 3

c

= 。 2 利用直尺量得AB=2 5. （公分）, BC= 2（公分）。根據三角比的定 義，得 . . sin A 2 5 2 0 8 = = 。 利用計算機，依序按下 0.8 即可得+ .A 53 1.

c

。

例題

4

10

直角三角形的三角比

187

隨堂練習

1 試完成下表。 i 三角比 30

c

45

c

60

c

sini cosi tani 2 求 cos 53

c

的值。（四捨五入到小數點以下第1位）。 本書之後銳角三角比與反三角的計算機操作，不再每題重複逐步說明，同學 可自行練習。

乙

三角比的基本關係式

以下我們來介紹三角比之間的關聯性。 在 直 角 三 角 形 ABC 中 ， + 為 直 角 ，C +A=i , B 90

c

+ = -i，以 a , b , c 分別表示 A+ , + ,B + 的對邊C 長（如圖10所示），由三角比的定義知 sin c a i = , cos c b i = , tan b a i = 。 可進一步推得： 1 tan cos sin b a c b c a i i i = = = 。 2 sin cos c a c b c a b c c 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i + i = + = + = = ^ h ^ h 。 3 sin cos c b 90

c

-i = = i ^ h , cos sin c a 90

c

-i = = i ^ h 。

習慣上，經常將 sin^ ih2和 cos^ ih2分別寫成 sin2i 和 cos2i 。

188

將以上三個關係式整理如下。 1 tan cos sin i i i = 。 【商數關係式】 2 sin2i+cos2i= 。 1 【平方關係式】

3 sin^90

c

-ih=cosi, cos^90

c

-ih= sini。 【餘角關係式】

銳角三角比的關係式

來練習利用上面三個關係式解題。

隨堂練習

選出以下正確的選項。 1 tan10

c

#cos10

c

=sin10

c

2 tan cos sin 20 70 70

c

c

c

= 3 sin45

c

=cos45

c

4 sin220

c

= -1 cos220

c

5 sin250

c

= -1 sin240

c

。 利用以上三個關係式，練習三角比求值的問題。 求下列各式的值：

1 cos234

c

+cos256

c

。　　　　2 tan

cos 65 65 1 2 2

c

c

- 。 解

1 因為 34

c

+56

c

= 90

c

，所以 cos34

c

=cos^90

c

-56

c

h=sin56

c

， 利用平方關係式，得

cos234

c

+cos256

c

=sin256

c

+cos256

c

= 。1

10

直角三角形的三角比

189

2 利用商數關係式，得 tan cos sin 65 65 65

c

c

c

= ， 利用上式與平方關係式，得 tan cos cos sin cos 65 65 1 65 65 65 1 2 2 2 2 2

c

c

c

c

c

- = -sin 65

c

+cos 65

c

cos sin 65 65 2 2 2 2

c

c

= -_ i cos cos 65 65 1 2 2

c

c

= - =- 。 求下列各式的值： 1 sin253

c

+sin237

c

。　　　　2 sin 35 tan 1 55 2 2

c

-

c

。

隨堂練習

來做一道綜合銳角三角比的關係式與乘法公式的例題。 已知 i 為銳角，且 sin cos 5 7 i+ i= ，求下列各式的值：

1 sini:cosi 。　　　　2 sin3i+cos3i。

解

1 將 sin cos 5 7

i+ i= 兩邊平方，得

sin 2sin cos cos

25 49 2 2 : i+ i i+ i= ， 因為 sin2i+cos2i= ，所以上式可化簡得1

例題

6

190

sin cos 1 2 25 49 : i i + = 。 故 sin cos 25 12 : i i = 。

2 sin3i+cos3i=^sini+cosih_sin2i-sin cosi i+cos2ii

5 7 1 25 12 5 7 25 13 125 91 # # = e - o= = 。 已知 i 為銳角，且 sin cos 2 1 i- i= ，求下列各式的值：

1 sini:cosi 。　　　　2 sini+cosi。　　　　3 sin3i-cos3i。

隨堂練習

接著，來看一道跟引言有關的應用問題。 早上升旗時，陽光沿著同一個方向平行照射而 來，與地面形成了一個固定的角度 i ，如右示 意圖，又某生的身高為150公分，且測得影子 長度為250公分。 1 求 tan i 的值。 2 已知升旗桿影子長度為750公分，求升旗桿的高度。 解 1 因為身高為150公分，且影子長度為250公分，所以 . tan 250 150 5 3 0 6 i = = = 。

