3-4

§對數函數

主題1：對數函數及其圖形 1.對數函數的定義：設a0, a1, x0，我們稱 f(x)logax為以a 為底數的對數函數。 ※log_a y有意義a 0,a1,y0 2.特性：設y f(x)logax(a0,　a1　,x0)，x1 0，x2 0 (1) f(x．₁ x₂) f(x₁) f(x₂)， ( ) ( 1) ( 2) 2 1 _{f x f x} x x f   (2)a1 f(x1) f(x2),0a1 f(x1) f(x2)（x1 x2） 3.對數函數與指數函數：設a0, a1, x0﹐則對數函數ylog_a x即為_{x a} y_{與指數函數} x y a 的圖形必對稱於直線x y 0 4.對數函數的圖形：設a0, a1, x0, y f x( ) log _a x﹐則： (1)當a1時﹐例如：ylog2x的圖形必與y2x的圖形 對稱於直線x y 0， 圖形如右： 由ylog2x的圖形可以看出： ① 圖形必通過(1, 0)且漸近線為y 軸﹒ ② 圖形恆在 y 軸右側﹐即 x 恆大於 0﹒ ③ 平行 x 軸的每一條水平線皆與圖形恰有一個交點 即當log_a log_a 時﹐則﹒

④ 圖形凹口向下﹐即log log log

2 2

a a

a

   

 ﹒

⑤ f x( ) log _ax為嚴格遞增函數﹐即  0  log_a log_a

(2)當0 a 1時﹐例如： 1 2 log y x_{的圖形必與} 1 ( ) 2 x y 的圖形 對稱於直線x y 0，﹐ 圖形如右： 由 1 2 log y x_{的圖形可以看出：} ① 圖形必通過(1, 0)且漸近線為y 軸﹒ ② 圖形恆在 y 軸右側﹐即 x 恆大於 0﹒ ③ 平行 x 軸的每一條水平線皆與圖形恰有一個交點 即當log_a log_a 時﹐則﹒

④ 圖形凹口向上﹐即log log log

2 2

a a

a

   

 ﹒

5.圖形與圖形的對稱及平移： 原函數 變　換 新函數 ( ) loga y f x  x 對稱y 軸 y f(x) 對稱x 軸  y f x( ) 對稱原點  y f(x) 沿x 軸方向移動 h 單位 y f x h(  ) 沿y 軸方向移動 k 單位 y k  f x( ) 6.由函數圖形求方程式實根的個數：給予方程式 f x( )g x( )，則其相異實根的個數等於兩函 數y1 f x( )與y2 g x( )之圖形的交點數，又其交點坐標的x 坐標，即為方程式的實根。

※重要範例

1.設 1  a  b，x  0，下列敘述何者正確？

(A) loga x  logb x　(B)若 x  1，則 loga x  logb x　(C)若 x  1，則 loga x  logb x　(D)若 0  x 

1，則 loga x  logb x　(E)若 0  x  1，則 loga x  logb x。

【解答】(C)(E) (1)當 x  1 時，0  logx a  logx b　　 _a x log 1  _b x log 1 　　loga x  logb x (2)當 0  x  1 時，0  logx a  logx b　　 _a x log 1  _b x log 1 　　loga x  logb x

(3)當 x  1 時，loga x  logb x　∴　選(C)(E)

2.設 g(x)  loga x，a  0，a  1，x  0，則下列敘述何者正確？

(A) g(x  y)  g(x)  g(y)　(B) g(xy)  g(x)  g(y)　(C) g(x  y)  g(x)  g(y)　 (D) g( _yx )  g(x)  g(y)　(E) g(

x



)   g(x)。 【解答】(B)(D)(E)

(1) g(xy)  loga xy  loga x  loga y  g(x)  g(y)

(2) g( _yx )  loga _y

x

 loga x  loga y  g(x)  g(y)

(3) g( x  )  loga x    loga x   g(x) ∴　選(B)(D)(E)

