高三上第二次期中考數學題庫(40)

(1)

1091 高三數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/18

CH8

（）1.下圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形﹐且OD8﹒ 問﹕直角三角形 OAB 的高 AB 為何﹖ (1)1 (2) 6 2 (3) 7 1 (4) 3 (5)2﹒ 解答 4 解析 △OCD 中﹐OC4 3﹐

△OBC 中﹐OB OC cos15 4 3 cos15﹐

△OAB 中﹐ABOBsin15 (4 3 cos15 ) sin15    2 3(2sin15 cos15 )  2 3 sin 30 

2 3 1 3 2    ﹐ 故選(4)﹒ （）2.在坐標平面上有一橢圓﹐它的長軸落在 x 軸上﹐短軸落在 y 軸上﹐長軸﹑短軸的長度分別為 4﹐2﹒如圖所示﹐通過橢圓的中心 O 且與 x 軸夾角為 45的直線在第一象限跟橢圓相交於 P﹐ 則此交點 P 與中心 O 的距離為 (1)1.5 (2) 1.6 (3) 2 (4) 2.5 (5) 3.2﹒ 解答 2 解析 OP斜角 45﹐故 P 點坐標可設成(t,t)﹐t  0﹐ 又 P 在 2 2 1 4 1 x _ y _ 上﹐故 2 2 1 4 1 t _t _ ﹐t  0﹐解得 4 5 t ﹐ 則 2 4 8 1.6 5 5 OP    ﹐故選(2)﹒ x y O 45o P A O D 30 ₁₅ 15 8 B C o _o o

(2)

1091 高三數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P2/18 （）3.在坐標平面上﹐廣義角 的頂點為原點 O﹐始邊為 x 軸的正向﹐且滿足tan 2 3  ﹒若 的終邊 上有一點 P﹐其 y 坐標為  4﹐則下列哪些選項一定正確﹖ (1)P 的 x 坐標是 6 (2)OP2 13 (3)cos 3 13  (4)sin2 0 (5) cos 0 2  _ 解答 24 解析 ∵ tan 2 3   ﹐又 終邊的 P 點﹐y 坐標為  4 ∴  在第三象限 (1)╳﹐tan 2 4 3 y x x     x  6 ∴ P 的 x 坐標為  6 (2)○﹐ 2 2 4 6 52 2 13 OP    (3)╳﹐cos 6 3 2 13 13 x OP      

(4)○﹐sin 2 2sin cos 2( 4 )( 6 ) 0

2 13 2 13       (5)╳﹐180 360k  270 360k﹐k 90 180 135 180 2 k  k         ﹐k 當 k  0 時﹐ 2  在第二象限﹐cos 0 2  _ 當 k  1 時﹐ 2  在第四象限﹐cos 0 2  _ 故選(2)(4) （）4.試問下列哪些選項中的數是有理數﹖ (1)3.1416 (2) 3 (3)log₁₀ 5log₁₀ 2 (4) sin15 cos15 cos15 sin15      (5)方程式 x3 2x2 x  1  0 的唯一實根﹒ 解答 134 解析 (1)○﹕3.1416 31416 10000  (2)╳﹕ 3為無理數 (3)○﹕ 10 10 10 10 1 1

log 5 log 2 log 10 log 10

2 2

   

(4)○﹕

2 2

sin15 cos15 sin 15 cos 15 2 2

4

cos15 sin15 cos15 sin15 2sin15 cos15 sin 30

_ _   _ _ _

      

(5)╳﹕由牛頓定理知 x3_2x2_x₁_{0 的有理根僅有 ± 1﹐將 x}_{± 1 代入均不合}

故唯一實根必為無理數故選(1)(3)(4)﹒

(3)

（）5.若 0

4

 

  ﹐試問以下哪些選項恆成立﹖ (1)sin cos (2)tan sin (3)cos tan (4)sin2 cos2 (5)tan 1tan

2 2

 _

 ﹒

解答 15

解析 (1)○﹕cos sin

(2)╳﹕tan sin sin

cos 1       (3)╳﹕不一定 (4)╳﹕∵0 2 2     ﹐∴不一定 (5)○﹕ 2 2 tan 2 tan tan(2 ) 2 _{1 tan} 2      _  ﹐

去分母 tan tan tan2 2 tan

2 2

 

   

tan 1tan 1tan tan2 1tan (1 tan2 ) 1tan

2 2 2 2 2 2 2  _ _  _  _        （∵0 tan 1 2    ﹐∴ 2 tan 1 2  _ ）故選(1)(5)﹒ 6.坐標平面上﹐以原點 O 為圓心的圓上有三個相異點 A(1,0)﹐B﹐C﹐且 AB BC ﹒ 已知銳角三角形 OAB 的面積為 3 10﹐則△OAC 的面積為____________﹒（化為最簡分數）解答 12 25