例題

7

10

直角三角形的三角比

191

2 設升旗桿高為x公分。因為 tan x 750 i = ， 所以 . x 750 =0 6， 解得 x=450。故升旗桿的高度為450公分。 坡度用於表示斜坡的陡峭程度，當斜坡與水平 面形成的角度為 i 時，定義 坡度=tani#100%。 日本的江島大橋因廣告拍攝凸顯出坡度陡峭而 聞名。已知其引道坡度達 . %6 1 ，當車輛水平前 進100公尺時，求上升的高度約為幾層樓高？ 1 一層樓（約3公尺）高 2 兩層樓（約6公尺）高 3 三層樓（約9公尺）高 4 四層樓（約12公尺）高。

隨堂練習

自古即有利用三角學測量高度的例子，例如古埃及測金字塔高度，劉徽的 《海島算經》測量了遠處或無法到達地點之物的高度；此外，天文學家亦使用三 角學測量地球的大小，進而定位並製作成地圖；直到今日，三角學仍是測量所倚 重的理論基礎。 測量上有一些常用的名詞，例如：物體與地心的連線稱作鉛垂線，和鉛垂 線垂直的線都稱為水平線；觀測高處或低處目標時，視線與水平線所形成的夾 角，分別稱作仰角和俯角，如圖11所示。 ▲ 圖11

192

測量建築物高度是常見的測量問題，來看一道例題。 想測量臺北101大樓的高度，先在地面上A點測得樓 頂的仰角為 45

c

，再朝大樓方向前進370 公尺到達B 點，測得樓頂的仰角為 75

c

，求大樓高度。（四捨五 入到整數位） 解 如 圖 所 示 ， 設 樓 高 CD=x 公 尺 。 在3ACD 中 ， 因 為 tan AC x 45

c

1 = = ，所以 AC=x。 在 BCD3 中，因為 tan BC x 75

c

= ，所以 tan BC x 75

c

= 。 又因為 AC= AB+BC ，所以 tan x 370 x 75

c

= + 。 移項整理，得 tan x 1 75 1 370

c

- = e o 。利用計算機解得 tan tan x 370 75 1 75 505 #

c

c

. = - 。 故臺北101大樓的高度約為505公尺。

例題

8

想測量某風景區中大佛的高度。首先在與大佛頂部仰角恰為 45

c

的地面A 點處做上記號，再面對著佛像後退到仰角恰為22 5.

c

的B點，最後測得A 點和B點的距離為20公尺。問：佛像高度為多少公尺？（四捨五入到整 數位）

隨堂練習

10

193

193

一、觀念題

以下各小題對的打「○」，錯的打「×」。 1 當 i 為銳角時，01sini11。 2 tan sin cos 20 70 70

c

c

c

= 。 3 sin210

c

+cos220

c

= 。1 4 sin210

c

+sin280

c

= 。1

二、基礎題

已知 i 為銳角且 cos 4 3 i = ，求 sin i 和 tan i 的值。 如右圖，在銳角三角形 ABC 中，已知 AD= BC , AC= ,b AB= ，選出以下正確的選項：c 1 AD=bsinC 2 AD=csinB 3 CD=bcosC 4 BC=ccosB+bcosC。

194

2 tan230

c

+sin245

c

+cos260

c

。

求下列各式的值：

1 sin^ 20

c

+cos20

c

h2+^sin20

c

-cos20

c

h 。2

2 cos2i:tan2i+sin 902^

c

-ih 。

已知 i 為銳角，且 sin cos 2 3 i+ i= ，求 cos sin sin cos i i i i + 的值。 坡度用於表示斜坡的陡峭程度，當斜坡與水平面形成的角度為 i 時，定義 坡度為tani#100%。內政部營建署規定橋梁的坡度不可超過12%。 已知某橋梁的機車引道坡度為18%，且其水平長度為200公尺，為符合規 定，水平長度應該至少增加x公尺，如下圖所示，求x的值。

195

三、進階題

如右圖， ABC3 中， AD= BC 。已知 AB=25, sin B 5 3 = , sin C 17 15 = ，求 BC 的長度。 利用右圖求tan 22 5.

c

的值。

設 i 為銳角， sini = ，試用k k表出 cos i 和 tan i 。

如 右 圖 所 示 ， 從 大 樓 的 頂 端 測 量 地 面 的 一 棵 大

樹，得樹底的俯角為 60

c

，樹頂的俯角為 30

c

。已