數列與級數

數列與級數

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第二章

數列與級數

2-1 等差級數與等比級數

觀念

數列：為一串依次序排列的數，即稱之。記作

_______，

n

代表是數

列的第

n

項。

有限數列：

______________________。

無窮數列：

______________________。

第

n

項

a

n

的求法：

1 1 _________ 2        _________ n a n a n 當時 當時 例1：寫出兩數列的前五項(1)



2

k

 

1

(2)



_k

k

_

₁



練習題：寫出兩數列的前五項(1)



3

k

 

2

(2)

2

1





k



k

< 動動腦 > 已知下列的數列具有某一種規律﹐請試著去臆測下一項的值。 (1) an ﹕ ﹐ ﹐5 8 11 14﹐ ﹐　　　　　。 (2) bn ﹕ ﹐ ﹐ ﹐1 3 7 15 31﹐ ﹐　　　　　。 (3)

c

n ﹕1 3 3 9 5 27 7 81 ﹐  ﹐  ﹐  ﹐_____________　。

例

2：(講義 2-3 老師講解 3)

設數列

a

n

的前

n

項和

S

n



4

n

2

 

5

n

6

，求

(1)

a

1

的值

.

(2)

a

10

的值

. （其中

n2

）

(3)

a

n

的值

.

練習題：

(講義 2-3 學生練習 3)

設一數列

a

n

的前

n

項總和

S

n

 

3

n

2



4

n



2

，求

(1)

a

1

的值

.

(2)

a

n

的值

. （其中

n2

）

(3)

a

20

的值

.

等差數列與等差級數 1. 設數列 an 為等差數列﹐首項a1﹐公差d﹐n﹐m 皆為自然數﹐ (1)第 n 項an _______________=________________。 (2)前 n 項總和S_{n }________________=________________。 2.(1)若三數成等差﹐則可以設三數為a d ﹐a﹐a d _{﹐其中公差為 d.} (2)若四數成等差﹐則可以設四數為a3d ﹐a d ﹐a d ﹐a3d﹐其中公 差為2d. 3. 若數列 an 成等差﹐則Sn﹐S2nSn﹐S3nS2n亦成等差. 例1：求等差數列 3、7、11、15、…的一般項與第 100 項的值。 【練習題】已知18、24、30、…618 是等差數列，求此等差數列的公差、 第10 項、一般項及項數。

例2：已知等差數列

a

_k

中

a

2



4

、

a

5



22

，求

a

23的值。 【練習題】 已知等差數列

a

_k

中

a

5



40

、

a

9



24

，求

a

1

、

d

、

a

k

及

a

23的值。 例3：(講義 2-2 老師講解 2) 已知一等差數列各項依次為5 2﹐ ﹐



1

﹐



4

﹐ ﹐…

( 3

 

k

8)

﹐ ﹐… 148﹐試 求﹕ (1)公差 d 的值。 (2)此數列共有幾項。 (3)此數列第 20 項的值。 (4)此數列各項的總和。 【練習題】(講義 2-2 學生練習 2) 一等差數列共有 64 項﹐已知首項

a

₁



320

，末項

a

₆₄



5

﹐試求公差d 與此數 列各項總和

S

n. 例4：求 1 到 100 的 自然數中，所有 3 的倍數的和。 【練習題】 1．求等差級數 2+5+8+……+59 的和。

2．求 100 到 200 的自然數中，所有 7 的倍數之和。 例5：已知等差數列

a

_k

中，首項-15，公差 5，和 735，求此等差數

列的項數及末項。

【練習題】已知等差數列

a

_k

中，首項

12，公差-3，和 27，求此等差數

列的項數及末項。

例6：用黑白兩種顏色的正六邊形地磚依照下列的規律拼成若干圖形， 第 1 個 第 2 個 第 3 個 試問：(1)第 4 個圖案有白色地磚多少塊？ (2) 第 n 個圖案有白色地磚多少塊？

例7：已知級數前

n

項的和Sn    a a_{1 2}  an n2，求a1、a5及ak的值。 【練習題】 已知級數前

n

項的和Sn     a a_{1 2}  an 2n26n，求a1、a4及ak的值。 例8：(講義 2-5 老師講解 7) 在13與20 兩數之間插入 10 個數，使這 12 個數成等差數列，試求﹕ (1)公差 d 的值。 (2)所插入的第 7 個數的值。 (3)所插入的 10 個數的總和。 【練習題】(講義 2-5 學生練習 7) 在3 與 23 間插入 4 個數，使此數列成等差，試求公差 d 的值及此 6 個數的總 和。 例9：(講義 2-6 老師講解 9) 設一等差數列 an 的前n 項和為Sn﹐已知Sn 24﹐S2n 30﹐試求S3n的值. 【練習題】(講義 2-6 學生講解 9) 設等差數列的前n 項和為Sn，若Sn 36，S2n 54，試求S3n的值。

