5
排列、 組合
5.1
邏輯、 集合與計數原理
敘述: 能夠具有真假(偽) 的一句話, 稱為敘述(statment)。 敘述的一些例子: 1. 這些玫瑰花是紅色玫瑰花。 2. 2 + 3 = 5 3. −3 > −2 4. 昨天晚上這裡下了一場大雨。 非敘述的一些例子: 1. 你今天要參加跨年晚會嗎? 2. 請你把書桌整理乾淨 3. 這些藝術品很前衛 4. 不要站在哪裡不動。 命題(Proposition): 當P,Q兩個敘述結合成“若P則Q”的形式,且能判斷出真或偽,稱為命題. 記 為“P → Q” 。 命題四態: 命題的形式長以下列四種形式出現, 稱為命題四態 原命題: 若 p則 q 的命題 。 關於實數 a, b, 命題:“若a = b 則a2 = b2 ” (真) 逆命題: 若 q 則p 的命題 。“若 a2 = b2 則a = b ” (偽) 否命題: 若非 p 則非 q 的命題 。 “若 a6= b 則a2 6= b2 ” (偽) 逆否命題: 若非 q 則非 p的命題 。 “若 a2 6= b2 則 a6= b ” (真) 且(∧)、 或 (∨)、 非 (∼ p 或 p ) 的邏輯符號: 敘述中常用這些連接詞把兩件事情結合成為一命題。 存在 (∃): 表至少有一個符合該敘述。 所有 (∀): 表所有全部均符合該敘述 。 且的否定 ∼ ∧: 或 (∨) 或的否定 ∼ ∨ : 且 (∧) 存在的否定(∼ ∃) : 所有全部 (∀) 所有的否定(∼ ∀) : 至少有一個 (∃)2 高中數學講義
邏輯、 集合與計數原理
命題真偽(真值表): 以T 表示真, F 表示不真 (偽)。 pV q : 敘述 p 且敘述 q 。 且當兩敘述均為真時則 pV q 才為真。 pW q : 敘述 p 或 敘述 q 。 當兩敘述有一為真時則 pW q 為真。 p q p→ q ∼ p ∼ q ∼ q →∼ p pW q p∧ ∼ q T T T F F T T F T F F F T F F T F T T T F T T F F F T T T T T F (原命題) (反證法命題) (歸謬證明法命題) 等價(同義) 命題: p→ q ≡∼ q →∼ p ≡∼ pW q 有相同的真或偽。 等價符號:≡ ∼ (pV q) ≡ (∼ p) W(∼ q) ∼ (pW q) ≡ (∼ p) V(∼ q) ∼ ∀ ≡ ∃。 ∼ ∃ ≡ ∀。 由真值表可知: 原命題等價於逆否命題(有相同的真偽)。 逆命題等價於否命題(有相同的真偽)。 反證法: 若直接證明命題“若 p 則 q 成立 (真) 有難度可利用等價關係證明: 命題“若 ∼ q 則 ∼ p ” 成立。 歸謬證明法(矛盾證明法): 欲證明命題:“若p 則 q 成立 (真) 可證明:“ p 且∼ q ” 為矛盾。 充分與必要條件: 如果命題“若A則B”是正確, 則稱A為B的充分條件,B為A的必要條件。 (充分 ⇒ 必要 )。 命題: |x| > 1 ⇒ x2 > 1 (此命題為真)稱|x| > 1為x2 > 1的充分條件,而x2 > 1 為|x| > 1 的必要條件。 其逆命題: 若x2 > 1⇒ |x| > 1 亦為真, 稱x2 > 1 為 |x| > 1 的充分條件,|x| > 1 為x2 > 1 的必要條件。 由以上兩命題均為真, |x| > 1 同時為 x2 > 1 充分條件亦為必要條件, 我們可簡稱 |x| > 1 為 x2 > 1 的充要條件。 當然 x2 > 1 亦為 |x| > 1 的充要條件。(|x| > 1 ⇔ x2 > 1) 若x > 1 ⇒ x2 > 1 為真, 但其逆不真 (x2 > 1 未必 x > 1) 記為 x > 1 : x2 > 1, 稱 x > 1 為x2 > 1 的充分非必要條件, x2 > 1 為x > 1 的必要非充分條件。 集合與元素: 集合是由滿足某些條件之事物所組成的整體, 而這些事物稱為這個集合的元素。 集合 A ={ 元素1,元素2 ,· · · , (組成份子)} 集合內的元素不考慮其先後順序,也不考慮元素重複出現的次數。{3, 1, 1, 1, 2, 3} = {1, 2, 3} 宇集:討論問題所涉及的集合是這個給定的集合 (問題定義的範圍)的子集合,此給定的集合(問 題定義的範圍) 稱為宇集合U 。 在實數範圍內則 U = R 空集合: ∅ = { } , 若一個集合不包含任何元素, 稱此集合為空集合 ∅。 空集合是任何集合的子集合。 ∅ ⊆ A ⊆ U |A| = n(A) :A集合的元素個數。 集合描述法: {x|元素 x 的敘述說明} 描述法: {x|x是小於30的質數} =列舉法: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} 子集合: 若A⊂ B 即 ∀x ∈ A 則x∈ B 。稱 A 是B 的子集合。 有時用 A⊆ B 表示。 稱集合A 包含於集合 B ( A is contained in B )或 集合 B 包含集合 A (B contains A)。 集合 A 的子集合個數為2n(A) 用法: 元素 ∈ 集合, 集合 ⊂ 集合。(∈ :in ,⊂: subset) C N Z Q R 數 系 自然數 ⊂整數 ⊂ 有理數 ⊂實數 ⊂ 複數 。 即 N⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C 集合相等: 若 A⊂ B 且B ⊂ A 則A = B 集合運算 聯集 ∪、 交集 ∩、 差集: \ 或 − 、 宇集: U 、 補集: A′ = Ac、 積集合: A× B 1. 聯集: A∪ B = {x|x ∈ A或x∈ B} 。A∪ B ⊃ A 且A∪ B ⊃ B 2. 交集: A∩ B = {x|x ∈ A且x∈ B}。 A∩ B ⊂ A 且A∩ B ⊂ B 3. 差集: A\ B = {x|x ∈ A且x /∈ B}。A\ B 6= B \ A 4. 補集: Ac ={x|x ∈ U且x /∈ A} = U − A 5. 積集合: A× B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} 笛摩根定理與文氏圖: 集合的運算 A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (A∩ B)′ = A′∪ B′ (A∪ B)′ = A′∩ B′ 計數原理:
4 高中數學講義
邏輯、 集合與計數原理
A B A∩ B A B A∩ B A B A∪ B A B A− B B A B− A圖
1: 集合關係的文氏圖 1. 樹形圖分層計數法: 利用樹枝狀圖形分析, 使複雜狀況明顯化。 root sub3 sub2 sub1 child2 child1 A B 2. 列舉法: 將集合的元素一一列出, 記算其中的元素個數。 3. 一一對應原理: 設 A, B 是兩個元素個數有限個的集合, 若集合 A 與 B 之間的元素可以 建立一一對應的關係, 則這兩個集合的元素個數必相等, n(A) = n(B) 4. 加法原理: 若A及B兩步驟完成的方法各為m, n種方法。 且A、B兩步驟不會同時完執行彼 此為互斥, 若完成一事件可選擇A或B 步驟來完成, 則事件的完成方法共有 m + n 種 方法。(完成一事件採取互斥的步驟 A, B, C其一就完成事件, 則完成事件方法有 n(A) + n(B) + n(C) 種) 5. 乘法原理:完成E及F步驟的方法各為m, n種方法。 且E、F兩事不互相影響,若完成一事件 需E、F兩步驟才能完成, 則完成事件的方法有 m× n 種方法。(完成一事件須採取獨立的 步驟 A, B, C 全部步驟才算完成此事件, 則完成事件方法有 n(A)× n(B) × n(C) 種) 6. *高等計數方法: (a) 取捨原理 (b) 遞推關係 (c) 生成函數 (d) 鴿籠原理與 Ramsey 定理 (e) 波利亞 (Poly) 計數定理 加法原理: 完成一件事可採取 A 或B 步驟且其完成的方法各為 m、n 種方法, 若 A、B 兩步驟互斥, 則完 成一件事的方法共有m + n 種方法。(完成一事件可採取互斥的步驟A、B、C只要其一就完成事乘法原理: 完成一件事同時需 E 及 F 兩種步驟才能完成且其完成的方法各為 m、n種方法, 若E、F 兩步 驟不互相影響 (獨立), 則完成一件事的方法有 m× n 種方法。(完成一事件須採取獨立的步驟 A, B, C 全部步驟才算完成此事件,則完成事件方法有 n(A)× n(B) × n(C) 種) P Q 2× (2 + 2) + 2 × 3 × 4 = 32 取捨原理 :(排容原理) 設A, B, C 是三個有限個元素的集合, 則 n(A∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
n(A∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
走捷徑問題: 從A 點走到B 點的累加法 (每一節點來自哪方向路徑數相加)。 來自左方及下方 A B 圖形著色問題: 依相鄰區域較多者依序樹形圖討論塗色 (有些情形需討論對角區域是否同色)。 D(2) C(2) B(3) A(3) F(2) E(2) A 區 B區 C區 D區 E區 F區 影響 D 影響D 影響F 影響 F A B BC 同 D BE 同 F BE 異 F BC 異 D BE 同 F BE 異 F 數字號碼問題: 需注意首位數字不可排0, 數字是否可重複出現。
6 高中數學講義
邏輯、 集合與計數原理
例題
