第2章 因倍與分數的運算(靖)

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2-1 因數與倍數……….…3

2-2 最大公因數與最小公倍數………14

2-3 分數的加減運算………28

2-4 分數的乘除運算………38

2-5 分數的四則運算………49

2-1 因 數 與 倍 數

1.整除：兩個整數相除，如果餘數等於 0 時，我們就說除數可以整除被除數。 例：52 2 26  ，可以說52 能被 2 整除，或 2 能整除 52。 2.因數與倍數：如果整數甲能被整數乙整除，我們就說整數乙是整數甲的因數，或者說整數甲 是整數乙的倍數。 例：(1) 52 能被 2 整除，所以 2 是 52 的因數，52 是 2 的倍數。 (2) 52 不能被 3 整除，所以 3 不是 52 的因數，52 不是 3 的倍數。

註

:因數有正因數和負因數，互為相反數，但國中只討論正因數。

3. 倍數的判別方法： (1) 2 的倍數：個位數字為偶數(0，2，4，6，8) ，則這個數是 2 的倍數。 例：4326 個位數字 6 是偶數，則 4326 是 2 的倍數。 (2) 4 的倍數：若末尾兩位數為 4 的倍數或均為 0，則這個數是 4 的倍數。 例：89372 末兩位數字 72 是 4 的倍數，則 89372 是 4 的倍數。 (3) 5 的倍數：個位數字是 0 或 5，則這個數是 5 的倍數。 例：4320 個位數字是 0，則 4320 是 5 的倍數。 (4) 3 的倍數：各個數字和為 3 的倍數，則這個數是 3 的倍數。 例：9435 數字和 9+4+3+5=21 是 3 的倍數，則 9435 是 3 的倍數。 (5) 9 的倍數：各個數字和為 9 的倍數，則這個數是 9 的倍數 例：7398 數字和 7+3+9+8=27 是 9 的倍數，則 7398 是 9 的倍數。 (6) 11 的倍數：如果奇數位各數字的和與偶數位各數字的和相差是 11 的倍數，那麼這個數就 是11 的倍數。 例：奇數位數字和=5+6+9+1=21 ； 偶數位數字和=3+4+3=10 21-10=11 是 11 的倍數，所以 5364931 是 11 的倍數。 4. 質數：1 個大於 1 的正整數，除了它本身和 1 以外，不再有其它正的因數，則這個數叫做質數 例如：2、3、5、7、11、13、17、19、…都是質數。 (1) 1 不是質數，最小的質數是 2。 (2) 質數中唯一的偶數是 2，其餘均為奇數。 (3) 任一個質數，只有兩個正因數，即 1 與本身。 例：質數 13 只有兩個正因數 1 和 13。 5. 合數: 1 個大於 1 的正整數，除了它本身和 1 以外，還有其它正的因數，則這個數叫做合數。 例如：4、6、8、9、10、12、14、15、…都是合數。 6.質數的判別：一個正整數是否為質數，可用比它小的質數(2、3、5、…)去試除，依次由小而大， 若不能被這些數整除，則此數為質數。 7. 質因數：若一個質數是某一個整數的因數，則這質數叫做這整數的一個質因數。

是24 的質因數。 8. 標準分解式：把一個大於 1 的正整數，分解成質因數的乘積，這樣分解到不能再分解的式子， 叫做它的標準分解式。 (1) 質因數小的寫在前面，質因數大的寫在後面。 (2) 質因數相同時，寫成幾次方的形式。 例：540 的標準分解式為 2 3 2  3 5。 9.

互質：

兩個整數的最大公因數等於1，則這兩個整數叫做互質。 例：2 和 3 互質，8 和 9 互質，27 和 35 互質。 (1) 兩個相異質數必互質，但互質的兩個整數未必均為質數。 例：4 與 9 互質，但 4 與 9 都不是質數。 (2) 奇數與偶數 未 必 互質，奇數與奇數 未 必 互質，但偶數與偶數 必 不 互質。 例：6 和 9 不互質，3 和 9 不互質，且 4 和 6 不互質。 ※老師講解 1※ ※學生練習 1※ (1) 下列哪些數能被 6 整除？請圈出來。 6、10、12、14、66 (2) 下列哪些數能整除 14？請圈出來。 1、2、3、4、5、6、7、14 (3) 14 是不是 322 的因數？ (1) 15 是不是 745 的因數？ (2) 判別下列哪些是 153 的因數？ 1、2、3、6、17、51、153 ※老師講解 2※ ※學生練習 2※ 填填看：(列出所有答案) 12□ = 2□□ 填填看：(列出所有答案) 21□ = 5□□

※老師講解 3※ ※學生練習 3※ (1) 判別 7521 是不是 3 的倍數。 (2) 判別 482 是不是 3 的倍數。 (3) 有一個七位數 432□905，如果它是 3 的倍數， 那麼□裡可以是多少？ 填填看：(列出所有答案) 2□5 = 3□□ ※老師講解 4※ ※學生練習 4※ (1)判別 867130 是不是 11 的倍數 (2)若5674□30被11 除餘 2，則□= 填填看： (1)4□9=11□□ (2)若13□65有質因數3 和 11，則□= (3)若498□36被11 除餘 7，則□= ※老師講解 5※ ※學生練習 5※ 把小於100 的質數，由小到大，依次寫出來。 (1) 12 的因數中，哪些是質數？12 的質因數? (2) 15 的因數中，哪些是質數？ 15 的質因數? ※老師講解 6※ ※學生練習 6※ (1)求出 650 的標準分解式及其質因數。 (2)求25 121 169  的標準分解式。 (1)求出 1575 的標準分解式及其質因數。 (2)求47 27 225  的標準分解式。

※老師講解 7※ ※學生練習 7※ (1)寫出 60 的所有正因數。 (2)寫出 48 的所有正因數。 守守把100 個玩具熊分成若干堆(含 1 堆)，每堆的 個數相同，請寫出守守可以分成的堆數。 ※老師講解 8※ ※學生練習 8※ a為正整數，a的所有正因數為 1、3、5、9、15、45，則:(1)a ， (2)若b60，則( , )a b  。 a為正整數，a的所有正因數為 1、3、5、15、25、75，則:(1)a ， (2)若b50，則( , )a b  。 ※老師講解 9※ ※學生練習 9※ 若a、b為z_{，且a b 54，則a b 的最小值為} ，最大值為 。 若a、b為z_{，且a b 48，則a b 的最小值為} ，最大值為 。 ※老師講解 10※ ※學生練習 10※ 若a為_z_，且40 a 也是z _，則a _{。 若b為z}_，且45 b 也是z _{，則b 。}

正 因 數 個 數、正 因 數 的 和

(高中程度)

將 n 寫成標準分解式

_nap_bq_cr

_，則：

(1) n 的正因數有



p1

 

 q1

 

 r1



_個。

(2) n 的正因數和=



_a0_a1_a2_...ap

 

_{ b}0 _b1_b2_...bq

 

_{ c}0 _c1_c2_...cr



_。

※老師講解 11※ ※學生練習 11※ 求出54 的: (1)正因數個數。 (2)正因數總和。 (3)相異質因數個數。 (4)相異質因數之和。 求出72 的： (1) 正因數共有 個。 (2) 正因數的總和為 。 (3) 相異質因數有 個。 (4) 相異質因數的總和為 。 ※老師講解 12※ ※學生練習 12※ (1) 判別下列哪些是₂3_32_{的因數 2}0 ₂4 ₃2 ₂2_{3 2}3_32 ₂4_32 2 3 2 3 ₅0 (2) 判別下列哪些是₂3_32_的倍數 4 2 ₃4 ₂3_32 ₂4_32 3 4 2 3 ₂3_{ 3}3 ₅ (1) 判別下列哪些是₃4_52_{的因數 3}2_52 ₃5_{5 5}2_7 4 2 3 5 ₃4_{ 5 7 3 5 7}0 (2) 判別下列哪些是₃4_52_的倍數 3 2 3 5 ₃4_{5 3}4_52 4 2 3  5 7 ₃5_{ 5 11 3}5_25 ※老師講解 13※ ※學生練習 13※ (1)甲   1 2 3 ... 30 ，求甲的質因數有 個。 (2)乙20 21 22 .... 30    ，求乙的質因數有 個。 (3)丙20 25 30 35 40    ，求丙的質因數有 個。

(1)a   1 2 3 ... 20 ，求a 的質因數有 個。 (2)b  11 12 ... 20 ，求b 的質因數有 個。(3)c 16 17 18 19 20      ，求c 的質因數有 個。 ※老師講解 14※ ※學生練習 14※ 1~10 的自然數中與 12 互質的z_{有哪些? 比12 小與 15 互質的z}_有哪些?

