DEA-R模式之發展、驗證與比較

國 立 交 通 大 學

工業工程與管理學系

博 士 論 文

DEA-R 模式之發展、驗證與比較

The Development, Verification, and Comparison of

DEA-R Model

研 究 生：陳亮志

指導教授：李榮貴 博士

DEA-R 模式之發展、驗證與比較

The Development, Verification, and

Comparison of DEA-R Model

研 究 生：陳亮志 Student：Liang-Chih Chen

指導教授：李榮貴 Advisor：Rong-Kwei Li

國 立 交 通 大 學

工 業 工 程 與 管 理 學 系

博 士 論 文

A Dissertation

Submitted to Department of Industrial Engineering and Management College of Management

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Doctor of Philosophy

in Industrial Engineering and Management

September 2010

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

DEA-R 模式之發展、驗證與比較

學生：陳亮志

指導教授：李榮貴

國立交通大學工業工程與管理學系博士班

摘 要

資料包絡分析法(Data Envelopment Analysis, DEA)是效率評估方法中很重要的 一種，而權重是資料包絡分析法的主要議題之一。近來發展出 DEA-R 這種以比率 為概念的新模式以解決多餘權重限制所造的無法表達特定投入產出關係之問題。可 是關於這種新模式的相關議題並沒有被深入的探討，因此本文首先發展了投入導向 DEA-R，接著以效率前緣的概念證明了 DEA-R 模式的正確性。除此之外，本文藉 由 CCR 與 DEA-R 的比較，發現多餘權重限制除了無法表達特定投入產出關係，還 會造成低估效率值甚至更嚴重的假低效問題。最後，本文將權重作轉換以評估多餘 權重限制造成低估的程度，評估的結果顯示，多餘的權重限制是造成效率值低估的 原因之一，且高效 DMU 低估的幅度較大。因為投入導向 DEA-R 是一個受驗證模式 且不包含多餘權重限制，所以可以安穩地採用投入導向 DEA-R 代替投入導向 CCR 以避免多餘權重限制造成的問題。 關鍵字：資料包絡分析法、比率模式、權重限制、超級效率、醫學中心

The Development, Verification, and Comparison of DEA-R Model

Student：Liang-Chih Chen

Advisor：Rong-Kwei Li

Department of Industrial Engineering and Management

National Chiao Tung University

Abstract

DEA is one of the most representative methods of efficiency evaluation and weight is a popular issue in DEA field. A new DEA model, DEA-R, had been developed for avoiding needless weight restriction, which causes the expression problem of specific input-output relationship. But some issue about DEA-R need to be discussed. So this article developed the input-oriented DEA-R and proved the validity of DEA-R through new defined efficient frontier. In addition, this article found that needless weight restriction causes not only the expression problem but also underestimation of efficiency and pseudo-inefficiency. Finally, this article converts the optimal weight to analyze the influences of needless weight restrictions. The result showed that the underestimations of efficient DMUs are bigger than in-efficient DMUs and the needless weight restriction really causes underestimation. Because input-oriented DEA-R is a valid model and excludes needless weight restriction, input-oriented DEA-R is a good substitued model for input-oriented CCR.

Key Word：Data Envelopment Analysis, Ratio-Based Model, Weight Restriction, Super Efficiency, Medical Center

致 謝

在生命中，有很多人的陪伴，但是有兩個人從不缺席、默默支持。牛頓說：「如 果說我看的比別人更遠，那是因為我站在巨人的肩膀上。」而自己覺得，可以順利 地完成學業之路，那是因為一路走來都有你們的陪伴與支持。在論文完成的這一刻 真的要深深地謝謝你們-我的爸媽。永遠地愛你們老爸老媽。 除了父母以外，還要感謝許多教導我的人。首先是李老師，從決定擔任指導教 授開始，第一次投稿回來不理想時字字句句的斟酌用心，到第二次投稿回來又不如 意時找尋更多的協助，老師不僅給予很大的空間發揮，同時又給予很多的協助。在 未來的日子裡，若有幸為人師表，當要把老師的精神傳承下去，才不負老師的恩情。 還要感謝蔡老師在投稿上給予很大的協助，廖老師的鼓勵與支持，唐老師、張老師 的指導，還有引學生入門的梁老師，有他們學生才能順利的完成博士學業。 最後，還要謝謝身邊很多人的幫忙，小舅媽、老妹、ML、虹慧、俊霖、404 實 驗室的同學們。感謝你們。也願努力希望人間早日如天堂般平安喜樂。

目 錄

摘 要 ... i Abstract ... ii 致 謝 ... ii 目 錄 ... iii 表 目 錄 ... v 圖 目 錄 ... vi 第一章 緒論 ... 1 1.1 研究背景 ... 1 1.2 研究動機與目的 ... 1 1.3 研究架構 ... 3 第二章 文獻回顧 ... 4 2.1 DEA 的發展史 ... 4 2.2 與比率有關的資料包絡分析法文獻 ... 7 2.3 與權重有關的資料包絡分析法文獻 ... 8 2.4 資料包絡分析法在醫療產業的應用 ... 10 2.5 資料包絡分析法模式簡介 ... 10 2.5.1 CCR 模式 ... 11 2.5.2 DEA-R 模式 ... 14 2.5.3 Super CCR 簡介 ... 14 第三章 研究方法 ... 16 3.1 DEA-R 模式 ... 16 3.2 效率前緣 ... 17 3.2.1 比率為軸的投入導向效率前緣 ... 18 3.2.2 以比率為軸的產出導向效率前緣 ... 21 3.3 超高效模式 ... 23 3.4 權重轉換 ... 24 第四章 研究成果 ... 27 4.1 DEA-R 模式正確性之驗證 ... 27 4.2 CCR 與 DEA-R 模式之比較 ... 29 4.2.1 實例之比較 ... 29 4.2.2 數學模式之比較 ... 32

4.3 多餘權重限制的影響程度 ... 36 4.3.1 效率值沒有差距的 DMU 之最佳權重的比較 ... 38 4.3.2 效率值有差距的 DMU 之最佳權重的比較 ... 39 第五章 結論與建議 ... 44 5.1 結論 ... 44 5.2 後續研究 ... 47 參考文獻 ... 48 Reference ... 49

表 目 錄

表 2.1 與比率有關的 DEA ... 7 表 3.1 多項投入單一產出之範例資料 ... 18 表 3.2 單一投入多項產出之範例資料 ... 18 表 4.1 2005 年台灣醫學中心之投入與產出表 ... 30 表 4.2 投入與產出之相關係數表 ... 30 表 4.3 各模式效率值、超級效率值、及模式間效率值的差距 ... 31

表 4.4 Super CCR 與 Super DEA-R 之最佳權重 ... 37

表 4.5 對應權重、對應效率值與各因素之影響 ... 39

圖 目 錄

圖 3.1 多項投入單一產出之投入導向比率效率前緣 ... 20

圖 3.2 單一投入多項產出之投入導向比率效率前緣 ... 20

圖 3.3 多項投入單一產出之產出導向比率效率前緣 ... 22

第一章 緒論

1.1 研究背景

對需要提升效率以求生存的組織而言，如何提升效率是一個很值得探討議題。 在提升效率之前，要先尋求效率評估的方法，而資料包絡分析法(Data Envelopment Analysis, DEA)為效率評估中很具代表性的方法。 資 料 包 絡 分 析 法 建 構 在 兩 個 概 念 之 上 ， Pareto(1927) 所 提 出 的 非 凌 駕 解 (non-dominance solution)概念是建構資料包絡分析法第一個基礎；Farrell(1957)提出 以生產邊界衡量效率之概念是建構資料包絡分析法的另一個基礎。在 1978 年，學者 Charnes、Cooper 及 Rhodes 以上述兩個概念為基礎，發展出一組最佳化數學方程組， 用來計算各決策單位(Decision Making Unit, DMU)的效率值。其中效率值等於 1 的決 策單位會被判定成高效的決策單位，小於 1 者則被判定成低效的決策單位。這種以 數學方程式判斷高效決策單位的方式被統稱為資料包絡分析法，而第一個資料包絡 分析法的數學模式則是以作者的縮寫被命名為 CCR。 資料包絡分析法令每一個決策單位能選取對自身最有利的權重，並依此權重評 估這個決策單位在一群決策單位中的相對效率。除此之外，資料包絡分析法還能將 專家或決策者的主觀意見也融入評估之中，是兼具主觀與客觀的效率評估方法。因 此本文想要針對資料包絡分析法這種被廣泛應用的績效評估方法作進一步的研究。