簡易邏輯 範例 1: 試述命題的逆命題、 否定命題、 逆否命題, 並討論其真偽? 原命題:“若 ab≤ 0 則a≤ 0 或b ≤ 0 ” 真 逆命題: “若a ≤ 0或 b≤ 0 則ab≤ 0 ” (不真) 否定命題: “若 ab > 0 則a > 0 且b > 0 ” (不真) 逆否命題: “若 a > 0, b > 0 則 ab > 0 ” (真) 演練 1a: 試述命題的逆命題、 否定命題、 逆否命題, 並討論其真偽? 原命題:a, b, c, d為實數 “ 若a + c = b + d 則 a = b, c = d ” 偽 逆命題: “若 a = b, c = d 則a + c = b + d ” (真) 否命題: “若 a + c6= b + d 則a6= b 或 c6= d ” (真) 逆否命題: “ 若a6= b 或 c6= d 則a + c 6= b + d ” (偽) 演練 1b: 試作下列命題的否定命題 (否定敘述): 1. △ABC 是等腰直角三角形。 [△ABC 不是等腰或不是直角三角形] 2. 下雨天我會撐雨傘。(p→ q ≡ p ∨ q)[就算下雨天我也不撐傘。(p∧ q)] 3. x 等於0或等於1。[x6= 0 且x6= 1] 4. 對於每一個自然數n , xn ≥ a 。 [存在某一個自然數 n ,xn< a] 5. x ∈ R, −1 < x < 2 。[x≤ −1或x≥ 2] 演練 1c: 在實數範圍內判別下列命題的真假? 1. 若x2 = 32 則x = 2 假 (不真) 2. 若3x = 32 則 x = 2 真 3. 若a2 > b2 則a > b 偽 (假) 4. 若a3 > b3 則a > b 真 範例 2: 證明: 若 n 為正整數, 且3n + 2 為奇數, 則 n 必為奇數。 證:n偶數則3n + 2偶數 演練 2a: 設a, b 為正整數, 證明: 若n = ab 則a≤√n 或b≤√n 證:a >√n, b > √n則ab6= n 演練 2b: 設n 為整數,證明: 若n2 為奇數,則 n 為奇數。 證:n為偶數則n 2為偶數 演練 2c: 設a, b 為實數,證明: 若對任意正數 x ,a≤ b + x 則 a≤ b。 (歸謬法) 證:a≤ b + x且a > b 為矛盾命題 集合概念範例 3: 設集合 A = {2, 4, a2 − 2a − 3}, B = {−4, a + 1, a + 4} , 若 A∩ B = {5} 求 A∪ B {2, 4, 5, −4, 8} 演練 3a: 設宇集合 U = N = {1, 2, 3, · · · , },A = {1, 2, 3, 4},B = {3, 4, 5, 6, 7}, C = {2, 3, 8, 9} 則 A∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ,A ∩ B = {3, 4}, A \ B = {1, 2}, B \ C = {4, 5, 6, 7} ,AC ={5, 6, 7, · · · } 演練 3b: 設宇集為 U = R ={x|x ∈ R}, A = {x|1 < x ≤ 5} ,B = {x|x ≤ 2, x ≥ 6} ,求A∪ B = {x|x ≤ 5, x ≥ 6} ,A∩ B = {x|1 < x ≤ 2}, A\ B = {x|2 < x ≤ 5},A′ = {x|x ≤ 1, x > 5} 演練 3c: 集合A ={1, 3, 4} ,B = {a, b} , 寫出所有 A 的子集合, 並求 A, B 的積集合 A× B (解:)2A :空集合:∅, 恰一個元素 :{1}.{3}, {4}, 恰2個元素:{1, 3}, {1, 4}, {3, 4}, 恰3個元 素:{1, 3, 4}
A× B = {(1, a), (3, a), (4, a), (1, b), (3, b), (4, b)} 樹形圖計數 範例 4: 甲與乙兩人分別選出一個小於10的正整數,求此兩數乘積大於25的情形有幾種? 32種 甲 3 9 4 7 8 9 5 6 7 8 9 6 5 6 7 8 9 7 4 5 6 7 8 9 8 4 5 6 7 8 9 9 3 4 5 6 7 8 9 演練 4a: 由 0, 1 組成長度為4碼的二元碼中, 若相鄰兩碼不可出現11相鄰, 則有多少個不同的字串? 8 演練 4b: 有甲、 乙兩支球隊爭奪5戰3勝賽制的冠軍(無和局且累積先贏3場比賽者奪冠),試討論共有 幾種比賽的可能性? 20
演練 4c: 服飾店印有 “I Love Taiwan” 的 T-shirt , 尺寸有 S,M,L,XL,XXL 五種, 顏色分紅、 綠、 藍、 黑四種顏色, 現今貨架上 XXL 尺碼無紅色、 黑色,XL 尺碼無黑色, 問貨架上現有幾種 不同尺碼顏色的 T-shirt可供顧客選購? 17 範例 5: 英國溫布頓網球公開賽, 在男子單打方面有64名選手參賽, 採單淘汰賽(任一隊只要輸一場 比賽就被淘汰出局), 共要比賽幾場才能產生單打冠軍? 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63 演練 5a: 籃球比賽前8強採取單淘汰賽 (任一隊只要輸一場比賽就被淘汰出局), 若分甲乙兩場地4支 隊伍比賽, 每一場比賽均無平手, 問共比賽幾場可產生冠亞軍隊伍? 7 加法原理與乘法原理
8 高中數學講義
邏輯、 集合與計數原理
範例 6: 展開 (a + b + c + d)(x + y)(p + q + r) 共有幾個相異項? 24 演練 6a: 展開 (a + b)(x + y)(a + b + x + y) = (a + b)2(x + y) + (a + b)(x + y)2 共有幾個相異項? 6+6 演練 6b: 展開 (x2+ x + 1)(x + 1)(a + b) 共有幾個相異項? 4× 2 = 8 範例 7: 書架上有3本不同的中文書、5本不同的英文書、4本不同的數學書;今某人甲欲從書架上選取 一本書共有多少種選法? 若甲改由書架上三種類型的書各取一本則共有多少種選法? 12; 60 演練 7a: 若同時投擲一硬幣,一顆骰子,一個四種相異顏色的正四面體,則可能有幾種結果發生? 48 演練 7b: 某校數學學會由數學教師11位及主修數學的學生37位組成, 現欲從此學會選派一位參加全 校會議,問有幾種選派方法? 48 演練 7c: 音樂廳的座椅編號為英文字母及不超過100的正整數組成。 例如:A37, B09,· · · 等, 則此音 樂廳最多可標示出多少個座位? 2600 演練 7d: 一個長度為7的二元碼 (每一位元由0或1組成)共可組成幾個不同的字串? 2 7 演練 7e: 某一證照的編號為前3碼為英文字母, 後3碼為 0 ∼ 9 的數字, 共6碼組成的序列 (無空碼), 問共有幾個不同的編碼? (26) 3× (10)3 演練 7f: 如圖:從甲地到乙地有3條路線,乙地到丙地有2條路線, 甲地不經乙地到丙地另外有A、B、C 這3條路, 問從甲地出發到丙地共有幾條不同的路徑可走? 3× 2 + 3 = 9 甲 乙 丙 A B C 演練 7g: 某人衣櫥現有4件上衣,3件短裙,2件長裙,3件長褲,3雙鞋子,若某人出門時決定選一件上衣、 一件裙子或長褲、 一雙鞋子搭配穿著問共有幾種不同的搭配樣式? 96 演練 7h: 由0, 2, 4, 6四個數字,可組成幾個四位數(數字可重複)? 其中至少有兩個2連續的四位數有 幾個? 192;33 狄摩根定律與文氏圖應用 範例 8: 某校舉行親子日, 某班有35位同學 (35對父母),已知父親出席者有18位, 母親出席者有 25 位, 父母親皆出席者有12位,試問班上家長沒出席親子日的同學有幾位? 4位父 母
U
演練 8a: 調查100 位大學生中有 35位修代數學, 有52位修電腦科學, 兩學科都有修課的有18位, 問 有修代數學或電腦科學的有幾位? 此兩科均未選修的有幾位? 69;31 演練 8b: 若已知 n(A∪ B) = 60, n(A ∩ B) = 40,且 n(A) = n(B) , 求n(A) =? 50
演練 8c: 調查全班45位同學中,喜歡喝茶類飲料有31位,喜歡喝咖啡類飲料有25位,喜歡果汁類飲料 有10位; 其中茶類、 咖啡類都喜歡的有17位, 咖啡類、 果汁類都喜歡的有8位, 茶類、 果汁類 都喜歡的有4位,三種飲料都喜歡的有3位,問全班有幾位恰只喜歡咖啡飲料? 全班有幾位此 三種飲料均不喜歡? 3;5 茶飲 咖啡 果汁 演練 8d: 某電腦要求設定一長度6碼的密碼, 此密碼由英文字母 (不分大小寫)、 數字 (0 ∼ 9) 組成, 但至少有一碼為數字, 問共可組成多少個不同的密碼? (36) 6− (26)6 演練 8e: 由0, 1 組成長度8碼的二位元碼字串, 若規定此位元碼的首位碼為1或末兩位碼為 00, 則符 合此種編碼的字串共有幾個? 2 7+ 26− 25 = 160 演練 8f: 某一電腦公司收到350個客戶要求線上(網路)更新其應用軟體,假設其中有220位客戶更新 電腦軟體,147位客戶更新商業軟體, 而此兩類軟體都更新的有51位,問有多少客戶既非電腦 軟體亦非商業軟體更新? 34 取捨原理 範例 9: 360 的標準分解式為360 = 23× 32× 5 ,求 360的正因數個數有多少個? 這些正因數的總 和為多少? 24;1170 演練 9a: 從1到120的正整數中, 與120互質的數有幾個? 32個 演練 9b: 從1到30 的正整數中,是2或3或5的倍數共有幾個? 22個 演練 9c: 由1到150 的正整數中, 是2或3或5 的倍數共有幾個? 22× 5 個
10 高中數學講義
邏輯、 集合與計數原理
習題5-1 邏輯、 集合與計數原理
1. 設A ={1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {2, 5, 8},求(1)AT B =? (2)A S B =? (3)A T(B S C) = ? 2. 設A ={2, 4, a + 1}, B = {−4, a − 2, a2− 2a − 3}, 若 AT B = {2, 5} , 則 AS B =? 3. 若A ={x| − 1 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}, B = {x|x < 3, x ∈ R} , 則AS B =? 4. 對於0和空集合∅ , 下列哪些選項是正確的? (1) 0 ⊂ {0} (2) 0 ⊂ ∅ (3) 0 ∈ ∅ (4) 0 ∈ {0} (5) ∅ ⊂ {0} 5. 某次考試, 全班40人中, 英文及格的有23人, 數學及格的有32人, 兩科都不及格的有5人, 則數 學及格英文不及格的有? 人 6. 學校舉辦排球比賽, 每場比賽必分出勝負, 採單淘汰賽 (任一隊只要輸一場比賽就被淘汰出局), 每一輪比賽中, 參賽隊伍盡可能配對比賽, 若該輪為奇數隊比賽, 則將剩下的一隊輪空, 依下列 參賽隊伍計算總共要比賽幾場才能產生冠軍隊伍? (1) 7隊參賽? (2) 16隊參賽? 7. 在棒球比賽中, 共有10支隊伍參賽, 比賽一定要分出勝負,若採雙淘汰賽 (一個隊伍輸一場仍可 繼續比賽,直到第二次輸球才退出比賽),若從球賽開始到產生冠軍隊伍(冠軍隊全勝不敗)共需 比賽幾場? 若球賽開始到產生冠軍隊伍 (冠軍隊只敗1場) 共需比賽幾場? 8. 某年級甲班有30人,乙班有35人, 丙班有40人; 若從甲、 乙、 丙三班中挑選一人當司儀, 則有幾 種選法? 若從甲、 乙、 丙三班中各選一人代表學校參加校外比賽, 則有幾種選法? 9. 書架上有3本不同的中文書,有5本不同的英文書,有6本不同的數學書,現今想從書架上選取一 本書,有幾種選法? 若改從書架上選取中文書,英文書, 數學書各一本, 共有幾種選法? 10. 在三位數中, 百位數與個位數之差的絕對值為2的數,共有? 個 11. 一室有五門, 甲、 乙二人分由不同門進出此室一次, 且每人不得由同一門進出,則其方法有? 種 12. 在1到100 的正整數中, 是2的倍數但不是3的倍數者共有幾個? 13. 求420的正因數個數與這些正因數的總和? 14. 從數字0, 5, 6, 7, 8中選取三個數字, (a) 數字可重複, 則可排列出多少個不同的三位數? (b) 數字不可重複,則可排列出多少個不同的三位數? 15. 用a,b,c,d, 四個英文字母排成一列, 若a 不可排首位,d不可排末位, 則有幾種不同的排法?