資優試題

1. 宜真 對正整數甲利用短除法做因數分解的過程如下，則： (1)甲數的標準分解式為 。(2)乙數的所有質因數有 。 (3)丙數的標準分解式為 。(4)丁數＝ 。。

2. 若 a、b、c 均為質數，且 a＜b＜c，a＋b＝25，b＋c＝54，則 c＝? 3. (1)若四位數 2□75 被 11 除，餘數為 1，則□=? (2)已知 5437□是一個五位數的偶數，而且用 3 除的餘數為 2，則□＝？ 4. (1)設 a 為正整數，使 51 2 a 亦為正整數的a 有哪些？請全部列出。 (2)若為正整數，且 A 為正整數，則 A÷5 的餘數為多少？

5. 已知 a＊b 所代表的意義為在 a、b 兩數之間，但不含 a、b 之質數個數。 例如：2＊10＝3(有 3、5、7 三個質數)，請問：

(1)10＊50＝？

6. (1)正因數個數 4 個的最小整數值為何? (2)正因數個數 6 個的最小整數值為何?

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2-1 實力評量

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＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

1. 下列敘述中，正確的打「○」，錯誤的打「×」。 (　　) (1)1 和 47 都是 47 的因數，其中的 47，也是 47 的倍數。 (　　) (2)2、4、6、8、……、200 等偶數，全都是質數。 (　　) (3)1、3、5、7、……、199 等奇數，全都是質數。 (　　) (4) 2、4、6、8、……、200 等偶數，只有 2 是質數。 (　　) (5) 1、3、5、7、……、199 等奇數，只有 3 是質數。 (　　) (6)根據 1008＝28×36，可知 28、36 都是 1008 的因數。 2. ( )下列哪一個數與 174 互質？ (A) 24 (B) 36 (C) 47 (D) 58

3. ( )下列敘述何者正確？ (A) 1 是(－3)的因數 (B) 5 是 1 的因數 (C) 0 是(－2)的因數 (D) 0 是 0 的倍數 4. ( ) 下列各選項中，何者全部都是質數？ (A) 31 , 37 , 47 , 51 (B) 47 , 53 , 59 , 69 (C) 53 , 59 , 67 , 73 (D) 67 , 73 , 83 , 87 5. ( ) 下面哪一個敘述是對的？ 甲：一個整數越大，則其質因數的個數也就越多 乙：一個整數越大，則其質因數也就越大 丙：一個整數越大，則其因數的個數也就越多 丁：甲、乙、丙三個敘述都不對 6. ( ) 小芬利用短除法將 a 做質因數分解，其計算過程如下，若 b、c 都不能再做質因數分解， 則下列選項中，哪些是正確的?(答案不止一個) (A)a 是 b 的因數　　 (B)a 是 b 的倍數 (C)b、c 是 a 的因數　(D)b、c 都是質數 (E)a＝b÷c　　　　　 (F)a＝b＋c 7. ( ) 下列敘述何者正確？(Ａ)　1　是最小的質數　 (Ｂ)兩相異質數一定互質　 (Ｃ)互質兩數一定是質數　 (Ｄ)相異兩正整數互質。 8. 將12348 寫成標準分解式為_am _bn _ck _{，則a b c}   _。 9. (1) 七位數 384□384 為 11 的倍數，則□= 。 (2) 三位數 4□8 為 3 的倍數，則□= 。 (3) 四位數 5a3a 有質因數 3 和 2，則 a= 。 10. 7□936=33□□□□，在空格中填入一位阿拉伯數字，則原式為 。 11. 求 420 的： (1) 標準分解式為 ； (2) 相異質因數有 個； (3) 相異質因數的和為 ； (4) 正因數有 個； (5) 正因數的總和為 。

12. 0、1、2、3、4、5、49、91、99 九個數中，最小的質數是 ，最大的質數是 ，最小的合數是 ，最 大的合數是 。。 13. 若 a 為正整數，且 24×a 是 18 的倍數，則 a 的最小值為 。 14. 已知某正數是三個不同質數的乘積，且小於 110，則此數最大是 。 15. 將 100 個橘子分成若干堆，每堆至少 5 個，但不得超過 40 個，則共有 種分法。 16. 將一個三位數重複寫二次得一個六位數 (如：323 重複二次得六位數 323323)，則像這樣的數一定有 質因數____________。(必背) 17. 去掉 12、60、150、900 中的哪一數，才能使剩下的三個任取兩數出來時，較小數恆為較大數的因數 18. 比 18 小且與 18 互質的正整數有__________個。 19. 小於 1000 的正整數中，可被 3 或 4 整除的有_________個。 20. 設 10800 之標準分解式為2a_3b_5c_{，則a + b + c =___________。} 21. 設 a 為正整數，使91 a 亦為正整數的a 有______個。 22. 設 G(x)表示整數 x 的因數個數，如：6 的因數有 1、2、3、6，共 4 個，故 G(6)＝4，則 G(12)＋G(27) ＋G(36)＝ 。 23. 一個百位數字為 9，十位數字為 2 的三位數，若它可以被 21 整除，則此三位數為 。

24. 甲數=20 21 22 23   …30，則甲數有_______個質因數。 25. 一個面積為180的長方形，已知其長為質數，則周長可能為 。

2-2 最大公因數與最小公倍數

1.

最大公因數：

(1) 公因數：若一個整數同時為某幾個整數的因數時，這個數就是這幾個整數的公因數。 例：1、－1、2、－2、3、－3、6、－6 是 18 與 24 的公因數。 (2) 最大公因數：幾個整數的公因數中，最大的一個稱為它們的最大公因數。兩個整數a、b 的 最大公因數，以( a , b )表示。 例：4 的正因數有 1、2、4     

2 12 24 4 6 24       _{  }  最大公因數最小公倍數 兩數的積 4 和 6 的最大公因數是 2，所以(4，6)=2。 6 的正因數 1、2、3、6 (3) 最大公因數一定是正數。 例：( 8, 6) 2   (4) 最大公因數的求法： 例：求 126、300、330 的最大公因數。 <方法 1 > <方法 2 >



126,300,330



  2 3 6 2.

最小公倍數：

(1) 公倍數：若一個整數同時為幾個整數的倍數時，則這個整數為它們的公倍數。 例：4、6 的正公倍數有 12、24、36、48、……。 (2) 最小公倍數：幾個異於0 的整數的正公倍數中，最小的一個稱為它們的最小公倍數。兩個異於 0 的 整數a、b 的最小公倍數，以﹝a，b﹞表示。 例：4 的正倍數有 4、8、12、16、20、24、…… 4 和 6 的最小公倍數是 12 　 所以﹝4，6﹞=12 6 的正倍數有 6、12、18、24、…… (3) 最小公倍數的求法： 例：求 126、300、330 的最小公倍數。 <方法 1> <方法 2> << 課 外 補 充 >> 1. 兩正整數的積 = 最大公因數 最小公倍數。 a b ( , ) [ , ]a b  a b 例：4 和 6 的最大公因數是 2，最小公倍數是 12 2. 兩正整數A、B的最小公倍數= A B 最大公因數 。(本公式只適用於兩數，3數以上不適用!) ※老師講解 1※ ※學生練習 1※