【進階題】(講義 2-4 老師講解 5) 有一等差數列 an ﹐若a1023﹐a25 22﹐試求﹕ (1)首項a1及公差d 的值。 (2)Sn的最大值。 (3)若從首項到第 n 項的和開始為負時，試求 n 的值。 等比數列與等比級數： 1.設數列 an 為等比數列，首項a1，公比r，（其中r0），n m、 皆為自然 數，則 (1)第 n 項an ___________ _________ 。 (2)前 n 項總和Sn  1 1 n n r S r S     _{ }  當 當 時 ， ____________________ 時 ， ____________________ 。 2.(1)若三數成等比﹐則可以設三數為a_r﹐a﹐ar﹐其中公比為r. (2)若四數成等比﹐則可以設四數為_ra₃ ﹐a r﹐ar﹐ar3﹐其中公比為r2. 3.若數列 an 成等比﹐則Sn﹐S2n Sn﹐S3n S2n亦成等比。 例1：求下列等比數列的公比： (1)2、6、18、…. 　(2)1、-2、4、… (3)9、6、4、… 【練習題】求下列等比數列的公比： (1)3、-3、3、…. 　(2)81、27、9、… (3)125、-75、45、…

例2：設3 3 3、 、 9、 、 243是一個等比數列，求_ (1)公比r (2)第 6 項的值 (3)243 是數列的第幾項？ 【練習題】設3 6、 、 12、 、 768是一個等比數列求，_ (1)公比r (2)第 5 項的值 (3)768 是數列的第幾項？ 例3：(講義 2-7 老師講解 10) 設一等比數列的第3 項為 6，第 7 項為 24，試求此數列第 11 項的值。 【練習題】(講義 2-7 學生練習 10) 設一等比數列第4 項為 2，第 7 項為 54，試求第 9 項的值。 例4：(講義 2-7 老師講解 11) 設a b c d﹐ ﹐ ﹐ 四正數成等比數列﹐若a b 8﹐c d 72，試求公比r 的值。 【練習題】(講義 2-7 學生練習 11)

例5：求等比級數 2+6+…+486 的和。 【練習題】求等比級數192+96+…+3 的和。 例6：等比數列 an 的首項是15，公比1₂，求前5 項的總和。 【練習題】等比數列 an 的首項是3，第 2 項為-6，求前 7 項的總和。 例7：設 an 為等比數列，其中a3 4、a5 16，求a a1 2...a10的值。 【練習題】 設 an 為等比數列，其中a2  24、a312，求a a1 2...a5的值。 例8：設 a_K 為等比數列，其中a a₁ ₂a₃ 21、a a a₁ ₃ ₅ 273，求此數列的 公比及其前5 項的和。

【練習題】設 aK 為等比數列，其中a a1 2a3 3、a a1 2a3  6，求此數列的 公比及其前8 項的和。 例9：侑庭將 1 萬元存入銀行，每年依複利計息一次。如果年利率為 2%，試問： (1)第一年後，本利和為多少元？ (2)第四年後，本利和為多少元？(已知



1.02



4 1.0824) 【練習題】18 年前，珊珊出生時，媽媽為他在銀行存入 1 萬元當作教育基金。若 年利率為6%，每年依複利計息一次，則珊珊現在的教育基金有多少元？(已知





18 1.06 2.8543) 中項： (1)等差中項：若 a、b、c 三數成等差數列__________。 (2)等比中項：若 a、b、c 三數成等比數列__________。

(1)Σ 的運算法則﹕設 c 為常數﹐則  1 n k c n c   



. 