1.2 研究動機與目的

由於資料包絡分析法的特點在於權重的選取，因此有許多的文獻針對權重做探 討。有一類的文獻主要探討如何將自身偏好或專家意見融入權重的限制之中，如

Dyson 與 Thanassoulis(1988)、Thompson 等 (1990)、Wong 與 Beasley(1990)。另一類 的文獻，則探討如何修正模式將權重限定在一個合理的範圍之內，如 Thompson 等 (1986)提出保證區域(assurance region, AR)的概念；Charnes 等 (1989)提出錐比率 (cone ratio)的概念；Roll 等 (1991)提出的共同權重(common weight)的概念，國內則 有蕭基淵(1989)、黃旭男(1993)、劉初春(1998, 2004)、張東生與曾國強(2000)、張秀 雲與陳天惠(2007)等文獻針對權重做研究。但過去的研究並沒有察覺到很多資料包 絡分析法模式本身就隱藏著不易察覺的權重限制。Despic 等 (2007)指出因為 CCR 這類以

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為基礎的模式隱藏著多餘的權重限制存 在，所以 CCR 無法有效的表達單一投入產出的權重關係，並提出新的模式 DEA-R 來防止這樣的問題。 Despic 等 (2007)的研究中推演出以增加產出做為增進效率方向的產出導向 (Output oriented) DEA-R(DEA-R-O)，但是並沒有如 CCR 模式，也推演出以減少投 入做為增進效率方向的投入導向(Input oriented) DEA-R(DEA-R-I)。因為很多時候組 織僅能減少投入以增進效率的方向，例如在台灣因為醫療給付總額受到制度的限制 無法增加產出換取收入，在此時就需要採用投入導向的模式來取得效率改善策略， 所以本文的第一個目的為發展投入導向的 DEA-R。此外，過去的研究中並沒有闡 明多餘的權重限制的影響程度有多少。更重要的是，並沒有研究證明 DEA-R 模式 的正確性。因此，本文欲針對 DEA-R 模式及多餘的權重限制做進一步的研究。 總結前文，本文主要之研究目的有三：首先，發展投入導向的 DEA-R；再者， 證明 DEA-R 模式的正確性；最後，了解多餘的權重限制的影響程度。

1.3 研究架構

本文共分五個章節以達成上述三個研究目的。第一章敘述研究的背景、動機、 及章節架構。第二章回顧與本文有關各個議題的文獻，有資料包絡分析法發展史、 與權重有關的資料包絡分析法文獻、與比率有關的資料包絡分析法文獻、以及與醫 療機構有關的資料包絡分析法文獻、資料包絡分析法模式簡介等五節。第三章研究 模式敘述探討本文發展的模式與相關概念，分別為 DEA-R 模式、效率前緣(efficient frontier)、超高效 DEA-R 以及權重轉換等四個節。第四章為研究成果共分三節， 4.1 節對應第二項研究目的，運用效率前緣的概念證明 DEA-R 模式的正確性；4.2 節則與第一項研究目的有關，在發展模式後，運用模式之比較說明發展模式的必要 性；4.3 節則與第三項研究目的有關，運用權重轉換法了解多餘權重限制的影響。第 五章為結論與建議。

第二章 文獻回顧

資料包絡分析法的相關文獻，可以簡單區分成理論基礎研究及實例應用研究兩 方面來加以討論，理論基礎研究之文獻，又可以分成基本理論與模式發展、模式之 改良、比較研究、以及其他等方面。因為 Charne 等 (1994)、高強等(2003)、Cook 與 Seiford(2009)等書籍或期刊均對資料包絡分析法的文獻有詳細地介紹與分類，所 以本文僅對與本文較有關、或極具代表性的文獻做回顧。此章的第一節回顧資料包 絡分析法的發展史，主要介紹資料包絡分析法的基本理論、基礎模式、模式改良之 相關文獻，並簡介文獻所提出之概念；第二節回顧與權重有關的資料包絡分析法文 獻；第三節回顧與比率有關的資料包絡分析法文獻，有比率分析(ratio analysis)與資 料包絡分析法兩種效率評估方法的關係、以及運用比率概念的資料包絡分析法研究 等兩類文獻；因為本研究以醫療體系做案例，所以第四節回顧以醫療產業為實例的 資料包絡分析法文獻； 第五節則簡介本文用以比較的資料包絡分析法模式。

2.1 DEA 的發展史

在義大利經濟學家 Pareto (1927) 的文章中提出了非凌駕解(non-dominance solution)概念，這個概念是資料包絡分析法的經濟學基礎。非凌駕解的概念也常被 拿來與柏拉圖最佳境界 (Pareto optimality)做對應。當達到柏拉圖最佳境界時，任何 人都無法在不損及他人利益的情況下來增加的個人利益。若運用在生產上，是指任 何單位達到有效率時：1.除非增加投入資源或減少若干其他產出項的產量，否則一 產出項的產量無法被增加。2.除非減少產量或增加若干其他投入項之投入資源，否 則一投入項的投入資源無法被減少。 Farrell (1957)提出以生產邊界衡量效率之概念是建構資料包絡分析法的另一個

基礎。在非凌駕與線性組合兩個概念的基礎上能以數學求得生產邊界，將生產邊界 與實際生產加以比較即可進行效率的評估。生產邊界的相關概念在第三章會有進一 步的介紹。 Charnes、Cooper 及 Rhodes (1978)以非凌駕解與生產邊界的概念為基礎，發展 以最佳化數學方程組計算各決策單位的相對效率值的方法。這種以數學方程式判斷 效率的方式被統稱為資料包絡分析法，而第一個資料包絡分析法的數學模式則是以 作者的縮寫被命名為 CCR。 Banker、Cooper 及 Copper (1984)提出新的模式 BCC。跟 CCR 不一樣的是，BCC 求算出來的相對效率值是純粹技術效率，而 CCR 求算出來的效率值是包含了純粹技 術效率與規模效率兩種成分的技術效率。也就是 CCR 模式會將規模大的決策單位與 規模小的決策單位轉換成相同規模後做比較，BCC 會將不同規模的決策單位分開比 較。從實務角度，規模大的決策單位與規模小的決策單位應該分開來比較，所以研 究者會採用 BCC 將不同規模的決策單位分開比較以求算出該決策單位的純粹技術 效率。此外，利用純粹技術效率可將規模效率從 CCR 求算的技術效率中分離出來， 如此一來，研究者可以分清楚純粹技術效率或者規模效率所造成的影響。

Charnes 等 (1985) 提出 ADD 模式。因為 ADD 是一個不以

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為基礎的模式，而且其概念簡單，所以 ADD 也被廣泛的採用與討論。 但是，ADD 的效率值會受到單位改變的影響，所以後續還是有學者提出改進方案或 發展各式不以

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為基礎的模式。 Anderson 與 Peterson (1993) 提出超高效的概念。超高效的概念是將目標決策單 位與自己以外的決策單位作比較，以評估高效優勢有多大，所謂的優勢是評估降低 多少幅度之後，目標決策單位會從高效變成低效，若這個幅度很大，代表優勢很明

顯；反之，則代表雖然有優勢，但領先的幅度不大。這樣的概念被廣泛應用到各種 基礎模式上，而本研究也運用這個的概念將 DEA-R 發展成 super DEA-R，以利做更 深入的分析。

Tone(2001)提出以 slack 為基礎的模式 slack-based measure (SBM)。如同 ADD ，

SBM 模式是一個不以

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為基礎的模式。SBM 模式的

優點是不受到單位改變的影響，除此之外 SBM 模式可以避免假高效(weak efficiency) 的問題，也就是避免將低效的決策單位誤判成高效的決策單位，因此 SBM 已被廣 泛地採用與討論。Tone(2002)發展出 super SBM 以對高效 DMU 做排序。

Seiford 與 Zhu(2003)提出多階(context dependent)的概念。多階的概念是先判別 出所有在效率前緣(efficient frontier)上的決策單位後，再將在效率前緣(efficient frontier)上的決策單位都剃除，並以剩下的決策單位再判斷出第二階(level)的效率前 緣(efficient frontier)，以此類推直到沒有剩下的決策單位為止。而在高效決策單位(也 就是第一階效率前緣上的決策單位)就可以採用第二階或其他階的效率前緣來評估 其效率值。為補足以 CCR 為基礎的多階模式的不足，Morita 等 (2005)，發展了以 SBM 為基礎的多階模式，並以此評估 14 家日本的電力公司。