習題
5-1
參考答案
1. {2, 3}, {1, 2, 3, 4, 5}, {2, 3} 2. {2, 4, −4, 5} 3. {x|x ≤ 5, x ∈ R} 4. 4,5 5. 12 6. 一一對應 6; 15 場 7. 淘汰一支隊伍需比賽2場, 淘汰9支隊伍共18場比賽; 冠軍 隊輸1 場+ 淘汰9支隊伍18場 共需19場比賽。 8. 105; 42000 9. 14,90 10. (8 + 7)× 10 11. 260 12. 34 13. 24, 1344 14a. 4× 5 × 5 = 100 14b. 4× 4 × 3 = 48 15. 145.2
排列與組合
(Permutation and Combination)
階乘符號: 任意正整數 n,n階乘為 n! = n(n− 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1 , 且定義0! = 1 n個相異直線排列數: n件相異物的直線排列方法有 n! = n· (n − 1) · (n − 2) · · · · 2 · 1種 3件排列 C B A :CBA A B :CAB B C A :BCA A C :BAC A C B :ACB B C :ABC ⇒ 3 × 2 × 1 = 3! = 6 從 n 件相異物品中取出 k 件排成一列的方法數 : Pn k = P (n, k) =n Pk = n(n−1)(n−2) · · · (n− k + 1) = n! (n− k)! n n− 1 n− 2 · · · · · · (n− k + 1) ⊗ ⊗ · · ·剩餘物排列 · · · ⊗ 只取出k物排列, 剩下(n− k)物的排列均視為同一排列 Pn n = P (n, n) =n Pn = n(n− 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1 = n! n! = n× (n − 1)! 不盡相異物的排列: 設n件物品可分成m個種類,其中數量分別有k1, k2,· · · , km個相同物品,( k1+k2+· · ·+km = n ) ,則這n 件物品排成一列的排列數為 n! k1!k2!· · · km! 重複排列數: n類物品(每類至少有k件),中取出k件排成一列,可重複選取,則其排列數為n· n · n · · · · n | {z } k個 = nk
12 高中數學講義
排列與組合
4相異物 A、B、C、D 排列 4物中有3相同物(A=B=C) 排列
ABCD ACBD BACD BCAD CABD CBAD ⇒ D
ABDC ACDB BADC BCDA CADB CBDA ⇒ D
ADBC ADCB BDAC BDCA CDAB CDBA ⇒ D
DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA ⇒D
共有 4!排法 共有 4! 3! 排法
4相異物A、B、C、D 排列 4物中有2同物 (A=B=)、2同物 (C=D=N) 排列
ABCD ABDC BACD BADC ⇒ NN
ACBD ADBC BCAD BDAC ⇒ NN
ACDB ADCB BCDA BDCA ⇒ NN
CABD DABC CBAD DBAC ⇒ NN
CADB DACB CBDA DBCA ⇒ NN
CDAB DCAB CDBA DCBA ⇒ NN
共有 4! 排法 共有 4! 2!2! 排法 特殊規定排列: 1. 指定位置之排列: 先排指定物後再將其他物排列。 (a) 5人中, 甲必排首位 ⇒ 甲 n− 1 n − 2 n − 3 n − 4 2. 指定相鄰位之排列: 將相鄰物視為一物, 再混入排列後、 再將相鄰物排列。 (a) 5人中的甲、 乙兩人必相鄰 ⇒ 甲乙 + 其他人 99K混合後再排列 甲乙兩人可排列 ⇒ (1 + 3)!2! 3. 指定間隔排列: 將其他物先排列後, 再將間隔物插入間隔排列。 (a) 5人中的甲、 乙兩人必分隔開 ⇒ ⊛ ⊛ ⊛ 99K其他人先排列 ↑ ↑ ↑ ↑ 99K間隔物插入間隔處排列 ⇒ 3!P4 2 4. ⊚環狀排列: n 件相異物的環狀排列方法有 n!n = (n − 1)! 5. 特殊規定排列 (錯排): 利用集合文氏圖運算; 錯排公式。 6. n 人中規定有k個人不可排在k個特定位置 (錯排公式): Ck 0 · n! − C1k· (n − 1)! + C2k(n− 2)! − · · · + (−1)kCkk(n− k)! 相異組合數: 從n件相異物品中選取k件的方法數Cn k = C n n−k = n! k!(n− k)! = C(n, k) = C(n, n−k)
5相異物 A、B、C、D、E 取出3物排列數 5物取出3物組合數 ABC ACB BAC BCA CAB CBA ⇒ {A, B, C} ABD ADB BAD BDA DAB DBA ⇒ {A, B, D} ABE AEB BAE BEA EAB EBA ⇒ {A, B, E} ACD ADC CAD CDA DAC DCA ⇒ {A, C, D} ACE AEC CAE CEA EAC ECA ⇒ {A, C, E} ADE AED DAE DEA EAD EDA ⇒ {A, D, E} BCD BDC CBD CDB DBC DCB ⇒ {B, C, D} BCE BEC CBE CEB EBC ECB ⇒ {B, C, E} BDE BED DBE DEB EBD EDB ⇒ {B, D, E} CDE CED DCE DEC ECD EDC ⇒ {C, D, E}
共有 P5 3 = 5! 2! = 60 排法 共有 C 5 3 = 5! 3!2! = 10 取法 從n 件相異物品中取 k 件排列數 Pn k = Ckn× k! 從 A 點走到 B 點的累加法 (每一節點來自哪方向路徑數相加)。 相當於向右走5次向上走3次 的排列數 A B 路線: 右上上右右右上右 A B 路線: 上右右右右上右 A 到 B 走捷徑路線相當於5個“右”3個“上”的排列數。 即8個位置中有3個位置為“上”其餘位 置為“右”的方法數: C8 3 = C58 = 8! 5!3 巴斯卡組合公式: Cn k = C n−1 k + C n−1 k−1, 1≤ k ≤ n − 1 從n 個人選出 k 人的方法數可分成 [甲被選中] 和 [甲未被選中] 這兩種選取情形。 重複組合: 從n類相異物品中(每類物品至少有k件,可重複選取)則選出k件的方法數有Hn類 k選取數 = Ckn+k−1 將相同物 k 件, 切割成n 份, 只要切 (n− 1)刀分割。重複組合數就是相當於此 k 件相同物及 (n− 1)個分割點的排列數 = (k + n− 1)! k!(n− 1)! = Ckn+k−1 非負整數解個數: x1+ x2+· · · + xn = k 的非負整數解個數為 Hkn = C n+k−1 k 解應用問題時, 假設未知數,列式後再化成非負整數解的題型。 1. 從 n 類物品 (每類個數很多)中選取 k 個的組合數。
14 高中數學講義
排列與組合
2. n 元一次方程式 x1+ x2 +· · · + xn= k 的非負整數解個數。 3. 將 k 個相同的事物全分給n 個人的分法。 也就是在乎每類物品被取出幾個, 即第 i 類物品被取出 xi 個, 總共取出 k 個的不同取法。 ⇒ x1+ x2+· · · + xn = k 的非負整數解個數 相當於有 k 個1要分給 n 個未知數 ⇒ k 個1要分成n 份, 只要(n− 1) 個分割記號。 1 1 1 + 1 1 + 1 + + 1 表示 3 , 2 , 1 , 0 , 1 的整數解 分組分堆組合: 從n 個相異物分k1個給甲, 分k2個給乙, 分k3個給丙有 Ck1nC n−k1 k2 C n−k1−k2 k3 種分法。 為指定對象分配額的分法 (相異物分配給相異對象的分法)。 相異物的分配 1. 有6相異物平分3人, (2, 2, 2)⇒ C6 2C24C22 種相異方法。 2. 有6相異物平分3堆, (2, 2, 2)⇒ C6 2C24C223!1 種相異方法。 3. 有6相異物分甲、 乙、 丙3人, 各(1, 1, 4) 件⇒ C6 1C15C44 種相異方法。 4. 有6相異物分3人, (1, 1, 4)⇒ C6 1C15C443!2! 種相異方法。 5. 有6相異物分3堆, 各 (1, 1, 4)⇒ C6 1C15C442!1 種相異方法。 6. 有6相異物分甲、 乙、 丙3人, 分別 (1, 2, 3)件,⇒ C6 1C25C33 種相異方法。 7. 有6相異物分3堆, 各 (1, 2, 3)⇒ C6 1C25C332!1 種相異方法。 相同物的分配 1. 有6相同物平分3人, (2, 2, 2)⇒ (2, 2, 2) 一種相異方法。 2. 有6相同物平分3堆, (2, 2, 2)⇒ (2, 2, 2) 一種相異方法。 3. 有6相同物分甲、 乙、 丙3人, 各(1, 1, 4)⇒ (1, 1, 4)一種相異方法。 4. 有6相同物分3人, (1, 1, 4)⇒ 3! 2! 種相異方法。 5. 有6相同物分3堆, 各 (1, 1, 4)⇒ (1, 1, 4) 一種相異方法。 