94指考數甲乙-非選

編按：94年度指定科目考試非選擇題評分標準說明系列已刊出國文、英文、物理、化學、生物 等五考科，本期繼續對數學甲與數學乙的評分原則提出說明，並提供各大題解題過程與參考答 案供各界參考。另，本文所引解答過程只是可能得滿分情況之一，非唯一標準。 94年指定科目考試數學甲與數學乙的題 型分為選擇題、選填題與計算證明題。選擇 題的目的在於評量考生是否能判斷每個選項 是否正確；考生可用不同的方式進行判斷。 選填題的目的在於評量考生是否能主動算出 正確答案，給分的關鍵在於答案是否正確； 非選擇題主要評量考生是否能清楚表達解題 時的推理過程，給分關鍵在於每一步推理過 程是否合理。所以對於計算證明題，考生須 用數學語言表達解題過程，也因為如此，可 從考生的作答過程，發現其錯誤的觀念與做 法。以下將從_{94指考數學甲與數學乙計算證} 明題的得分與抽樣卷考生的作答兩方面，探 討非選擇題的難易度與學生的錯誤觀念。 表一列出_{91至94年非選擇題得零分的考} 生人數與人數百分比。除_{92年因為SARS取消} 非選擇題以外，今年非選擇題零分的人數是 最少的。表示學生對今年的非選擇題多半能 下筆作答，尤其是第一題，只需機率的概念 即可。 第一題題目： 袋中有三個一樣大小的球，分別標示₁₀ 分、_{20分、30分。重複自袋中取出一球後放} 回，記錄得分並累加，其中取出各球之機率 皆相等。 1.求抽三次後總分為60分的機率。 2. 遊戲「過三十」的規則是重複抽球，直到總 得分大於或等於_{30分後停止，總得分恰為30} 分者輸，超過_{30分者贏。求贏得此遊戲之機} 率。 第一小題的正確做法可分為兩部分，一 是正確寫出總分為_{60分的所有情形，考生可} 以樹狀圖或是列表方式解答，第二部分是正 確算出各情形的機率值。多數考生可以列出 總分為_{60分的情形，但是列不完整，可是機} 率的觀念正確。我們抽樣_{714名考生的答案} 卷，將其作答分析歸納如表二，統計結果呈 現 不 知 如 何 下 手 以 及 完 全 正 確 的 考 生 均 約

數學甲

94年度指定科目考試非選擇題評分標準說明~

數學甲、數學乙

第二小題提供「過三十」的遊戲規則，請 考生算出贏得此遊戲的機率。做法與第一題相 似。第一步是正確寫出贏或輸的情形，第二 步則是正確算出贏的情形之機率值。多半考生 錯誤的原因，除了無法完整列出所有贏的情形 外，考生可能是沒讀懂「過三十」的遊戲規 則，或是沒注意，仍是以第一小題總分為_60分 的情形解答。將第一小題同樣樣本考生的作答 情形分析歸納如表三。由統計圖表可知完全不 知如何下手的考生較第一小題多，將近　。能 夠完全正確的考生約　。 作答情形 人數 百分比 未答、完全不知如何下手、或是只有錯誤答案，沒有說明理由。 例如列出　　　　　　。 207 29% 可列出總分為_{60分的所有情形，但是未算機率或是機率值計算錯誤。} 例如把　　　　　 _{算成　　　　　　　　。} 21 3% 可列出總分為_{60分的所有情形，但是每種情形的機率值計算正確。} 例如只列出一種_{60分情形或是全部得分情形少於27種。} 212 30% 列出總分為60分情形，但是機率值計算錯誤。 9 1% 未列出_{60分或是全部得分情形，但是列出機率算式以及機率值，而且所算的機率值} 正確。 21 3% 完整列出所有可能情形，而且機率計算正確。 228 32% 表二 _{第一小題學生的作答情形統計表} 表三 第二小題學生的作答情形統計表 作答情形 人數 百分比 未答、完全不知如何下手、或是只有錯誤答案，不知所列式子是何用意，例如僅列 出　　　　　　，　　　　　。 337 47% 僅列出得分大於或等於_{30分的部分情形（包含輸或贏），未算機率，或是機率值算} 錯，例如仍依照第一小題得分六十分的情形規則計算第二小題。 57 8% 可列出贏或輸的所有情形，但是機率值計算錯誤。 68 10% 可列出贏或輸，但是機率觀念錯誤。 _{78 11%} 未列出可能贏或輸的情形，但是列出機率算式以及機率值，而且所列的機率正確。 _{19 3%} 完全正確。 _{135 19%}

