數列與級數
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第二章
數列與級數
2-1 等差級數與等比級數
觀念數列:為一串依次序排列的數,即稱之。記作
_______,
n
代表是數
列的第
n
項。
有限數列:
______________________。
無窮數列:
______________________。
第
n
項
a
n的求法:
1 1 _________ 2 _________ n a n a n 當時 當時 例1:寫出兩數列的前五項(1)
2
k
1
(2)
k
k
1
練習題:寫出兩數列的前五項(1)
3
k
2
(2)
21
k
k
< 動動腦 > 已知下列的數列具有某一種規律﹐請試著去臆測下一項的值。 (1) an ﹕ ﹐ ﹐5 8 11 14﹐ ﹐ 。 (2) bn ﹕ ﹐ ﹐ ﹐1 3 7 15 31﹐ ﹐ 。 (3)c
n ﹕1 3 3 9 5 27 7 81 ﹐ ﹐ ﹐ ﹐_____________ 。例
2:(講義 2-3 老師講解 3)
設數列
a
n的前
n
項和
S
n
4
n
2
5
n
6
,求
(1)
a
1的值
.
(2)
a
10的值
. (其中
n2)
(3)
a
n的值
.
練習題:
(講義 2-3 學生練習 3)
設一數列
a
n的前
n
項總和
S
n
3
n
2
4
n
2
,求
(1)
a
1的值
.
(2)
a
n的值
. (其中
n2)
(3)
a
20的值
.
等差數列與等差級數 1. 設數列 an 為等差數列﹐首項a1﹐公差d﹐n﹐m 皆為自然數﹐ (1)第 n 項an _______________=________________。 (2)前 n 項總和Sn ________________=________________。 2.(1)若三數成等差﹐則可以設三數為a d ﹐a﹐a d ﹐其中公差為 d. (2)若四數成等差﹐則可以設四數為a3d ﹐a d ﹐a d ﹐a3d﹐其中公 差為2d. 3. 若數列 an 成等差﹐則Sn﹐S2nSn﹐S3nS2n亦成等差. 例1:求等差數列 3、7、11、15、…的一般項與第 100 項的值。 【練習題】已知18、24、30、…618 是等差數列,求此等差數列的公差、 第10 項、一般項及項數。例2:已知等差數列
a
k中
a
2
4
、
a
5
22
,求
a
23的值。 【練習題】 已知等差數列a
k中
a
5
40
、
a
9
24
,求
a
1、
d
、
a
k及
a
23的值。 例3:(講義 2-2 老師講解 2) 已知一等差數列各項依次為5 2﹐ ﹐
1
﹐
4
﹐ ﹐…( 3
k
8)
﹐ ﹐… 148﹐試 求﹕ (1)公差 d 的值。 (2)此數列共有幾項。 (3)此數列第 20 項的值。 (4)此數列各項的總和。 【練習題】(講義 2-2 學生練習 2) 一等差數列共有 64 項﹐已知首項a
1
320
,末項a
64
5
﹐試求公差d 與此數 列各項總和S
n. 例4:求 1 到 100 的 自然數中,所有 3 的倍數的和。 【練習題】 1.求等差級數 2+5+8+……+59 的和。2.求 100 到 200 的自然數中,所有 7 的倍數之和。 例5:已知等差數列
a
k中,首項-15,公差 5,和 735,求此等差數
列的項數及末項。
【練習題】已知等差數列a
k中,首項
12,公差-3,和 27,求此等差數
列的項數及末項。
例6:用黑白兩種顏色的正六邊形地磚依照下列的規律拼成若干圖形, 第 1 個 第 2 個 第 3 個 試問:(1)第 4 個圖案有白色地磚多少塊? (2) 第 n 個圖案有白色地磚多少塊?例7:已知級數前
n
項的和Sn a a1 2 an n2,求a1、a5及ak的值。 【練習題】 已知級數前n