排列組合的類型: 如表: 參見第16頁 計數方法種類: 如表: 參見第17頁 特殊規定:5相異物a、b、1、2、*分給甲2件、 乙2件、 丙1件方法 分2件、2件、1件三堆方法 甲 乙 丙 三人 三堆 a,b 1,2 * ⇒ {a, b}, {1, 2}, {∗} 1,2 a,b * a,1 b,2 * ⇒ {a, 1}, {b, 2}, {∗} b,2 a,1 * a,2 b,1 * ⇒ {a, 2}, {b, 1}, {∗} b,1 a,2 * a,b 2,* 1 ⇒ {a, b}, {2, ∗}, {1} 2,* a,b 1 a,* 2,b 1 ⇒ {a, ∗}, {2, b}, {1} 2,b a,* 1 b,* 2,a 1 ⇒ {a, ∗}, {2, b}, {1} 2,a b,* 1 a,b 1,* 2 ⇒ {a, b}, {1, 2}, {2} 1,* a,b 2 a,* 1,b 2 ⇒ {a, b}, {1, 2}, {2} 1,b a,* 2 b,* 1,a 2 ⇒ {a, b}, {1, 2}, {2} a,1 b,* 2 b,* 1,2 a ⇒ {b, ∗}, {1, 2}, {a} 1,2 b,* a b,1 2,* a ⇒ {b, ∗}, {1, 2}, {a} 2,* b,1 a 1,* b,2 a ⇒ {b, ∗}, {1, 2}, {a} b,2 1,* a a,* 1,2 b ⇒ {a, ∗}, {1, 2}, {b} 1,2 a,* b a,1 2,* b ⇒ {a, 1}, {2, ∗}, {b} 2,* a,1 b a,2 1,* b ⇒ {a, 2}, {1, ∗}, {b} 1,*b a,2 b 共有 C5 2C23C11 = 30 種分法 共有C25C23C11× 1 2! = 15種分法
16 高中數學講義
排列與組合
表
1: 基本計數公式一覽表 數學模型 公式 備註 從 n個相異的球中任取 m個球的方法數 1. 取出 m 個球放在一堆 (無次序性) Cn m 2. 取出 m 個球排成一列 (有次序性) Pn m *3. 取出m個球排成環狀(有序,無首尾之分) P n m m 4. 取出任意多個球 (包含0個) 2n 從 n個相異的球放到 m 個箱子的方法數 *(1). 箱子均相同 (無標記) 1. 每箱的球數不限 (可空箱) * m P k=0 Sn k *稱作Stirling數 2. 每箱至少放入一球 (不空) Sn m 劃分 n 個元素為 m 個子集合 (沒 有空集合)的方法 數 (2). 箱子均相異 (有標記) 1. 每箱的球數不限 (可空箱)=任意放置 (可重複排列) P n1+n2+···+nm=n n n1,n2,n3,··· ,nm = mn 2. 第i 個箱子放入 ni 個球 n1,n2,n3,··· ,nn m = n n! 1!n2!· · · nm! 3. 每箱至少一個球 (不空) mn−Cm 1 (m−1)n+ C2m(m−2)n− Cm 3 (m− 3)n+· · · 文氏圖排容原理 從 n個相同的球放到 m 個箱子的方法數 *(1). 箱子均相同 (無標記) 1. 每箱的球數不限 (可空箱) * Pm(n) * Pm(n) 表示把 整數 n 劃分成不 多於 m 項的剖分 數。 2. 每箱至少放入一球 (不空) Pm(n)− Pm−1(n) (2). 箱子均相異 (有標記) 1. 每箱的球數不限(可空箱)=可重複組合 數 Hm n = n+m−1 n 相當於x1+ x2+ · · · + xm = n 的 非負整數解個數。 2. 每箱至少放入一球 (不空) Hm n−m = m−1n−1 相當於x1+ x2+ · · · + xm = n 的 正整數解個數。表
2: 計數方法的種類一覽表 物品 給法 對象 方法數 k 類相異物 任意 (可重複) 分給 n 相異對象 nk n相異物 每人一件 m相異對象 Pn m = Cmn × m! n相異物 任意 (可重複) 分給 m相同對象 討論 (a1, b1,· · · )有 Ca1n · C n−a1 b1 · · · (a2, b2,· · · ) 有Ca2n · C n−a2 b2 · · · 有任何 k 個相同數目 ai = bi ,要 ×k!1 n相異物 平均分給 m 相同 Cn kC n−k k · · · × 1m! n 相異物(n > m) 每個一件 m相同對象 Cn m m 相同物 全部任意分給 n 相異對象 Hn種類數 m可重複選取數 = C n+m−1 m n 相同物(n < m) 每人至多一件 m相異對象 Cm n n 相同物(n > m) 每人至多一件 m相異對象 2m m 相同物 任意分給 n 相同對象 討論 (a1, a2,· · · , an) 為一種情形 (b1, b2,· · · )為一種情形 .. . 先固定a1 再討論其後 計數方法 適用情景 排列或組合 nk n類相異物任取出 k 個的排列數 相異—相異的重複排列 n! n件相異物的直線排列 相異物的排列數 * n!n n件相異物的環狀排列 *環狀排列 Pn m 從n 件相異物中選取 m件相異物排列的方法數 選取相異物的排列數 n! m! n件物品中有 m 件相同物的排列數 不盡相異物的排列數 Cn m n類相異物任意取出 k 個相異的選取方法數 選取相異物的組合數 Hn m m件相同物任意分給 n類相異對象的方法數 重複組合數18 高中數學講義
排列與組合
1. n 人中, 甲不可排首位, 乙不可排末位, 丙不可排第三位, 有n!− 3(n − 1)! + 3(n − 2)! − (n− 3)! 種排法。 2. k件相異物任分給n人,其中甲、 乙、 丙三人均至少一物,有nk− 3(n − 1)k+ 3(n− 2)k− (n− 3)k 種分法。 3. k件相同物任分給n人,其中甲、 乙、 丙三人均至少一物,有Hn k−3Hkn−1+3H n−2 k −H n−3 k 種分法。例題
排列 範例 1: 男性4人, 女性3人排成一列, (1)若任意排列,有幾種排法? (2) 若同性要排在一起,有幾種 排法? (3)若女性完全分開, 有幾種排法? (1)7! = 5040 (2) 4!3!2! = 288 (3) 4!P5 3 = 1440 演練 1a: 設田徑場跑道上有8位選手競賽, 若只取前3名分別頒發金牌、 銀牌、 銅牌獎, 則選手受獎情 形有幾種? P 8 3 = 336 演練 1b: 棒球隊教練重新安排9位選手打擊次序, 決定4位內野手安排前4棒, 捕手、 投手及3位外野 手為後5棒打擊, 問教練可以有幾種不同的打擊棒次安排? 4!5! = 2880 範例 2: 由 A、B、C、D、E、F、G 七個字母, 可排成多少相異七個字的字串? 7! 1. 字母 A 排首位, 且字母 G排末位的字串有幾個? 5! 2. 字母 A 不排首位, 且字母G 不排末位的字串有幾個? 7!− 2 × 6! + 5! 3. 字母 A 與B 不可排在一起的字串有幾個? P 6 2 × 5! 4. 這些字串中, 有多少個字母 B 出現在C 前,C 排在 D 之前 ? 7! 3! 5. 這些字串中, 有多少個恰含字串 “BCD” ? (4 + 1)! = 5! 6. 這些字串中, 有多少個含 “AB” 字串及 “GF”字串 ? (3 + 1 + 1)! 7. 這些字串中, 有多少個為 AB相鄰且 GF 相鄰 ? (3 + 1 + 1)!× 2 2 演練 2a: 從數字 1、2、3、4、5 中, 取4個數字排成四位數字 1. 數字不重複下, 共可排出幾個四位數? P 5 4 = 120 2. 數字不重複下, 數字1排首位數的四位數有幾個? P 4 3 = 24 3. 數字不重複下, 含有1的四位數有幾個? P 5 4 − P44 = 4P34 = 964. 數字不重複下, 所有這些四位數的和為? (1 + 2 + 3 + 4 + 5)· 24 · (103+ 102+ 10 + 1) 5. 數字不重複下, 首位數字不可排1,末位數不可排5的四位數有幾個? P 5 4 − 2P34+ P23 = 78 6. 數字不重複下, 數字“1” 2”相鄰的四位數有幾個? 36 演練 2b: 將數字 1、2、3、4、5 、6 排成一個六位數字, 若此六位數由小至大依序而排, 則排在 “362541” 之後的數字為何? 364125 演練 2c: 將數字 1、2、3 組成的3位數由小至大依序重排? 123, 132, 213, 231, 312, 和 321 範例 3: 由 0, 1, 2,· · · , 9 這10個數字中, 任選3個相異數字排成三位數, 共有少種排法? 9· 9 · 8 = 648 = P10 3 − P29 演練 3a: 由數字 1,6,8 三數 (不重複) 排成相異三位數的平均數為何? 555 演練 3b: 由數字0,5,7三數(不重複)排成相異三位數(0不可排字首)的平均數為何? 633 範例 4: 投擲一枚硬幣10次,每次不是正面就是反面 1. 問: 出現正反面的情形共有幾種可能? 2 10 2. 恰出現2次正面有幾種情形? 10! 8!2! = C 10 2 = 45 3. 最多出現3次反面的情形有幾種? 176 4. 正反面出現次數一樣多有幾種情形? 252 演練 4a: 一個5個選項的 (至少一答)多重選擇題的答案選項共有幾種組合? 2 5− 1 = 31 演練 4b: 由0,1 組成的二元碼, 長度10碼的字串中 1. 恰含4個 ”1” 210 2. 至多含有4個”1” 有幾個? 386 3. 至少含有4個”1” 有幾個? 848 4. 字元”0”,”1”一樣多的字串有幾個? 252 範例 5: 將 “SUCCESS” 重新排列, 有幾種不同的排列方式? 7! 3!2! = 210 演練 5a: 某人在解一個二元字串碼 (由“0”,“1”組成),已知此字串有3個“1”, 且此字串碼共有35種相 異組合,求此字串碼共幾碼 (長度)? 7 演練 5b: 欲將3堂科學實驗課,2堂數學課,2堂英文課安排在同一天的7節課中; 1. 若任意安排, 有幾種安排方法? 7! 3!2!2! = 35