圖一為全體考生本題得分情形，零分的 考生約_{8%，較往年來得少。多數考生集中於} 1分至8分，顯示考生雖不能完全作對，但是 對於第一小題多能下筆作答，且過程正確， 得到部分分數。本題若要完全正確，需具備 分析歸納的能力，依照題意列出所有可能情 形，以及計算機率的能力。這些能力可在修 習數學過程中，逐步培養與加強的。 第二題題目： 平面上有一橢圓，已知其焦點為　　和 　　，且　　　　 _{為此橢圓的切線。} 1.求此橢圓的半長軸長。 2. 設此橢圓方程式為　　　　　　， 求 _{A、B、C、D、E之值。} 第一小題的正確答案為_{3，第二小題的正} 確答案為 _{。本題是評} 量橢圓的性質，切線的特性與距離概念等。 本題的做法相當多元化。以第一小題為例， 高中生可採取的做法約有下列三種： （_{1） 說明切線與長軸平行，推得焦點或中心} 到切線的距離等於半短軸長，進而求得 半長軸長。 （_{2） 利用橢圓的光學性質：橢圓的任意切線} 與過切點到兩焦點的連線所夾角度相等 （如圖二），求得焦點對切線的對稱點 坐標，則對稱點到另一焦點的距離即為 長軸長。 （_{3） 假設橢圓方程式為} 　　　　　　， 　　將切線代入該方程式，因為切線與橢圓 　　方程式交於一點，所以判別式等於零， 　　解出　。 考 生 多 半 是 採 取 第 一 種 做 法 作 答 ， 但 是，有些考生因點到直線距離公式記錯；或 將短軸誤以為是長軸，實屬可惜。表四為歸 納整理與第一題相同樣本考生的作答情形。 將近　的考生不知如何下手。可能是因為試 題內所給橢圓非標準型，考生的第一反應覺 得應該採旋轉平移做法，但是考生對其代數 運算並不熟悉，而放棄作答。事實上，本題 僅需要「橢圓的基本定義對標準型與非標準 型橢圓均符合」的觀念，即可解答。 第二小題則是請考生直接寫出橢圓方程 式。正確做法是引用第一小題所求出的半長 圖一 _{第一題成績分佈圖} β α

軸長，利用「橢圓上任一點到兩焦點距離和等 於長軸長」，即可寫出：　　　　　　　　　 　　　　　　，化簡可得：　　 　　　　　　。另一個做法是從旋轉 平移著手，但是解題步驟較多，而且計算比較 繁雜。將抽樣考生的答案卷作答情形歸納如表 五。約七成的考生不知如何下手作答。能夠完 全作對的只有_{4%，其中用旋轉平移完全作對} 的考生只有兩位。 表四 第一小題學生的作答情形統計表 表五 _{第二小題學生的作答情形統計表} 作答情形 人數 百分比 未答或是完全不知如何下手。 387 54% 看出長軸與切線平行，之後卻不知如何作答。 10 1% 算出焦距，利用焦點或是中心點到切線的距離算出短軸，再算出長軸，但是計算錯誤。 _{41 6%} 利用橢圓切線公式求解，但是不知如何求解。 _{21 3%} 利用橢圓定義算出　　　　　　。 _{35 5%} 沒有說明長軸與切線平行，直接得出中心點與切點的距離為短軸。 _{7 1%} 完全正確。 _{193 27%} 作答情形 人數 百分比 未答、完全不知如何下手、或是橢圓定義不清楚。 _{504 71%} 利用橢圓定義，寫出 _{，或是　　　　　　　　　，} 但是未再計算，或是計算過程錯誤。 36 5% 寫出橢圓標準式，再利用平移旋轉求解，但是過程有錯。例如一開始橢圓標準式就寫 錯，寫成　　　　　　　　　。 50 7% 寫出橢圓標準式，再利用旋轉平移求解，但是過程有錯。例如利用　　　　　，旋轉 得 　　　　　　，但是忘記平移或是平移錯誤。 43 6% 一開始橢圓標準式就寫錯，但是沒有利用平移或旋轉，直接展開。 _{46 6%} 完全正確。 _{29 4%}