隨堂練習.下列各敘述，何者正確？(A) a  0，x，y



R，若 a x _{ a} y_{，則x  y}

(B) a  b  0 且 a  1，b  1，x，y  R，若 a x _{ b} y_{，則x  y}

(C) a  x  y  1，則 loga x  loga y　(D) 0  a  x  y  1，則 logx a  logy a　

(E) a  0，a



1，x1  x2  0，則 loga 2

2 1 x x   2 log log_a x₁ _ax₂ 。 【解答】(C)(D) (A)錯誤：a  1 時，即使 x  y，仍有 a x _{ a} y (B)錯誤：例：a  4，b  2；x   2 1 ，y   1 時，a x _{ b} y _ 2 1 ，但x  y (C)正確：∵　a  1　∴　loga為增函數　∴　由x  y　　loga x  loga y

(D)正確：0  a  1　∴　loga為減函數，由x  y  1　　loga x  loga y  0

　 _x a log 1  _y a log 1 　　logxa  logya

(E)錯誤：∵　 2 2 1 x x   x1． x2 （x1  x2）……，當 0  a  1 時，loga為減函數 ∴　由　　loga 2 2 1 x x   loga x1． x2  loga 2 1 2 1 ) (x．x _2 1 (loga x1  loga x2)（不合）

3.若 logx1 (2x  x2  3)有意義，則 x 之範圍為　　　　　。 【解答】1  x  3 但 x  2  0  x  1  1　　1  x  2  2x  x2 _{ 3  0　　x}2 _{ 2x  3  0　　 1  x  3} 由得 1  x  3 但 x  2 隨堂練習.若 logx2(  x2  5x  4)有意義，求 x 之範圍。 【解答】2  x  4，但 x  3 log(x2)(  x2  5x  4)有意義 則            　 　 且 0 4 5 1 2 0 2 2 x x x x 　　         0 4 5 3 2 2 x x x x 且 　　(x  1) (x  4)  0　　1  x  4 　2  x  4，但 x  3

4.若 0  a  1，則下列敘述何者正確？(A) y  loga x 與 y  log

a  _{x 兩圖形對稱於 y 軸} (B) y  ax_{與y  (} a  )x_{兩圖形對稱於x 軸　(C) y  a}x_{與y  log} a x 兩圖形對稱於直線 y  x　 (D) y  loga x 的圖形恆過點(0，1)　(E) y  ax的圖形恆過點(0，1)。 【解答】(C)(E) (A) y  log a  _x   log a x 與 y  loga x 圖形對稱於 x 軸。 (B) y  ( a  )x _{ a}x_{與y  a}x_{圖形對稱於y 軸。} (C) y  ax_{與y  log} a x 互為反函數，兩圖形對稱於直線 y  x。

(D) y  loga x 圖形恆過點(1，0)。(E) y  ax圖形恆過點(0，1) ∴　應選(C)(E)

5.下面有五組函數，哪些組的兩個函數，其圖形互相對稱於 y 軸？ (A) y  (

2 1

)3x_{和y  2}3x_{(B) y  2}3x_{和y  3}2x_{(C) y  x}2_{和y   x}2_{(D) y  log x 和 y  log ( } x)　(E) y  log3 x 和 y  log

3 1 x。 【解答】(A)(D) (1) y  f (x)有點 P(m，n)　　n  f (m)　　y  f (  x)有點 Q(  m，n) ∴　y  f (x)與 y  f (  x)的圖形對稱於 y 軸 (2) y  ( 2 1 )3x x→ x 代 y  ( 2 1 )3(x) _{ 2}3x_{∴　y  (} 2 1 )3x_{與 y  2}3x_{圖形對稱於y 軸}

(3)同理 y  x2_{與y   x}2_{圖形對稱於x 軸，y  log}

3

1 x   log

6.下列敘述何者正確？

(A)若 a  1，則 y  ax_{的圖形是凹口向上　(B)若 a  1，則 y  log}

a x 的圖形是凹口向上　(C)

若0  a  1，則 y  loga x 的圖形是遞增的　(D)若 a  1，則 y  ax，y  loga x 的圖形對稱於直

線x  y  0　(E) y  log3 x，y   log3 x 的圖形對稱於 x 軸。

【解答】(A)(D)(E)

(1) a  1 時，y  ax_{與y  log}

a x 圖形為圖(一)

(2) 0  a  1 時，y  ax_{與y  log}

a x 圖形為圖(二)

(3) y  log3 x 有點 P (m，n)　　n  log3 m　　y   log3 x 有點 Q(m， n)