2 2 2 2 2 2 126 2 3 7 300 2 3 5 330 2 3 5 11 126,300,330 2 3 5 7 11 69300                     





2 2 2 126 2 3 7 300 2 3 5 330 2 3 5 11 126,300,330 2 3 6              所以



4, 6







4, 6



 4 6

求130 和 182 的最大公因數與最小公倍數。 (1) 求 60 和 140 的最大公因數與最小公倍數。 ※老師講解 2※ ※學生練習 2※ (1)求 32、48、104 的最大公因數與最小公倍數。 (2) [(96, 72), 20] (1)求 15、21 和 35 的最大公因數與最小公倍數。 (2)([84, 72],18) ※老師講解 3※ ※學生練習 3※ 求下列各組數的最大公因數與最小公倍數： (1) _{2 5} 2_{7 ,3}2 2_53_7 (2) 2 2 3 5, 2 3 3 5 7       求下列各組數的最大公因數與最小公倍數： (1) ₂3_{3 , 2}2 2_33 (2)₂2_33_{7 , 2}2 3_32_{5 , 2}2 2_35_7 ※老師講解 4※ ※學生練習 4※ 設a、b為z_{，a  3 5}2 ₇3_{且( , ) 35a b}  _，則b可 以是下列哪一個數? ( )A 65 ( )B 105 ( )C 70 設a、b為z_{，a  2}3 _{3 7}2_{且( , ) 21a b}  _，則b可 以是下列哪一個數? ( )A 42 ( )B 56 ( )C 105 ※老師講解 5※ ※學生練習 5※ 求231 與 264 之正公因數個數共有多少個？其和 為多少？

求60 、 72 、 84 之正公因數個數共有多少個？其 和為多少？ ※老師講解 6※ ※學生練習 6※ 在90~250 之間的數，4、5 和 6 的公倍數有哪些? 在50~250 的整數中，能同時被 15、20 整除的數有 哪些? ※老師講解 7※ ※學生練習 7※ 三個分數 5 28、 11 42、 19 63分別乘以同一個正整數n後， 都變成整數，則所乘的最小正整數是多少? 13 40、 17 50分別乘以同一個數後，其值皆為自然數， 且此自然數小於1200，問這個數可能是多少? ※老師講解 8※ ※學生練習 8※ 將36 個橘子、48 個芒果、60 個蘋果分裝在幾個禮 盒裡，使同一種水果在每一盒裡有一樣多個，問 最多可裝幾盒？這時候每個盒裡總共有幾個水果？ 其中橘子幾個？芒果幾個？蘋果幾個？ 84 個橘子、144 個芒果、72 個香瓜，分裝在幾個籃 子裡，如果每籃橘子的個數相等，芒果的個數相 等，香瓜的個數也相等，那麼每籃最少可裝橘子、 芒果、香瓜的個數共幾個?

※老師講解 9※ ※學生練習 9※ 有一三角形的水池，在池旁的三個頂點各置一路 燈，它們的距離分別是100 公尺、180 公尺、260 公 尺，現在想在三路燈之間，按相等的距離豎立最 少的木樁，用鐵絲圍欄杆，試問： (1) 兩樁間的距離應該為多少公尺長？ (2) 共需多少根木樁？ 有一塊四邊形農地，在農地的四個角頂各設一盞 路燈，它們的距離分別是170 公尺、50 公尺、100 公尺、80 公尺。現在想在四盞路燈之間，按相等的 距離種植最少棵的松樹，試問: (1)兩棵松樹間的距離為多少公尺? (2)共種植松樹多少棵? ※老師講解 10※ ※學生練習 10※ 一庭院長854 公分、寬 280 公分，要鋪設大小相同 的正方形紅磚，紅磚要最少塊。請問: (1)紅磚的邊長是多少公分? (2)需要多少塊? 一張長方形美術用紙，其長36 公分、寬 24 公分， 現在要剪成大小相同的正方形，且正方形張數要 最少，美術用紙不能有剩餘，請問: (1)正方形的邊長是多少公分? (2)最少剪成多少張? ※老師講解 11※ ※學生練習 11※ 一張長方形的紙片，其長、寬分別是30 公分和 18 公分，問至少需要多少張紙片才能排成一正方形? 此正方形邊長是多少公分? 一張長方形的地磚，其長、寬分別是30 公分和 20 公分，問至少需要多少塊地磚才能排成一正方形? 此正方形邊長是多少公分?

※老師講解 12※ ※學生練習 12※ 一長方體，長、寬、高分別為24 公分、18 公分、15 公分，現在把它切成大小相同之正方體，問至少 可切成多少塊正立方體？ 長方體火柴盒的長、寬、高分別是30 公分、12 公分 10 公分，至少需要這種火柴盒多少個，才能堆成 一個最小正方體？所堆成的最小正方體其體積是 多少立方公分？ 【類 題】電力公司起初在相距4500 公尺的甲、乙兩地每隔 30 公尺立電桿一根，為節省起見，改為每隔 45 公尺立一根，問不要移動的電桿有 根。(兩端都設) ※老師講解 13※ ※學生練習 13※ 甲、乙、丙三人，同時同地出發，依同方向繞周長 1980 公尺的圓池競走，每分鐘甲走 330 公尺、乙 走220 公尺、丙走 198 公尺，問： (1) 幾分鐘後三人仍會合於原出發點？ (2) 三人各繞幾周？ 甲每4 天上台北一趟，乙每 9 天上台北一趟，丙 每12 天上台北一趟，某天三人在台北相遇，請分 別回答下列兩個問題： (1) 下一次三人又在台北相遇，至少要幾天後呢？ (2) 若他們三人相遇那天，恰好是星期天，那麼下 一次三人又在台北相遇，而且又逢星期天， 問至少要幾天後？ 【類 題 1】 張太太有三女，長女 7 日一歸，次女 11 日一歸，幼女 15 日一歸，某日三女同歸，張太太為 使三女下一次早些同歸相聚，便叫三女把歸家日期各縮短一天，但幼女說：不如把歸家日 期各延長一天，便可早些相聚，請問 言之有理；並經過 天才能再相聚。

【類 題 2】 甲種公共汽車每 36 分開一次，乙種公共汽車每 15 分開一次，兩種公共汽車在上午 7 時 30 分 同時開出，問最快何時再同時開出？答： 。 【類 題 3】如右圖，甲車依逆時針方向繞圓周行駛，每 16 分鐘繞一周；乙車依順時針 方向行駛，每18 分鐘繞一周；丙車沿著直徑_AB來回行駛，每12 分鐘來回一 趟。若甲、乙、丙三車同時由A 點出發，請問： 甲、乙、丙三車幾分鐘之後，會在A 點第一次相遇？ Key:a b ( , ) [ , ]a b  a b ※老師講解 14※ ※學生練習 14※ 已知甲、乙兩正整數的最大公因數是42，最小公 倍數是1470，若甲數= 294，求乙數=？ 設兩正整數x、84 與二數 126、60 有相同的最大公 因數和最小公倍數，求x。 【類 題】 設 a、b 為正整數，(a，b) =28，

 

a b, 11648，若a= 364，求 b= 。 A B

資優試題

1. (1) 一數用 8 去除餘 6，用 11 去除餘 9，用 15 去除餘 13，問這個數至少是多少？ (2) 設有一個小於 1000 的正整數，若用 5 除餘 3，用 7 除餘 5，用 9 除餘 7，則此正整數最小是 多少?最大是多少? (3)某人某天趕鴨子一萬隻到野外覓食，已知當天走失之鴨子不超過 100 隻，回家後，每 3 隻一數、 每5 隻一數、每 7 隻一數都剩下 2 隻，求走失的鴨子有多少隻？ 2. (1) 用某正整數除 193 餘 4，同時用它除 1077 不足 3，求某數最大是多少？最小為多少？

(2) 橘子 96 個、蘋果 54 個，平均分配給若干人，結果橘子多出 6 個，蘋果不足 6 個，問人數至多 有多少人?