圖三是第二小題的得分情形。零分的考 生約_{45%。約　的考生得到2分，這些考生} 可能只能列出橢圓方程式，或是只能算出焦 距，接下來就不知道應該如何作答了。約　 的考生可以求得半長軸長，但是無法求得橢 圓方程式。 今年兩題計算證明題，第一題評量考生 從 試 題 中 辨 識 數 學 元 素 ， 分 析 整 理 可 能 情 形，以及機率基本概念；第二題評量考生橢 圓的定義與性質，以及數字運算能力。這兩 題所用到的解題觀念均很基本，也很重要。 但從考生的得分與作答反應，有關數學基本 觀念的了解與應用，與數學符號的運算等都 需要再加強。 表六列出_{91至94年非選擇題得零分的考} 生人數與人數百分比。除_{92年因為SARS取消} 非選擇題以外，今年非選擇題零分的人數是 最多的。以下就_{94年數學乙非選擇題的得分} 與抽樣生的作答情形，探討為何今年非選擇 題零分的人數將近　。 第一題題目： 某銀行檢討『一年期_{20萬元的小額急用} 貸款，一年後還款_{21萬元』的申請資格。過} 去幾年的記錄顯示：申辦此項貸款者一年後 只有依約還款_{21萬元與違約不理(1元都不還)} 兩 種 情 形 ， 沒 有 還 一 部 分 錢 等 其 他 情 形 發 生；且發現會還錢或不會還錢者與其年收入 有關，兩者的累積次數分配部分圖形如下： 圖三 非選第二題成績分佈圖

數學乙

(1) 一個年收入30萬元以下的貸款者，會還錢 的機率為何？ (2) 銀行貸款給一個年收入30萬元以下的客 戶，銀行的獲利期望值為多少元？ 本題是以「小額急用貸款」為背景，將 申 辦 貸 款 情 形 分 為 還 款 與 違 約 不 理 兩 種 情 形，而且還款與否與年收入有關，亦即，依 照年收入不同，還款、不還款人數也有所不 同。試題另附還款與不還款兩者的累積次數 分配圖。第一小題請考生算出年收入_30萬元 以下的貸款者，會還錢的機率。本題的正確 做法分為兩步驟，一是讀懂題意與累積次數 分 配 圖 ， 得 知 年 收 入 在_{30萬元以下的貸款} 者，不會還錢的有_{600人，會還錢的有17400} 人；二是正確算出還錢的機率是 _。這兩 步驟均不困難，而且考生應不陌生。多數考 生沒注意到累積人數分配圖，而作答　　　 　　　　　　　，這群考生會 算機率，但是粗心錯誤，而沒有得到分數， 實屬可惜。我們抽樣_{1652名考生的答案卷，} 將其作答情形歸納整理如下。約　考生列式 錯誤，列式錯誤原因可歸類為以下三點： （_{1） 沒有讀懂題意所述「還錢與不會還} 錢」兩種情形，以及累積人數分配 圖，而誤以為母數為還錢人數的加 作答情形 人數 百分比 未答。 293 18% 沒有看出累積人數分配圖，而利用400+500+600+4600、、、計算而得。 181 11% 列式錯誤，例如 (A) (B) (C) (D) 468 28% 知道母數為17400+600，卻加錯得到20000或其他答案。 23 1% 直接算會還錢的機率，得到正確的　　　或 。 542 33% 先算不會還錢的機率，再算會還錢的機率。 _{24 2%} 誤算成不會還錢的機率，得到 。 30 2% 表七 第一小題學生的作答情形統計表