∴　y  log3 x，y   log3 x 的圖形對稱於 x 軸

∴　選(A)(D)(E) 隨堂練習. 求下列敘述何者正確？(A) y  3x_{與y  3} x_{的圖形對稱於y 軸} (B) y = log3 x 與 y = log 3 1 x 的圖形對稱於 x 軸　(C) y  3x與y  log₃ x 的圖形對稱於 y 軸　 (D) y  3x_{與y  log} 3 1 x 的圖形對稱於 x  y  0　(E) y  3x與y  log₃x 的圖形相交於一點。 【解答】(A)(B)(D) (A)將(x，y)用( x，y)代入 y  3x_{，得y  3} x_{∴　y  3}x_{與y  3}x_{兩圖形對稱y 軸}

(B)將(x，y)用(x， y)代入 y  log3 x，得 y  log3 x　　y  log3 x  log 3 1 x

∴　y  log3x 與 y  log 3 1 x 兩圖形對稱 x 軸 (C) y  3x_{與y  log} 3 x 互為反函數　　兩圖形對稱 x  y  0，但不對稱 y 軸 (D) y  3x _{ (} 3 1 )x_{與y  log} 3 1 x 互為反函數　　兩圖形對稱於 x  y  0 (E)由右圖可知 y  3x 與 y  log3x 不相交

隨堂練習.下圖中，y  loga x 與 y  logd x 兩圖形對稱於 x 軸，y  logb x 與 y  logc x 兩圖形對稱

於x 軸，則下列何者為真？

(A) a  b  c  d　(B) b  a  c  d　(C) b  a  d  c　(D) ad  1　(E) abcd  1 【解答】(C)(D)(E)

∵　y  loga x 與 y  log d x 兩圖形對稱於 x 軸　∴　以(x， y)代入 y  loga x，得  y  loga x

　y   loga x  a 1 log _{x  log} d x　∴　 a 1  d　　ad  1，同理 bc  1　　abcd  1 ∵　y  loga x 與 y  logb x 兩圖形均為增函數　　a  1，b  1

當x  1 時，由圖形知 loga x  logb x　　 _a x log 1  _b x log 1 　　logx b  logx a 　b  a……，又 ad  1，bc  1　　d  a 1 ，c  b 1 　　1  d  c  0…… 由知，b  a  d  c，故應選(C)(D)(E) 隨堂練習.設 a  0，a  1，若函數 f (x)  a x_{，g(x)  log} a x 之圖形分別為 G1，G2，則下列何者 正確？ (A)圖形 G1恆過點(1，0) (B)若 0  a  1，則圖形 G1，G2會交於一點(m，n)且 m．n  1 (C)若 a  1，則圖形 G1，G2對稱於直線 y  x (D) f ( g(x))  x 且 g ( f (x))  x (E) g(x)之值恆正。 【解答】(C)(D) a  0，a  1 (A) a1 _{ a  0　∴　G} 1不過點(1，0) (B) 0  a  1，則 f (x)  a x_{與g(x)  log} a x 交於一點(m，m)（因兩函數對稱於 x  y  0） a x_{恆過(0，1)，因其為減函數　∴　m  1　　m} 2 _{ 1}

(C) ( y，x)代入 y  a x_{，得x  a} y_{　y  log}

a x　∴　G1，G2對稱於直線y  x

(D) f (g(x))  f (loga x)  alogax  x，g( f (x))  g(ax)  loga a x  x　∴　二式相等

7.作 y  log2| x  1| 之圖形。

【解答】

　

x  1 時，y  log2 (x  1)　x  1 時，y  log2 (1  x)

8.方程式 |log2 x|  2  |x|  0 的實數解有多少個？ 【解答】2 (1)作出 y  2  |x| _{ (} 2 1 )|x|_{的圖形　∵　(x，y)用(  x，y)代入不變} 　圖形對稱於 y 軸，令 x  0　　y  ( 2 1 )x_，如上圖

(2)作出 y  |log2 x|的圖形，當 x  1 時，y  log2 x，當 0  x  1 時，y   log2 x

由(1)(2)圖形知，y  2  |x|_{與y  |log} 2 x|恰有 2 個交點　∴　|log2 x|  2  |x|  0 恰有 2 個實根 隨堂練習.方程式 log2|x| = 2|x|的實數解有____________個﹒ 【解答】 2 2 | | log | | 2 x y x y       ﹐ 有二個交點﹐∴ 原式有 2 個實數解﹒∵