項的和Sn a a1 2 an 2n26n,求a1、a4及ak的值。 例8:(講義 2-5 老師講解 7) 在13與20 兩數之間插入 10 個數,使這 12 個數成等差數列,試求﹕ (1)公差 d 的值。 (2)所插入的第 7 個數的值。 (3)所插入的 10 個數的總和。 【練習題】(講義 2-5 學生練習 7) 在3 與 23 間插入 4 個數,使此數列成等差,試求公差 d 的值及此 6 個數的總 和。 例9:(講義 2-6 老師講解 9) 設一等差數列 an 的前n 項和為Sn﹐已知Sn 24﹐S2n 30﹐試求S3n的值. 【練習題】(講義 2-6 學生講解 9) 設等差數列的前n 項和為Sn,若Sn 36,S2n 54,試求S3n的值。【進階題】(講義 2-4 老師講解 5) 有一等差數列 an ﹐若a1023﹐a25 22﹐試求﹕ (1)首項a1及公差d 的值。 (2)Sn的最大值。 (3)若從首項到第 n 項的和開始為負時,試求 n 的值。 等比數列與等比級數: 1.設數列 an 為等比數列,首項a1,公比r,(其中r0),n m、 皆為自然 數,則 (1)第 n 項an ___________ _________ 。 (2)前 n 項總和Sn 1 1 n n r S r S 當 當 時 , ____________________ 時 , ____________________ 。 2.(1)若三數成等比﹐則可以設三數為ar﹐a﹐ar﹐其中公比為r. (2)若四數成等比﹐則可以設四數為ra3 ﹐a r﹐ar﹐ar3﹐其中公比為r2. 3.若數列 an 成等比﹐則Sn﹐S2n Sn﹐S3n S2n亦成等比。 例1:求下列等比數列的公比: (1)2、6、18、…. (2)1、-2、4、… (3)9、6、4、… 【練習題】求下列等比數列的公比: (1)3、-3、3、…. (2)81、27、9、… (3)125、-75、45、…
例2:設3 3 3、 、 9、 、 243是一個等比數列,求 (1)公比r (2)第 6 項的值 (3)243 是數列的第幾項? 【練習題】設3 6、 、 12、 、 768是一個等比數列求, (1)公比r (2)第 5 項的值 (3)768 是數列的第幾項? 例3:(講義 2-7 老師講解 10) 設一等比數列的第3 項為 6,第 7 項為 24,試求此數列第 11 項的值。 【練習題】(講義 2-7 學生練習 10) 設一等比數列第4 項為 2,第 7 項為 54,試求第 9 項的值。 例4:(講義 2-7 老師講解 11) 設a b c d﹐ ﹐ ﹐ 四正數成等比數列﹐若a b 8﹐c d 72,試求公比r 的值。 【練習題】(講義 2-7 學生練習 11)
例5:求等比級數 2+6+…+486 的和。 【練習題】求等比級數192+96+…+3 的和。 例6:等比數列 an 的首項是15,公比12,求前5 項的總和。 【練習題】等比數列 an 的首項是3,第 2 項為-6,求前 7 項的總和。 例7:設 an 為等比數列,其中a3 4、a5 16,求a a1 2...a10的值。 【練習題】 設 an 為等比數列,其中a2 24、a312,求a a1 2...a5的值。 例8:設 aK 為等比數列,其中a a1 2a3 21、a a a1 3 5 273,求此數列的 公比及其前5 項的和。
【練習題】設 aK 為等比數列,其中a a1 2a3 3、a a1 2a3 6,求此數列的 公比及其前8 項的和。 例9:侑庭將 1 萬元存入銀行,每年依複利計息一次。如果年利率為 2%,試問: (1)第一年後,本利和為多少元? (2)第四年後,本利和為多少元?(已知
1.02
4 1.0824) 【練習題】18 年前,珊珊出生時,媽媽為他在銀行存入 1 萬元當作教育基金。若 年利率為6%,每年依複利計息一次,則珊珊現在的教育基金有多少元?(已知
18 1.06 2.8543) 中項: (1)等差中項:若 a、b、c 三數成等差數列__________。 (2)等比中項:若 a、b、c 三數成等比數列__________。(1)Σ 的運算法則﹕設 c 為常數﹐則 1 n k c n c
.