總，求得 （_{2） 誤解試題敘述「與年收入有關」，} 以 為 母 數 為 年 收 入_{60萬元的加總} （即_{900+38100），求得機率值為} （_{3） 將人數與年收入搞混了，而誤以為} 母數為_{30萬元，還錢人數為17400，} 列式得 第 二 小 題 請 考 生 算 出 銀 行 的 獲 利 期 望 值。正確的做法為列出還錢與不會還錢，銀行 的獲利各為多少。再列出銀行的獲利期望值為 　　　　　　元。多數考生其實 只對期望值一知半解，導致列式錯誤，其情形 大致可歸納成以下三點： （_{1） 誤以為期望值只需要計算還錢的部} 分，而求得 （_{2） 誤 以 為 還 錢 時 ， 銀 行 的 獲 利 為} 210000，忘記應該要扣掉成本，而 得 （_{3） 誤以為沒有還錢時，銀行的獲利還} 是_{200000，而得} 表八為抽樣生作答情形的統計表。約　 作答情形 人數 百分比 未答。 _{293 18%} 列出正確的期望值式子 _{。 181 11%} 列式錯誤，例如 (A) (B) (C) 680 41% 可以列出正確的期望值式子，但是計算錯誤。 100 6% 直接以總人數計算（_{17400,600），忘記除以總人數。 16 1%} 用成本想法 ，但是忘記減200000。 31 2% 完全正確。 204 12% 表八 第一小題學生的作答情形統計表

的考生可以寫出正確的期望值算式，但是 有_{6%的考生計算錯誤。} 圖四為全體考生的成績分佈圖。約六成 的考生得零分。約_{25%的考生得4分，這群考} 生可能只能求得第一小題還錢的機率值，但 是對第二小題期望值並不熟悉。 本題所涉及的數學知識很基本，計算也 很簡單，但是約六成的考生得零分，表示這 群考生對正確理解統計圖表，以及基本機率 運算尚待加強。這樣的情形實在是滿令人感 到意外。因為統計圖表的閱讀是在小學就已 經 修 習 過 ， 而 且 第 一 小 題 所 涉 及 的 機 率 觀 念，是很容易理解的。從考生的作答結果， 亦 顯 示 學 生 將 文 字 轉 換 成 數 學 符 號 ， 以 及 圖表的解讀，事實上是有些不適應，但是這 兩方面的能力，是數學乙考生必須具備的。 另外，有關數字的操弄方面，計算錯誤亦是 造 成 該 題 得 分 偏 低 的 原 因 之 一 ， 例 如 誤 將 17400+600算成200000；或是列出正確的期望 值算式，但是卻計算錯誤。這些其實可藉由 平日的訓練而避免的。 表九 _{第一小題學生的作答情形統計表} 圖四 非選第一題成績分佈圖 作答情形 人數 百分比 未答。 293 18% 化簡正確。 _{612 37%} 代入化簡　　　　 _{，但是不熟悉指數運算。 156 9%} 用底數大於1的指數函數 2x _{遞增說明。 56 3%} 利用　　　　　　 相減>0相除　　　　>正確證明。 147 9% 繪 2x 圖正確證明。 28 2% 用數學歸納法正確說明。 45 3% 列式錯誤，例如 (A)誤以為底數大於零，就是增函數。 (B)誤以為y(x)增加，_1-y(x)減少，所以r(x)必增加。 536 32% 證明是以離散方式證明，只代數點證明。 178 11% 完全正確。 251 15%

第二題題目： 根據過去長期統計資料顯示：某公司推 銷員的年資_{x(年)，與每次推銷成功的機率} y(x)，滿足下列關係式： (1) 化簡 r(x)＝ ，並說明 r(x) 的值隨 x 增 大而增大_{(即 r(x) 為遞增函數)。} (2) 說明年資8年(含)以上的推銷員，每次推銷 不成功的機率小於_4%。 本題表面上看是評量機率的問題，事實 上是評量函數的遞增與遞減。第一小題是化簡 r(x)＝　　　 ，僅需將 　　　　　代入作指 數運算即可求得 _{。第二部分則需要證} 明 _{r(x) 是遞增函數。做法有很多種，考生所採} 取的正確做法大致有以下三種： （_{1） 因為 2}x _{是底數大於1的指數函數，} 所以 ₂x _{為遞增函數} （_{2）畫出 2}x _{圖形說明函數為遞增} （_{3） 利用 r(x+1)－r(x)>0 或是} 說明 _{r(x) 為遞增函數} 多數考生作答錯誤的原因在於以離散方 式證明函數遞增，亦即只代入數點，就說明 函數是遞增，這個錯誤其實是很嚴重的觀念 錯誤。考生其實並不了解何謂函數，而誤以 表十 _{第一小題學生的作答情形統計表} 作答情形 人數 百分比 未答。 _{293 18%} 用第一小題r(x) 遞增，所以y(x) 遞增，或直接說明y(x) 遞增，但沒有說明理由。 52 3% 只用x=8 或是x=8,9 代入說明y(x) 遞增。 _{68 4%} 一開始不等式搞錯方向，寫成 _1－y(x)>4%。 _{482 29%} 用數學歸納法證明，但僅說 _{k 成立，k＋1 成立，沒有過程。 16 1%} 計算時，不知道 _{。 18 1%} 用離散方法說明 _1－y(x) 遞減，y(x) 遞增。 _{321 19%} 列式錯誤，例如