20 高中數學講義
排列與組合
2. 若規定3節科學實驗課不可分散拆開, 則有幾種安排方法? (4+1)! 2!2! = 30 3. 若規定同一科目不可分散拆開, 則有幾種安排方法? 3! = 6 4. 若規定2堂數學課不可連堂, 則有幾種安排方法? (3+2)! 3!2! P6 2 2! = 150 演練 5c: 甲、 乙兩人負責連續7天假期到公司值班,其中甲值班4天,乙值班3天,問此7天假期值班的 安排共有多少種? (4+3)! 4!3! 範例 6: 將5本不同的書分給甲, 乙, 丙三人, (1) 若全部任意分給三人, 有幾種分法? (2) 若全部分 給三人且甲至少得1本, 有幾種分法? (3) 若全部給三人且甲恰得1本, 有幾種分法? (4) 若每人 恰得一本書,有幾種分法? (1) 35 = 243 (2) 35− 25 = 211 (3) 5· 24 = 80 (4) P5 3 = 60 演練 6a: 由A、B、C、D、E、F 六個字母中,選取5個字母排成五個字的字串, 若依 1. 字母不可重複, 則可排出幾個不同的字串? P 6 5 = 720 2. 字母可重複, 則可排出幾個不同的字串? 6 5 3. 字母不可重複, 且“E” 排在字首, 可排出幾個不同的字串? P 5 4 = 120 4. 字母不可重複,且“E”排在首位,“F”排在第3位,可排出幾個不同的字串? P 4 3 = 24 5. 字母可重複, 且“E” 排在字首,可排出幾個不同的字串? 6 4 = 1296 演練 6b: 英文字母中有5個母音,21個子音, 現由6個字母組成的字串 (不分大小寫) 1. 問: 恰含一個母音的字串有幾個? (21)5× 5 × 6 = 122523030 2. 問: 恰含兩個母音的字串有幾個? (21)4× 52× 15 = 72930375 3. 問: 至少含一個母音的字串有幾個? (26)6− (21)6 = 223149655 組合 範例 7: 樂透彩券號碼有1∼ 49號,每一張彩券有6組號碼組合而成,若6組號碼與開獎號號完全一 樣則為頭獎: 1. 問頭獎號碼有幾種不同的組合? C 49 6 = 13983816 2. 若每一張自由選號的彩券需填寫號碼, 機器列印共花費10分鐘, 則4天可以處理幾張自行選 號的彩券? 576張 3. 若想要保證中頭獎,在這4天你必須至少僱請幾名人員幫你選填號碼買彩券? 24278人 演練 7a: 從一副52張的撲克牌中, 發出5張牌有幾種可能的結果? C 52 5 = 2598960 演練 7b: 一張數學測驗卷裡有13題, 若任選作答10題, 則有幾種不同的答題選擇? C 13 10 = 286範例 8: 任意凸 n 邊形的對角線有幾條? C n 2 − n = n(n− 3) 2 演練 8a: 平面上有相異6點, 最多可決定幾條直線? C 6 2 = 15 演練 8b: 平面上有相異6點, 最多可決定幾個三角形? C 6 3 = 20 範例 9: 從10名男生,5名女生中選出一個五人小組。 若規定男女生至少各2人, 則有多少種選法? C310C25+ C210C35 = 1650 演練 9a: 從15種水果挑選其中5種水果作水果沙拉,則有幾種選擇方式? C 15 5 = 3003 演練 9b: 某畫廊20件作品中欲挑選4件捐助義賣, 該畫廊有幾種挑選方式? C 20 4 = 4845 演練 9c: 一袋內裝有大小相同的紅色球3顆, 黃色球5顆, 及藍色球8顆。 問選到紅色球2顆, 黃色球1 顆,和藍色球2顆有幾種情形? 420 演練 9d: 滑艇運動選手8人, 其中3人只會滑右艇,2人只會划左艇, 另外3人左、 右艇均會滑, 現今欲 選出左、 右艇各3位選手共6位參賽, 問有幾種選拔方式? C5 3C33+ C23C13C34+ C13C23C33 = 55 演練 9e: 從一副4種花色, 各13張的撲克牌中,任取5張中; i. 恰為3張紅心及2張梅花,有幾種不同結果? C 13 3 C213= 22308 ii. 恰為1張 A, 2張 J,和 2張 K,有幾種不同結果? C 4 1C24C24 = 144 iii. 5張牌均為人頭牌 (J,Q 或 K), 有幾種不同結果? C 12 5 = 792 演練 9f: 某校由學生票選產生5位組成學生委員會, 現有15位學生登記參選; i. 學生委員會的組成有幾種結果? C 15 5 = 3003 ii. 若學生委員會每人各司其職, 則此屆學生委員會有幾種結果? P 15 5 = 360360 iii. 若候選人性別為8女7男, 而委員會為2男3女組成, 則此次學生委員會有幾種不同的結 果? C 7 2C38 = 1176 演練 9g: 從6男4女共10名網球選手中選6名選手巡迴表演賽; i. 問有幾種不同的選拔組合? C 10 6 ii. 若規定6名選手中為4男2女,則有幾種組合? C 6 4C24 iii. 若規定6名選手中至少2位女性, 則有幾種組合? C 10 4 − C56C14− C66 範例 10: 將 6 本不同的書, 依照 (1) 分給甲, 乙, 丙三人, 每人各二本, 有幾種分法? (2) 裝入 3個 相同的箱子,每箱裝 2本, 有幾種裝法? (3)三個相同箱子分別裝入1本,1本,4本, 有幾種裝法? (1) C6 2C24C22 = 90 (2) 903! = 15 (3) C16C15C44/2! = 15
22 高中數學講義
排列與組合
演練 10a: 有5本相異的書, 1. 若任意分給3位學生,有多少不同分法? 35 2. 若分給3位學生,每人至少1 本,則有多少不同分法? 35− C3 125+ C2315 3. 若分給3位學生,每人1 本,則有多少不同分法? P5 3 4. 若任意分裝到3個相同的箱內, 有多少不同裝法? C5 5 + C45C11 + C35C12/2! + C35C22 + C5 2C23/2! = 41 5. 若任意分成3堆(每堆都有東西),有多少不同分法? (3, 1, 1)有C5 3C12/2! + (2, 2, 1)有 C5 2C23/2! = 25 演練 10b: 將一副撲克牌52張中, i. 若平分給4個人,每人分得13張牌共有幾種不同的分法? C 52 13C1339C1326C1313 ii. 若平均分成4堆,共有幾種不同的分法? C52 13C 39 13C 26 13C 13 13 4! iii. 若從中任意取出5張,有幾種不同取法? C 52 5 = 2598960 iv. 若任意取出5張中, 其中有4張點數相同的取法有幾種? C 13 1 C148 = 624 v. 若從中任意取出5張,其中有3張點數相同, 另外2張點數亦相同的取法有幾種? C13 1 C34C112C24 = 3744 vi. 若從中任意取出5張,其中有3張點數相同, 但另外2張點數不相同的取法有幾種? C13 1 C34C212× 42 = 54912 vii. 若從中任意取出5張,其中5張點數連續,但花色可以不同的取法有幾種? (13− 5 + 1) × 45 = 9216 演練 10c: 有8雙不同款式的鞋子, 從中認取出6隻, 問 i. 有多少種不同的取法? C 16 6 = 8008 ii. 6隻中沒有2隻同款式鞋子的取法有幾種? C 8 6 × 26 = 1792 iii. 6隻中恰有2雙同款式鞋子的取法有幾種? C 8 2C26 × 22 = 1680 範例 11: 如圖的街道圖: 從A 點走到B 點的捷徑有幾條不同的路徑? 若從 A 點出發經由 C點到 達B 點的捷徑有幾條路徑? C 10 4 = 210;C46× C24 = 90 ↑99K? A B C演練 11a: 如平面坐標圖的街道圖:從A(0, 0)點走到B(5, 3)點的捷徑有幾條不同的路徑? C 8 5 A(0, 0) B(5, 3) P (5, 2) Q(4, 3) i. 若從 A 點出發經由P 點到達 B 點的捷徑有幾條路徑? C 7 5 ii. 若從 A 點出發經由Q 點到達B 點的捷徑有幾條路徑? C 7 4 iii. 利用上述兩種方式: 說明從A 點走到B 點的捷徑路徑方法數為路經P 點或 Q點的方 法數和但不會同時路經P、Q 兩點。 C 8 5 = C47+ C57 iv. 利用上題恆等關係式: 化簡求 C7 4 + C27 = C C8 5 演練 11b: 從空間坐標原點O(0, 0, 0)出發, 每次移動1單位長,且只能往x 軸、y 軸或z 軸的正向前進 到達點 P (5, 4, 3),問有幾種不同的走法? 12! 5!4!3! 範例 12: 從收銀機裡面有7種幣值, 千元、 五百元、 百元、50元、10元、5元、1元各數個, 若從中取出5 張(個),有多少種選擇方式? C 7+5−1 5 = 462 演練 12a: 展開 (x + y + z)10 共有幾個相異項? C 3+10−1 10 = 66 演練 12b: 某糕餅店販售四種暢銷糕餅 (供貨充足), 若有位顧客欲購買6塊糕餅, 則有幾種選擇方法? C64+6−1= 84 演練 12c: 將10顆相同的球,放入8個不同的袋子, 有幾種不同的裝法? C 8+10−1 10 = 19448 演練 12d: 以下敘述的方法數為 H3 5有哪些選項? (A) 從學校體育室中的籃球, 排球, 棒球三種球中選 取5球。 (B) 三元一次方程式 a + b + c = 5 的非負整數解。 (C) 將5支相同的筆全部分給 甲, 乙, 丙三人。 (D) 不等式 x + y ≤ 5 中, x, y 的非負整數解 。 (E) 將5支不同的筆, 分 裝入三個相同箱子 。(F) 工廠將5雇員分配到3個不同的生產線。 (G)將5本相同的書, 放入 3個相同的箱子。 ABCD;E:1+15+25=41,F:35,G:5 演練 12e: 將5顆相同的球放入3個箱子內: i. 若箱子相異,則有幾種不同的分裝法? C 3+5−1 5 = 21 ii. 若箱子相異,且每個箱子至少1顆球,則有幾種不同的分裝法? C 3+2−1 2 = 6 iii. 若箱子相同,則有幾種不同的分裝法? 5 iv. 若箱子相同,且每個箱子至少1顆球,則有幾種不同的分裝法? 2