1 1 1 n n n k k k k k k k a b a b
. 1 1 n n k k k k ca c a
. (2)Σ 的常用公式: 1 ( 1) 1 2 3 2 n k n n k n
… . 2 2 2 2 2 1 ( 1)(2 1) 1 2 3 6 n k n n n k n
… 。 2 3 3 3 3 3 1 ( 1) 1 2 3 2 n k n n k n
… 1 ( 1)( 2) ( 1) 1 2 2 3 ( 1) 3 n k n n n k k n n
… 。 1 ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2) 1 2 3 2 3 4 ( 1)( 2) 4 n k n n n n k k k n n n
… 。 例1 :求出下列的值: (1) 10 1(
1)
kk
(2) 5 13
k
(3) 5 22
k k
【練習題】 (1) 4 1(2
1)
kk
(2) 6 2( 2)
k k
(3) 4 11
)
2
(
k k
例2: (講義 2-10 老師講解 16)設 15 1 10 k k a
﹐ 15 1 12 k k b
﹐且a
16
b
16
3
﹐試求 16 1 (2 k 3 k 5) k a b
的和。 【練習題】(講義 2-10 學生練習 16) 已知 12 110
k ka
﹐ 12 1 7 k k b
,a
13
5
,b
13
8
,試求 13 1 (4 k 3 k 5) k a b
的和。 例3:將下列各級數用 Σ 表示: (1) 2 5 8 ... 62 (等差級數) (2) 4 2 1 ... 1 64 (等比級數) (3) 1 1 1 ... 1 1 2 2 3 3 4 n n( 1) (共 n 項) 【練習題】將下列各級數用Σ 表示:(2) 4 2 1 1 ... 1 2 64 (等比級數) (3) 1 2 2 3 3 4 ... n n( 1) (共 n 項) 例4:(講義 2-11 學生練習 17) 試求1 4 2 7 3 10 … 15 46的和. 【練習題】(講義 2-11 老師講解 17) 試求級數1 (1 2) (1 2 3) … (1 2 3 … n)的和 例5:(講義 2-11 學生練習 18) 試求 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 … (2n1)(2n1)的和.
【練習題】(講義 2-11 老師講解 18)
試求級數
1
1
1
1 1 2 1 2 3
…
1
觀念
1. 數列的極限:一個無窮數列
a
n ,當
n
趨近於無限大時,
an的值
會趨近於某一個定值
,則稱此無窮數列
an的極限為
,記作
lim
n na
,若存在時則稱
________數列,反之則稱_______數
列。
2.
lim n 1 n ar 1 1 0 1 1 1 r a r r r 收斂 發散 發散3.極限的運算:若兩無窮數列
an及
bn,分別收斂於
、,即
lim n na
且
nlimbn
,又
c 為常數,則
(1) nlimcan cnliman c
.(2) nlim( anbn) limnannlimbn
.(3) nlima bn n nlimannlimbn
.(4)
lim
lim
lim
n n n n n n na
a
b
b
.(其中
0)
例1:求下列的數列的極限(1)
n
n
1
(2) 1
2
n (3)
2n
【練習題】求下列無窮數列的極限 (1)
(0.99)
n
(2)
( 0.8) n
(3)
(1.1)n
(4)
2 3 6 n n n
例2:判斷下列數列為發散或收斂數列?若為收斂數列其極限值?(1) 1 2n
(2)
1 (3) 1 3n
(4)
3 n
(5)1
)2
(
n
(6)
2n 【練習題】試判別下列各無窮數列何者為收斂數列並求其極限。 (1) ( 1) n (2) 4 5 n (3) ( 1.03) n (4) 45 0.9 n (5) 1 n . (6) 2 n . 例3:試求下列各式的極限值.(講義 2-14 老師講解 3) (1) 2 3 5 lim 2 3 7 n n n n (2) 2 2 3 4 5 lim 2 3 7 n n n n n (3)lim3 2 4 5 2 7 n n n n (4) 2 1 2 3 lim n n n … 【練習題】試求下列各式的極限值.lim 3 2 2 1 2 1 3 5 n n n n n .無窮等比級數的求和法則
無窮等比級數
S a ar ar 2 arn1 (a0 r0) 、 +…(1)當
r 1時,
lim lim (1 ) 1 n n n n a r S S r _________。
(2)當
r 1時,
2 n 1 S a ar ar … ar …為
_________。
例1:求無窮等比級數2 4 8 ... 5 15 45 的和。
例
2:
求無窮等比級數1 3 9 ... 2 4 的和。
【練習題】
求無窮等比級數的和。 (1)1 2 4 8 ... ( 2) 1 ... 3 9 27 3 n =?