9.（　　　）設 a 為大於 1 的實數﹐考慮函數 f (x) = ax_{與g(x) = log} ax﹐試問下列哪些選項是 正確的？　(1)若 f (3) = 6﹐則 g(36) = 6 (2) f_f(238)₍₂₁₉₎ f_f(38)_{(19) (3) g(238)  g(219) = g(38)  g(19)} (4)若 P﹐Q 為 y = g(x)的圖形上兩相異點﹐則直線 PQ 之斜率必為正數 (5)若直線 y = 5x 與 y = f (x)的圖形有兩個交點﹐則直線 1 5 y x與y = g(x)的圖形也有兩個交 點﹒ 【解答】1245 (1) _f(3)a3_{6　∴log 6 3} a   g(36) log 36 2log 6 2 3 6 a  a    (2) 238 38 238 219 19 38 19 219 19 (238) (38) (219) (19) f a a f a a a f a a f        

(3) (238) (219) log 238 log 219 log 238 219

a a a

g g   

(38) (19) log 38 log 19 log 38 19 a a a g g    g(238)g(219)g(38)g(19) (4)y g x ( ) log ax a,  為遞增函數1 ﹐∴若 x1x2  y1y2 令P x y( , )1 1 ﹐ 2 1 2 2 2 1 ( , ) 0 PQ y y Q x y m x x     



(5)∵ ( ) x ( ) log a y f x a 與 y g x  x﹐a 互為反函數1 _﹐ 且 5 1 5 y x與 y x亦互為反函數 ∴ 兩組圖形的交點個數相同（實際作圖亦可得知）﹐故選(1)(2)(4)(5)﹒ 10. 為 log5x + x  7 = 0 之根﹐ 為 5x + x  7 = 0 之根﹐則 + = ____________﹒ 　解答　 7 解析 log5 7 5x 7 x x x           5 log 7 5 7          ﹐

11.比較下列 a，b，c，d，e 的大小：

(1) a  (1.7)3.1_{，b  (1.7)} 2_{，c  1，d  0，e } _{. ：　　　　　。}

(2) a  log0.6 2，b  log0.6 . ，c  log0.6 0.5，d  0，e  1：　　　　　。

【解答】(1) a  e  c  b  d　(2) c  e  b  d  a

(1) a  (1.7)3.1_{，b  (1.7)} 2_{，c  1  (1.7)}0_{，d  0，e  (1.7)}  

　∵　1.7  1　∴　a  e  c  b  d

(2) a  log0.6 2  log0.6 1  0，b  log0.6 . 

 

， 　c  log0.6 0.5  log0.6 0.6  1，d  0，e  1

∴　c  e  b  d  a

隨堂練習.設 a  log7 4，b _ log 3，c  log 

 0.5，d  log

4 7，試比較 a、b、c、d 之大小順序

為　　　　　。 【解答】b  d  a  c

b _ log 3  log23  log4 9  log4 7  1，c  log

  0.5  log    

 log3 2  log9 4  log7 4  1

故b  d  a  c

12.試比較下列三數 a = log0.20.3﹐b = log23﹐c = log2030 之大小﹒

【解答】b > c > a

log23  log2030 =

log3 log 20 log 2 log30 log3 log30

log 2 log 20 log 2 log 20 

  　 　

　

　 　

　 log3 (1 log 2) log 2 (1 log3) log3 log 2

0 log 2 (1 log 2) log 2(1 log 2)

     

  

   ﹐ log∴ 23 > log2030﹐

同理﹐log2030 > log0.20.3  log23 > log2030 > log0.20.3﹒

隨堂練習.設 b > a > 1﹐試比較 A = logab﹐B = logba﹐C = logaab﹐D =loga

a

b 之大小﹒

【解答】 C > A > B > D

∵ b > a > 1 ∴﹐ A = logab > logaa = 1  A > 1﹐B = logba < logbb = 1  0 < B < 1﹐

又C = logaab = logaa + logab = 1 + logab = 1 + A > A﹐D =loga

a

b = logaa  logab = 1  logab = 1  A < 0  C > A > B > D﹒

主題2：對數不等式 1. 設a0, a1, log_a f x( ) log _a g x( )﹒ (1) 當a1時 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 f x g x f x g x        _  ﹒ (2)當0 a 1時 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 f x g x f x g x        _  2.欲解 2 (loga ) (loga ) 0 p x q x  r 型式的不等式﹐則先令loga x t ﹐代入不等式得 2 ₀ pt   qt r ﹐再利用因式分解求出t 的範圍﹐即可求得 x 之範圍 3.對數函數的極值求法： (1)欲求函數 2 ( ) (loga ) (loga ) f x  p x q x r的極值時﹐可以先令tlogax代入函數得二次函 數_{g t( ) pt}2_{ qt r﹐再利用配方法求極值} (2)利用算幾不等式求極值