Despic 等 (2007) 提出以 ratio 為基礎的模式 ratio-based comparative efficiency model (DEA-R) 。DEA-R 模式也是一個不以

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為基 礎的模式。DEA-R 模式的優點是沒有多餘的權重限制，所以 DEA-R 可以正確的表 達單一投入產出之間的關係。舉個例子進一解釋單一投入產出間的關係，醫院中病 床增加可以轉換成住院與手術的增加，而醫師對住院、手術與門診都有影響，所以 有需要表達病床不能轉換成門診這樣單一投入產出的關係。

2.2 與比率有關的資料包絡分析法文獻

因為 DEA-R 是以比率(ratio)為基礎的模式，而本文發展了投入導向的 DEA-R， 並運用兩個導向的 DEA-R 模式分析多餘的權重限制的影響，所以本節回顧與比率 有關的資料包絡分析法文獻。比率分析以及資料包絡分析法這兩個方法是是在績效 評估中很重要的方法，很多學者針對這兩種方法做研究，本節的文獻有一類就是回 顧比率分析與資料包絡分析法兩種效率評估方法關係的文獻。本節的另一類文獻則 是回顧運用比率的概念來分析或建構資料包絡分析法模式的文獻，文獻整理歸納如 表 2.1。 表 2.1 與比率有關的資料包絡分析法 作者 研究範圍 主要貢獻 Thanassoulis 等 (1996) 用英國 DHA 的產前產後照護資料來 比較 DEA 跟 Ratio Analysis 的績效。

分 析 比 率 分 析 與 DEA 之關係

Chen & Ali(2002) 在 DEA 計算之前就用比率分析辨別

效率前緣的部分成員。 分 析 比 率 分 析 與 DEA 之關係 Wu 等 (2005) 提出了以 Ratio 為基礎的數學模型， 並研究新模式與 CCR 間的關係。 發展 Ratio 為基礎 的數學模型 Chen 與 McGinnis （2007） 用 DEA 的架構來建立 DEA 與對應 Ratio Analysis 的關係。 分 析 比 率 分 析 與 DEA 之關係

Gonzalez-Bravo(2007) 提出藉由先行 Ratio Analysis 的過程

可增加 DEA 意涵的了解。

分 析 比 率 分 析 與 DEA 之關係

Despic 等(2007) 提出了結合 Ratio 以及 DEA 的數學模

型，並研究新模式與 CCR 間的關係。

發展 Ratio 為基礎 的數學模型

2.3 與權重有關的資料包絡分析法文獻

雖然資料包絡分析法的特色是由決策單位選取各自最有利的權重，但是有時候 需要將權重做合適的限制以便合乎實際的狀態或需求，因此有許多的文獻針對權重 做探討以合乎實際要求且不會失去資料包絡分析法原有之特色。在這小節將回顧這 些與權重有關的資料包絡分析法文獻。 最早在 Charnes 等(1979)的文章中就曾提及將權重限制在一個範圍內的概念，例 如將投入權重限制在L_r ≤u_r ≤U_r或產出權重限制在L_i ≤v_i ≤U_i。而 Roll 等(1991) 的文章中將絕對範圍這種權重限制概念的幾何意義說明清楚。

Thompson 等(1986)提出保證區域(assurance region, AR)的概念，並用以評估德州 核子物理設施場地。相對於絕對範圍這種直接將單一權重限制在一個範圍內的權重 限 制 ， 保 證 區 域 是 將 權 重 與 權 重 之 間 的 關 係 做 相 對 關 係 的 限 制 。 舉 例 來 說 2 1 2 1 2 1 L _rr r r r r U u u ≤ ≤ 、 2 1 2 1 2 1 L _ii i i i i U v v ≤ ≤ 或 _ir i r ir U v u ≤ ≤ L 就是保證區域這類的權重限制。 除了建立權重的限制之外，有一類的文獻主要探討如何將自身偏好或專家意見 融入權重的限制之中，如 Dyson 與 Thanassoulis(1988)將高階管理對投入產出相對重 要性的看法轉換成權重的限制並納入評估當中、Thompson 等 (1990)將專家的意見 轉換成保證區域這種權重限制上。

Charnes 等 (1989)提出錐比率(cone ratio)的概念，而 Charnes 等 (1990)將錐比率 的概念應用於實際的問題上；這類的權重限制稱之為錐比率，是因為這類的權重限 制 會 將 權 重 限 制 在 一 封 閉 的 凸 錐 邊 體 當 中 。 錐 比 率 這 類 權 重 限 制 又 可 分 做 0 2 2 1 1u +c u + csus ≥ c 這類交集型式(intersection form)的權重限制、以及u= ATω這 類加總型式(sum form)的權重限制這兩種。

Wong 與 Beasley(1990)提出新的權重限制概念，不同於過去只限制權重，此概 念將權重與投入(或產出)相乘後再加以限制。例如 _{s r} r rj r rj r r U y u y u ≤ ≤

∑

=1 L 就屬於這種權 重限制。

Roll 等 (1991)提出的共同權重(common weight)的模式。不同於過去資料包絡分 析法模式讓每個決策單位選取各自之最佳權重，共同權重讓所有決策單位共用一組 權重，而這組權重的選取是根據所有決策單位效率值的總合最大來求算的。Roll 與 Golany(1993)將共同權重做進一步發展。 Allen 等(1997)是一篇回顧性的文章。文章首先指出權重限制的目的與動機是如 何將資料包絡分析法合理的應用在真實世界的組織上；接下來將過去權重限制的文 獻分做直接限制在權重上、將投入及產出數據倂入權重後做調整、限制虛擬投入產 出等三類文章做回顧，並介紹相關文獻中所提出之概念；從權重限制對效率值、對 目標、及對高效決策單位的影響等三個方向回顧如何解釋評估結果；論文的最後做 討論並對未來研究提出建議。 Tracy 與 Chen (2005) 指出現有模式在處理權重限制時會產生低估，甚至無解的 問題，並發展新的 Parametric-DEA 模式以解決部分的問題。 Podinovski (2007)發現舊有的二階段求解程序在處理某些權重限制時需要改 進，並提出新的三階段求解程序。 Despic 等 (2007) 提出 CCR 這類以

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為基礎的模 式包含多餘的權重限制。這類的限制會導致 CCR 無法有效的表達某些權重的關係， 並提出產出導向的 DEA-R 模式來防止這樣的問題。

DEA/AR 模式以求算模糊效率值，此外還推演對偶模式(Dual model)以取得更多的資 訊，最後以台灣大學圖書館做實例之評估。 國內則有蕭基淵(1989)、黃旭男(1993)、劉春初 (1998, 2004)、張東生與曾國強 (2000)、張秀雲與陳天惠(2007)等文獻針對權重做研究。

2.4 資料包絡分析法在醫療產業的應用

資料包絡分析法早期主要被應用在非營利（non-profit）組織的效率衡量上，由 於它的應用效益相當顯著，逐漸地被推廣應用到營利組織的效率衡量方面。醫院同 時具有商業與社會兩種角色，雖然擁有充分的財務資源為醫院生存之必要條件，但 就社區公益的角度而言，常又需投資高社會報酬但低財務報酬、甚至報酬為負的投 資計畫 (郭振雄與何怡澄，2010)。而資料包絡分析法能夠較靈活且廣泛地考量各種 適當的經營投入與產出指標，因此很適合用來研究非營利性質的醫院(Chang, 1998) 。 在 國 外 著 名 SCI 期 刊 上 已 有 Ersoy et al. (1997), Chang (1998), Athanassopoulos & Gounaris (2001), Giokas (2001), Chu et al. (2002), Chang et al. (2004), Ballestero & Maldonado (2005), Chen et al. (2005), Renner et al. (2005), Katharaki (2008), Kirigia et al. (2008), Nayar & Ozcan(2008), Valdmanis (2008)等文獻 採用資料包絡分析法來評估醫療體系。在國內，石淦生(1996)、黃月桂等(1996)、 張睿詒與侯穎蕙(2001)、孫遜(2003)、王媛慧與李文福(2004)、洪維河等(2005)、游 濬遠等(2007)、郭振雄與何怡澄(2010)等文獻也都採用資料包絡分析法評估台灣各級 醫學機構的效率，因此，本文也選用醫療體系之案例來說明 DEA-R 模式特色。