24 高中數學講義
排列與組合
範例 13: 考慮方程式 x + y + z = 20 依 (1) 方程式非負整數解個數? (2) 方程式正整數解個數? (3) 滿足 x≥ 2, y ≥ 3, z ≥ 4 的正整數解個數? C203+20−1= 231; C173+17−1 = 171; C113+11−1 = 78 演練 13a: 方程式 x + y + z≤ 10 非負整數解個數? C 4+10−1 10 = 286 排列與組合綜合問題 範例 14: 某冰店販售31種受歡迎的冰淇淋,每一份甜筒冰淇淋有兩球冰淇淋: 1. 若現在一份甜筒冰淇淋(上、 下兩球)可任由顧客點選兩球,則有幾種選擇方式? (31) 2 = 961 2. 若現在一份甜筒冰淇淋(上、 下兩球)可由顧客點選相異種類兩球,則有幾種選擇方式? P 31 2 = 930 3. 若現在一份甜筒冰淇淋(不分上、 下兩球)可任由顧客點選兩球,則有幾種選擇方式? C 31+2−1 2 = 496 4. 若現在一份甜筒冰淇淋 (不分上、 下兩球) 可任由顧客點選相異種類兩球, 則有幾種選擇方 式? C 31 2 = 465 演練 14a: 公司尾牙提供編號為 1, 2, 3,· · · , 100的100張抽獎票券, 分別給100個不同的人抽獎。 共有 四個不同的獎品, 包括一名大獎。 依下列敘述條件得獎各有幾種不同頒發獎品結果? i. 100人沒有限制誰得獎? P 100 4 ii. 該人持有37號票贏得大獎? P 99 3 iii. 該人持有票號37抽得獎項之一? 4!C 99 3 iv. 持有37號票沒抽得獎項? P 99 4 v. 持有票號21和37兩人都贏得獎品? 4!C 98 2 vi. 持有票號99,21和37三人都贏得獎品? 4!P 97 1 vii. 持有票號13,99,21和37贏得獎品? 4! viii. 票號13,99,21和37都沒贏得獎品? P 96 4 ix. 票號13,99,21和37有人贏得大獎獎品? C 4 1P399 x. 票號19和47贏得獎品, 但票號73和97沒贏得獎品? C 96 2 4! 演練 14b: 用0, 1, 2, 3, 4, 5 這6個數字, 若依 i. 數字不重複下, 能夠組成多少個不同的六位數? P 6 6 − P55 = 600 ii. 數字不重複下, 能夠組成多少個不同的五位偶數? 3P 5 4 − 2P34 = 312 iii. 數字不重複下, 能夠組成多少個比 34521大的五位數? 2P 5 4 + P34 = 264 iv. 數字不重複下, 能夠組成多少個3的倍數之三位數? 4(P 3 3 − P22) + 4P33 = 40 5× 65vi. 數字可重複下, 能夠組成多少個不同的五位偶數? 5× 6 3× 3 vii. 數字可重複下, 能夠組成多少個比 34521大的五位數? 4 + 3× 6 + 63+ 2× 64 = 2830 遞推關係式計數 範例 15: 一樓梯共有7級, 今有一人上樓, 若每步只能走一級或二級, 則上樓有幾種方法? 討論 x + 2y = 7 非負整數解共21 種或遞迴關係式 an= an−1+ an−2, a1 = 1, a2 = 2; a7 = 21 演練 15a: 將下圖中的黑棋向右移動, 規定每次只能移動1格或2格, 移到最右邊一格 (共移動7格), 共 有幾種移動方法? an= an−1+ an−2, a1 = 1, a2 = 2; a7 = 21 演練 15b: 一個房間的地面是由12個正方形所組成,如圖左: 今想用長方形瓷磚舖滿地面,已知每一塊 長方形(2× 1單位)瓷磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形,即 則用 6塊瓷磚舖滿房 間地面的方法有幾種? 11 = a5 + a3;an = an−1+ an−2, a1 = 1, a2 = 2; 其中 an 為 2× n 矩形的鋪法 鋪法分成 a5 及 a3 兩種鋪法。 演練 15c: 一個走道的地面是由6個正方形所組成, 如圖左: 今想用黑色、 白色同大小正方形地磚舖滿 地面, ,若規定黑色地磚不可連續相鄰,則用6塊地磚舖滿走道地面的方法有幾種? (解:)21 = a6;an= an−1+ an−2, a1 = 2, a2 = 3; 其中 an 為1× n 矩形的鋪法 演練 15d: 河內塔問題: 有3根相同柱子, 其中一根柱子恰依序套著編號1、2、3、4由上而下的四個環, 現 規定每次移動一個環到另外一根柱子必須號碼大的在號碼小的下方, 問: 欲將此根柱子的四 個環全部移至另外的柱子且由上而下仍為1、2、3、4最少要移動幾次才能達成? 15;an = 2an−1+ 1, a1 = 1; 其中 an 為移動 n 個環的次數 習題5-2 排列與組合 1. 從1到10000的一萬個數中, 有多少個數不含數字1? 有多少個數含數字1? 2. 將甲、 乙、 丙等共6人排成一列, 若規定甲不排首位, 乙不排末位的排法有多少種? 3. 某旅社有五個房間, 今A,B,C 三人求宿,若每人各住一間, 則有? 種不同的分配方式 4. 由0, 1, 2, 3, 4作成相異五位數, 由小排至最大, 則 23104是排在第幾項?
26 高中數學講義
排列與組合
5. 如圖中棋盤街道中, 從A 到 B 走捷徑, 求下列情形各有多少種方法? A C D B (a) 任意走捷徑 (b) 經 C點 (c) 經 C點或 D 點 (d) 不經C 點且不經 D 點 6. 有4男3女排成一列,若要求男生須排在一起,女生亦須排在一起, 則其排列法有? 種。 又若只要 求男生排在一起,則排列法有? 種。 7. 有10位學生排成一列, 問 (a) 有多少種不同的排法? (b) 學生甲必須排在首位, 有多少種不同的排法? (c) 學生甲不可排在首位, 亦不可排在末位, 有多少種不同的排法? (d) 學生甲不可排在首位, 學生乙不可排在末位, 有多少種不同的排法? (e) 學生甲和乙兩位必須排在一起, 有多少種不同的排法? (f) 學生甲和乙兩位不可以排在一起, 有多少種不同的排法? (g) 學生甲和乙兩位之間必須間隔4人, 有多少種不同的排法? 8. 從家裡到學校會經過8個紅綠燈路口, 問路途中恰遇到5個紅燈,3個綠燈的情形有多少種? 9. 把“庭院深深深幾許”依下列排列,各有多少種方法? (a) 三個“深”完全相鄰 (b) 三個“深”完全不相鄰 10. 用1, 2, 3, 4, 5五個數字排成五位數 (a) 數字可重複, 有多少不同的五位數? (b) 數字不可重複,有多少不同的五位數? (c) 數字不可重複,有多少不同的奇五位數?11. 在每一多重選擇題的 5個選項中, 至少有一個選項是正確答案, 則正確答案有多少種不同的形 式? 12. 有5種不同酒及4個不同的酒杯, 每杯都要倒酒且只倒一種酒, 問共有多少種倒法? 13. 將4本不同的書全部分給甲、 乙、 丙三人, 則依照下列分法各有幾種分法? (a) 任意分 (b) 甲至少得1本 (c) 甲恰得1本 14. 已知兩組互相平行垂直的平行線段, 相交如圖 P Q (a) 共有多少個矩形? (b) 包含 P 點的矩形共有多少個? (c) 至少包含 P 或 Q兩點之一的矩形共有多少個? 15. 公益彩券42個號碼可供任意圈選6個號碼,而頭獎須6組號碼全中,則頭獎號碼共有幾種不同的 號碼組成? 16. 將10個相同的球放置4個不同箱子中, 每箱球數不限, 有多少種放法? 17. 從1到10的自然數中取出5個數, 求共有幾種取法? 18. 方程式u + v + w + x + y + z = 10 , 問共有幾組非負整數解? 有多少組正整數解? 19. 方程式x + y + z = 4, x≥ −2, y ≥ −3, z ≥ −1的整數解個數? 20. 將數字2, 3, 5, 8, 9依下列方法排法, 有幾種不同排法? (a) 從中任選4相異數字並排成四位數字? (b) 從中任選4數字 (可重複) 並排成四位數字? (c) 從中任選4相異數字並組成最大的四位數字? (d) 從中任選4數字 (可重複) 並組成最大的四位數字? 21. 飲料店今日販賣5種特價品,3位學生到此消費點選特價品 (a) 特價品無限量,每人任意點選一杯, 則三人有幾種點選飲用方法?
