線性系統即時參數估測之研究

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工程科技與教育學刊第九卷第二期民國一○一年六月第 188～196 頁

線性系統即時參數估測之研究

李壽昇、李瑩國、王藝蓉、郭東義 國立高雄應用科技大學化學工程與材料工程系 Email：tyguo@kuas.edu.tw

摘要

本論文使用簡單回歸模式和誤差最小平方法做即時模式參數之估測。首先，以微分方程式描述的受控程序，藉由中央差分近似微分運算，將微分方程式表示成簡單回歸模式，並建立回歸模式與受控程序參數間的關係式。為進行即時模式參數估測，於單回饋閉迴路控制系統中，週期性擷取受控程序的輸入和輸出數據，並以具有遺忘因子的參數估測遞迴方程式計算簡單回歸模式，進而估測受控程序的參數。由一階、二階和三階線性受控程序範例的模擬結果顯示，所提方法可以快速且準確估測受控程序的參數。本論文所提的方法可結合現有對線性系統之控制器的設計準則，線上自動調諧控制器參數，以達到要求的控制效能。關鍵詞：參數估測、回歸模式、遞迴最小平方法、適應控制、線性非時變系統。

1. 前言

比例積分微分（Proportional-Integral-Derivative, PID）控制器的歷史相當久遠，在 1922 年 Minorsky 的論文中，提出了 PID 控制器的構想，然而 PID 控制器的原型出現在 1936 年 Callender 等人的論文中[1]。PID 控制器因其具備簡單及強健性強之特性，至今在工業上仍普遍被採用[2]。PID 控制器參數調諧從 1942 年開始，由 Ziegler 和 Nichols[3]提出，使 P、I、D 等三個參數有了能參考的調諧方式。為了使控制程序能達到最適控制效能，常需建立鑑別受控程序的數學模式或特性參數，以便調諧控制器的 P、I、D 參數[4]。在早期的系統鑑別方法中，有眾所皆知的反應曲線法，此法是由 Ziegler 和 Nichols[3]在 1942 年提出，在操作和計算上都是十分簡單方便的，在 1972 年由 Smith[5]提出另一套計算方法。這兩種方法皆是利用開迴路系統對受控程序，給予一個單位階梯輸入，而得到程序反應曲線，藉由此曲線的資訊來獲得一階時延模式的鑑別方法。1982 年 Yuwana 和 Seborg[6]於比例控制的閉迴路系統在設定點給予一個單位階梯輸入，而得到受控程序的暫態響應數據，進而將受控程序鑑別為一階時延模式，之後陸續由 Jutan 和 Rodriguez[7]、Lee 等人[8]和 Chen[9]改良此法，改善了參數估測的準確性。比例回饋控制鑑別法的共同優點為只需要做閉迴路測試及簡單演算即可估測出受控程序之參數，但其缺點是必需在比例控制下做測試，因此將產生穩態誤差。1995 年 Mamat 和 Fleming[10]提出於閉迴路系統以比例積分控制做測試，改善了以比例控制做測試具有穩態誤差的缺點。由於部分程序具有非線性的動態行為，若無法即時取得受控程序的參數，控制器將無法再重新調諧，可能就無法符合當初預期的性能，於是適應性控制策略就被提出[11, 12]。最近，針對線性非時變之受控程序，提出即時程序參數估測法，此方法主要概念是藉由後向差分近似微分運算，將受控程序表示成簡單的回歸模式，以遞迴最小平方法進行線上程序參數估測[13]。由於以中央差分近似微分運算之截尾誤差為 2 次階誤差較後向差分之 1 次階誤差小[14]，本論文以中央差分取代後向差分近似微分運算，來增進受控程序的回歸模式準確性，並進而獲得更準確的程序參數。本論文章節架構包括：第二章介紹遞迴最小平方估測法 [11]；第三章以中央差分近似微分運算，推導受控程序之簡單回歸模式；第四章模擬驗證此法的有效性，最後總結前敘結果，並提出未來可再進一步之方向。