2.5 資料包絡分析法模式簡介

此節敘述本文所需之基礎模式，分別有 CCR 模式、DEA-R-O 模式、Super CCR

模式等小節。 2.5.1 CCR 模式 因為 Charnes、Cooper 及 Rhodes 在 1978 年提出的 CCR 模式不僅是資料包絡分 析法方法的第一個模式，也是應用最具影響的模式之一，所以此在此先介紹 CCR 模式，在第 4.2 節章將以 CCR 評估醫學中心的效率，並與 DEA-R 模式評估之效率 加以比較進而說明發展 DEA-R 模式之必要性。 以 CCR 模式評估效率時，如果決策單位效率值等於 1 代表這個決策單位為高效 的決策單位不需要改進，如果效率值小於 1 則代表這個決策單位是低效的決策單位 需要改進，依照改進方向的不同，可分為以增加產出為改進方向的產出導向、與以 減少投入做為改進方向的投入導向兩類。下述模式中，θo代表受評估決策單位的效 率，x_ij代表第 j 個 DMU 的第 i 個投入，y_rj代表第 j 個 DMU 的第 r 個產出，v 代_i 表第 i 個投入變數的權重，u_r代表第 r 個產出變數的權重，ε 為阿基米德數。產出 導向的 CCR 數學式表示如下： min = o θ 1

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∑

= = s r r r o m i i i o Y u X v 1 1 . st

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= = s r r j r m i i j i Y u X v 1 1 1 ≥ j 1= n (2.1) 1 , u v_i ≥ε >0 由於上述的模式(2.1)，目標式為分數型態，除了不易運算之外，還有無窮 多解的問題，因此在使用 CCR 時通常會令分母為 1，使模式(2.1)轉成線性模式，產

min = o θ 1

∑

= m i o i iX v 1 . st v X s u Y j n r r j r m i i j i 0 1 1 1 = ≥ −

∑

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= s r o r rY u 1 , u v_i ≥ε >0 任何線性規劃的原問題都存在對偶型式(Dual form)，對偶型式的許多性質 可協助做不同於原問題的分析，如須對偶問題的詳細介紹可參閱如 Hillier 與 Lieberman (2001)等作業研究相關的書籍。因為決策單位的個數通常比投入與產出的 個數要少，所以採用對偶型式求解會比原問題要來的快，除此之外，在有些情況下 效率值為 1 的高效決策單位還有改進的空間，採用對偶模式可以發現這類假高效的 決策單位，因此分析案例時，研究者會採用對偶型式加快求解的速度並避免假高效 的偏誤。下述模式中，θ_o代表受評估決策單位的效率，λ_j代表第 j 個決策單位的權 重，s 代表第 i 個投入變數的差額變數，_i− s 代表第 r 個產出變數的差額變數。產出_r+ 導向 CCR 模式的對偶型態表示如下： max ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ +

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= + = − s r r m i i o s s 1 1 ε θ . st n X X s i m j i i o i j j 0 1 1 = = + −

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= − λ (2.3) s r s Y Y n j r r o o r j j 0 1 1 = = − −

∑

= + θ λ + − r i j ,s ,s λ ≥0 在介紹完產出導向的 CCR 後，接下來介紹投入導向的 CCR 模式，投入導向 CCR 模式的比率型式表示如下：

max θ_o =

∑

∑

= = m i i o i s r r o r X v Y u 1 1 . st

∑

∑

= = m i i i j s r r r j X v Y u 1 1 1 ≤ j 1= n (2.4) 1 , u v_i ≥ε >0 與由產出導向 CCR 一樣，由於模式(2.4)的目標式為分數型態不易運算、還有 無窮多解的問題，因此令分母為 1，使模式(2.4)轉成線性模式，投入導向 CCR 的 線性模式表示如下： max θ_o =

∑

= s r o r rY u 1 . st u Y m v X j n i i j i s r r j r 0 1 1 1 = ≤ −

∑

∑

= = (2.5) 1 1 =

∑

= m i o i iX v 1 , u v_i ≥ε >0 因為採用對偶型式可以加快求解的速度並避免假高效的偏誤，所以學者常用對 偶型態的 CCR 模式來求解，投入導向的 CCR 對偶型態表示如下： min ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ −

∑

∑

= + = − s r r m i i o s s 1 1 ε θ . st n X X s i m j i i o o i j j 0 1 1 = = + −

∑

= − θ λ (2.6) s r s Y Y n j r r o r j j 0 1 1 = = − −

∑

= + λ + − r i j ,s ,s λ ≥0

2.5.2 DEA-R 模式

Despic 等 (2007) 指出 CCR 不易表達的單一投入產出關係，並以比率(ratio)加

總的概念發展出 DEA-R。與 CCR 相同的是，DEA-R 也有投入與產出兩個導向，

但 Despic 等 (2007)僅提及產出導向的 DEA-R，產出導向的 DEA-R 表示如下，模

式中θo代表受評估決策單位的效率，xij代表第 j 個決策單位的第 i 個投入，yrj代 表第 j 個決策單位的第 r 個產出，W_ir代表第 i 個投入與第 r 個產出變數比率的權重。 min o ' o / 1 θ =g . st

₍

(

)

₎

g j n X Y X Y W _o m i s r r o i o i j r j i r 1 1 1 ' = ≤

∑∑

= = (2.7) 1 1 1 ' =

∑∑

= = m i s r i r W 0 ' _≥ r i W ,g_o ≥0 2.5.3 Super CCR 簡介 Super CCR 是以 CCR 為基礎的超高效模式，super 代表此模式融合了超高效的 概念可以進一步分析效率值超過 1 的決策單位。

Super CCR 也被稱做 CCR-AP，AP 代表超高效概念的提出者 Anderson 與

Peterson 的縮寫。超高效的概念是將目標決策單位與自己以外的決策單位作比較，

以評估高效優勢有多大，優勢是評估降低多少幅度之後，目標決策單位會從高效變

成低效。若這個幅度很大，代表優勢很明顯；反之，則代表雖然有優勢，但領先的

幅度不大。根據這個概念可求算出在哪組權重下該決策單位的優勢最明顯。此外，

效率值最高的那一組最佳權重以利分析，因此本文在此介紹作為評估模式的 super CCR。 因為本文以台灣醫學中心為案例，而醫學中心因總額給付制度的限制使其增加 產出無法增加收入，所以本文僅介紹投入導向的超高效 CCR 模式。在投入導向中， 可以藉由增加投入但該決策單位依然保持高效來表示該決策單位的優勢。若增加很 多投入依然保持高效的決策單位，是領先優勢較大的決策單位；反之若增加些許投 入就無法保持高效的決策單位，是領先優勢較小的決策單位。換句話說，有許多資 源資源可以運用，而不需運用所有資源就可以達到高效之決策單位，是領先優勢較 大的決策單位。在實務上，這些未被運用的資源可以被運用在一些不受限制的產 出，如醫學研究。前述中，所有可運用資源的值等於原來的投入量乘以效率值。投 入導向的 super CCR model 表示如下 max

∑

= × s r o r r y u 1 . st v x u y j n j o s r r rj m i i i j ≠ = × ≥ ×

∑

∑

= = 1 1 1 _(2.8) 1 1 = ×

∑

= m i o i i x v vi, u1≥ε >0 j i x 代表第 j 個決策單位的第 i 個投入，y_rj代表第 j 個決策單位的第 r 個產出， i v 代表第 i 個投入變數的權重，u_r代表第 r 個產出變數的權重，ε 為阿基米德數。

第三章 研究方法

此章本文所發展之基礎模式與相關之概念，分別有 DEA-R 模式、效率前緣、 高超效 DEA-R 模式、以及權重轉換等四節，在第四章將運用 3.2 節內的效率前緣證 明 3.1 節內的 DEA-R 模式之正確性，並以 2.5.3 節內的超高效 CCR 與 3.3 節內的超 高效 DEA-R 之比較來解釋發展 DEA-R 之需求性，最後以 3.4 節內的權重轉化法探 討多餘權重限制之影響。