解析令 B(cos,sin )﹐0 90﹐C(cos2,sin2 )﹐

△OAB 面積 1 1 1 sin 3

2  10

     ﹐∴sin 3 cos 4

5 5

   ﹐

故△OAC 面積 1 1 1 sin 2 1(2sin cos ) 3 4 12

2  2   5 5 25

         ﹒

7.四邊形 ABCD 中﹐AB1﹐BC5﹐CD5﹐DA7﹐且DAB BCD  90﹐則對角線 AC 長為_____

解答 32

解析 ∵四邊形 ABCD 中﹐DAB BCD  90﹐ ∴ABC ADC  180﹐即ABC  180ADC﹐

利用 cosABC  cos(180ADC)  cosABC  cosADC﹐

則 2 2 25 1 25 49 32 2 5 1 2 5 7 AC AC AC             A 1 B C D 5 5 7 A(1,0) B(cos ,sin ) C(cos2 ,sin2 ) x y O

(4)

8.已知△ABC 中﹐AB2﹐BC3且A  2C﹐則 AC____________﹒（化成最簡分數）

解答 5

2

解析由正弦定理知 2 3 3

sin sin 2 2sincos ﹐

∵sin 0﹐∴cos 3 4  ﹐ 由餘弦定理知 2 9 4 3 cos 2 3 4 x x         2x2_9x₁₀₀_(2x_5)(x₂₎₀ 5 2 x   或 x  2（不合）﹒ 9.如圖﹐正△ABC 的邊長為 1﹐並且1 2 3  15﹒ 已知sin15 6 2 4    ﹐則正△DEF 的邊長為____________﹒（化為最簡根式） 解答 6 2 2  2

解析在△ABE 中﹐ABE  60 15 45﹐AEB  180 15 45 120﹐

利用正弦定理﹐得 1

sin15 sin 45 sin120

BE _ AE _   ﹐ 即 6 2 sin15 ₄ 6 2 sin120 3 2 3 2 BE        ﹐ 2 sin 45 ₂ 2 sin120 3 3 2 AE     ﹒ 又因為△ABE 與△CAD 全等﹐所以ADBE﹒ 故正△DEF 的邊長為DEAEADAEBE 2 6 2 3 2 3    3 2 6 2 3   3 6 3 2 6   6 2 2 2   ﹒ A B C x 2 3 2 A A B C D E _F 1 2 3

(5)

CH9

（）1.點 A(1,0)在單位圓：x2_y2_{1 上﹒試問﹕}_{上除了 A 點以外﹐還有幾個點到直線 L：y}_2x 的距離﹐等於 A 點到 L 的距離﹖ (1)1 個 (2)2 個 (3)3 個 (4)4 個 (5)0 個﹒ 解答 3 解析如圖﹐過 A 點作直線 L1平行直線 L 交圓於 B 點﹔ 在直線 L 的另一側﹐再作一直線 L2﹐ 使得三平行直線 L1﹐L﹐L2等距離﹐並交圓於 C﹐D 兩點﹒ 因此﹐圓上除了 A 點外﹐還有 B﹐C﹐D 三點到直線 L 的距離﹐ 等於 A 點到直線 L 的距離﹒ 故選(3)﹒ （）2.坐標平面上兩圖形1﹐2的方程式分別為﹕1：(x  1)2_y2_1﹐2_：(x_y)2_1﹒ 請問1﹐2共有幾個交點﹖ (1)1 個 (2)2 個 (3)3 個 (4)4 個 (5)0 個﹒ 解答 2 解析由圓的標準式知﹐1是圓心為(  1,0)﹐半徑為 1 的圓﹒ 因為(x  y)2₁_x_y_{1 或 x}_y_1﹐ 所以2為二平行直線 x  y  1 與 x  y  1﹒ 由下圖得知﹐兩圖形共有 2 個交點﹐故選(2)﹒ （）3.如下圖所示﹐坐標平面上一鳶形 ABCD﹐其中 A﹐C 在 y 軸上﹐B﹐D 在 x 軸上﹐ 且ABAD2﹐BCCD4﹐AC5﹒令m_AB﹐m_BC﹐m_CD﹐m_DA 分別表直線 AB﹐BC﹐CD﹐DA 之斜率﹒試問以下哪些敘述成立﹖ (1)此四數值中以m_AB為最大 (2)此四數值中以m_BC為最小 (3)m_BC m_CD (4)m_ABm_BC 1 (5)m_CDm_DA0﹒ 解答 235 解析 (1)╳﹕m_CD最大 (2)○ (3)○﹕BC﹐CD對 y 軸成對稱 (4)╳﹕∵52₂2₄2_﹐∴ AB與BC不垂直 (5)○ 故選(2)(3)(5)﹒ x y A B C D L1 L2 L:y=2x O 1 1 x + y =1 x + y =-1 -1 -1 x O y x y O A C B D x y O A C B D 2 2 4 4

(6)

1091 高三數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P6/18 （）4.考慮坐標平面上以 O(0,0)﹐A(3,0)﹐B(0,4)為頂點的三角形﹐令 C1﹐C2分別為△OAB 的外接圓﹑ 內切圓﹒請問下列哪些選項是正確的﹖ (1)C1的半徑為 2 (2)C1的圓心在直線 y  x 上 (3)C1 的圓心在直線 4x  3y  12 上 (4)C2的圓心在直線 y  x 上 (5)C2的圓心在直線 4x  3y  6 上 ﹒ 解答 34 解析由圖知△OAB 為直角三角形﹐ (1)(2)(3)∵△OAB 為直角三角形﹐設外接圓圓心 P﹐半徑 R﹐ ∴外接圓圓心 P 在AB中點﹐ 則外接圓半徑 1 5 2 2 R AB ﹐ ( , 2)3 2 P ﹐ 1 4 3 12 3 4 x y AB：    x y ﹐ 故(1)(2)為錯﹐(3)正確 (4)(5)令內接圓圓心 Q﹐半徑 r﹐ ABO AOQ BOQ AQB