28 高中數學講義
排列與組合
(b) 特價品無限量,每人任意點選一杯,合併填寫一張訂購單,則訂購單上點選的結果可能有幾 種? (c) 特價品都只剩1杯,每人點選一杯,則三人有幾種點選飲用方法? (d) 特價品都只剩1杯,每人點選一杯,合併填寫一張訂購單, 則訂購單上點選的結果可能有幾 種? 22. 有6位學生到冷飲店,那裡有八種飲料可供選擇, (a) 若每人點選一飲料,店員拿出飲料的方法共有? 種 (b) 若每人點選一飲料,則這些學生喝飲料有? 種不同的喝法 (c) 若每人點選一飲料,且不可點選相同飲料,則這些學生喝飲料有? 種不同的喝法 (d) 若每人點選一飲料,且不可點選相同飲料,則店員拿出飲料的方法共有? 種 23. 有5粒相同水果, (a) 若任意分給3位學生, 有多少不同分法? (b) 若分給3位學生, 每人至少1粒, 則有多少不同分法? (c) 若任意分裝到3個相同的箱內, 有多少不同裝法? (d) 若任意分成3堆 (每堆都有東西), 有多少不同分法? 24. 將9 本不同的書,依照 (a) 分給甲, 乙, 丙三人, 每人各3本, 有幾種分法? (b) 裝入 3個相同的箱子, 每箱裝3本,有幾種裝法? (c) 三個相同箱子分別裝入2本,2本,5本, 有幾種裝法? 25. 正六面體的骰子,點數分別為 1、2、3、4、5、6 六種點數 (a) 投擲同ㄧ顆骰子3次, 這三次出現的點數情形共有幾種? (b) 一次投擲相同骰子3顆,出現點數的情形有幾種? (c) 一次投擲相同骰子3顆,出現點數均相異的情形有幾種? (d) 一次投擲顏色不同的骰子3顆, 出現點數的情形有幾種? (e) 一次投擲顏色不同骰子3顆, 出現點數為兩個2點、 一個5點的情形有幾種? (f) 一次投擲顏色不同骰子3顆, 出現點數均相異的情形有幾種? (g) 一次投擲相同骰子3顆,點數和的情形有幾種? (h) 一次投擲相同骰子3顆,出現點數和為8情形有幾種?(i) 一次投擲顏色不同骰子3顆, 出現點數和為8情形有幾種? (j) 一次投擲顏色不同骰子3顆, 出現點數和為10情形有幾種? 26. 某測驗包含10題是非題 (a) 某人甲, 隨意亂猜10題回答, 問甲可能有幾種回答方法? (b) 某人甲, 恰答對8題, 問甲可能有幾種答題方法? 27. 由1到1000的正整數中,數字0、1和9分別共出現幾次?
習題
5-2
參考答案
1. 94− 1; 10000 − 94+ 1 2. 6!− 2 × 5! + 4! = 504 3. 60 4. 39 5a. 7!3!10! = 120 5b. 2!1!3! × 7! 5!2! = 63 5c. 63 + 60− 36 = 87 5d. 120− 87 = 33 6. 288, 576 7a. 10! = 3628800 7b. 9! = 362880 7c. 10!− 2 × 9! = 2903040 7d. 10!−2×9!+8! = 2943360 7e. 2× (8 + 1)! = 725760 7f. 8!× P9 2 = 2903040 7g. 2× P8 4 × 5! = 403200 8. 56 9a. 120 9b. 240 10a. 3125 10b. 120 10c. 72 11. 25− 1 = 31 12. 54 = 625 13a. 81 13b. 65 13c. 32 14a. C24× C24 = 36 14b. C1 1×C13×C12×C12 = 12 14c. n(A∪B) = 12+12−4 = 20 15. 426 16. C104+10−1= 286 17. 105= 252 18. 非負整數C106+10−1 = 3003 ;正整數 C46+4−1= 126 19. 66 20a. P5 4 20b. 54 20c. C5 4 20d. C45+4−1 21a. 53 = 125 21b. C35+3−1= C7 3 21c. P5 3 = 60 21d. C5 3 = 10 22a. C68+6−1 22b. 86 22c. P8 6 22d. C8 6 23a. C53+5−1 23b. C23+2−130 高中數學講義
二項式定理
23c. (5, 0, 0),(4, 1, 0),(3, 1, 1), (3, 2, 0),(2, 2, 1)共5種 23d. (3, 1, 1), (2, 2, 1)兩種 24a. C9 3C36C33 = 1680 24b. C 9 3C36C33 3! = 280 24c. C 9 5C24C22 2! = 378 25a. 63 = 216 25b. C36+3−1= C8 3 25c. C6 3 25d. 63 = 216 25e. 3! 2! 25f. P6 3 = C36× 3! 25g. 3 ∼ 18 ;16種 25h. (1, 1, 6),(1, 2, 5),(1, 3, 4), (2, 2, 4),(2, 3, 3) ;5種 25i. C8−33+5−1 = C7 5 = 21 25j. C10−33+7−1 − (7, 0, 0)情形, 有3! 2! − (6, 1, 0) 情形, 有 3! = C9 7 − 3 − 6 = 27 26a. 210 = 1024 26b. C10 8 = 45 27. 依一位數, 兩位數, 三位數 的個位、 十位、 百位討論0 : 9 + 90 + 90 + 3 = 192 次;1 : 301次;9 : 1 + (9 + 10) + (90 + 90 + 100) = 300次5.3
二項式定理
二項式定理 : 對任意正整數n, 恆有 (x + y)n= Pn k=0 Cn kxn−kyk ,為 x項的降冪排列。 (x + y)n = Pn k=0 Cn kxkyn−k,為 x 項的升冪排列 (x + y)n = Cnnx n + Cn−1n xn−1y + Cn−2n xn−2y2+· · · + Cknx k yn−k+· · · + Cn 0yn = C0nxn+ C1nxn−1y + C2nxn−2y2+· · · + Cn kxn−ky k +· · · + Cn ny n = Cn 0yn+ C1nx1yn−1+ C2nx2yn−2+· · · + Cknxkyn−k+· · · + Cnnxn 一些組合計算式: (x + 1)n= Cn nxn+ Cn−1n xn−1+ Cn−2n xn−2+· · · + Cknxk+· · · + cn1x + C0n x = 1 時, C0n+ C1n+ C2n+· · · + Cn n−1+ C n n = 2 n (A∗) x =−1 時, C0n− Cn 1 + C n 2 − C n 3 +· · · + C n n(−1) n = 0n= 0 (B∗) (C∗ + B∗)/2 可得 Cn 0 + C2n+ C4n+· · · = 2n−1 (C∗ − B∗)/2 可得 Cn 1 + C3n+ C5n+· · · = 2n−1 x = 2 時, C0n+ 2C1n+ 22C2n+ 23C3n+· · · + 2nCnn= (2 + 1) n = 3n (C∗) 考慮多項式f (x) = (x+1)n = Cn nxn+Cn−1n xn−1+Cn−2n xn−2+· · ·+Cknx k+ · · ·+cn 1x+C0n = anxn+ an−1xn−1+· · · + a1x + a0 f (1) = an+ an−1+ an−2+· · · + a2+ a1+ a0 = C0n+ C1n+ C2n+· · · + Cn−1n + Cnn= 2n 表f (1) + f (−1) 2 = a0+ a2+ a4+· · · + a2×[ n 2] = C n 0 + C2n+ C4n+· · · = 2n−1 表全偶次項係數 和 f (1)− f(−1) 2 = a1+ a3+ a5+· · · + a2×[n−12 ]+1 = C n 1 + C3n+ C5n+· · · = 2n−1 表全奇次項 係數和 二項式展開式的一般項 : (前項+後項)n = Pn k=0 Cn n−k(前項)k· (後項)n−k 降冪排列的k 次項為 Cn n−k(前項)k· (後項)n−k 降冪排列的k 次項係數為 = Cn k = C n n−k= (n− k)!k!n! 二項式係數的單峰性: n為偶數時, Cn 0 < C1n< C2n<· · · < Cnn 2,C n n 2 > C n n 2+1>· · · > C n n−1 > Cnn n為奇數時, Cn 0 < C1n< C2n<· · · < Cnn−1 2 = Cn n+1 2 >· · · > Cn n−1 > Cnn 多項式的展開式: (a + b + c)n = [(a + b) + c]n 視為二項式展開為 Pn k=0 Cn k(a + b)kcn−k, 再將(a + b)k 展開代入整理 (a+b+c)n一般項為 n! p!q!r!apbqcr,其中p, q, r為p+q+r = n的非負整數。 共有Hn3 = Cnn+3−1 不同類項。 巴斯卡定理 : Cn k = C n−1 k + C n−1 k−1 從n人中選取k人的方法數可區分甲必選上 Ck−1n−1 ,及必不選上甲 Ckn−1 兩種方法。 1 ւ ց 1 1 ւ ց ւ ց 1 2 1 ւ ց ւ ց ւ ց 1 C3 1 C23 1 ւ ց ւ ց ւ ց ւ ց 1 4 C4 2 4 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 二項式展開式應用 : (x + y)n= Pn k=0 Cn kxn−kyk = n P k=0 Cn kxkyn−k 化簡式子求值: (x + 1)n+ (x− 1)n= 2(Cn 0xn+ C2nxn−2+ C4nxn−4 +· · · + C2×[n n 2]x n−2×[n 2]) (x + 1)n− (x − 1)n = 2(Cn 1xn−1+ C3nxn−3+ C5nxn−5+· · · + C2×[n n−1 2 ]+1 xn−(2×[n−1 2 ]+1)) √ n =√a2+ b≈ a + b 2a− b2 8a3
32 高中數學講義
二項式定理