3.1 DEA-R 模式

Despic 等 (2007) 指出 CCR 不易表達的單一投入產出關係，並以比率(ratio)加 總的概念發展出 DEA-R。與 CCR 相同的是，DEA-R 也有投入與產出兩個導向， 但 Despic 等 (2007)僅提及產出導向的 DEA-R，而在有些情況下只能採用減少投入 的投入導向做為改進的方向，舉例而言台灣健保採用總額給付制度，總額給付制度 下增加產出無法增加收入，此時就需要採用投入導向做為改進的方向。為此本文發 展了投入導向的 DEA-R，除以上所述的原因之外，4.2 節將以評估效率之比較進一 步說明發展 DEA-R 模式的必要性。此外，4.1 節將以效率前緣證明 DEA-R 模式的 正確性。 投入導向的 DEA-R 數學式表示如下，模式中θ_o代表受評估決策單位的效率， j i x 代表第 j 個決策單位的第 i 個投入，y_rj代表第 j 個決策單位的第 r 個產出，W_ir 代表第 i 個投入與第 r 個產出變數比率的權重。

max θo . st

₍

(

)

₎

θ j n Y X Y X W _o m i s r i o r o r j i j i r 1 1 1 = ≥

∑∑

= = (3.1) 1 1 1 =

∑∑

= = m i s r i r W 0 ≥ r i W , 0θo ≥

3.2 效率前緣

雖然 DEA-R 模式已經發展出兩個導向，可是 DEA-R 模式的正確性並沒有被 驗證，所以本節先介紹一種新的效率前緣，並在 4.1 藉由這種效率前緣證明 DEA-R 模式的正確性。本文選用效率前緣證明模式正確性是因為資料包絡分析法這種評估 法是以效率前緣的觀念所發展出來的效率評估方法，因此如何證明 DEA-R 模式的 正確性需要從最根本的效率前緣著手。從過去的研究中可知，DEA-R 模式的效率 值常常不同於 CCR 模式的效率值，因此可以假設 DEA-R 的效率前緣是不同於 CCR 的效率前緣。根據本文的研究不同於 CCR 的評估是建立在以投入為軸或以產出為 軸的效率前緣上，DEA-R 的評估是建立在以比率為軸的效率前緣上。在此先舉例 說明何為以比率為軸的效率前緣，在 4.1 節將採用以比率為軸的效率前緣來證明 DEA-R 所求算的效率值是準確的。如同 DEA-R 有投入與產出兩種不同的導向，也 有投入與產出兩種不同導向效率前緣。在 3.2.1、3.2.2 兩小節的分別解釋投入與產 出兩種不同導向效率前緣的定義，並以表 3.1、表 3,2 兩組數據為例，畫成圖形說 明效率前緣的意涵。

表 3.1 多項投入單一產出之範例資料 決策 單位 投入 產出 1 X X₂ Y₁ A 2.0 4.0 1.0 B 2.5 2.5 1.0 C 3.0 4.0 1.0 D 4.0 2.0 1.0 表 3.2 單一投入多項產出之範例資料 決策 單位 投入 產出 1 X Y₁ Y₂ e 1.0 3.0 5.0 f 1.0 4.2 4.2 g 1.0 4.0 3.0 h 1.0 5.0 3.0 3.2.1 比率為軸的投入導向效率前緣 以比率為軸是指以產出/投入的比率或以投入/產出的比率為座標軸的圖形， 因為有兩種比率為表示區隔，所以令以投入/產出的比率為軸 的圖形為投入導向_{i r} 的圖形，在此時離原點越近的點是效率越好的點，推導出來的效率前緣則稱為投 入導向效率前緣。先表 3.1 的數據為實例，推導出以比率為基礎的投入導向效率 前緣，此時橫軸軸₁₁代表投入多少個X₁可以得到一個Y₁，縱軸軸₂₁代表投入多少 個X₂可以得到一個Y₁，則表 3.1 A、B、C、D 四個決策單位可以分別標示到圖 3.1 中 A、B、C、D 四點。 在定義座標軸並將決策單位標示到圖形中之後，接下來要尋找生產可能集 合。根據定義生產可能集合是將已知點所有之線性組合納入的集合。以表 3.1 中 決策單位 A 與 B 為例解釋何為線性組合，在0≤ p≤1的情況下

(

)

B A p X X p∗ 1 + 1− ∗ 1 的X 加上1α p∗X2A +

(

1−p

)

∗X2B的X 可以得到2α

(

)

B A p p∗Y1 + 1− ∗Y1 的Y ，即從 P 等於 1 到 P 等於 0，用部分的 A 與部分的 B1α 結合可以生產出 AB 線段上的每一個點。。以此類推，對應表 3.1 的生產可能集 合為圖 3.1 中 ABDC 所組成的四邊形。

在找到生產可能集合之後，接著就能找到效率前緣。根據定義效率前緣是所 有從原點所發出的射線與生產可能集合之第一個交點的集合。對應表 3.1 這組數 據的效率前緣為圖 3.1 中 ABD 所組成的曲線。此外，在效率前緣上的決策單位， 如 A、B、D 為高效的決策單位，其效率值為 1；而在效率前緣右上方的決策單位， 如 C 為低效的決策單位，其效率值為效率值為 OC’與 OC 之比值=10/13，其中 C’ 為 OC 線段與效率前緣之交點(30/13, 40/13)。。 在推導完多個投入單一產出例子的效率前緣後，以單一投入多個產出的數據 推導以比率為軸的投入導向效率前緣。令橫軸軸₁₁代表投入多少個X₁可以得到一 個Y₁，縱軸軸₁₂代表投入多少個X₁可以得到一個Y₂，則可以得到圖 3.2 中 E、F、 G、H 四點。 與前述的一樣先標示納入已知點的所有線性組合組成的生產可能集合。例如 表 3.2 中決策單位 E 與 F，在0≤ p≤1的情況下p∗X1_E +

(

1−p

)

∗X1_F的X 可以1β 得到p∗Y1_E +

(

1−p

)

∗Y1_F的Y 以及1β p∗Y2E +

(

1− p

)

∗Y2F的Y 。以此類推，以表 3.22β 所產生的所有生產可能為 EFHG 所組成的四邊形。 EFH 所組成的曲線是從原點所發出的射線與生產可能集合第一個交點之集 合，也就是對應表 3.2 的效率前緣。在效率前緣上的決策單位，如 E、F、H 為高 效決策單位，其效率值為 1。在效率前緣右上方者 G 為低效決策單位。其效率值 為效率值為 OG’與 OG 之比值=20/23。G’是 OG 線段與效率前緣之交點 ) 0/69 2 , 23 / 5 ( 。如圖 3.2 所示。

1 Input 2 Output Input-Orient

E

F

G

H

G'

g'

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.000

0.100

0.200

0.300

0.400

E F G H Frontier Projection G' g' 2 Input 1 Output Input-Orient A B C D C' c' 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 A B C D Frontier Projection C' c' 圖 3.1 多項投入單一產出之投入導向比率效率前緣 圖 3.2 單一投入多項產出之投入導向比率效率前緣

3.2.2 以比率為軸的產出導向效率前緣 產出導向是指以圖形以產出/投入這種比率為 ' r i 軸 ，在此時離原點越遠越好。 同樣的以實例來說明如何推導產出導向的效率前緣。先以多個投入單一產出的表 3.1 為例推導產出導向的效率前緣。令橫軸軸 代表投入一個₁'₁ X₁可以得到多少個 1 Y，縱軸 ' 1 2 軸 代表投入一個X ₂可以得到多少個Y₁，則表 3.1 的四個決策單位可以 標示到圖 3.3 中 a、b、c、d 四點上。abdc 所組成的四邊形是已知點所有線性組合 的集合，即是生產可能集合。 找到生產可能集合之後，就可以推導效率前緣。與投入導向效率前緣是第一 個焦點的集合不同，產出導向效率前緣是從原點所發出的射線與所有生產可能的 最後一個交點，依此定義 abd 所組成的曲線為表 3.1 的產出導向效率前緣。與投 入導向一樣，在效率前緣上的決策單位，如 a、b、d 為高效的決策單位，其效率 值為 1。在效率前緣左下方者 c 為低效的決策單位。其效率值為效率值為 oc’’與 oc 之比值=3/4。c’’是 oc 射線與效率前緣之交點(4/9, 1/3)。如圖 3.3 所示。 再以表 3.2 為例。令橫軸 ' 1 1 軸 代表投入一個X₁可以得到多少個Y₁，縱軸 ' 2 1 軸 代表投入一個X₁可以得到多少個Y₂，則表 3.2 的決策單位可以標示在圖 3.4 中 e、 f、g、h 四點上，而表 3.2 所對應生產可能集合為 efhg 所組成的四邊形，最後， 表 3.2 所對應的產出導向效率前緣為 efh 所組成的曲線。在效率前緣上的決策單 位，如 e、f、h 為高效的決策單位，其效率值為 1。在效率前緣左下方者 g 為低 效的決策單位。其效率值為效率值為 Og’’與 Og 之比值=12/14。g’’是 Og 線段與