1 3 4 1 3 1 4 1 5 1 2 2 r 2 r 2 r r               ﹐ ∴Q(1,1)﹐∴Q 在直線 x  y 上﹐故(4)正確﹐(5)錯誤 故選(3)(4)﹒ 5.地面上甲﹑乙兩人從同一地點同時開始移動﹒甲以每秒4公尺向東等速移動﹐乙以每秒 3 公尺向北等速移動﹒在移動不久之後﹐他們互望的視線被一圓柱體建築物阻擋了 6 秒後才又相見﹒此圓柱體建築物底圓的直徑為____________公尺﹒ 解答 14.4 解析依題意﹐圖示如下﹕ 經 6 秒甲走AB  6 4 24公尺﹒ 因為圖中二個直角三角形相似﹐所以 3 72 14.4 24 5 5 x x     ﹐ 故底圓的直徑為 14.4 公尺﹒ 6.某高中已有一個長 90 公尺﹑寬 60 公尺的足球練習場﹒ 若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長度為 400 公尺的跑道﹐ 跑道規格為左右兩側各是直徑相同的半圓﹐ 而中間是上下各一條的直線跑道﹐ 直線跑道與足球練習場的長邊平行（如示意圖）﹒ 則圖中一條直線跑道 AB 長度的最大可能整數值為____________公尺﹒ 解答 105 解析設內圈左右兩半圓的半徑都是 r 公尺﹒因為內圈總長度 400 公尺﹐ 所以2 2 400 400 2 200 2 r r AB AB  r         公尺﹒ 當 60 30 2 r  時﹐AB有最大值 200  30 200  30  3.14  105.8 公尺﹒ 故AB的最大可能整數值為 105 公尺﹒ O B(0,4) A(3,0) x y P Q 5k 4k A 24 B 3k x 東北足球練習場直線跑道右邊跑道左邊跑道 A B

(7)

1091 高三數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P7/18 7.設 A(0,0)﹐B(10,0)﹐C(10,6)﹐D(0,6)為坐標平面上的四個點﹒如果直線 y  m(x  7)  4 將四邊形 ABCD 分成 面積相等的兩塊﹐那麼 m  ____________﹒（化成最簡分數）解答 1 2 解析 y  m(x  7)  4 表過(7,4)之直線﹐ 令 x  10﹐y  3m  4﹐x  0﹐y  7m  4﹐ 梯形 ABEF 之面積 1( 7 4 3 4) 10 1(10 6) 2 m m 2         1 4 8 6 2 m m       ﹒ 8.坐標平面上的圓 C﹕(x  7)2_(y₈₎2_{9 上有____________個點與原點的距離正好是整數值﹒} 解答 12 解析設 P 為圓 C 上任一點﹐O 為圓點﹐ 因 C﹕(x  7)2_(y₈₎2_{9 的圓心為 K(7,8)﹐半徑 r}_3﹐ 所以OP的最大值為 2 2 7 8 3 113 3 13. OK r      ﹐ 最小值為OK r 7282  3 113 3 7. ﹐ 因此若OP為整數值﹐則OP8﹐9﹐10﹐11﹐12﹐13﹐ 若以 O 為圓心﹐分別以 8﹐9﹐10﹐11﹐12﹐13 為半徑畫弧﹐ 與圓 C 共交於 12 個點﹒ 9.平面上兩點 A﹑B 之距離為 5﹐以 A 為圓心作一半徑為 r（0  r  5）的圓﹐過 B 作圓的切線﹐ 切點（之一）為 P﹒當 r 變動時﹐△PAB 的面積最大可能值為____________﹒（化成最簡分數） 解答 25 4 解析如圖﹐設BPx﹒ 因為APB  90﹐所以△PAB 的面積為 2 rx ﹒ 又由畢氏定理﹐得 r2_x2_25﹒ 利用算幾不等式﹐得 2 2 2 2 2 r x r x   25 2 rx﹐ 即△PAB 的面積 25 4  ﹒且當 2 2 25 2 x r  時﹐等號成立﹒ 故△PAB 的面積之最大值為25 4 ﹒ 〈另解〉如圖﹐設PAB ﹒

因為APB  90﹐所以AP5cos﹐BP5sin﹒

因此﹐△PAB 的面積為1 25sin cos 25sin 2

2AP BP  2    4 ﹒ 當 45時﹐△PAB 的面積有最大值25 1 25 4   4 ﹒ D(0,6) A(0,0) B(10,0) C (10,6) (7,4) F E x y x y O K 8 8 5 A r x B P 5 A B P

(8)