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2. 遞迴最小平方估測

本節概略介紹最小平方估測遞迴公式，詳細推導可參考文獻[11]。考慮下列簡單回歸模式（Regression model） 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _n( ) ( )_n y t 

 

t t 



t



t  _



t



t (1)

式中，y t( )為觀測變數（Observed variable）、_i( )t 和_i( ), 1, 2,...,t i n分別為估測參數（Estimated parameter）和回歸變數（Regression variable）。若定義( )t [ ( ) ₁ t ₂( ) t __n( )]t 和( )t [ ( ) ( ) ( )]₁ t ₂ t __n t ，則簡單回歸模式可表示為 ( ) T( ) ( ) y t  t  t (2) 式中，符號 “T” 表示矩陣轉置（Transpose）。令y tˆ( )和ˆ( )t 分別是經鑑別獲得的觀測變數值和估測參數值且定義殘差 ( ) i 為 ˆ ˆ ( )t y t( ) y t( ) y t( ) T( ) ( )t t      (3) 導入下列式子： 1 1 1 ( ) [ (1) (2) ( )] ( ) [ (1) (2) ( )] ( ) (1) (2) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) T T T T t T T i Y t y y y t E t t t t P t t t i i                 _{ } _      _{ } _ 



    可定義平方誤差為





2 ₂ 2 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ( ( ), ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 t t T T i i V  i t  i y i  i i E t E t E      



(4) 最小化平方誤差的參數ˆ( )t 滿足下式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T t t t t Y t     (5) 假如 T( ) ( ) t t   矩陣為非奇異（Nonsingular），而且只有唯一最小值，得 1 ˆ( )_t T( ) ( )_t _t T( ) ( )_{t Y t}   _  _  (6)

(3)

李壽昇、李瑩國、王藝蓉、郭東義 190 進行線上即時參數估測時，可利用新的觀測數據改新估測參數，因此矩陣 ( ) 的維數將隨著數據點數t 的增加而不斷增大，並且矩陣T( ) ( )t t 的逆運算過程也愈來愈困難。此外，由於儲存的舊數據要保留，而新數據又不斷增加，儲存量也愈來愈大，所以直接利用式(6)來估測參數，顯然不太實際。令 ˆ( t 表示時1) 間t1時的估測值，並假設於所有時間 t，矩陣 T( ) ( ) t t   均為非奇異，則估測參數可以下列遞迴方程式獲得：













1 ˆ_{( )} ˆ₍ ₁₎ _{( )} _{( )} _{( ) (}ˆ ₁₎ ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) T T T t t K t y t t t K t P t t I t P t t P t I K t t P t                      (7) 上述遞迴演算法，對於所有估測數據的加權是相同的，即舊數據和新數據對於參數估測所提供的信息同樣重要，如果被估測的參數是未知常數，那這種方法是合理的，但是當被估測的參數會隨時間緩慢變化，上述遞迴演算法就不能反映出參數時變的特點。因此需要一種能跟蹤參數變化的遞迴演算法，其特點是將誤差準則由等加權改成指數加權，所以式(4)改寫成





2 1 1 ˆ ˆ ( ( ), ) ( ) ( ) ( ) 2 t t i T i V  i t  y i  i i  



 (8) 式中， (0   表示加權係數。因當 1) 1時，對愈舊的數據所加的權重愈小，相當於舊數據逐漸被遺忘，因此稱  為遺忘因子（Forgetting factor）。具有遺忘因子的參數估測遞迴方程式如下：













1 ˆ_{( )} ˆ₍ ₁₎ _{( )} _{( )} _{( ) (}ˆ ₁₎ ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) / T T T t t K t y t t t K t P t t I t P t t P t I K t t P t                        (9) 由於無更新的輸出入數據時，將會導致遞迴最小平方演算法發散，必須導入常數追踨運算（constant-trace algorithm），以增加估測運算的強健性（robustness）。