2 Input 1 Output Output-Orient a b c d C'' c'' 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 a b c d Frontier Projection C'' c'' 1 Input 2 Output Output-Orient e f g h G'' g'' 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 e f g h Frontier Projection G'' g'' 效率前緣之交點(14/3, 7/2)。如圖 3.4 所示。 圖 3.3 多項投入單一產出之產出導向比率效率前緣 圖 3.4 單一投入多項產出之產出導向比率效率前緣

3.3 超高效模式

因為基礎 CCR 或 DEA-R 並無法區分高效決策單位領先的程度，因此本研究進 一步以高超效的概念發展 super DEA-R，採用超高效除了可以了解高效決策單位領 先的幅度外，以一般模式評估時效率值為 1 的 DMU 其最佳權重並非唯一解，並不 適合於 4.3 節探討多餘權重限制意義與影響，而以高效模式求算出來的最佳權重為 唯一解則可以避免解釋最佳權重時的偏誤。因此，在此發展 super DEA-R，並應用 於 4.2 節輔助說明發展投入導向 DEA-R 的並要性、以及 4.3 節了解多餘的權重限制 的影響程度。 因為已知以 CCR 為基礎的模式會有表達權重關係的問題(Despic 等, 2007)及低 估效率值的問題。所以，本研究採用以比率為基礎的 DEA-R 替換 CCR 作為基礎模 型以避免這樣的問題，並藉由比較以了解去除這個隱藏的權重假設後對效率值的影

響為何。除此之外，為了與 super CCR 做對應的比較，本文將 DEA-R 結合 Anderson

與 Peterson 所提出的超高效概念發展出 super DEA-R 模型以便對做對應的討論。在

改善導向的選擇上，同樣地選擇投入導向的模式。投入導向的 super DEA-R 其數學 式表示如下： max θo . st

(

)

(

X Y

)

θ j n j o Y X W _o m i s r i o r o r j i j i r ≥ = ≠

∑∑

= = 1 1 1 _(3.2) 1 1 1 =

∑∑

= = m i s r i r W Wir ≥0_, θo ≥0

o θ 代表受評估決策單位的效率，x_ij代表第 j 個決策單位的第 i 個投入，y_rj代 表第 j 個決策單位的第 r 個產出，W_ir代表第 i 個投入與第 r 個產出變數比率的權重。

3.4 權重轉換

在此節發展權重轉換的方法，並於 4.3 節將此方法應用在實例上以說明多餘權 重限制的影響程度。過去因為 DEA-R 與 CCR 權重的個數不同，並不適合做比較， 更無法了解多餘權重限制的影響程度。舉例來說，若有兩個投入三個產出，則 DEA-R 權重的個數有六個，而 CCR 權重的個數只有五個並不能做比較。所以本文 依據數學模式的相對關係，將 CCR 的最佳權重轉換成對應 DEA-R 模式的對應權 重，以利兩個模式間權重的比較，並進一步探討多餘權重限制的影響程度。 本研究的轉換是將投入 i 與產出 r 有關的權重w ，令_ir w =_ir v_ix_i×u_ry_r ×t。因為 從基礎模式限制式中可以取得 1 1 = ×

∑

= m i o i i x v 、 1 1 1 =

∑∑

= = m i s r i r W ，因此求得

∑

= = s r r ry u t 1 1 ，即可得到 CCR 權重與 DEA-R 權重的關係為 ir w

(

)

∑

= × = s r r r r r i ix u y u y v 1 。 得到權重之間的關係後，從關係可知每一個 CCR 的權重都能轉換成對應 DEA-R 的對應權重，但並非所有 DEA-R 的權重都有對應 CCR 權重。若仔細觀察 對應權重可以發現，

(

) (

)

(

)

m m s r r r m m s r r r s r r r m vx v x v x y u y u x v y u y u x v y u y u x v w w w : ...: : : : 1 1: 2 2: 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 = × × × =

∑

∑

∑

= = = ，而以 同樣的方法推演可以得到對應權重多了投入上的限制及產出上的限制，如公式

3.3、3.4 所示。 1 1 2 1 1 :w ...:wm w =w12 :w22...:wm2 =…=w1s :w2s...:wms =v1x1:v2x2 : vmxm (3.3) s 1 2 1 1 1 :w ...:w w =w21 :w22...:w2s =…=wm1 :wm2...:wms=u1y1:u2y2 : usys (3.4) 因為這些限制式，所以對應權重只佔一般 DEA-R 權重的一部份。而這限制式 就是 CCR 中多餘權重限制的數學意涵。 此外，把對應權重帶入 DEA-R 的方程式中後可以求得對應的效率值。而對應 效率值是由對應權重求得的，對應權重又是由 CCR 權重轉換而得的，即對應效率 值與 CCR 效率值都是由 CCR 權重推估而得的。因為，對應效率值與 CCR 效率值 的都是由同一組權重求得的，只是對應效率值是帶入 DEA-R 模式求算、而 CCR 效率值是帶入 CCR 模式求算，所以對應效率值與 CCR 效率值的差距不是來自權 重，而是來自模式不同加總方式不同的影響。所謂加總方式的不同也就是 CCR 是 先將投入產出加權並相加後再相除，而 DEA-R 是先將投入、產出相除後再加權並 相加。 但至此多餘權重限制的影響尚未釐清，因此本研究再將 DEA-R(公式 3.2)加上 多餘權重限制(公式 3.3-4)，求算出含多餘權重的 DEA-R 效率值。含多餘權重限制 的 DEA-R 效率值與不含多餘權重限制(即一般)的 DEA-R 效率值間的差距即為多餘 權重限制的影響。而對應效率值與含多餘權重限制的 DEA-R 效率值都有多餘的權

重限制，但前者是以 CCR 選取的權重為基礎，後者是以 DEA-R 選取的權重為基礎， 因此對應效率值與含多餘權重限制的 DEA-R 效率值間的差距則為因模式選取權重 不同的影響。 總結這節，以公式(2.8)可以求算 CCR 效率值；而以公式(3.2)可以求算一般(不 含多餘權重限制)的 DEA-R 效率值；接下來，在此小節前半段以 CCR 與 DEA-R 權 重的關係，可以將 CCR 權重轉換成對應到 DEA-R 的對應權重，並以此對應權重求 算對應效率值，除此之外，觀察對應權重的關係可以發現多餘權重限制的數學式， 如公式(3.3-4)所示；在此小節後半段將 DEA-R 模式(公式 3.2)加上多餘權重限制(公 式 3.3-42)可以求算含多餘權重的 DEA-R 效率值。而 CCR 效率值、對應效率值、 含多餘權重的 DEA-R 效率值、不含多餘權重的 DEA-R 效率值這四個效率值恰好 可以劃分 CCR 與 DEA-R 的差異三種影響：模式不同比率加總、模式不同權重選取、 以及多餘權重限制。其中 CCR 效率值與對應效率之差異受模式不同比率加總的影 響。對應效率值與包含多餘權重的 DEA-R 效率值之差異是受到模式不同權重選取 的影響；而包含多餘權重限制與不含權重限制的 DEA-R 效率值之差就是多餘權重 限制的影響。從數學上來說多了限制的最佳解一定劣於或等於没有限制的最佳解。 所以可推估權重限制會造成效率值的低估。接下來 4.3 小節將以實例輔助說明之， 以更深入解釋多餘權重限制的意義與影響。

第四章 研究成果

第四章為結果與討論共分三節，4.1 節與研究目的二(證明 DEA-R 模式的正確 性)有關，4.1 節的內容為運用 3.2 節介紹之效率前緣證明 3.1 節發展之 DEA 模式的 正確性；4.2 節則與研究目的一(發展投入導向的 DEA-R)有關，4.2 小節運用 2.5、 3.1 以及 3.3 節介紹之 CCR、DEA-R、super CCR、super DEA-R 等四個模式評估醫 學中心的效率，再藉由模式間的比較說明發展 DEA-R、super DEA-R 模式的必要 性；最後，4.3 節則與研究目的 3(了解多餘的權重限制的影響程度)有關，4.3 節運 用 3.4 節權重轉換法來判別多餘權重限制的影響。