(2)1 3 9 27 ... ( 3) 1 ... 2 4 8 2 n =?
例3:(講義 2-14 老師講解 2) 無窮等比數列 3 2 1 n x 收斂,試求x的範圍。 【練習題】(講義 2-14 學生練習 2) 無窮數列 1 4 3 5 n x 是收斂數列,試求x的範圍. 例4:試求無窮級數0.7 0.077 0.00777 …的和。 【練習題】試求無窮級數0.5 0.055 0.00555 0.0005555…的和 例5:設無窮等比級數1 1 13 32 11 3n … …的和為S,其前 n 項和為Sn。(1)試求此級數的和 S。 (2)試求此級數的前 n 項總和Sn。 (3)若 3 1 10 n S S ﹐則n 至少為多少? 【練習題】無窮等比級數3 38 31 8n … …的前n 項總和為Sn,試求下列各式. (1)此級數的總和 S。 (2)此級數的前 n 項總和Sn。 (3)若欲使 1 1000 n S S 成立﹐則最小自然數n 為多少? 例6:已知AB2,今以AB的一半為邊長作一正方形S1,再以剩下線段的一 半為邊長作一正方形S2,以此模式可得一序列的正方形作S S S1、 、 、2 3 … 如下圖所示,則S S S1+ + +2 3 的面積和=? 3 -… S1 S S
n 個 9 m 個 9 n 個 0 【練習題】已知正三角形A B C1 1 1的邊長為2,以各邊的中點為頂點作三角形 2 2 2 A B C ,以此模式可得一序列的正三角形A B C A B C1 1 1、 2 2 2、A B C3 3 3、 …如下圖所示,則此序列的三角形面積和=?
循環小數化為分數
1.純循環小數公式:
1 2 3 1 2 0. 999 9 n n a a a a a a …a … ….
2.混循環小數公式:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0. 99 9 00 0 n m n n m a a a b b b a a a a a …a b b …b … … … … ….
例1:將下列各循環小數化成分數 (1) 0.12?
(2) 0.235?
【練習題】將下列各循環小數化成分數 (1) 2.34?
(2) 0.037?
B2 C 2 A1 B1 A C1 2 A3 B3 C3例2:(講義 2-22 老師講解 13) 將分數16241 49950化為小數時,試求小數點後第51 位數字. 【練習題】(講義 2-22 學生練習 13) 將5 7化成小數,試求小數點後第200 位數字. 【小小測驗】 (1)試分別將0.37、0.451、2.312化成最簡分數 (2)試將下列各循環小數化成最簡分數0.4 0.371 1.42 (3)試求下列各式的值(1)0.3 0.12 __________ (2)5.23 0.17 ___________。
觀念
數學歸納法原理:
欲證明某一式子對所有自然數均可成立時,方法可分三個步驟。
(1)第一步驟:先檢驗
n1時,原式是否成立?
(2)第二步驟:假設
n k,若原式成立。
(3)第三步驟:從可以推得
n k 1時,原式是否成立?
【註】數學歸納法不一定從
n1開始哦
!視初值為多少即是。
例1:證明:1 2 2 3 3 41 1 1 n (1n 1) nn1 對所有的自然數n都成立。 例2:證明:12 22 2 ( 1)(2 1) 6 n n n n
對所有的自然數n都成立。 例3:證明:13 23 3 ( ( 1))2 2 n n n
對所有的自然數n都成立。 【練習題】證明:1 2 ( 1) 2 n n n
對所有的自然數n都成立。
【練習題】 證明:1 2 2 3 3 4 ( 1) ( 1) 3 n n n n 對所有的自然數n都成立。 例4:證明:對任意正整數n,