3. (1)設 a、b 為正整數，且 1< a < b，若 a、b 之最大公因數= 11，最小公倍數= 231，求 a、b。

(2)設兩自然數之積為 1350，已知這兩數的最大公因數為 15，求這兩數。 4. 將一張長為15 公分、寬為 9 公分的長方形紙張，剪去一個最大的正方形，然後繼續將所剩下的紙張 再剪去一個最大的正方形，如此重複操作，直到所剩下的紙張為正方形為止，求最後所剩下的正 方形之邊長為多少公分?共剪了幾個正方形? 5. 有一個三位數，其百位、十位、個位數字分別為　1、a、b。若此數與　72　的最大公因數為　12，則　a＋b　可 能為下列哪一數？

6. 長方體的積木長、寬、高分別是8 公分、6 公分、4 公分，請問： (1) 至少需要這種積木多少塊，才可堆成一個最小的正方體？ (2) 所堆成的最小正方體其體積為多少立方公分？ (3) 若有這種積木 2000 個，盡可能堆成一個最大的正方體，則此正方體的一邊長為多少公分？ 且剩下幾塊積木沒用到？ 7. 有一實心木頭，形狀為長方體，其長、寬、高依序為40 公分、30 公分、20 公分，在其表面塗滿紅色 油漆，再將其鋸為長、寬、高均為2 公分之小正方體，則其中完全沒沾到油漆的小正方體有幾個？

8. 將　182　個面積為　1　的正方形，分別緊密地拼成面積為　84　與　98　的兩長方形　ABCD　與　EFGH。若AB ＝EF且EF＞10，則AB＝？ ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

2 - 2 實力評量

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

【PART A】

一、填充題 1. 甲、乙兩人在同公司上班，甲每上班3 天休假 1 天，乙每上班 4 天休假 1 天(該公司天天營業)，若恰 巧甲、乙兩人同一個星期日休假，下次兩人同在星期日休假的日子和這一次至少相差 天。 2. 已知300、360、432 三個數的最小公倍數之標準分解式為 2a _3b_5c_{，則a b c   。} 3. 若₂2 _{ 與3 23}2_{的最大公因數為a，最小公倍數為 b，則 a + b= 。} 4. (1) _



46,84 , 345



_______。 (2)





96, 72 ,18





=______。 5. (1) ₂3_52_{11, 2}4_53_{ 7 11, 2}2_{  3 5 7}2_{的最大公因數為 ，最小公倍數為 。} (以乘方表示)

(2) 已知 2 3 2 2 2 5 11 13 a    ，b  2310，則a 和 b 的最大公因數為 。(以乘方表示) (3) 若a27 48 49 50   ，b6336；則a 和 b 的最小公倍數



a b,



= 。(以乘方表示) 6. 寫出126、360、330 的所有正公因數： 。 7. 比較23 32 7 , 23 2  3 7 , 24 4 33 72 的大小。

【

PART B】

1. ( )下列敘述何者正確？ (Ａ)　若( , ) 1a b  ，則　a　與　b　均為質數(Ｂ)　若( , ) 1a b  _{，（b，c）＝1，則必（a，c）＝1} (Ｃ)若　a、b　均為質數，則( , ) 1a b  　(Ｄ)若　6　與　a　的最大公因數為　2，則　a　可能是　18。 2. ( ) 有一個正整數，已知　2、4、7　皆是它的因數，則此數可能為下列何者？ (Ａ)　14　(Ｂ)　28　(Ｃ)　42　(Ｄ)　70。 3. ( ) 若　a　和　b　皆為質數，則（a，b）×〔a，b〕＝？(Ａ)（a，b）　(Ｂ)〔a，b〕　(Ｃ)　1　(Ｄ)　a×b。 4. ( )小梅想利用長為　16　公分、寬為　12　公分的長方形木板拼成正方形區域，則下列哪一個正方形 是她可以拼成的？(A) (B) (C) (D) 5. ( )大寶買了　91　枝鉛筆和　117　枝螢光筆，他要將鉛筆和螢光筆混合包裝起來送給朋友，但是每 一包皆有鉛筆和螢光筆，且每一包裡頭的鉛筆數量一樣，螢光筆的數量也一樣，則下列敘 述 何者錯誤？(Ａ)大寶最多可送給　13　個朋友　 (Ｂ)每一包裡頭有　7　枝鉛筆　 (Ｃ)每一包裡頭有　9　枝螢光筆 　(Ｄ)每一包裡共有　13　枝筆。 6. ( )如圖為以短除法求　35，14，28　的最小公倍數，則下列敘述何者錯誤？ (Ａ)　三數的最小公倍數為　7×2×5×1×2　 (Ｂ)　14　為三數的最大公因數　 (Ｃ)　7　為三數的公因數　 (Ｄ)　7×5×2×4　為三數的公倍數。

7. ( ) 規定符號　ab　表示兩個正整數　a　和　b　的最小公倍數減最大公因數的差， 例如：1014＝70－2＝68，求　1221＝？(Ａ)　87　(Ｂ)　85　(Ｃ)　83　(Ｄ)　81。 8. ( ) 設兩數　a＝23_{×3×7，b＝2×3}2_{×5，則下列何者正確？(Ａ)　a、b　的最大公因數為　72} (Ｂ)　a、b　的最小公倍數為　210　(Ｃ)　a＋b　之結果有因數　9　(Ｄ)　a－b　必為　13　的倍數。 9. ( ) 小明求　945、2835　及　540　的最大公因數，小明認為答案是　5×9×7×3。下列四位同學的說法哪 一個是對的？(Ａ)甲說：「9　不是質數，不能用　9　除，所以過程不正確」　 (Ｂ)乙說：「5　大於　3，應該先用　3　除，所以過程不對」　 (Ｃ)丙說：「最大公因數就是　5×9×7×3＝945」　 (Ｄ)丁說：「結果不正確！最大公因數不應有因數　7」。 10. ( ) 小琪將　a、b　兩個正整數作質因數分解，完整的作法如圖。已知　a＞b，e　是質數，且　a、b　的 最大公因數是　14，最小公倍數是　98，則下列哪一個關係是正確的？ (Ａ)　d＞e　(Ｂ)　e＞f　(Ｃ)　e＞g　(Ｄ)　f＞d。 11. ( ) 兩數甲與乙，若甲數之標準分解式為　2a_×3b_×5c_{，乙數的標準分解式為　3}c_×5b_×7a_{，abc≠0，則甲} 數與乙數之最大公因數必為(Ａ)　2　的倍數　(Ｂ)　7　的倍數　(Ｃ)　15　的倍數　(Ｄ)　21　的倍數。 12. 任意兩個相異質數，它們的最小公倍數是 。 13. 已知大於　1　的兩數互質，且它們的最小公倍數為　209，求這兩個數的和是 14. a 是一正整數，其所有正因數有：1、2、4、7、14、28。則 a 與 210 的最大公因數為_________。 15. 自 1000 到 3000 中，含 15 和 24 兩個因數的整數共有________個。 16. 小於 2000 的正整數中，是 3 的倍數但不是 7 的倍數者有 個。 17. a＝60，b＝48，且〔a，b〕＝（a，b）×k，則　k＝ 。 18. 23_×32_與　22_×33_{×5　之最小公倍數為最大公因數的 倍。} 19. 若　35_×72_{×11　是　3}a_×72_{的倍數，則　a　最大是}

20. 兩個正整數　90、36　的最大公因數與最小公倍數的和為 。 21. 翰翰 將三條長分別為　72　公分、84　公分、96　公分的繩子剪成等長的小線段，且每段長需為整數，則 最少共可剪成 段。 22. 小明 計算　a　和　b　的最大公因數，其過程如圖所示，若（a，b）＝14，則　e＝ 。 23. 柯西 口袋中約有　500～1000　元，如果他買單價　60　元的筆記本若干本或單價　36　元的筆若干枝，都 可以剛好用完，請問柯西口袋中最少有 元。 24. 一三角形公園各邊長為 150 公尺、180 公尺、120 公尺，如在周圍豎立電桿，各電桿間距離要相等， 並在三角形的頂點各立一根電桿，則最少需要電桿________根。 25. 有 A、B、C 三個鐘，已知 A 鐘 30 分打一次，B 鐘 36 分打一次，C 鐘 45 分打一次，則第一次同打後 至三次同打須經_______小時。 26. 甲、乙兩人同時同地同方向繞一周長為 400 公尺的跑道而行，甲繞一圈需時 1 分，乙繞一圈需時 1 分10 秒，甲跑________公尺時兩人又在出發點相會？ 27. 將 78 個橘子，104 個蘋果，130 個梨子分裝在幾個禮盒中，使同一種水果在每盒內的個數一樣，最 多可裝a 盒，這時每個禮盒中水果共有 b 個，則數對