CH10

（）1.如圖﹐下面哪一選項中的向量與另兩個向量 PO ﹑ QO 之和等於零向量﹖ (1) AO (2) BO (3) CO (4) DO (5) EO ﹒ 解答 3 解析由圖可知﹐POQOQOORQR﹐則COQR 0 ﹐故選(3)﹒ （）2.設 ABC 為坐標平面上一三角形﹐P 為平面上一點且 1 2 5 5 AP AB AC﹐則 ABP ABC △ 面積 △ 面積等於 (1)1 5 (2) 1 4 (3) 2 5 (4) 1 2 (5) 2 3﹒ 解答 3 解析作直線 AP 交直線 BC 於 D﹐因 A﹑P﹑D 三點共線﹐所以可設ADk AP﹐因此 2 5 5 k k AD AB AC﹐ 又因 B﹑D﹑C 三點共線﹐所以 2 1 5 5 k _ k _ ﹐解得 5 3 k ﹐ 因此 1 2 3 3 AD AB AC且AP：PD3 2： ﹐ 由向量的分點公式知BD：DC2 1： ﹐ 則△ABP 面積 3 5  △ABD 面積 3 5  (2 3△ABC 面積) 2 5  △ABC 面積﹐故選(3)﹒ （）3.如圖所示﹐ O 為正六邊形之中心﹒試問下列哪個向量的終點 P 落在△ ODE 內部（不含邊界）﹖ (1) OPOC OE (2) 1 1 4 2 OP OC OE (3) 1 1 4 2 OP  OC OE (4) 1 1 4 2 OP OC OE (5) 1 1 4 2 OP  OC OE﹒ 解答 2 解析如圖﹒令OPxOCy OE﹐ P落在直線OE右側的條件為x0﹐ P落在直線OD左側的條件為x y 0﹐ P落在直線DE下方的條件為y1﹐ 故選(2)﹒ A B C D E O P Q A B C D E O P Q R A B D C P

(9)

1091 高三數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P9/18 （）4.如下圖所示﹐兩射線 OA 與 OB 交於 O 點﹐試問下列選項中哪些向量的終點會落在陰影區域內 (1)OA2OB (2)3 1 4OA3OB (3) 3 1 4OA3OB (4) 3 1 4OA5OB (5) 3 1 4OA5OB﹒ 解答 12 解析令OPOAOB﹐ 欲使 P 點落在陰影區域內﹐則 0﹐ 0﹐ 1﹐ (1)1  2  1 (2)3 1 13 1 4 3 12 故選(1)(2)﹒ （）5.若實數 a﹑b﹑c﹑d 使得聯立方程組 8 4 3 ax y c x y        有解﹐且聯立方程組 3 4 3 x by d x y         無解﹐ 則下列哪些選項一定正確﹖ (1)a  2 (2)c  6 (3)b  12 (4)d  9 (5)聯立方程組 8 3 ax y c x by d        無解解答 34 解析 8 4 3 ax y c x y        有解 唯一解﹕ 8 1 4 a    a  2 無限多解﹕ 8 1 4 3 a_ _c   a  2﹐c  6 3 4 3 x by d x y         無解  3 1 4 3 b d  _ _   b  12﹐d  9 又 8 3 ax y c x by d         若 a  2﹐則 8 3 a b    唯有一解 若 a  2﹐c  6﹐b  12﹐d  9  2 8 6 3 12 d       無解故選(3)(4) 6.坐標平面上有一個平行四邊形 ABCD﹐其中點 A 的坐標為(2,1)﹐點 B 的坐標為(8,2)﹐點 C 在第一象限且知 其 x 坐標為 12﹒若平行四邊形 ABCD 的面積等於 38 平方單位﹐則點 D 的坐標為____________﹒ 解答 (6,8) 解析 AB(6,1)﹐AC(10,k1)﹐ 平行四邊形面積 | 6 1 | 38 | 6 16 | 38 9 10 k 1 k k         或 11 3 k  （不合）﹐ AC中點即為BD中點﹐故(14 10, ) ( 8, 2) ( , ) (6,8) 2 2 2 2 x y x y      ﹒ A B O x y O A(2,1) B(8,2) C(12,k) D(x, y)

(10)

1091 高三數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P10/18 7.設 u ﹐ v 為兩個長度皆為 1 的向量﹒若 u  v 與 u 的夾角為 75﹐ 則 u 與 v 的內積為____________﹒（化為最簡根式） 解答 3 2  解析依題意﹐利用向量加法的幾何表示﹐得下圖﹒ 推得 u 與 v 的夾角為 150﹒ 故 1 1 cos150 3 2 u  v       ﹒ 8.小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星﹕由天璇起始向天樞的方向延伸便可找到北極星﹐其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的 5 倍﹒」今小明將所見的星空想像成一個坐標平面﹐其中天璇的坐標為(9,8)及天樞的坐標為(7,11)﹒依上述資訊可以推得北極星的坐標為____________﹒ 解答 (  3,26) 解析令北極星坐標為(x,y) 5  樞北璇樞  (x  7,y  11)  5(7  9,11  8)  x  7  10 得 x  3  y  11  15 得 y  26 ∴ 北極星坐標為(  3,26) 9.坐標平面中 A(a,3)﹐B(16,b)﹐C(19,12)三點共線﹒已知 C 不在 A﹑B 之間﹐且AC : BC3 : 1﹐則 a  b  _______﹒ 解答 19 解析如圖﹐因為AB : BC2 : 1﹐所以由分點公式﹐得(16, ) ( 38 3 24, ) 3 3 a b    ﹒ 解得 a  10﹐b  9﹐即 a  b  19﹒ 1 2 A B C 75o 75o 150o

u

v

u

+

v

x y O 天璇(9,8) 天樞(7,11) 北(x,y)