4.1 DEA-R 模式正確性之驗證

這一節將證明 DEA-R-I 推導出來的效率前緣與圖形法找到的效率前緣是一致 的，藉由這個證明將說明 DEA-R-I 的是值得被信賴的模式。 證明 1： 先介紹一些符號。Frontier-R-I 是由圖形法所推導出來的效率前緣。E 是由目_j 標 DMU 的 參 考 集 合 ( _{j ,}' _{j …) 所 組 成 的 多 面 體 。}'' I L 是 從 原 點 到 目 標 DMU

[

(

X_{1 o} Y_{1 o}

) (

, , X_{i o} Y_{r o}

)

]

的線段。_{object 是}' j E 與L_I 的交點。 projection 是

DEA-R-I 模式建議目標應改進的投影點。為了展現 Frontier-R-I 與 DEA-R-I 所推導

的效率前緣的一致性，要證明_{object 與 projection 是同一點。} ' 藉由考量 DEA-R-I 的對偶問題，我們知道當 _{j 是目標的參考集合之一之時，}' 在 方 程 式 (3.1) 當 中 的 第 一 個 限 制 式 的 小 於 或 等 於 之 不 等 式 會 變 成 等 式 ， 即

(

)

(

)

∑∑

= = m i s r r o i o r j i j i r X Y X Y W 1 1 ' ' 等於θ 。而當o '' j 是目標的另一個參考集合時，可以結

合 兩 個 參 考 集 合 當 中 的 DMU 並 進 一 步 得 到 :

∑∑

(

)

(

)

= = m i s r i r i j r j i o r o Y X Y X W 1 1 ' ' = =θ_o

∑∑

(

)

(

)

= = m i s r r o i o r j i j i r X Y X Y W 1 1 '' '' 。經過轉換之後，可以推導出方程式(4.1)。

(

)

∑∑

= = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − m i s r _{r j} i j r j i j r o i o i r Y X Y X Y X W 1 1 '' '' ' ' =0 (4.1) 若分析方程式(4.1)，可以把

[

W₁₁

(

X_{1 o} Y_{1 o}

)

, ,W _{i r}

(

X_{i o} Y_{r o}

)

]

當是一組向量， 則 這 組 向 量 正 巧 是 擁 有 點 _j '

[

]

' ' ' ' ₁ , , 1 j Y j Xi j Yr j X 以 及 j ''

[

X_{1 j}'' Y_{1 j}'' , ,X_{i j}'' Y_{r j}''

]

平面的法向量。依此可以推導得知所有的參考集合都在這個 平面上。 接下來，把方程式(3.1)當中的第二個限制式 1 1 1 =

∑∑

= = m i s r i r W 的左右兩邊都乘上 o θ ，可以得到:

∑∑

= = m i s r i r o W θ 1 1 = θ _o =

∑∑

(

)

(

)

= = m i s r i r i j r j i o r o Y X Y X W 1 1 ' ' 。這個方程式經 過轉換後我們可以得到方程式(4.2)。方程式 (4.2)意謂著點 projection 也在多面體 j E 上面。而且，所以參考集合以及 projection 都在同一個多面體E 之上。 _j

(

)

0 1 1 ' ' = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −

∑∑

= = m i s r r o i o o r j i j r o i o i r Y X θ Y X Y X W (4.2) 除此之外，因為

(

)

(

)

_o r o i o r o i o o o o o o o _θ Y X Y X θ Y X Y X θ ₌ − − = = − − 0 0 0 0 1 1 1 1 _{，所以還可以得知} 線段L 包含了projection

[

θ

(

X Y

)

θ

(

X Y

)

]

。

總結這一小節。從方程式(4.1)、方程式(4.2)的分析可知參考集合以及 projection

都在同一個多面體E 之上；此外，線段_j L_I包含了projection。總而言之， projection

是參考集合所在的多面體E 與線段_j L_I的交點。此時，再回顧 3.2 小節的定義，

projection 是效率前緣與從 DMU 原點直線之交會點，其中效率前緣就是參考集合

所在的多面體E ，從 DMU 原點直線之交會點則是線段_j L_I。換言之，依定義所找

到的projection 都與 DEA-R-I 所找到的 projection 是同一個點，而每一個 DMU 依

照同樣的推導來驗證其正確性，也就是 DEA-R-I 是個正確無誤的模式。

4.2 CCR 與 DEA-R 模式之比較

4.2.1 實例之比較 為了要瞭解以 CCR 評估高效 DMU 時可能的低估情況，本研究分別以 super-CCR-I、super-DEA-R-I 評估同一個案例，再比較其結果的不同。本研究選取 2005 年台灣醫學中心 (台灣醫療體系的最高層級)為評估的案例。選取此案例的原 因是台灣的醫院很需要準確的效率評估。已經有很多醫院通過醫學中心的認定而 升等成醫學中心，而醫學中心可以獲得較高的預算總額以及每個醫療行為較多的 給付以支持醫學中心作研究。但是，現在已經有太多的醫學中心以致於無法集中 資源支持重點的研究，所以需要進一步評估出有效率 DMU 中的優劣以集中資源支 持重點的研究。因此準確的評估高效的 DMU 可以協助健保局要控制台灣的醫院各 項醫療服務的支出，以避免過多支出破壞了整個健康保險體系，還能兼顧全民健 康。除此之外，用資料包絡分析法評估醫療體系後，輸出的結果無論是效率值、 權重、改進方案都能在實務上做很合理的解釋。如 Chen et al. (2005)、Katharaki (2008) 都採用資料包絡分析法來評估醫療體系。

被選做評估的目標，21 家醫學中心中包含 7 家公立醫院(占 33%)以及 14 家私立醫 院(占 67%)。本研究選擇了兩個投入以及三個產出。投入產出的總數小於 DMU 總 數的一半符合經驗法則。投入包括病床跟醫師，產出包括門診、住院、及手術。 以 DMU 4 為例，在 2005 年 DMU 4 以 2902 床病床以及 973 醫師，服務了 2,596,143 位門診病患，855,467(人日)住院 以及 75,348 床手術。 投入及產出項的相關係數 在表格 4.2。投入與產出的相關係數都不小於 0.7。根據經驗法則，變數的選擇是 沒有問題的。 表 4.1 2005 年台灣醫學中心之投入與產出表 醫 院 投入 1 病床 (床) 投入 2 醫師 (人) 產出 1 門診 (人次) 產出 2 住院 (人日) 產出 3 手術 (人次) 醫 院 投入 1 病床 (床) 投入 2 醫師 (人) 產出 1 門診 (人次) 產出 2 住院 (人日) 產出 3 手術 (人次) 01 2618 1106 2029864 680136 38714 11 920 316 334090 268723 15130 02 1212 473 1003707 297719 18575 12 3236 1023 1954775 920215 56167 03 1721 531 1592960 408556 36658 13 495 130 332741 136351 23423 04 2902 973 2596143 855467 75348 14 1759 491 1465374 430407 35599 05 1389 447 1116161 337523 23803 15 1357 390 1277752 368174 36006 06 1500 547 1476282 378658 22503 16 2468 675 1825332 668467 32275 07 340 145 1300016 55003 5614 17 962 316 550700 247961 15618 08 571 305 1052992 199780 26026 18 745 272 1277899 217371 11671 09 1168 369 1849711 326109 30967 19 1662 590 1916888 418205 21551 10 921 372 1089975 209323 23847 20 898 275 698945 209134 11748 21 1708 537 1702676 470437 32218 表 4.2 投入與產出之相關係數表 投入 1 病床 投入 2 醫師 產出 1 門診 產出 2 住院 產出 3 手術 投入 1 病床 1.000(**) 投入 2 醫師 0.956(**) 1.000 (**) 產出 1 門診 0.774(**) 0.775 (**) 1.000(**) 產出 2 住院 0.990(**) 0.945 (**) 0.769(**) 1.000 (**) 產出 3 手術 0.828(**) 0.781 (**) 0.719 (**) 0.863 (**) 1.000(**) **在顯著水準為 0.01 時(雙尾)，相關顯著