a b

,





_______。 28. 某跨海大橋，橋長 1280 公尺，橋的兩側每隔 20 公尺裝燈一盞(兩端都裝)，今為增強照明，改為每 隔16 公尺裝燈一盞，問施工時，有________盞燈可以不必移動。

29. 有 150 個桃子，全部平分給一群小朋友，每人至少得 3 個，已知人數超過 5 人，則小朋友人數 有 種可能情形。 30. 阿里山櫻花季為了引導觀光客到達賞櫻的地點，從阿里山的入口處開始每隔 500 公尺，設立一個 告示牌，每隔300 公尺張貼一張海報。從入口處到賞櫻的地點相距 5 公里，如果告示牌和海報一起 出現時僅能設立告示牌，請問全程共使用了 張海報。 31. A、B、C　三正整數，若　A、B　兩數的最大公因數為　92，B、C　兩數的最大公因數是　345，則　A、B、C　三 數的最大公因數為 32. 甲、乙、丙三家新聞台每天中午 12:00 同時開始播報新聞，其中：甲台每播報 10 分鐘新聞就接著播 廣告2 分鐘；乙台每播報 8 分鐘新聞後就接著播廣告 1 分鐘；丙台每播報 15 分鐘新聞後就接著播 廣告3 分鐘。試回答下列問題： (1) 在 12:47 時，三家新聞台進行的內容為何？ (A) 甲: 廣告；乙: 新聞；丙: 新聞 (B) 甲: 新聞；乙: 廣告；丙: 新聞 (C) 甲: 新聞；乙: 新聞；丙: 廣告 (D) 三家新聞台皆正在播報新聞 (2) 三家新聞台在下列哪一個時間廣告同時結束？ (A) 12:33 (B) 12:39 (C) 13:12 (D) 14:00 33. 在 921 集集大地震之後，南投九份山出現堰塞湖，因最近中南部大雨，堰塞湖有潰決的危險，因 此某單位派了甲、乙、丙三位人員去警戒。已知環湖道路長2400 公尺，甲每分鐘走 60 公尺，乙每分 鐘走75 公尺，丙每分鐘走 80 公尺，若三人同時、同地、同向出發，繞環湖道路而行，問幾分鐘之 後三人第一次會合於原出發點？

34. 小綺 生日時得到一副撲克牌，每張撲克牌都是長為　5　公分、寬為　3　公分，小綺想 用撲克牌拼出一個最小的正方形，如圖，她至少要用 張牌才能完成呢。 35. 已知一年三班人數在　25　人以上，50　人以下，有一天同時有三位同學生日，分別帶來　114　顆水果軟 糖，152　顆巧克力糖和　76　顆牛奶糖，結果每種糖果都恰好能平均分給每位同學，則每位同學共可 分得 顆糖。

2-3 分 數 的 加 減 運 算

※

題 型

1

※ 最簡分數

1

. 約 分：在一個分數中，如果分子與分母有相同的公因數時，我們可以把它們的公因數約掉，這種方 法叫做約分。 2. 擴 分：把一個分數的分子和分母同時以一個不是0 的整數去乘，此過程叫做擴分。 3. 最簡分數：把一個分數的分子和分母所有不是1 的公因數都約掉，所得的分數就叫做最簡分數。 ※老師講解 1※ ※學生練習 1※ 填填看： (1) 12

 

_{ }

2

 

_{ }

14 18  9   15  =12

 

 

_{ }

6

 

18 8 144 21  _{ }  _   (2) 12 18的最簡分數是 。 (1) 下列哪些數是最簡分數？ 8 4 15 8 77 11、 、 、9 25  6、119 (2) 將題(1)中尚未化成最簡分數的數，化成最簡 分數。 ※老師講解 2※ ※學生練習 2※ 分數13 52的分子加上□，則此分數可約分化簡成 3 4， 求□。 24 15 的分子減8，分母應減多少才能使分數的值不 變？ ※老師講解 3※ ※學生練習 3※ 設

x

為正整數，1 x 20，若要使240 x 成為最簡 分數，則x 可能是哪些數？

設k 為正整數，且 1< k <10，若要使6 k 成為最簡 分數，則k 可能是哪些數？ ※老師講解 4※ ※學生練習 4※ 分母為88，而介於10 11和 7 8之間的分數為 ，最 簡分數為 。 分母是323，比 16 17  小而比 18 19  大的數為 。 ※ 題 型 2 ※ 分數比大小 方法1：通分(分母小通分母；分子小通分子)。 方法2：化成小數。(此法最佳) 方法3：分子、分母很大且相差相同改成帶分數再比較。 ＊ 負數比大小：先比較正數的大小，再變不等號就是負數的大小。 ※老師講解 5※ ※學生練習 5※ 比較下列各組數的大小： (1) 8 11 15 18、 比較下列各組數的大小： (1) 5 6 8 14 21 35、 、 (2) 3 4 6 35 67 97  、 、 (2) 17 16 15 6 5 4  、 、 ※老師講解 6 ※ ※學生練習 6 ※ 甲、乙、丙三人合吃一盒生日蛋糕，甲先吃全部的 1 3，乙再吃剩下的 3 5，丙再把最後剩下的吃完， 請問：吃得最少的是誰？

甲、乙、丙三人競走，甲7 分鐘走 1 公里，乙 15 分 鐘走2 公里，丙 21 分鐘走 4 公里，則三人中 速 度最快， 速度最慢，三人中速度最快的比速度 最慢的每分鐘快 公里。 ※老師講解 7※ ※學生練習 7※ 比較88 96 100 89 97 101、 、 的大小。 甲、乙、丙三位籃球選手，在某場比賽中分別投籃 17、18、19 次，結果分別命中 13、14、15 次。則這場 比賽誰的命中率最高？ ※老師講解 8※ ※學生練習 8※ 比較 77 78 98 99 101 102    、 、 的大小。 比較 57 157 257 55 155 255  、 、 的大小。 ※ 題 型 3 ※ 分數的加減 1. 分母相同時各分數的分子相加減，分母不變。 2. 分母不同時把每個分數擴分，使得分母都相等，再計算。 3. 帶分數加減整數部分與分數部分分別相加或相減，或把帶分數先化為假分數再相加 或相減。 4. 去括號規則： (1)如果括號前面是+號，去括號時原先括號內的+、不必變號。 (2)如果括號前面是號，去括號時原先括號內的+、要變號(即+變，變+)。 ※老師講解 9※ ※學生練習 9※ (1) 求 8 15 17 17 _  _{ }         的值。 (2) 求 3 5 7 16 16 16     _{  }  的值。

(1) 求              5 3 5 2 的值。 (2) 求12 22 2 51 3 3 3 3     _{ }   的值。 ※老師講解 10※ ※學生練習 10※ 求下列各式的值： (1) 3 6 14 77   _______。 (2) 2 14 31 933 99 ________。 (3) 求 1 4 6 9  _  _         =_______。 (4) 求3 5 2 4 12 15    _{ }   的值。 求下列各式的值： (1) 13 12 38 95   =________。 (2) 7 8 9 11 14 2445 165 =_________。 (3) 求 2 1 5 7 _ _     的值 (4) 求4 3 2 3 4 5     _{ }  的值 ※ 題 型 4 ※ 去括號再加減 1. a 



b c



  a b c  2. a 



b c



  a b c  3. a 



b c



  a b c  4. a 



b c



  a b c 

※老師講解 11※ ※學生練習 11※ (1) 計算10 5 1 11 13 11   _  _   ________。 (2) 計算 2 1 1 7 5 3 3 5  _  _{ } _         ________。 (3) 計算53 71 0.75 0.5 4 2   ______。 (1) 求 2 1 11 13 11 13   _  _  =_______。 (2) 計算73 83 73 93 111 93   _  _   _______。 (3) 求581 133 24 6 2 7  35 =_______。 ※老師講解 12※ ※學生練習 12※ 計算 2 151 41 35 3 4 2 6     _  _   ？ 求 1 3 7 5 3 2 1 4 5 4 12 30     _ _  _    的值。 ※老師講解 13※ ※學生練習 13※ 計算285 513 641 62 81 6 4 4 3 6       _  __ _ _      _ ______。 計算21 22 31 42 51 5 3 2 5 5     _  _{ }  _       ______。