(11)

CH11

（）1.給定相異兩點 A﹑B﹐試問空間中能使△PAB 成一正三角形的所有點 P 所成集合為下列 哪一選項﹖ (1)兩個點 (2)一線段 (3)一直線 (4)一圓 (5)一平面﹒ 解答 4 解析如圖﹐設ABa﹐M 為AB的中點﹒ 因為△PAB 為正三角形﹐所以PMAB﹐且 3 2 PM a（定值）﹒ 因此﹐以AB為軸﹑M 點為旋轉中心繞一圈﹐ 所得的圓形就是所有 P 點構成的圖形﹒故選(4)﹒ （）2.令 A(5,0,12)﹐B(  5,0,12)為坐標空間中之兩點﹐且令 P 為 xy 平面上滿足PAPB13的點﹒ 請問下列哪一個選項中的點可能為 P﹖ (1)(5,0,0) (2)(5,5,0) (3)(0,12,0) (4)(0,0,0) (5)(0,0,24)﹒ 解答 4 解析設 P(x,y,0)﹒因為PAPB13﹐所以 (x5)2y2144 (x5)2y214413﹐ 即 2 2 2 2 ( 5) 25 ( 5) 25 x y x y           ﹒ 兩式相減﹐得(x  5)2_(x₅₎2_x2_10x₂₅_x2_10x₂₅_x_0﹐ 代入原式得 y  0﹐即 P(0,0,0)﹒ 故選(4)﹒ （）3.坐標空間中﹐在 xy 平面上置有三個半徑為 1 的球兩兩相切﹐設其球心分別為 A﹐B﹐C﹒今將第 四個半徑為 1 的球置於這三個球的上方﹐且與這三個球都相切並保持穩定﹒設第四個球的球心 為 P﹐試問下列哪些選項是正確的﹖ (1)點 A﹐B﹐C 所在的平面和 xy 平面平行 (2)三角形 ABC 是一個正三角形 (3)三角形 PAB 有一邊長為 2 (4)點 P 到直線 AB 的距離為 3 (5)點 P 到 xy 平面的距離為1 3﹒ 解答 124 解析四球心連成一邊長為 2 之正四面體﹐如圖所示﹐ (1)○ (2)○ (3)╳﹕△PAB 為正三角形 (4)○ (5)╳﹕正四面體之高為 6 2 2 6 3   3 ﹐∴P 到 xy 平面之距離為 2 6 1 3  故選(1)(2)(4)﹒ A M B P 2 ₂ 2 1 1 A C B P 3

(12)

（）4.如圖﹐正立方體 ABCD  EFGH 的稜長等於 2（即AB2）﹐K 為正方形 ABCD 的中心﹐M﹑N

分別為線段 BF ﹑ EF 的中點﹒試問下列哪些選項是正確的﹖ (1) 1 1 1 2 2 2 KM  AB AD AE (2)（內積）KM AB 1 (3)KM 3 (4)△KMN 為一直角三角形 (5)△KMN 之面積為 10 2 ﹒ 解答 14 解析坐標化 A(0,0,2)﹐B(2,0,2)﹐D(0,2,2)﹐E(0,0,0)﹐F(2,0,0)﹐ M(2,0,1)﹐N(1,0,0)﹐K(1,1,2)﹐ (1)○﹕KM (1, 1, 1)  ﹐AB(2, 0, 0)﹐AD(0, 2, 0)﹐ AE(0, 0, 2) ﹐ 1 1 1 2 2 2 KM  AB AD AE (2)╳﹕KM AB 2 (3)╳﹕|KM| 1 1 1   3 (4)○﹕KM MN (1, 1, 1) ( 1, 0, 1)     0 (5)╳﹕KMN  90﹐|MN| 2﹐|KM| 3﹐面積 1 2 3 6 2 2     故選(1)(4)﹒ 5.附圖為一正立方體﹐若 M 在線段 AB 上﹐BM2AM﹐ N 為線段 BC 之中點﹐則 cosMON  ____________ 10﹒ （分數要化成最簡分數） 解答 4 15 解析坐標化﹐令 O(0,0,0)﹐A(0,0,6)﹐B(0,6,6)﹐C(6,6,6)﹐M(0,2,6)﹐N(3,6,6)﹐ 則OM (0, 2, 6)﹐ON (3, 6, 6)﹐ 0 12 36 48 8 8 10 4 cos 10 30 15 40 81 2 10 9 3 10 | | | | OM ON MON OM ON              ﹒ 6.令 A(  1,6,0)﹐B(3,  1,  2)﹐C(4,4,5)為坐標空間中三點﹒若 D 為空間中的一點且滿足 3DA4DB2DC 0 ﹐則點 D 的坐標為____________﹒ 解答 (  7,30,18) 解析設 D(x,y,z)﹐ 則DA  ( 1 x, 6 y, z)﹐DB     (3 x, 1 y, 2 z)﹐DC(4x, 4y,5z)﹐ 3DA4DB2DC  3( 1 x,6 y, z)4(3     x, 1 y, 2 z) 2(4x, 4y,5z) 0  3 3 12 4 8 2 0 7 18 3 4 4 8 2 0 30 3 8 4 10 2 0 18 x x x x y y y y z z z z                               ∴D(  7,30,18)﹒ A D B M C E H G F N K A M B N C O A (0,0,6) M (0,2,6)B (0,6,6) N (3,6,6) C O