3 √ n =√a3+ b ≈ a + b 3a2 − b2 9a5 求餘式(數): 1. 相同除式時: 若f1 = g· q1+ r1, f2 = g· q2+ r2 則(f1± f2)÷ g 餘式為 (r1± r2) (f1× f2)÷ g 餘式相當於 (r1× r2) (f1)n÷ g 餘式相當於 (r1)n 2. 長除法:(被除式次數不甚高, 除式次數二次以上) 3. 綜合除法:(被除式次數不甚高, 除式次數一次) 4. 餘式定理: f (x) = g(x)q(x) + r(x), 當 g(x) = 0 (好解,無重根時) x = α 為其解時, 則f (α) = r(α) 5. 二項式定理求餘式: [f (x)]n = [g(x)q(x) + r(x)]n , 當r(x) 愈簡易越好。 6. *微分應用重根定理及餘式定理: f (x) = g(x)q(x) + r(x), 當 g(x) = 0 有重根時。例題
範例 1: 求 (x− y)4 的展開式? x4− 4x3y + 6x2y2− 4xy3+ y4 演練 1a: 將 (x2 + y)12 展開集項後, 請選出正確的選項 (1) x24 的係數小於 x10y7 的係數 (2) x12y6 的係數小於 x10y7 的係數 (3) x14y5 的係數小於 x10y7 的係數 (4) x8y8 的係數小於 x10y7 的係數 1,4 演練 1b: 求(2− x)11 的展開式中 x7 項的係數? −16C 11 7 =−5280 演練 1c: 求(x− 2y)7 的展開式中 x4y3 項的係數? −280 演練 1d: 求(4x + 3y)7 展開後依 x項降冪排列的第5項為何? C7 4(4x)3(3y)4 = 181440x3y4 演練 1e: 求(2x− 5y)6 展開後依 x 項降冪排列的第5項為何? C6 4(2x)2(−5y)4 = 37500x2y4 演練 1f: 求(1 + x2)12+ (1− x3)12 展開式中 x6 項的係數? C 13 3 = 286 演練 1g: 若(2x + 3y)15 展開式中, a kx15−kyk 項的係數 ak 為最大, 則k 值為? 9;a9 = C9152639 範例 2: 求 (x− 2x)10 展開式中 x6 項的係數與常數項? a6 = 180, a0 =−8064 演練 2a: 求(3x2− 1 4x) 6 展開式中的常數項? 135 256 演練 2b: 求(2x− 3)4 展開式中的常數項? 216演練 2c: 求(2 x + 3 √ x)4 展開式中的 x2 項? 81x 2 二項式定理應用 範例 3: 求 (1.01)4 近似值(四捨五入取至小數點後兩位)? 1.04 演練 3a: 1110− 1 的末尾有連續幾個零? 2;1110− 1 = 10C10 1 + 102C210+ 103C310+· · · 演練 3b: 若(√2 +√3)6 = a + b√6, 其中 a, b 均為整數, 則a, b 值為? a = 485, b = 198 演練 3c: 若n 為正整數, 將(2 +√3)n 展開後為 a n+ bn √ 3, 其中an, bn 為有理數, 請選出正確的選 項(1) (2−√3)n= a n−bn √ 3 (2) a2 n−3b2n= 1 (3) an+1 = 2an+ 3bn (4) bn+1 = 2bn+ an (5) 當 n 為奇數時,an 必為偶數 1,2,3,4,5 演練 3d: 化簡(√2 + 1)6− (√2− 1)6 = a + b√2 ,a, b 為整數,求數對 (a, b) = a = 0, b = 140 演練 3e: 若 P8 k=0 C8 kx8−k3k = 0 , 求x 的解為何? x =−3 演練 3f: 若 P9 k=0 C9 kxk(2)9−k = 1 ,求 x 的解為何? x =−1 演練 3g: 若 P9 k=0 C9 kx9−k2 k = −1 , 求x 的解為何? x =−3 演練 3h: 求910 除以100 的餘數為何? 1 演練 3i: 求(51)13 除以 13的餘數為何? 12 演練 3j: 證明 1919+ 1 恆為20 的倍數。 (20− 1)19+ 1 =P19 k=0Ck20(−1)20−k(20)k+ 1 = P19 k=1Ck20(−1)20−k(20)k 範例 4: 求 (x2 + 2x + 3)3 除以 (x + 1)2 的餘式? 8 演練 4a: 求x10 除以 (x + 1)2 的餘式? −10x − 9 演練 4b: 若n 為整數,證明 (n + 7)10− n10 恆為 7 的倍數。 二項式定理展開 演練 4c: 試証明: 若 n 為正整數時 , (92n+1+ 52n+1)能被 14 整除。 (7 + 2)2n+1+ (7− 2)2n+1 展開 演練 4d: 將式子 (a + b + c)5 展開後 1. 合併同類項後, 共有幾項相異項? C 3+5−1 5 = C57 = 21 2. 形如 22 項的有幾項? 3! 2! = 3 3. 形如 23 項的有幾項? P 3 2 = 6
34 高中數學講義
二項式定理
4. 求a2b2c 項的係數為? 5! 2!2! = 30 範例 5: 求 (x2 + x + 1)3 展開式中的 x2 項的係數? 6 演練 5a: 求(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+· · ·+(1+x)10展開式中,x2 項的係數為何? C 11 3 演練 5b: 求(x + y + z)10 展開式中的x3y2z5 項的係數? 10! 5!3!2! 演練 5c: 求(1− 2x + 3x2)5 展開式中的 x5 項的係數? −1052 二項式定理與巴斯卡三角形公式 範例 6: 求 C4 4 + C45+· · · + C412 的值? C13 5 = 1287 化簡求 C4 2 + C35+ C46+· · · + C911+ C1012 的值? C1013− C14 求C12 0 + C112+ C212+· · · + C1112+ C1212 的值? 212 求C12 1 + C312+ C512+· · · + C912+ C1112 的值? 211 求C11 0 + C111+ C211+ C311+ C411+ C511 的值? 210 演練 6a: 求C7 0 + C27+ C47+ C67 值為? 26 = 64 演練 6b: 化簡求 C10 3 + C411+ C512+· · · + C1118+ C1219 的值? C20 12 − C210 演練 6c: 化簡求 C10 3 + C311+ C312+· · · + C318+ C319 的值? C20 4 − C410 演練 6d: 化簡求 C10 1 + C210+ C310+· · · + C910+ C1010 的值? 210− 1 演練 6e: 對任一正整數 n , 求 Cn 0 + 2C1n+ 4C2n+· · · + 2nCnn 的值? 3n 演練 6f: 利用二項式定理證明: 整數k當0≤ k ≤ n時Cn k < 2n,恆成立;並進一步說明C⌊nn 2⌋≥ 2n n 為真? (⌊k⌋ 為≤ k 的最大整數) Pn 0Ckn= 2n 演練 6g: 用二項式定理尋找下列數列規律的通項公式?(利用巴斯卡三角形係數觀察) i. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66,· · · C n+1 2 ii. 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220,· · · C n+2 3 iii. 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620,· · · C 2n−2 n−1 習題5-3 二項式定理 1. 有關 (x− 1)10 的展開式,下列選項何者為真?(1) 是一個10次多項式 (2) 常數項為 1 (3)不 同類項共有11項 (4) x7 項的係數為 C10 7 (5) x8 次項的係數為 C210 2. 化簡 P23 C23(log 2)23−k(log 5)k=3. 求(2x− y)6 展開式中 x4y2 項的係數? 4. 求(x + 2 x2) 15 展開式中 x6 項與 x7 項的係數? 5. 求(3x− 2)10 展開後依 x項降冪排列的第8項為何? 6. 求 (1 + x)n 展開後依 x 項升冪排列的第5項、 第6項、 第7項三項之係數成等差數列, 則 n 值 為? 7. 求 P10 k=3 Ck 3 =? 8. 展開 (1 + 2x)21 後, 係數最大的為 a kxk 項, 則k 值為何? 9. 若 P4 k=0 C4 k54−kx k= 16 , 求 x 的解為何? 10. 以(x− 1)3 除 (x2− 2x + 2)10 所得的餘式為? 11. 試證 1816− 1可 被17整除 12. 利用二項式定理求下列之值(四捨五入取至小數點後一位): (a) (0.94)4 =? (b) (49.5)4 (c) (0.997)5 13. 求(x + 1x)10 展開式中 x4 項之係數? 14. 求(1− x) + (1 − x)2+· · · + (1 − x)10 展開整理後之 x3 項係數? 15. 求(1 + x) + (1 + x)2+· · · + (1 + x)8 展開整理後之 x4 項係數? 16. 求(x3+ x + 1)8 展開式中, x5 項的係數? 17. 於(a + b + c + d)7 的展開式中, 共有多少不同類項? 其中與b3c4 同型項有多少個? 又abc2d3 項的係數為多少? 18. 求多項式 f (x) = x30 除以 (x− 1)3 的餘式? 19. 求下列各題的餘式 (數): (a) 1234× 5678 ÷ 3 (b) (820− 520)÷ 3 (c) (x4+ 4x2 + x + 4)÷ (x2+ 1) (d) (x4+ 4x2 + x + 4)÷ (x − 1)(x − 2) (e) (3x3− 4x2 + 5x− 2) ÷ (x − 2) (f) (x2− 2x + 2)10÷ (x − 1)3 20. 證明: 若 n, k 為正整數, 則k× Cn k = n× Ck−1n−1 成立。 21. 證明: 若 n, r, k 為正整數, 且 k≤ r ≤ n 則Cn rCkr = CknC n−k r−k 成立。
36 高中數學講義