※重要範例 1.解不等式：(1) log2(x  1)  1  log4(x  2)之解為　　　　　。 (2) log3(log 2 1 x)  1 之解為　　　　　。 【解答】(1) 1  x  7　(2) 8 1  x  1 (1)_{∵　原式有意義　}















0

2

0

1

x

x

　　x  1…… 原式化為log2(x  1)  log22  2 1 log2(x  2)　　x  1  2 (x  2) 2 1 　　(x  1)2 _{ 4 (x  2)} 　x2 _{ 6x  7  0　　(x  1)(x  7)  0　　 1  x  7……} 由得 1  x  7 (2)log3(log 2 1 x)  1　　log 3(log 2 1 x)  log 33　　0  log 2 1 x  3 　log 2 1 1  log 2 1 x  log 2 1 ( 2 1 )3_{　1  x } 8 1 2.若實數 x 滿足不等式 log3(3x  8)  2 x  1  log32，試求 x 的範圍。 【解答】log34  x  log316 log3(3x  8)  2 x

 1  log32　　log3(3x  8)  log3₃2

x

 log33  log32  log3(6．₃2

x ) 　3x _{ 8  6．} 2 3 x 　　(₃2 x )2 _{ 6．} 2 3 x  8  0　　(₃2 x  2)(₃2 x  4)  0 　2 ₃2 x  4　　log32  2 x

 log34　　2log32  x  2log34 　log34  x  log316

隨堂練習.不等式 log   (3x  1)  2 之解為　　　　　。 【解答】    x     原式有意義　　3x  1  0　　x      log   (3x  1)  2　　log   ( 3x  1)  log   ₍   )2_{　3x  1 }   　　x     由得     x    

隨堂練習. 不等式 logx(2x2  4x)  logx (2  x) 的解為　　　　　。 【解答】0  x    或x  1 logx(2x2  4x)  logx (2  x) 當 x  1 時，2x2 _{ 4x  2  x　　2x}2 _{ 3x  2  0　　x }   或x   2　∴　x  1 當 0  x  1 時，2x2 _{ 4x  2  x　　 2  x }   　∴　0  x    由知 0  x    或x  1 3.若 f (x)  2log (x  1)  log (x  2)，x  2，則當 x  　　　　　時，f (x)有最小值  　　　　。 【解答】3；log4

f (x)  2log(x  1)  log(x  2)，x  2  log(x  1)2 _{ log(x  2)  log}

2 ) 1 ( 2   x x ∵　 2 ) 1 ( 2   x x _ 2 ] 1 ) 2 [( 2    x x _{ (x  2)  2 } ) 2 ( 1  x 2 ( 2) 1 ) 2 (   x x ．  2  4（∵　x  2） ∴　f (x)有最小值  log4，又「」成立時，x  2  2 1  x 　　(x  2)2  1 　x  2   1　　x  3 或 x  1（不合），故當 x  3 時，f (x)有最小值  log4 4.若 x，y 為正實數，log2 x  log2 y  2，則(1) log2 (x  y) 的最小值  　　　　　。

(2)(log2 x) (log2 y) 的最大值  　　　　　。

【解答】(1) 2　(2) 1

(1) log2 x  log2 y  2　　log2 xy  2  log24　∴　













4

0

0

xy

y

x

_，

　　 2 y x  xy

　x  y4　　log2(x  y)  log24  2　∴　log2(x  y)有最小值  2

(2)(log2 x)(log2 y)  (log2 x)(2  log2 x)   (log2 x)2  2log2 x   (log2 x  1)2  1

∴　當 log2 x  1，即 x  2 時，(log2 x)(log2 y)有最大值  1

5.設 x  1，求 log2 x  logx 16 之最小值　　　　　。

隨堂練習.設   _

x8，f (x) _x2log2x之最大值為　　　　　。

【解答】2

f (x) _x2log2x　　log₂ f (x)  log₂x2log2x  (2  log₂ x) log₂ x 令 log₂ x  t　　log₂ f (x)  (2