(13)

1091 高三數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P13/18 7.坐標空間中﹐在六個平面 14 13 x ﹐ 1 13 x ﹐y  1﹐y  1﹐z  1 及 z  4 所圍成的長方體上隨機選取兩個相異頂點﹒若每個頂點被選取的機率相同﹐則選到兩個頂點的距離大於 3 之機率為____________﹒（化成最簡分數）解答 3 7 解析將平面組成的長方體坐標列出為 1 ( , 1, 4) 13 A   ﹑ (14, 1, 4) 13 B   ﹑ (14,1, 4) 13 C  ﹑ (1 ,1, 4) 13 D  ﹑ (1 , 1, 1) 13 E   ﹑ (14, 1, 1) 13 F   ﹑ 14 ( ,1, 1) 13 G  ﹑ (1 ,1, 1) 13 H  其中BF3﹐AB1﹐BC2 兩頂點距離大於 3 者有 AF﹑GD﹑EB﹑HC﹑FC﹑GB﹑ED﹑HA﹑ FD﹑HB﹑EC﹑AG﹐共 12 種故 ₈ 2 12 3 7 P C   8.附圖為一正立方體﹐被一平面截出一個四邊形 ABCD﹐其中 B﹐D 分別為稜的中點﹐ 且EA：AF1 2： ﹒則 cosDAB  ____________﹒（化成最簡分數）解答 1 37 解析將圖形坐標化﹐ (1,0, )2 3 A ﹐ (1,1, )1 2 B ﹐ (0, 0, )1 2 D ﹐ 則 (0,1, 1) 6 AB  ﹐ ( 1,0, 1) 6 AD   ﹐ 故 1 1 0 0 ₁ 36 36 cos( ) 37 37 1 1 | | | | ₁ ₁ 36 36 36 AB AD DAB AB AD          _ _ _ ﹒ 9.有一底面為正方形的四角錐﹐其展開圖如下圖所示﹐ 其中兩側面的三角形邊長為 3﹐4﹐5﹐則此角錐的體積為（化為最簡根式）解答 16 5 3 解析立體圖﹐如下﹒ 因為高 2 2 3 2 5    PM ﹐ 所以體積為1 ₄2 ₅ 16 5 3   3 ﹒ B C A D F G H E    A E F B D C A E F B D C x _y z (1,0,0) (0,1,0) 3 3 5 5 4 4 2 M 2 3 P

(14)

CH12

（）1.坐標空間中一質點自點 P(1,1,1)沿著方向 a (1, 2, 2)等速直線前進﹐經過 5 秒後剛好到達 平面 x  y  3z  28 上﹐立即轉向沿著方向 b  ( 2, 2, 1) 依同樣的速率等速直線前進﹒ 請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面 x  2 上﹖ (1)1 秒 (2)2 秒 (3)3 秒 (4)4 秒 (5)永遠不會到達﹒ 解答 2 解析設質點到達兩平面的點分別為 Q 與 R﹐如下圖所示﹒ 將參數式 1 : 1 2 1 2 x t PQ y t z t            （t ）代入 x  y  3z  28﹐ 得(1  t)  (1  2t)  3(1  2t)  28  3  5t  28  t  5﹐即 Q(6,11,11)﹒ 再將參數式 6 2 : 11 2 11 x s QR y s z s            （s ）代入 x  2﹐ 得 6  2s  2  s  2﹐即 R(2,15,9)﹒ 因為 6 2 15 5 QR PQ  ﹐所以經過 2 5 2 5   秒到達 R 點﹐故選(2)﹒ （）2.坐標空間中﹐設直線 : 1 2 2 3 1 x y z L       ﹐平面 E1：2x  3y  z  0﹐平面 E2：x  y  z  0﹒ 試選出正確的選項﹒ (1)點(3,0,  1)在直線 L 上 (2)點(1,2,3)在平面 E1上 (3)直線 L 與平面 E1垂直 (4)直線 L 在平面 E2上 (5)平面 E1與 E2交於一直線﹒ 解答 35 解析 (1)將點(3,0,  1)代入 L﹐得3 1 0 2 1 2 3 1  _  _   （不合）﹐所以不在 L 上﹒ (2)將點(1,2,3)代入 E1﹐得 2  1  3  2  3  0（不合）﹐所以不在 E1上﹒ (3)因為直線 L 的方向向量(2,  3,  1)與平面 E1的法向量(2,  3,  1)平行﹐ 所以直線 L 與平面 E1垂直﹒ (4)將直線 L 的參數式 x  1  2t﹐y  2  3t﹐z  t﹐ 代入平面 E2﹐得(1  2t)  (2  3t)  (  t)  0  3  0（不合）﹒ 因為此方程式的 t 無解﹐所以直線 L 與平面 E2平行﹒ (5)因為平面 E1的法向量(2,  3,  1)與平面 E2法向量(1,1,  1)不平行﹐ 所以兩平面不平行﹒因此﹐兩平面交於一直線﹒ 故選(3)(5)﹒ Q P R x- y + 3z = 28