資優試題

1. 地球全表面積的1 4是陸地，陸地的 3 4在北半球，假使兩半球的面積相等，問南北半球海的面積，各 占地球全表面積的幾分之幾？

2. 已知水凝結成冰，體積會膨脹 1 11倍；冰融化成水，體積會縮小 1 12。今有甲、乙兩個杯子，甲杯裝有 132 cm3_{的水，乙杯裝有132 cm}3_{的冰。若將甲杯的水凝結成冰，乙杯的冰融化為水，則此時甲、乙兩} 杯的冰與水，體積相差多少cm3_？ 3. 一年一班學生第一次段考成績，數學及格的占全班的 5 3 ，英語及格的占全班的 3 2 ，兩科都及格的 占全班的 15 8 。回答下列各問題： (1) 兩科中至少一科及格的占全班的 。 (2) 兩科均不及格的占全班的 。 (3) 若兩科都不及格的有 12 人，則全班有 人。 (4) 英語及格但數學不及格的有 人。

分項對消法：a b, k k 1 1 a b b a a b     _  _     例： 2 2 1 1 2 1 1 4 7 7 4 4 7 3 4 7      _  _ _  _       4. (1)       12 19 7 12 7 5 7 3 4 (2) 2 2 2 2 1 3 3 5 5 7 7 9       …… 2 2 31 33 33 35      (3) 2 2 2 2 2 1 4 4 7 7 10 10 13 13 16         

(4) 1 1 1 1 1 3 15 35 63 99     ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

2 - 3 實力評量

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ 1. 計算 7 1 9 3 _  _{ } _         _______。 2. 計算 4 7 9 12 ________。 3. 計算 4 3 2 1 5 4 3 2     ________。 4. 計算 2 1 4 15 7 105   _  _   ________。 5. 計算1 2 1 7 9 7   _  _   _________。 6. 計算 4 3 7 7 7 2     _________。 7. 計算2 5 4 1 3 12 6 8      _{ }  _{ }     _________。 8. 計算 4 5 2 15 6 5    _  _{ }     _________。 9. 計算22 35 4 7 9  6  12 _________。 10. 計算 2 3 5 11 18 7 13 65 26 _________。 11. 計算11 33 21 3 7 6     _{ }   _______。 12. 計算 3 6 2 13 2 11 4 5 3    _  _   _______。 13. 計算 11 22 2 21 2 3 3 2 _ _{    } _         ________。 14. 計算 5 3 5 26 61 73 6 4 4   _  _   ________。 15. 請將7 8 7 8 9 9 10 10、 、 、 由大而小排列：_____________________。 16. 請將 3 4 5 2 3 4  、 、  由大而小排列：___________________。

17. 13 21 16 77 39 14、 、25、119 ，何者為最簡分數？答:_____________。 18. 某工程甲獨做 15 日完工，乙獨做 20 日完工，則甲每日比乙每日多做全工程的____。 19. 介於1 3與 1 4之間的分數共有______個。 20. 媽媽買回一袋水梨，小華拿了全部的1 4，小英拿了全部的 1 6，則剩餘的水梨為原來的_______。 21. 如右圖，將長方形分成六塊大小相同的正方形，則斜線區域面積與 原長方形面積的比值為________。 22. 3 5的分子加上－9，分母應加上_______，其值不變？ 23. 數線上四點 P、Q、R、S 所代表的數依次為： 8 0.2 5   、 、 5 7 2 3  、 ，則 P、Q、R、S 四點在數線上 的位置由左而右依次為 。 24. 若21 2 4 1 12 6 9 b c a    ，則a + b + c=________。 25. 若9

 

21 3 7 7 21 18  9  12  36 ，則 =__________。 26. 比 3 1 大且比 4 5 小的分數中，分母是12 而且是最簡分數的所有分數的和是 。 27. 15 4 5 1 與  同時加上 後會成為相反數。 28. 若 2 25   甲 、 3 38   乙 、 6 73   丙 ，則甲、乙、丙的大小關係為 。

29. 設 a 為正數，且 9 9 9 2 5 5 5 2 a a A B C a a       、 、  ，則A、B、C 的大小順序為 。 30. 比較下列各組數的大小： (1) 100 99 99 98 98 97 、 、 (2) 100 101 99 100 98 99 、 、 31. 利用1 1 4 3 1 3 4 3 4 3 4   3 4 的概念，則 1 1 1 1 3 4 4 5 5 6 6 7       ______。 ( ) 32. 下列何者錯誤？ (A) 1 2 3 3 5  8 (B) 4 1 1 7  2 14 (C) 1 1 4 4 3 3     (D) 6 4 10 7 7 7     ( ) 33. 下列各數中何者最接近 1？ (A) 7 8 (B) 8 9 (C) 9 8 (D) 9 10 ( ) 34. 下列何者不等於 62 3  ？ (A) 6 2 3   (B) 6 2 3     _{ }   (C) 2 6 3   (D) 6 2 3   _  _   ( ) 35. 某校有2 5的學生參加大隊接力比賽，有 1 4的學生參加大會舞表演，有 1 8的學生前兩項活動都有 參加。下列何者可用來表示該校學生中「參加大隊接力比賽卻沒有參加大會舞表演」的比例？ (A) 1 1 4  (B) 2 1 5 4 (C) 1 1 8  (D) 2 1 5 8 ( ) 36. 已知甲= 23 8  、乙= 2 3 8   、丙=－1.375。請問：下列哪一個選項是正確的？ (A) 甲=乙 (B) 乙=丙 (C) 甲<乙<丙 (D) 甲<丙<乙 ( ) 37. 已知甲 43 8  、乙=4 3 8  、丙 4 3 8   ，比較甲、乙、丙三數的大小，下列敘述何者正確？ (A) 甲=乙 (B) 甲=丙 (C) 甲<乙 (D) 甲<丙

( ) 38. 已知3 1 3 ，則 0 0 ？ (A) 無意義 (B) 1 (C) 0 (D) 任意數 ( ) 39. 判斷下列運算結果哪些是正數？(不需算出最後結果) (1)



34.1207

 

 3.1456

 

 21.137



(2) 311



4.2673



2.315 12 _ _{ }     (3)



13.1493

 

 13.1491



(4)  



17.154

 

 19.103



4.2176 (A) 只有(4) (B) 只有(1)和(2) (C) 只有(3)和(4) (D) 有(2)、(3)和(4) ( ) 40. 271 141 22 2 3 5之值最接近下列何者？ (A) 10.77 (B) 10.75 (C) 11.23 (D) 11.22 ( ) 41. 甲、乙、丙三人分別以下列的方式計算 31 11 2 3   的值： 甲：原式=



3 1



1 1 2 3     _  _   乙：原式





1 1 3 1 2 3      _  _   丙：原式





1 1 3 1 2 3      _  _   請問方法正確者為： (A) 甲和丙 (B) 甲 (C) 乙 (D) 丙 ( ) 42. 若22 35 4 7 9 6 12 N M    為最簡分數，則下列敘述何者正確？ (A) M、N 均為質數 (B) M + N 為質數 (C) M + N 為 3 的倍數 (D) M + N 為 5 的倍數

2-4 分 數 的 乘 除 運 算

(補充單元!可增刪，依進度作調整) 【 題 型1 】

分數的乘法

1. 分數



分數以分母



分母的積做分母，分子



分子的積做分子 2. 整數



分數以分母當做積的分母，整數與原分子的積做分子。 3. 帶分數



分數先把帶分數化成假分數，再計算。 4. (1) 奇數個負分數相乘、除，結果是負數。 (2) 偶數個負分數相乘、除，結果是正數。 ※老師講解 1※ ※學生練習 1※ 求下列各式的值： (1)                5 6 13 15 _________。

(2)                5 4 4 3 2 1 _________。 (3)                  _{0 96} 6 5 5 2 2 3 ________。 (4)



1.25

 