 t)t   (t  1)2 _{ 1　∵}    x  8　　 2  log2 x  3 　 2  t  3　∴　當 t  1 時，log2 f (x)有最大值  1　　f (x)之最大值  2 隨堂練習.102 _{ x  10}3_，設x 2log x_{之最大值為M，最小值為 m，則(M,m)  　　　　　。} 【解答】(1,   ) 【詳解】 102_x₁₀3_　2_{log x}_{3，令 y  x} 2log x

∴　log y  log x 2logx _{ (2  log x)log x   (log x)} 2 _{ 2log x   (log x  1)} 2 _{ 1}

∴　 3log y0　　103 _{ y  1　}    x2  logx _{ 1} 6.若方程式 (log ax)(log ax2 _{)  4 的解皆大於 1，求 a 的範圍。} 【解答】0  a  100 1

(log a  log x)(log a  log x2_{)  4　　2(log x)}2 _{ 3(log a)(log x)  [(log a)}2 _{ 4]  0}

令t  log x　　2t2 _{ 3(log a)t  [(log a)}2 _{ 4]  0}

∵　x  1　　t  0，即 t 的方程式有兩正根 ∴

D  9(loga)2 _{ 8[(loga)}2 _{ 4]  0　 　 (loga)}2 _{ 32  0}

兩根和   2 3 loga > 0　 　 loga < 0 兩根積  2 1

[(loga)2  4] > 0　 　 loga > 2 或loga <  2 ∴　log a   2　　log a  log10 2_{∴　0  a }

100 1

7.滿足 0  1 2 log _log 2 x  2 的整數 x 共有____________個﹒ 【解答】 13 0  2 1 log _(log 2 x)  2  2 1 log _{1 } 2 1 log _(log 2 x)  2 1 log ₍1 2) 2 _{ 1  log} 2 x  4

 log22  log2 x  log224  2  x  16

∴ x  3,4,5,6,……,15 共有 13 個整數值

8.若 x﹐y  0﹐且 x  2y  12﹐試求 log2 x  log4 y 的最大值﹐又此時 x﹐y 值各為多少？

【解答】x  8﹐y  2 時﹐最大值 ₂7 log2 x  log4 y  log2 x 1

2log2 y  1 2(2log2 x  log2 y)  1 2log2 x 2_y ∵ x﹐y  0﹐x  2y  12  2 x  2 x  2y  12﹐由算術平均數  幾何平均數 知 2 2 2 3 x x y   3( )( )(2 ) 2 2 x x y  4 ₃ 1 2 2x y  128  x 2_y ∴ log2 x  log4 y 1 2log2 x 2_{y }1 2log2128  1 2log22 7 _7 2 「」成立時  2 x  2 x  2y  4  x  8﹐y  2 ∴ 當 x  8，y  2 時﹐原式有最大值 7 2

隨堂練習.若 x﹐y 為正實數﹐log2 x  log2 y  2﹐則(1) log2 (x  y) 的最小值 ____________﹒

(2)(log2 x)(log2 y) 的最大值 ____________﹒

【解答】 (1) 2;(2) 1

(1)log2 x  log2 y  2  log2 xy  2  log24　

　∴ 0 , 0 4 x y xy       　  2 x y  xy  x  y4  log2(x  y)  log24  2　 　∴ log2(x  y)有最小值  2