(15)

1091 高三數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P15/18 （）3.坐標空間中有一平面 P 過(0,0,0)﹐(1,2,3)及(  1,2,3)三點﹒試選出正確的選項﹒ (1)向量(0,3,2)與平面 P 垂直 (2)平面 P 與 xy 平面垂直 (3)點(0,4,6)在平面 P 上 (4)平面 P 包含 x 軸 (5)點(1,1,1)到平面 P 的距離是 1﹒ 解答 34 解析因為平面 P 過 O(0,0,0)﹐A(1,2,3)﹐B(  1,2,3)三點﹐所以外積 2 3 3 1 1 2 (1,2,3) ( 1,2,3) ( , , ) (0, 6,4) 2 3 3 1 1 2 OA OB         為平面 P 的一個法向量﹒又因為平面 P 過點 O(0,0,0)﹐ 所以 P 的方程式為 6y  4z  0  3y  2z  0﹒ (1)因為(0,3,2)與平面 P 的法向量(0,3,  2)不平行﹐所以(0,3,2)與平面 P 不垂直﹒ (2)因為 xy 平面﹕z  0 的法向量為(0,0,1)﹐且(0,0,1)  (0,3,  2)  2  0﹐ 即兩法向量不垂直﹐所以兩平面不垂直﹒ (3)因為 3  4  2  6  0﹐所以點(0,4,6)在平面 P 上﹒ (4)因為 x 軸上兩點 O(0,0,0)與(1,0,0)都在平面 P 上﹐所以平面 P 包含 x 軸﹒ (5)利用點到平面的距離公式﹐得 2 2 2 | 3 1 2 1| 1 13 0 3 ( 2) d         ﹒ 故選(3)(4)﹒ （）4.下列各直線中﹐請選出和 z 軸互為歪斜線的選項﹒ (1) 1 0 : 0 x L z      (2) 2 0 : 1 y L x z       (3) 3 0 : 1 z L x y       (4) 4 1 : 1 x L y      (5) 5 1 : 1 y L z      ﹒ 解答 35 解析將 z 軸及 5 個選項的方程式均改寫為參數式﹕ z 軸﹕ 0 0 x y z t         （t ）﹐L1﹕ ₁ 0 0 x y t z         （t₁ ）﹐L2﹕ 2 2 0 1 x t y z t          （t₂ ）﹐ L3﹕ 3 3 1 0 x t y t z          （t₃ ）﹐L4﹕ 4 1 1 x y z t         （t₄ ）﹐L5﹕ 5 1 1 x t y z         （t₅ ）﹒ (1)z 軸與 L1聯立﹐解得 x  0﹐y  0﹐z  0﹐即交一點(0,0,0)﹒ (2)z 軸與L₂聯立﹐解得 x  0﹐y  0﹐z  1﹐即交一點(0,0,1)﹒ (3)z 軸與 L3聯立﹐無解﹐即不相交﹒ 又方向向量 vz (0,0,1)與v3  (1, 1,0)不平行﹐所以歪斜﹒ (4)因為方向向量 v_z (0,0,1)與v₄ (0,0,1)平行﹐所以不是歪斜﹒ (5)z 軸與 L5聯立﹐無解﹐即不相交﹐ 又方向向量 vz (0,0,1)與v5 (1,0,0)不平行﹐所以歪斜﹒ 故選(3)(5)﹒

(16)

1091 高三數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P16/18 （）5.坐標空間中有三直線 ₁ : 1 1 2 2 1 x y z L     ﹐ ₂ : 2 2 4 4 5 x y z L x y z           ﹐ 3 : 2 4 4 x t L y t z t             ﹐t 為實數﹒ 請選出正確的選項﹒ (1)L1與 L2的方向向量互相垂直 (2)L1與 L3的方向向量互相垂直 (3)有 一個平面同時包含 L1與 L2 (4)有一個平面同時包含 L1與 L3 (5)有一個平面同時包含 L2與 L3 ﹒ 解答 234 解析將 L1﹐L2改寫為參數式﹐得 1 1 2 : 1 2 x s L y s z s            （s ）﹐ 2 2 2 : 3 2 x k L y k z k           （k ）﹒ (1)因為 1 2 (2, 2,1) (2, 2,1)  9 0﹐所以 1 與 2 不垂直﹒ (2)因為 1 3 (2, 2,1) ( 1, 1, 4)   0﹐所以 1  3 ﹒ (3)將 L1上的點(1,  1,0)代入 L2﹐得 1 2 2 1 3 2 0 k k k           （不合）又 1// 2 ﹐因此 L1//L2﹐於是此選項正確﹒ (4)解 1 2 1 2 2 4 4 s t s t s t                2 1 2 1 4 4 s t s t s t               t  1﹐s  0﹒ 得知 L1與 L3交一點﹐於是此選項正確﹒ (5)解 2 2 3 2 2 4 4 k t k t k t                2 2 2 5 4 4 k t k t k t      _{  }       t﹐k 無解﹒ 得知 L2與 L3歪斜﹐於是此選項不正確﹒ 故選(2)(3)(4)﹒ 6.平面 x  y  z  0 與三平面 x  2﹐x  y  2﹐x  y  2 分別相交所得的三直線可圍成一個三角形﹒此三角形之周長化成最簡根式﹐可表為a bc d ﹐其中 a﹐b﹐c﹐d 為正整數且 b  d﹐ 則 a  (1)____________﹐b  (2)____________﹐c  (3)____________﹐d  (4)____________﹒ 解答 (1)6;(2)2;(3)2;(4)6 解析如下圖﹐此三角形的三頂點就是平面 x  y  z  0﹐ 與另三平面之任二平面的交點﹐ 解三個聯立方程式﹕ 2 2 0             x x y x y z ﹐ 2 2 0              x y x y x y z ﹐ 2 2 0            x x y x y z ﹒ 得三頂點為 A(2,4,2)﹐B(0,2,2)﹐C(2,0,  2)﹒ 故周長為AB BC CA  2 22 64 26 22 6﹒ 即 a  6﹐b  2﹐c  2﹐d  6﹒ A C B