 3.375



__________。 求下列各式的值： (1)              9 2 5 3 _________。 (2)                 4 3 15 8 12 5 ________。 (3)

 

4 2 4 2 3 (2 4) 5     _{ }      _________。 (4) 0.875



0.75



=_________。 ※老師講解 2※ ※學生練習 2※ 求下列各式的值： (1)          17 7 1 3 2 5 _{_______。} (2) 20 5 3 2395  =________。 (3) 10 3 1 93        _{=_________。} 求下列各式的值： (1)               7 1 3 8 3 4 _{_______。} (2)  50  5 3 49 _______。 (3) 



12



 2 1 55 ________。 ※老師講解 3※ ※學生練習 3※ 計算                        2 3 4 3 2 2 1 4 1 _______。 計算                        3 2 2 6 5 4 9 3 2 _______。

※老師講解 4※ ※學生練習 4※ (1) 化簡(1 1)(1 1)(1 1)...(1 1 ) 2 3 4 100     = (2) 化簡(1 1)(1 1)(1 1)....( 1 1) 2 3 4 50 = 。 (1) 化簡(1 1)(1 1)(1 1)...(1 1 ) 2 3 4 50     = _______。 (2) 化簡(1 1)(1 1)(1 1)....( 1 1) 3 4 5 40 = 。 ※老師講解 5※ ※學生練習 5※ 忠友國中的學生有 7 4 是男生，男生有 8 5 是近視， 則男學生又是近視的占全校的幾分之幾？ 地球表面的 3 1 是陸地，陸地的 25 8 是森林地，則 森林地占地球表面的幾分之幾？ 【 題型2 】

分數的除法

1. 倒 數：將一個不等於 0 的分數之分子和分母對調，那麼就可以得到一個新的分數，這個新的分數稱 為原來那個分數的倒數，這兩個分數互為倒數 (乘積為 1 的兩個數互為倒數)，0 沒有倒數。 例： 3 2 的倒數是 2 3 ， 11 3  的倒數是 3 11  ，2 的倒數是 2 1 2. 分數



分數除以一個分數，就等於乘以這個分數的倒數。 例：乙0，甲



乙=甲



乙的倒數。 ※老師講解 6※ ※學生練習 6※ (1) 2 1 1  的倒數是 。 (2) 2 的倒數是 。 (3)                5 3 3 2 1 _{_________。}

(1) 3 2 2 的倒數是 。 (2) －1 的倒數是 。 (3)















5

4

3

= 1。 ※老師講解 7※ ※學生練習 7※ 計算( 3 ) ( 4 )3 1 4 6     ________。 計算( 1 ) 111 ( 4 )6 12 17 7      ________。 【 題型3 】

分數乘除混合

在一個算式中，若同時出現乘、除運算，應由左而右依順序計算；若有括號時必須先做括號內數的運算 ※老師講解 8※ ※學生練習 8※ 某數乘以 3 2 再除以 5 4 的結果與下列哪一種運算 相同？ (A) 乘以 15 8 (B) 乘以 6 5 (C) 除以 15 8 (D) 除 以 6 5 某數除以 3 2 再乘以 5 4 的結果與下列哪一種運算 相同？ (A) 乘以 6 5 (B) 除以 6 5 (C) 乘以 15 8 (D) 除 以 15 8 ※老師講解 9※ ※學生練習 9※ 計算下列各式的值： (1)                        5 1 1 3 1 3 2 1 7 _{________。} (2)                        24 55 8 1 4 4 1 11 2 1 2 _{________。} 計算下列各式的值： (1)                 7 1 3 2 1 14 5 2 _{______。} (2) _                                 8 7 1 9 8 3 1 11 9 1 3 ______。

※老師講解 10※ ※學生練習 10※ 甲公司為促銷某種瓶裝飲料，提出A、B、C 三個降 價方案：A 方案為原售價打七折；B 方案為買二 送一；C 方案為容量增加百分之三十且售價不變； 則A、B、C 三案何者降價最多？ 真好喝公司為了促銷某種瓶裝飲料，提出A、B、C 三個降價方案：A 方案為原售價打八折；B 方案 為買三送一；C 方案為容量增加百分之二十且售 價不變；則A、B、C 何者降價最多？ ※老師講解 11※ ※學生練習 11※ (1) 安安從家裡到學校的途中，走了全程的 3 1 到 達阿鴻蛋糕店買了蛋糕，又走了剩餘路程的 3 1 到達美姣文具店，則美姣文具店到學校的 路程為全程的幾分之幾？ (2) 承上題，若美姣文具店離學校 800 公尺，則安 安家距離學校多少公尺？ (1) 阿福伯用整塊地的 3 1 種花生，又用剩下的 5 4 種芒果，其餘的種甘蔗，則種甘蔗的地占全 部的幾分之幾？ (2) 若某數的 7 4 是144，則某數的 14 5 是多少？ 【 題型4 】

分數乘除的性質

1. (1) 分數連乘除，其中有「奇數」個負數，其餘為正數結果為「負數」 (2) 分數連乘除，其中有「偶數」個負數，其餘為正數結果為「正數」 2. a、b、c0，則： (1) a



bc



abc。例：40



42



4042 (2) a



bc



abc。例：20



42



2042 (3) a



bc



abc。例：40



42



4042 (4) a



bc



abc。例：40



42



4042 ※老師講解 13※ ※學生練習 13※

































5

1

4

1

3

1

2

1

…… 12 1 111        為 數。(正或負)

































5

1

4

1

3

1

2

1

……          14 1 13 1 為 數。(正或負) 【 題型5 】

指數律與分數的乘除

b a b a b a n n n         能約分要先約分 (數字小才好算!!)。 ※老師講解 13※ ※學生練習 13※ 化簡 ₂2  ₂2  ₃3  119 102 155 124 65 91 ______。 化簡









5 5 147 294 +



_

_





_



_

₃ 3 4 4 1234 4936 369 1107  =______。 【 題型6 】

分數

(小數)相乘相等比大小



令相乘

= 1

※老師講解 14※ ※學生練習 14※ 甲 、 乙 、 丙 皆 為 正 分 數 ， 若 1 3 17 16 14 2 4      甲乙 丙 ，比較甲、乙、丙 的大小。 甲 、 乙 、 丙 皆 為 負 分 數 ， 若 59 4 48 3 35 2      乙 丙 甲 ，比較甲、乙、丙的大小

【類 題】 若三個正數 a、b、c 的關係式為a a b b c 87 101 ，則a、b、c 的大小 關係。

資優試題

1. 計算                        2 . 0 2 . 0 04 . 0 5 4 4 1 1 9 8 ________。 ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

2 - 4 實力評量

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

【PART A】

1. 求出下列各式的值： (1) 

 

5  2 1 _______。 (2)          4 1 5 3 3 2 _______。 (3)    15 4 5 8 _______。 (4)               3 1 3 2 1 5 _{________。 (5)} 0.62516_______。 (6)



₂2





 

₂ 2 _{______。} (7)         22 15 5 11 5 ________。 (8)                 5 4 2 7 3 3 3 2 1 _{______。}

(9)                         12 1 6 1 4 3 2 1 2 1 2 _{_______。} 2. 在下列各題的空格中，填入適當的數字： (1) 2 3 4 1 5         (2) 6 5 1 8 5         (3)



9

5

78

= 0 3. (1) 計算 _      _              15 13 1 7 1 5 4 2 _______。 (2) 計算 _      _              15 13 1 7 1 5 4 2 _______。 4. 一杯水的 2 1 的 3 1 的 4 1 是占一杯水的 。 5. 21 2 7  的倒數是 。 6. 小華 、小芬、小明三人合吃蛋糕，小華吃了 5 2 ，小芬吃剩下的 9 5 ，小明再把剩下的吃完，請問小明 吃了蛋糕的 。 7. 求                 8 5 6 5 42 1 7 1 之值為_________。 8. ( )下列有關「倒數」的敘述，何者錯誤？ (A) 1的倒數是1 (B) 2的倒數是1 2 (C) 2 3的倒數是 3 2 (D) 0 沒有倒數 9. ( )下列何者錯誤？ (A)                        3 2 3 2 3 2 2 (B)

 