先比較 Super-CCR 與 Super-DEA-R 這兩個模式的效率值。因為台灣現在採取 總額給付的制度，所以本研究採用投入導向的模式。計算效率值的軟體是 Excel。 CCR, DEA-R, super-CCR, super-DEA-R 的效率值都呈現在表 4.3。如果 DMU 的效 率值大於 1，這代表這個 DMU 是有效率的，在投入導向中可以增加投入，但該 DMU 依然保持有效率。可以增加的投入等於原來的投入量乘以效率值。換句話 說，如果效率值越高，表示可以增加較多的投入但依然保持有效率的狀態。以 Super-CCR 評估 DMU 8 為例，評估出來的效率值是 1.3149。代表 DMU 8 可以增 加投入但依然保持高效，病床可以從 571 增加到 751，醫生可以從 305 增加到 401。 如果是以 Super-DEA-R 評估 DMU 8，評估出來的效率值是 1.5396，代表 DMU 8 在維持相同產出之下可以增加更多但是依然保持高效。這個結果代表 Super-CCR 可能低估了 DMU 的效率值。 表 4.3 各模式效率值、超級效率值、及模式間效率值的差距 CCR DEA-R 差距 Super CCR Super DEA-R 差距 1 0.8137 0.8137 0.0000 1 0.8137 0.8137 0.0000 2 0.7913 0.7920 0.0007 2 0.7913 0.7920 0.0007 3 0.8352 0.8432 0.0080 3 0.8352 0.8432 0.0080 4 0.9980 1.0000 0.0020 4 0.9980 1.0022 0.0042 5 0.8347 0.8417 0.0070 5 0.8347 0.8417 0.0070 6 0.8349 0.8423 0.0074 6 0.8349 0.8423 0.0074 7 1.0000 1.0000 0.0000 7 2.1699 2.1699 0.0000 8 1.0000 1.0000 0.0000 8 1.3149 1.5396 0.2247 9 1.0000 1.0000 0.0000 9 1.0753 1.2771 0.2018 10 0.7356 0.7465 0.0109 10 0.7356 0.7465 0.0109 11 0.9814 0.9814 0.0000 11 0.9814 0.9814 0.0000 12 0.9802 0.9802 0.0000 12 0.9802 0.9802 0.0000 13 1.0000 1.0000 0.0000 13 1.9516 1.9516 0.0000 14 0.8840 0.9082 0.0242 14 0.8840 0.9082 0.0242 15 0.9717 0.9865 0.0148 15 0.9717 0.9865 0.0148 16 0.9750 0.9797 0.0047 16 0.9750 0.9797 0.0047 17 0.8782 0.8782 0.0000 17 0.8782 0.8782 0.0000 18 1.0000 1.0000 0.0000 18 1.0047 1.0235 0.0188 19 0.8495 0.8551 0.0056 19 0.8495 0.8551 0.0056 20 0.8146 0.8220 0.0074 20 0.8146 0.8220 0.0074 21 0.9585 0.9675 0.0090 21 0.9585 0.9675 0.0090

比較一般 CCR 與 DEA-R 的結果，可知平均的差距為 0.0048；十五個低效 DMU 平均的差距為 0.0066；六個高效 DMU 平均的差距為 0.0003，若扣除 CCR 判斷錯 誤的假低效的 DMU 4 之後，五個高效 DMU 平均的差距為 0。這表示對於高效的 DMU 而言，除非有假低效情況的產生，不然一般 DEA-R 與 CCR 幾乎沒有不同。 而 Super-CCR 與 Super-DEA-R 結果的比較如下，平均的差距為 0.0262；十五個低 效 DMU 平均的差距為 0.0066；六個高效 DMU 平均的差距為 0.0749。首先， Super-DEA-R 的效率值皆大於或等於 Super-CCR 的效率值。這代表對有效率而言， 以 CCR 為基礎的衡量模式依然有低估效率值的情況。再者，高效模式間效率值的 差距比一般模式間的差距更大，這代表藉由超高效模式間的比較比一般模式間的 比較更能彰顯以 CCR 為基礎模式低估效率值的問題。更重要的是，因為高效 DMU 的低估的情況比起低效 DMU 低估的情況更嚴重，發展 DEA-R 為基礎的超高效模 式評估是有其必要的。 4.2.2 數學模式之比較 根據觀察，本研究做了兩個假設，接下來將藉由數學模型的比較驗證這兩個 假設的正確性。

假說一：在 DEA-R-I 權重集中在一個產出時，CCR-I 的效率值θ_o與 DEA-R-I 的效

率值θ_o相同。

證明：

本研究將先說明當只一個產出時，CCR-I 模式可以轉換成 DEA-R-I 模式。這

代表一個產出時，CCR-I 的效率值θ 與 DEA-R-I 的效率值_o′ θ 相同。此外，當權_o′

一個產出模式的效率值一樣。以此兩個概念，可以得證上述的第一個假設。 先說明當只一個產出時，CCR-I 模式可以轉換成 DEA-R-I 模式。因為只有一 個產出，CCR 模式的目標式即為 _o u1 ×y1_o ′ = ′ θ ，而這個關係可以轉換成 o o y u 1 1 ′ = ′ θ 。 帶入只有一個產出的限制式(公式 2.5 的第 1 條限制式)，可得 _j o o m i i j i y y x v 1 1 1 × ′ ≥ ×

∑

= θ 。 設 o i i i x W v 1 ′ = ′ _{，並將之帶入上述的等式經過轉換後可以得到公式 (4.3)的第 1 條限制} 式。將 o i i i x W v 1 ′ = ′ _{帶入只有一個產出的公式(2.5) 的第 2 條限制式經過轉換後可以得} 到(4.3)的第 2 條限制式。所以只有一個產出的 CCR 可以轉換成公式 (4.3)。 max θo′ . st y j n j o y θ x x W o j o m i i o i j i ′ ≥ ′ = ≠

∑

= 1 1 1 1 1 (4.3) 1 1 1 = ′

∑

= m i i W 0 1 ≥ > ′ _ε i W , θo ≥ε >0 將上述公式(4.3) 與 DEA-R-I 的方程組(公式 3.1) 比對後即可發現，當與只有 一個產出的 DEA-R-I 一模一樣。即只有一個產出時，CCR-I 等於 DEA-R-I。也就

是 CCR-I 的效率值θ 等於 DEA-R-I 的效率值o′ ′ o θ 。 此外，已知只有一個產出 CCR-I 的效率值θo′與權重集中在一個產出的一般 CCR-I 的效率值θo是一樣的，而只有一個產出 DEA-R-I 的效率值 ′ o θ 也與權重集中 在一個產出的一般 DEA-R-I 的效率值θ_o是一樣的。根據上一段及上述的說明，可

得權重集中 CCR-I 的效率值θ_o = 只有一個產出 CCR 的效率值θ_o′ = 只有一個產

出 DEA-R-I 的效率值θ_o′ = 權重集中 DEA-R-I 的效率值θ_o。得證在 DEA-R-I 權重

集中在一個產出時，CCR-I 的效率值θ_o與 DEA-R-I 的效率值θ_o相同。

假說二：在 DEA-R-I 權重不集中在多個產出時，DEA-R-I 的效率值θ_o與 CCR-I 的

效率值θ_o不相同。只有參考 DMU 的每一項產出的皆為目標 DMU 對應產出的同一 倍數時例外。 證明： 先探討 CCR 的效率值。因為 CCR 效率值不受投入產出同時乘除一個數的影 響，將原來的x 除以目標 DMU 的投入_ij x 之後令其等於_io x′ ，將原來的_ij y 除以目標_rj DMU 的投入y 之後令其等於_ro y′ 。將若 CCR 的最佳權重以比值的概念表示之可寫_rj 為v_i = p_it′′，u_r =a_rt′。因為方程式(2.5)的第 2 條限制式 1 1 = ×

∑

= m i o i i x v 經變數同除x_io 轉換後可得 1 1 =

∑

= m i i v 。上述關係式，帶入v_i = p_it′′可得 1 1 1 = = ′′

∑

∑

= = m i i m i i v p t ，並轉換成

∑

= = _m i i i i p p v 1 。 此 外 ， 因 為 方 程 式 (2.5) 的 第 1 條 限 制 式 o n j j y u x v s r r j r m i i j i× ′ ≥

∑

× ′ = ≠

∑

= = 1 1 1 ， 對 參 考 的 DMU 時 等 式 成 立 即 ， DMU reference j x v y u m i i j i s r r j r 1 1 1 = ′ × ′ × =

∑

∑

= = _{， 帶 入}

∑

= = _m i i i i p p v 1 及 u_r =a_rt′ 得 到