(17)

1091 高三數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P17/18 7.H﹕x  y  z  2 為坐標空間中一平面﹐L 為平面 H 上的一直線﹒已知點 P(2,1,1)為 L 上距離原點 O 最近的 點﹐則____________為 L 的方向向量﹒ 解答 (2,  1,  3) 解析 ∵P 為 L 上距離原點 O 最近的點﹐∴OPL﹐OP(2,1,1)﹐ 又平面 H 的法向量 n ﹐ n L﹐ n (1, 1,1) ﹐ L 的方向向量 ( 1 1 1 2 2, , 1 ) (2, 1, 3) 1 1 1 1 1 1 d OP n       ﹒ 8.坐標空間中有四點 A(2,0,0)﹐B(3,4,2)﹐C(  2,4,0)與 D(  1,3,1)﹒若點 P 在直線 CD 上變動﹐ 則內積 PA PB 之最小可能值為____________﹒（化為最簡分數）解答 5 4 解析利用直線參數式CD﹕ 0 2 4 , z t x t y t t             ﹐設點 P(  2  t,4  t,t)﹒因為 (4 , 4 , ) (5 , , 2 ) PA PB       t t t t t t  (4  t)(5  t)  (  4  t)t  (  t)(2  t)  3t2_15t₂₀ 5 2 5 3( ) 2 4 t    ﹒ 所以當 5 2 t 時﹐PA PB 有最小值5 4﹒

(18)

CH13

（）1.令 1 0 0 1 I  _  ﹐ 1 1 3 4 A  _  ﹐ 1 B  I A A ﹐試選出代表 BA 的選項﹒ (1) 1 0 0 1       (2) 6 0 0 6       (3) 4 1 3 1    _    (4) 1 1 3 4       (5) 6 6 18 24      ﹒ 解答 5 解析 2 1 1 1 1 4 5 3 4 3 4 15 19 A _  _{ }  _{ } _      ﹐



1



2 BA I A A A A A I 1 1 4 5 1 0 6 6 3 4 15 19 0 1 18 24         _ _{ } _{ } _{ } _        ﹐ 故選(5)﹒ （）2.設 n 為正整數﹐符號 1 1 0 2 n       代表矩陣 1 1 0 2      自乘 n 次﹒令 1 1 0 2 n n n n n a b c d             ﹐

請選出正確的選項﹒ (1)a2 1 (2)a1﹐a2﹐a3為等比數列 (3)d1﹐d2﹐d3為等比數列

(4)b1﹐b2﹐b3為等差數列 (5)c1﹐c2﹐c3為等差數列﹒ 解答 1235 解析計算如下： 2 1 1 1 1 1 1 1 3 0 2 0 2 0 2 0 4                          ﹐ 3 1 1 1 3 1 1 1 7 0 2 0 4 0 2 0 8                          ﹒ (1)a2 1﹒

(2)a1 1﹐a2 1﹐a3 1 為等比數列﹒

(3)d1 2﹐d2 4﹐d3 8 為等比數列﹒ (4)b1 1﹐b2 3﹐b3 7 不為等差數列﹒ (5)c1 0﹐c2 0﹐c3 0 為等差數列﹒ 故選(1)(2)(3)(5)﹒ 3.設 a1﹐a2﹐…﹐a9為等差數列且 k 為實數﹒若方程組 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 1 2 5 2 9 a x a y a z k a x a y a z k a x a y a z k       _ _ _{  }   _ _ _{ }  有解﹐則 k  ______ 解答  5 解析設公差為 d﹒ 由第二式減第一式﹐得 3dx  3dy  6dz  2k  6…… 由第三式減第二式﹐得 3dx  3dy  6dz  2k  14…… 因為方程組有解﹐所以由﹐得知  2k  6  2k  14  4k  20﹐解得 k  5﹒ 4.設 x﹐y 為實數﹐且滿足 3 1 3 6 2 4 1 6 1 x y     _{  }   _ _{ }  _  _{ }     ﹐則 x  3y  ____________﹒ 解答  4 解析由矩陣的乘法﹐得 3 3 6 3 3 2 4 1 6 2 4 5 x y x y x y x y          _ _{  }  _ _{ }   ﹐ 解得 1 2 x ﹐ 3 2 y  ﹒故 3 1 3 ( 3) 4 2 2 x y      ﹒