1 1 1 n n n k k k k k k k a b a b      







.  1 1 n n k k k k ca c a   





. (2)Σ 的常用公式：  1 ( 1) 1 2 3 2 n k n n k n        



… .  2 2 2 2 2 1 ( 1)(2 1) 1 2 3 6 n k n n n k n         



… 。  2 3 3 3 3 3 1 ( 1) 1 2 3 2 n k n n k n          _{  }  



…  1 ( 1)( 2) ( 1) 1 2 2 3 ( 1) 3 n k n n n k k n n             



… 。  1 ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2) 1 2 3 2 3 4 ( 1)( 2) 4 n k n n n n k k k n n n                 



… 。 例1 ：求出下列的值： (1) 10 1

(

1)

k

k







(2) 5 1

3

k



(3) 5 2

2

k k 



【練習題】 (1) 4 1

(2

1)

k

k







(2) 6 2

( 2)

k k





(3) 4 1

1

₎

2

(

k k 



例2： (講義 2-10 老師講解 16)

設 15 1 10 k k a  



﹐ 15 1 12 k k b  



﹐且

a

₁₆



b

₁₆



3

﹐試求 16 1 (2 _k 3 _k 5) k a b   



的和。 【練習題】(講義 2-10 學生練習 16) 已知 12 1

10

k k

a







﹐ 12 1 7 k k b  



，

a

₁₃



5

，

b

₁₃



8

，試求 13 1 (4 _k 3 _k 5) k a b   



的和。 例3：將下列各級數用 Σ 表示： (1) 2 5 8 ... 62    (等差級數) (2) 4 2 1 ... 1 64     (等比級數) (3) 1 1 1 ... 1 1 2 2 3 3 4       n n( 1) (共 n 項) 【練習題】將下列各級數用Σ 表示：

(2) 4 2 1 1 ... 1 2 64      (等比級數) (3) 1 2 2 3 3 4 ...      n n( 1) (共 n 項) 例4：(講義 2-11 學生練習 17) 試求1 4 2 7 3 10       … 15 46的和. 【練習題】(講義 2-11 老師講解 17) 試求級數1 (1 2) (1 2 3)      … (1 2 3   … n)_的和 例5：(講義 2-11 學生練習 18) 試求 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7      … (2n1)(2n1)的和.

【練習題】(講義 2-11 老師講解 18)

試求級數

1

1

1

1 1 2 1 2 3







 

 

…

1

觀念

1. 數列的極限：一個無窮數列



a

n 

，當

n

趨近於無限大時，

an

的值

會趨近於某一個定值



，則稱此無窮數列

an

的極限為



，記作

lim

_n n

a





，若存在時則稱

________數列，反之則稱_______數

列。

2.

_lim n 1 n ar    1 1 0 1 1 1 r a r r r    _{ }  _         _{ }  收斂 發散 發散

3.極限的運算：若兩無窮數列

an

及

bn

，分別收斂於

 

、

，即

lim n na 



且

nlimbn 



，又

c 為常數，則

(1) _nlim_can c_nlim_an  c



.

(2) _nlim(_ anbn) lim_nan_nlim_bn  

 

.

(3) _nlim_a bn n _nlim_an_nlim_bn  

 

.

(4)

lim

lim

lim

n n n n _{n n} n

a

a

b

b





  





.

（其中



0

）

例1：求下列的數列的極限(1)



n

_n



1

 (2) 1



₂

_n

 (3)



2

n



【練習題】求下列無窮數列的極限 (1)



(0.99)

n



(2)



( 0.8) n



₍₃₎



(1.1)n



₍₄₎

2 3 6 n n n 





例2：判斷下列數列為發散或收斂數列？若為收斂數列其極限值？

(1) 1 2n





(2)

 

1 (3) 1 3n





(4)



3 n



(5)

1

)

2

(

n







(6)

_{ }

2n 【練習題】試判別下列各無窮數列何者為收斂數列並求其極限。 (1) ( 1)_ n 　　(2) 4 5 n       　(3) ( 1.03) n  (4) 45 0.9_ n 　(5) 1 n . 　　(6) 2 n . 例3：試求下列各式的極限值.(講義 2-14 老師講解 3) (1) 2 3 5 lim 2 3 7 n n n n     (2) 2 2 3 4 5 lim 2 3 7 n n n n n      (3)lim3 2 4 5 2 7 n n n n     　(4) 2 1 2 3 lim n n n     … 【練習題】試求下列各式的極限值.lim 3 2 2 1 2 1 3 5 n n n n n     _   _{ }   .