(2)(log2 x)(log2 y)  (log2 x)(2  log2 x)   (log2 x)2  2log2 x   (log2 x  1)2  1

隨堂練習.設 x﹐y 為正數且 x  4y  8﹐若 log 2 1 x  log 2 1 y 之最小值為 m﹐又此時 x  x₀﹐y  y0﹐則(1) m  ____________﹒　(2) (x0﹐y0)  ____________﹒ 【解答】(1) 2;(2)(4﹐1) log 2 1 x  log 2 1 y  log 2 1 xy　∵ x﹐y  0﹐且 x  4y  8 利用算幾不等式  4 2 x y  x．4y  4  4xy  xy  4  log 2 1 xy  log 2 1 4  2 ∴ log 2 1 x  log 2 1 y 之最小值 m  2﹐且等號成立時﹐x  4y  4  x  4﹐y  1 ∴ (x0﹐y0)  (4﹐1) 9.y =log₃ 2₂ 1 1 x x x x     ﹐則 y 的範圍為____________﹒ 【解答】1  y  1 設t = 2₂ 1 1 x x x x     ﹐ ∴ tx2 _{+ tx + t = x}2 _{ x + 1  (t  1)x}2 _{+ (t +1)x + (t  1) = 0 ∵﹐ x  R ∴﹐ D  0}  (t + 1)2 _{ 4(t 1) (t  1)  0  3t}2 _{+ 10t  3  0  (3t  1) (t  3)  0 ∴﹐} 1 3 t  3  3 1 log 3 log3t  log33  1  y  1﹒ 10.有研究機構想將世界各國依照其面積大小為等級的標準﹐下表所列的 6 個國家的面積（單 位：千平方公里）﹒且以冰島為基準﹐用對數函數 f x( )來計算各國的面積等級 試問面積等級大於10 的國家有____________個﹒ 【解答】1 設等級為10 的國家﹐其面積 A﹐10 5log( ) 103 A  _{﹐得 10}2 103A  ﹐知A10300﹐ 因面積大於10300 的國家只有俄羅斯﹒

主題3：反函數 1.函數的定義：給了函數 f (x)與g( y)，設x、y 分別是函數 f(x)，g( y)定義域內的任意元 素，如果g(f(x)) x且 f(g(y)) y，則稱 f(x)與g( y)互為反函數， f(x)之反函數記做 ) ( 1 _x f  _{，此時 f(x)的定義域就是 f} 1_{(x)的值域，而 f(x)的值域就是 f} 1_{(x)的定義域。} 2.求 f(x)3x5(xR)之反函數的方法如下： 令y_3x_5(x_f y)_{則 ( )} 3 5 3 1 3 5 1 x y y y x_  _{  }f 5 3 ) (    f x x 的反函數為 3 5 3 1 ) ( 1 _{ }  _{x x} f 7.函數與其反函數，兩者的圖形恆對稱於直線 L：y  。x

※重要範例 1.下列哪一函數之圖形與 y  a  x_{（a  1）之圖形對稱於直線 y  x？} (A) y  a x_{(B) y  log} a(  x)　(C) y   log a x　(D) y  log a  _{x　(E) y}  log a x  。 【解答】(C)(D)(E) (A) 　(B) 　(C) (D) y   log a x 同(C)，(E)同(C) 2.f (x)  log3 (x  4)，x  4 之反函數為　　　　　。 【解答】y  3x _{ 4}

f (x)  log3(x  4)，x  4，y  log3(x  4)　　3 y  x  4

反函數圖形對稱於直線y  x　∴　反函數為 3 x _{ y  4　　y  3}x _{ 4} 3.若 f (x)  2x _{ 1，則 f} 1_{(x)  　　　　　。} 【解答】log2(x  1) 令y  2x _{ 1　　2}x _{ y  1　　log} 22x  log2(y  1)　　x  log2(y  1) ∴　f1_{(x)  log} 2(x  1) 隨堂練習.設 f (x)  log(x  _x2 _1)，x  1，則 f 之反函數 f 1(x)  　　　　　。 【解答】   (10 x _{ 10} x _{)，x  0} 設f (x)  y，即_{x x}2 _1 10 y，y  0　　 _x2 _1  10 y  x 　x2 _{ 1  10} 2y _{ 2．10} y_{．x  x}2_　2．10 y_{．x  10} 2y _{ 1} ∴　x    (10 y _{ 10} y _{)，即 f}1_{(x) }   (10 x _{ 10} x _{)，x  0} 隨堂練習.若 f (x)  1 3 1 3   x x ，x  0，則 f (x)的反函數 f 1_{(x)  　　　　　。} 【解答】log3 1 1   x x ，| x |  1 令y  f (x)  1 3 1 3   x x 　　3x _ 1 1   y y 　　log33x  log3 ₁ 1   y y 　　x  log3 ₁ 1   y y

∵　f (x)  y　　f 1_{(y)  x　∴　f} 1_{(y)  log}

3 ₁ 1   y y ，| y |  1　f 1_{(x)  log} 3 1 1   x x ，| x |  1。