3. 回歸模式系統推導

考慮如圖 1 之開迴路系統，G s_p( )是受控程序的轉移函數，且u t( )和y t( )分別為開迴路系統輸入和輸出變數。本節以中央差分公式近似微分運算，推導一階、二階及三階線性系統之簡單回歸模式，並建立回歸參數與受控程序參數的關係式，其中一階、二階和三階線性系統則包括描述受控程序轉移函數之分子和分母多項式的 2 個係數、4 個係數和 6 個係數。 ( ) u t y t( ) ( ) P G s 圖 1 開迴路系統

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李壽昇、李瑩國、王藝蓉、郭東義 196 表 3 三階系統程序參數估測值和相對誤差比較表程序參數正確值估測值相對誤差 0 n 1 0.999999 0.000100% 1 n 3 3.000003 0.000100% 2 n _{1 1.017419} _1.741900% 1 d 5 4.982605 0.347900% 2 d 4 3.991302 0.217450% 3 d 2 1.999951 0.002450%

5. 結論

本論文探討受控程序參數的即時估測，其主要概念是以微分方程式描述的受控程序，藉由中央差分近似微分運算，將微分方程式表示成簡單回歸模式。為進行即時模式參數估測，於單回饋閉迴路控制系統中，週期性擷取受控程序的輸入和輸出數據，並以具有遺忘因子的參數估測遞迴方程式計算簡單回歸模式，進而估測受控程序的參數。從一階、二階、三階線性系統的模擬結果可顯示，利用以中央差分公式近似微分運算可改善後向差分公式近似誤差獲得更準確的估測參數值。本論文提出的方法，可結合現有控制器設計準則來自動調諧控制器參數，以達到要求的控制性能。

參考文獻

[1] 張道弘編譯，PID 控制理論與實務，全華科技圖書股份有限公司，1995。

[2] Ang, K. H. and Chong G., “PID control system analysis, design, and technology,” IEEE Trans. On Control System Technolgy, Vol. 13, pp 3-6, 2005.

[3] Ziegler, J. G. and Nichols, N. B., “Optimum settings for automatic controllers,” Trans. ASME, Vol. 64, pp. 759-768, 1942. [4] O'Dwyer, A. Handbook of PI and PID controller tuning rules, 2nd ed., London: Imperial College Press, 2006.

[5] Smith, C. L., Digital Computer Process Control, Intext Educational Publishers: Scranton, PA, 1972.

[6] Yuwana, M. and Seborg, D. E., “A method for on-line controller tuning,” AIChE J., Vol. 28, pp. 434-440, 1982.

[6] Jutan, A. and Rodriguez, II. E. S., “Extension of a new method for on-line controller tuning,” Can. J. Chem. Eng., Vol. 62, pp. 802-807, 1984.

[8] Lee, J., Cho, W., and Edgar, T. F., “An improved technique for PID controller tuning from closed loop tests,” AIChE J., Vol. 36, pp. 1891-1895, 1990.

[9] Chen, C. L., “A simple method for on-line identification and controller tuning,” AIChE J., Vol. 35, pp. 2037-2039, 1989. [10] Mamat, R. and Fleming, P. J., “Method for on-line identification of a first order plus dead-time process model,”

Electronics Letters, Vol. 31, pp. 1297-1298, 1995.

[11] Astrom, K. J., and Wittenmark, B., Adaptive Control, Addision-Wesley Publishing Co., New York, 1989. [12] 韓曾晉，適應控制系統，科技圖書股份有限公司，1992。

[13] 鄭淑芬、李壽昇、黃家偉、郭東義，「線性系統參數估測之研究」，工程科技與教育學刊，第八卷第二期，330-341

頁，2011。

[14] Chapra, S. C., Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists, 3rd. Ed. McGraw-Hill, New York, 2012.

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