           3 1 4 3 4 1 (C) 2 1 3 5 2 3 1 5     (D) 3 2 1 3 2 3 2 3 2 _{ }                  10. ( )下列何者錯誤？ (A) 2 1 2 1 2 1      (B) 8 1 2 1 3 _        (C) 3 1 6 2 3 1 2 _{ }        (D) 4 9 2 3 2 _       

11. ( )下列何者最小？ (A)



0.1



(B)



0.1



2 _(C)



_0.1



3 _(D)



_0.1



4 12. ( ) 小格想要煮一鍋 30 人份的玉米湯，他依據 右圖的食譜內容到市場選購材料。請問下列 哪一種材料的數量買得太少？ (A) 玉米醬(100g/罐)11 罐 (B) 雞蛋 8 個 (C) 絞肉 45 兩 (D) 奶油 75 克 13. ( )阿裕與小譚同時進入職棒隊，兩人年薪相同，小譚第一年表現良好，第二年加薪 8 %，後來 因受傷表現欠佳，第三年減薪 8 %；阿裕表現平平，年薪一直不變。請問第三年的年薪誰比較 多？ (A) 阿裕較多 (B) 小譚較多 (C) 兩人一樣多 (D) 無法判斷 14. ( )已知甲、乙兩正數均不等於 1，下列有關甲與乙關係的敘述中，哪一個與其他三個不同？ (A) 甲 乙 4 3 (B) 4 3   乙 甲 (C) 甲是乙的 倍 4 3 (D) 乙是甲的 倍 3 4 15. ( )身體質量指數(BMI)是一種判斷理想體重的 參考公式，它的算法及評估程度如右圖。若 甲生的身高為 1.8 米，體重 80 公斤。請問下 列哪一個選項可以描述甲生的身體狀況？ (A) 稍瘦 (B) 標準 (C) 稍胖 (D) 過胖

【

PART B】

※ 1. ~ 7. 求下列各式的值，並化成最簡分數： 1.                        9 5 1 14 3 12 1 ______。 2.                 5 1 1 3 1 3 12 5 ______。 3.                 5 2 1 5 2 14 5 ______。 4.





                        7 1 1 7 1 2 1 1 28 _{______。} 5.                         12 1 6 1 4 3 2 2 1 2 _{______。 6.}

 

                             3 1 5 4 9 36 6 5 ______。

7.

   

           4 1 3 2 _{______。} 8. 2 1 2  的倒數是 ，且倒數與其相反數之積為 。 9. 甲數的 3 1 等於乙數的 8 7 ，乙數的 4 3 等於丙數的 5 4 。若丙數為45，則甲數為 。 10. 某數的 7 4 為－144，則： (1) 某數為 。 (2) 它的 3 2 是 。 11. 若 2 1 4 3 2 3 4  b a ，則a + b =______。 12.                         2 3 3 2 2 3 4 3 ______。 13.                         2 3 3 2 2 1 4 1 _______。 14.





5 1  







               2 4 3 3 2 2 1 ______。 15.

 

_27 _



_27



_

 

_2 6 _



_26



=_______。 16. 所有的整數中，本身為本身的倒數的個數共有 個，即 。 17. 四個數 2 7 4 2 3 2 5  、 、 、 任取三個數相乘，其中乘積最大的數是 。 18. 一張報紙連續對摺五次後，其面積變為原來的 倍。 ( )19. 已知甲、乙、丙三數均為正數，且 甲 乙 丙 5 2 7 4 8 5 (A) 甲>乙>丙 (B) 甲<乙<丙 (C) 乙>甲>丙 (D) 丙>甲>乙 ( )20. 已知3a  4b，則下列甲、乙、丙、丁，哪些正確？ 甲：若a、b 皆為正數，則 a > b。 乙：若 a、b 皆為正數，則 a < b。 丙：若a、b 皆為負數，則 a > b。 丁：若 a、b 皆為負數，則 a < b。 (A) 甲和丁 (B) 乙和丁 (C) 甲和丙 (D) 乙和丙 ( )21. 下列何者錯誤？

(A)

 

_2.12 _

 

_2.13 _

 

_2.14 _(B)



_0.03



2 _



_0.03



3 _



_0.03



4 (C)

 

3





4





2





0 3 . 0 3 . 0 3 . 0 3        (D) 101 100 97 96 89 88  

【

PART C】

1. 若 16 1 8 1 4 1 2 1     a ， 16 1 8 1 4 1 2 1      b ，則 b a 的值＝？ 2. 設 42 55  甲 、 70 99  甲 均為正整數，則甲的最小正分數為多少？ 3. 某漱口水瓶上標示正確使用方式：一次使用量為瓶蓋容量的 3 1 。小瑜買了一瓶，誤將 3 1 看成 2 1 ，在 使用10 次後才發現錯誤，此時漱口水已剩原來的 4 3 。若往後小瑜依正確方式使用完畢，則還可以用 多少次？

2-5

分 數 的 四 則 運 算

【 題型1 】

分數的四則運算

1. 四則運算先做乘除後做加減 2. 有括號時，按小括號、中括號、大括號的順序計算 3. 分數的乘除運算，應當先約分後，再做乘除，較為簡捷。 4. 計算結果是假分數，並不一定要將它化為帶分數，但分數運算結果，以最簡分數作答為佳。 ※老師講解 1※ ※學生練習 1※ (1) 求           3 1 3 5 4 3 1 7 _{_______。} (2) 求                           2 1 3 1 6 5 9 5 2 _______。 (3) 求_ 

_{ }

_ 2 

_{ }

_ 3 

_{ }

_3 4  27 3 9 3 3 3 1 _______。 (4) 求                           5 1 1 5 4 1 1 4 3 1 1 3 _{… +}         8 1 1 8 _{=______。} (1) 求       _   4 1 12 7 3 5 _{_______。} (2) 求                 8 3 2 1 3 1 2 _______。 (3) 求

_{ }

₂ 2 1  +

 

 3 

 

 4 

 

₂ 5  8 2 4 2 2 ______。 (4) 求                                1 5 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 ……        _  1 10 1 _______。 (5) 求       _  38 7 57 25 58 3 ______。

(6) 求 _            _{ }    6 1 2 1 12 7 1 2 12 5 8 7 ______。 (7) 求  

 

 







        2 3 4 2 3 2 4 ______。 (5) 求       _  34 29 85 58 58 17 _______。 (6) 求 _                 2 1 8 3 4 7 5 2 4 1 9 _______。 (7) 求 _      _                            5 2 1 2 1 2 14 5 21 4 7 2 _______。 【 題 型 2 】 分數、小數混合四則運算 在一個算式中，若同時出現分數、小數，我們可將小數都改成分數，或把分數都改為小數，方便計算。 ※老師講解 2※ ※學生練習 2※ (1) 求       _        _ 10 1 1 8 . 2 35 . 0 4 3 3 _{_______。} (2) 求 _             _{ }   4 5 25 . 4 10 9 5 3 4 3 . 0 _______。 (1) 求       _{ } 38 3 375 . 3 8 1 6 _{________。} (2) 求       _   6 17 3 25 . 4 10 _{________。} 【 題型 3 】

乘(除)法對加(減)法分配律

(1) a



bc



abac (2) a



bc



abac

(3)







  



c0



c b c a c b a (4)







  



c0



c b c a c b a ※老師講解 3※ ※學生練習 3※ (1) 求 







 22 2 1 432 78 2 1 432 ______。 (2) 求     7 6 374 7 5 32 7 5 32 7 1 325 ______。 (3) 求



35

  

9 19 13 12 19 13 _{     }          19 13 ____。 (1) 求          3 2 8676 3 2 9676 3 2 9676 2 ______。 (2) 求34.755.934.780.334.736.2___。 (3) 求 







 55 55 76 55 _____。 ※老師講解 4※ ※學生練習 4※ (1) 求69 18 7 21 4 3 161 115 9 35     _  _ _  _     ______。 (1) 求 1 1 209 2 5 18 1 2 3 146 19 11       _{ } _  _     _____。 (2) 求 61 25 25 25 4 8 12 8  _{ }  _{ } _         ______。 (3) 求1988 1990 1989  ______。