(A)用 x=8,9 等代入發現y(x) 增加，所以y(x) 為增函數。 (B)∵　　　　　　　　 ∴ y(x) 是增函數。 (C) ∴ y(x) 是增函數。 (D)將 r(x) 誤以為是y(x) _。 (E)取對數，但是計算錯誤。 574 35% 完全正確（多半考生是以數學歸納法證明或是正確說明y(x) 遞增）。 88 5%

為只要某個區間的函數值為遞增，表示該函 數即為遞增函數。也有考生誤以為底數大於 零的指數函數即為遞增函數。將抽樣考生的 作答情形歸納整理如表九。化簡正確的考生 約有_37%。 第二小題的做法可引用第一小題的結果 說明。因為推銷成功的機率為 _{y(x) ，不成功} 的機率為 _{。由第一小題 為} 為 遞 增 函 數 ， 所 以 不 成 功 的 機 率 為 遞 減 函 數，可得知當 _{x≧8 時， 。} 除了這個做法以外，還可直接說明 _{y(x) 為} 遞增函數；或採數學歸納法；或依題意列出 1－y(x)<4%，經由運算得出 2x _{>192。多數考} 生採取此方法，但是一開始不等式大小搞錯 了，列成了1－y(x)>4%。其它比較嚴重的錯誤 與第一小題相同；考生誤以為代 _{x＝8、x＝9} 等數點即表示 1－y(x) 為遞減函數。表十為與 第一題相同樣本考生的作答情形統計表。 圖五列出全體考生的成績分佈圖。零分 的考生約四成，近　的考生可以得到_2分，這 群考生可能會化簡 _{r(x) ，以下就不會做了。約} 18%的考生可以到6分，這群考生可能只會第 一小題，第二小題就不知如何說明；或是僅 能化簡與第二小題的列式。本題全對的考生 不到_{5%。得分率不高的原因可歸類成下列兩} 點： （_{1） 誤以為函數值於有限範圍內遞增，即為} 遞增函數；或是誤以為整數點的函數值 遞增，即為遞增函數 （_{2） 誤解題意「年資8年(含)以上的推銷員，} 每次推銷不成功的機率小於_4%」列成 1－y(x)>4% 第一個是數學基本函數觀念錯誤；第二 個 則 是 讀 懂 題 意 ， 並 將 題 意 轉 成 數 學 式 有 誤 ， 這 兩 個 能 力 都 是 數 學 乙 考 科 所 要 評 量 的，而且亦是選擇數學乙的大學科系所要求 的 _。 註1 非選擇題評量考生是否能用數學語言表 達解題過程，從學生的解題過程中，可以發 現 哪 些 其 實 是 考 生 錯 誤 的 概 念 或 是 想 法 。 有些觀念是命題者、甚至是高中老師亦沒想 到的。例如數學乙的非選第一題，所測的觀 念很基本；用到的計算很簡單；但是考生卻 誤讀統計圖表，與歷年相關統計圖表考題相 比，得分率降低許多。大考中心每年均會針 對非選擇題，抽樣數份考生的試卷進行作答 情形分析，也期盼高中老師能夠給予您教學 上的經驗，與我們分享。(作者為本中心研究人員) 圖五 _{非選第二題成績分布圖}

結論