無窮等比級數的求和法則

無窮等比級數

_{S a ar ar  } 2 _arn1_{ (a0 r0)}  、 +…

(1)當

r 1

_時，

lim lim (1 ) 1 n n n n a r S S r       

_________。

(2)當

r 1

_時，

2 n 1 S a ar ar    … ar  …

為

_________。

例1：求無窮等比級數2 4 8 ... 5 15 45  

的和。

例

2：

求無窮等比級數1 3 9 ... 2 4   

的和。

【練習題】

求無窮等比級數的和。 (1)₁ 2 4 8 _{... (} 2₎ 1 _... 3 9 27 3 n      

_=？

(2)₁ 3 9 27 _{... (} 3₎ 1 _... 2 4 8  2 n      

_=？

例3：(講義 2-14 老師講解 2) 無窮等比數列 3 ₂ 1 n x        收斂，試求x的範圍。 【練習題】(講義 2-14 學生練習 2) 無窮數列 1 4 3 5 n x         是收斂數列，試求x的範圍. 例4：試求無窮級數0.7 0.077 0.00777  …的和。 【練習題】試求無窮級數0.5 0.055 0.00555   0.0005555…的和 例5：設無窮等比級數1 1 1_{3 32} 1₁ 3n    … …的和為S，其前 n 項和為Sn。

(1)試求此級數的和 S。 (2)試求此級數的前 n 項總和Sn。 (3)若 3 1 10 n S S  ﹐則n 至少為多少？ 【練習題】無窮等比級數3 3₈ 3₁ 8n   … …的前n 項總和為Sn，試求下列各式. (1)此級數的總和 S。 (2)此級數的前 n 項總和Sn。 (3)若欲使 1 1000 n S S  成立﹐則最小自然數n 為多少？ 例6：已知_AB2，今以_AB的一半為邊長作一正方形S₁，再以剩下線段的一 半為邊長作一正方形S₂，以此模式可得一序列的正方形作S S S₁、 、 、_{2 3} … 如下圖所示，則S S S₁+ + +_{2 3} 的面積和=？ 3 -… S₁ S _S

n 個 9 m 個 9 n 個 0 【練習題】已知正三角形A B C1 1 1的邊長為2，以各邊的中點為頂點作三角形 2 2 2 A B C ，以此模式可得一序列的正三角形A B C A B C1 1 1、 2 2 2、A B C3 3 3、 …如下圖所示，則此序列的三角形面積和=？

循環小數化為分數

1.純循環小數公式：

1 2 3 1 2 0. 999 9 n n a a a a a a …a  … …

.

2.混循環小數公式：

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0. 99 9 00 0 n m n n m a a a b b b a a a a a …a b b …b  … …  … … …

.

例1：將下列各循環小數化成分數 (1) 0.12

？

(2) 0.235

？

【練習題】將下列各循環小數化成分數 (1) 2.34

？

(2) 0.037

？

B₂ C 2 A₁ B_{1 A} C₁ 2 A₃ B₃ C₃

例2：(講義 2-22 老師講解 13) 將分數16241 49950化為小數時，試求小數點後第51 位數字. 【練習題】(講義 2-22 學生練習 13) 將5 7化成小數，試求小數點後第200 位數字. 【小小測驗】 (1)試分別將0.37、0.451、2.312化成最簡分數 (2)試將下列各循環小數化成最簡分數0.4　0.371　1.42 (3)試求下列各式的值(1)0.3 0.12 __________ (2)5.23 0.17 ___________。

觀念

數學歸納法原理：

欲證明某一式子對所有自然數均可成立時，方法可分三個步驟。

(1)第一步驟：先檢驗

n1

時，原式是否成立？

(2)第二步驟：假設

n k

，若原式成立。

(3)第三步驟：從可以推得

n k 1

時，原式是否成立？

【註】數學歸納法不一定從

n1

開始哦

!視初值為多少即是。

例1：證明：_{1 2 2 3 3 4}1  1  1  _{n (}1_{n 1)} _nn₁       

對所有的自然數n都成立。 例2：證明：₁2 ₂2 2 ( 1)(2 1) 6 n n n n    _ 

對所有的自然數n都成立。 例3：證明：13 23 3 ( ( 1))2 2 n n n   _ 

對所有的自然數n都成立。 【練習題】證明：1 2 ( 1) 2 n n n   _ 

對所有的自然數n都成立。

【練習題】 證明：1 2 2 3 3 4 ( 1) ( 1) 3 n n n n       _    對所有的自然數n都成立。 例4：證明：對任意正整數n，

₂

2n_{2恆為6 的倍數。} 【練習題】證明：對任意正整數n，

3

2n_{7恆為8 的倍數。} 例5：對所有自然數n，

₃

2 1n _

₂

n2

_{是某一固定質數}

_{p的倍數，試求出 p並} 證明之。(數學歸納法證明) 例6：當正整數n3時，證明

3

n_

4 5

n _ n

_。

【練習題】試證：對所有正整數n4恆有 2 2n n  。